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第7章《相交线与平行线》复习题-- 平行线中的拐点问题的三大题型
【题型1 平行线中的单拐点问题】
1．如图，，，设，，则与之间的数量关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．与没有数量关系
2．含的三角板和含的三角板如图摆放，若，，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
3．如图，已知，，记，则m的值为 ．

4．如图，已知直线，为平面内一点，连接，．则、、之间的等量关系为 ．

5．在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线，且和直角三角形，，．
(1)在图1中，，求的度数；
(2)如图2，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，发现，说明理由；
(3)竞赛小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，当平分时，此时发现与又存在新的数量关系，请写出与的数量关系并证明．
6．在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若，点P在、内部，探究，，的关系．小明只完成了（1）的部分证明．
(1)请你继续完成的证明并在括号内填入适当的理论依据同时完成
过点作．
∵，
∴________（ ）
∴____（ ）
又∵
∴
∴________．
(2)小明猜想：是不是类似的问题都可以过点P作来实现等角转移从而推导出相应结论呢？．如图2，若，点P在、外部，，，的关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由．
(3)探究：若，如图3，图4，请直接写出小于平角的，，之间的数量关系．
7．有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点E，连接，后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，，与之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系．
(1)请直接写出图①到图④各图中的，与之间的关系吗？
(2)请从图③④中，选一个说明它成立的理由．
8．已知，E，F分别是，上的点，点M在，两平行线之间．

【阅读探究】
(1)平行线具有“等角转化”的功能，将和通过转化“凑”在一起，得出角之间的关系．如图1，若，时，则___________．
【方法运用】
(2)如图2，试说明；
【应用拓展】
(3)如图3，作和的平分线，，交于点P（交点P在两平行线，之间）若，求的度数．
9．在综合与实践课上，老师以“两条平行线AB，CD和一块含角的直角三角尺EFG（，）”为主题开展数学活动．
(1)如图①，若直角三角尺的角的顶点G放在CD上，，求的度数；
(2)如图②，小颖把直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在AB和CD上，请你探索并说明与之间的数量关系；
(3)如图③，小亮把直角三角尺的直角顶点F放在CD上，角的顶点E放在AB上．若，，则与的数量关系是什么（用含，的式子表示）？请说明理由．
10．已知，李想同学将放置在这两条平行线上展开探究，其中三边与两条平行线分别交于点、、、．

(1)【特例探究】
如图1，．
①______度；
②若与的角平分线相交于点，则______度；
(2)【一般探索】
如图2，，．
①若，，求与的关系；
②若，（且为整数），直接写出与的关系；
(3)【拓展应用】
如图3，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点；……，以此类推，则的值是多少？（直接写出结果）
11．在一次数学活动课上，同学们用一个含有角的直角三角板和两条平行线展开探究．如图，在中，，，．

(1)如图1，点在上，点在上，与交于点，若，求的度数；
(2)如图2，点在上，点在上方，点在下方，与交于点，作的角平分线并反向延长与的角平分线交于点，求的度数；
(3)如图3，点在上，点在直线，之间（不含在，上），点在下方，，分别与交于点，．设，是否存在正整数和，使得．若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由．
【题型2 平行线中两点或多拐点问题】
1．已知，平分，，，则 ．
2．已知直线，和，分别交于，点，点，分别在线，上，且位于的左侧，点在直线上，且不和点，重合．
(1)如图1，点P在线段上，，，求的度数．
(2)如图2，当点P在直线上运动时，试判断，，的数量关系，直接写出结果，不需要说明理由．
3．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到．
求证：
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明：过点E作
∵
∵，
∴
∴
∴
∴
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若，，求；
(2)如图，， BE平分， CF平分，，求．
4．已知：如图，直线、被直线所截，．
(1)如图①，分别与、交于点、，平分，平分，请判断与的位置关系，并证明你的结论；
(2)如图②，点E在与之间的直线上，P、Q分别在直线、上，连接、，平分，平分．
（Ⅰ）若，求的度数；
（Ⅱ）请猜想和之间的数量关系，并证明你的结论．
5．如图1，已知直线分别与直线交于点P和点Q，，．

(1)求证：；
(2)如图2，P，Q两点分别沿直线和向左平移相同的单位长度得到E，F两点，点G在直线上运动，平分，点H在直线 上，连接的延长线交于点N，平分．
①若，，求的大小；
②当点G在之间时，直接写出，，之间的数量关系．
6．如图1，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线之间的一点，．

(1)求证：；
(2)如图2，作，与的角平分线交于点F．若，求的度数；
(3)如图3，平分，平分，，已知，则______（直接写出结果）．
7．如图，．

(1)如图1，请探索∠A，∠E，∠C三个角之间的数量关系，并说明理由；
(2)已知．
①如图2．若，求的度数；
②如图3．若和的平分线交于点G，请直接写出与的数量关系．
8．已知：，点E、F分别在直线、上，点O在直线、之间，且．

(1)如图1，若，求的度数．
(2)如图2，射线平分，连接，若，与相等吗？若相等，请证明你的结论；若不相等，请说明理由．
(3)如图3，在内，，在内，，点M、N分别为射线、上的动点，且点M、N在直线、之间，其中，，若，求n的取值范围．
9．如图1，已知，，
(1)若，则________；
(2)请判断与之间满足的数量关系？说明理由．
(3)如图2，若平分，平分，反向延长交于P，求的度数；
10．同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系如图，已知，点在、内部，我们过点作或的平行线，则有，故，，故，即．
(1)现将点移至如图的位置，以上结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论．
(2)如图，与的角平分线相交于点；
①若，，则 ______ ．
②试探究与的数量关系，并说明你的理由．
(3)如图，与的角平分线相交于点，过点作交于点，若，则 ______ ．
11．(1)探究：如图，，点、分别在直线、上，连接、，当点在直线的左侧时，试说明；
(2)变式：如图，将点移动到直线的右侧，其他条件不变，试探究、、之间的关系，并说明理由；
(3)(问题迁移)如图，，点在的上方，问、、之间有何数量关系？请说明理由；
(4)(联想拓展)如图所示，在的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，用含有的式子表示的度数．
【题型3 平行线中在生活上的拐点问题】
1．请阅读以下“预防近视”知识卡
读书、写字、看书姿势要端正．一般人正常的阅读角度约为俯角（如图视线与水平线的夹角度． 在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼与书本的距离1尺；身体与桌子距离1拳；握笔时，手指离笔尖1寸．书本与课桌的角度要保持在30度至45度．
已知如图，桌面和水平面平行，与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线和书本所在平面所成角度不可能为以下哪个角度（　　）

A．74° B．78° C．84° D．88°
2．图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架、为固定支撑杆，灯体是，其中垂直地面于点，过点作射线与地面平行（即），已知两个支撑杆之间的夹角，灯体与支撑杆之间的夹角，则的度数为 ．

3．如图1是一盏可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架、为固定支撑杆，支架可绕点C旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直．

(1)如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向的夹角的度数；
(2)若将图2中的绕点顺时针旋转到如图3的位置，求此时与水平方向的夹角的度数．
4．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，求的度数．
5．如图，政府规划由西向东修一条公路．从A修至B后为了绕开村庄，改为沿南偏东25°方向修建BC段，在C处又改变方向修建CD段，测得∠BCD＝70°，在D处继续改变方向，朝与出发时相同的方向修至E．
（1）补全施工路线示意图，求∠CDE的度数；
（2）原计划在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连结DM和MN，求∠CDM与∠DMN的数量关系．
6．（1）若组成和的两条边互相平行，且是的2倍小，求的度数．
（2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点H，D，B在同一直线上，求的度数．
7．小刀，是我们生活中经常接触的工具，由刀片和刀柄组成。在刀柄ABCD中，∠A和∠B都是直角，在刀片EFGH中，EF∥GH．转动刀片时会形成∠1、∠2，试判断∠1与∠2的度数和是一个定值吗？若是，请求出∠1与∠2的度数和；若不是，请说明理由．
8．（1）如图1，在A、B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东，如果A、B两地同时开工，直接写出为多少度时，才能使公路准确接通？
（2）如图2，经测量，B处在A处的南偏西的方向，C处在A处的南偏东的方向，C处在B处的北偏东的方向，求的度数．

参考答案
【题型1 平行线中的单拐点问题】
1．A
【分析】过C作∥，得到∥，因此，，由垂直的定义得到，由邻补角的性质即可得到答案．
【详解】解：过C作∥，
∥，
，
，，
，
，
，
，
，

故选：A．
2．D
【分析】于交于，作，可得，从而可求，，即可求解．
【详解】解：如图，于交于，作，

因为，
所以，
所以，
，
所以
；
故选：D．
3．
【分析】过点F作，则，依据平行线的性质可证明，同理可证明，然后结合已知条件可得到问题的答案．
【详解】解：如图所示：过点F作．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
同理：．
∴
∵，
∴．
故答案为：．

4．
【分析】过点作，从而可得，再根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：如图，过点作，

，
，
，
，
，
，
，
则、、之间的等量关系为，
故答案为：．
5．（1）解：如图，
，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作，则，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
理由如下：
如图，过点作，则，
，
平分，
，
，
，
，
，，
，
，
．
6．（1）解：过点作．
∵，
∴（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴ （两直线平行内错角相等）
又∵
∴
∴．
故答案为：；；平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行内错角相等；．
（2）发生变化，应是．
证明：如图2，
过点作．
∵，
∴（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴
又∵
∴
∴．
即
（3）如图3，过点作，
∵，，
∴
∴
又∵
∴
∴．
即
如图4，过点作，
∵，
∴
∴
又∵
∴
∴．
即
7．（1）图①：；
如图，过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴
图②：；
如图，过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
图③：；
证明见小问2详解；
图④：；
如图，过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴
（2）以图③为例：如图，过点E作，
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴．
8．（1）解：过点M作，如图，

∵
∴，
∴，，
∴，即，
∵ ，，
∴；
（2）解：过点M作，如图2所示：

∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：∵、分别是和的平分线，
∴，，
过点P作，如图3所示：

∵，∴，
∴，，
∴
，
由第（2）得：，
∴，
∴，
∴．
9．解：（1）因为，
所以．
因为，，
所以，解得．
（2）如图，过点F作．
因为，
所以，
所以，，
所以．
因为，
所以．
（3）．理由如下：
因为，
所以，
即，
整理可得．
10．（1）①过点作平行于，过点作平行于

∵，
∴，，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
②∵与的角平分线相交于点，则______度；
∴，，
∴
故答案为：①，②；
（2）①
过点作平行于，过点作平行于

∵，
∴，，
∴，，，，
∴，，
即，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即；
②
同①可得，
∵，，
∴，
∴，即；
（3）∵与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点；……，以此类推，
∴，
∴由（2）得
∴．
11．（1）解：，
，
，
，
；
（2）如图，过点作，

，
，
，，，
平分，平分，
，，
，，
；
（3），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，是正整数，
存在符合要求的正整数和，分别为：
当时，，不符合题意，舍去；
当时， ，符合题意；
当时，，不是整数不符合题意，舍去；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
【题型2 平行线中两点或多拐点问题】
1．
【分析】作于，作于，则，设，则，，再根据角平分线的定义可得，设，则，然后根据平行线的性质可得，，，，从而可得，代入可求出的值，由此即可得．
【详解】解：如图，作于，作于，
则，
设，则，，
平分，
，
设，则，
，
，，
，
，，
，，
又，
，
解得，
则，
故答案为：．
2．（1）证明：如图，过点作，
∵，
∴，
，．
又，
∵，，
∴；
（2）解：．
理由如下：当在的上方时，如图，过作，
∵，
∴，
，，
，
．
当在线段上时，由（1）可得：；
当在的下方时，如图，过作，
∵，
∴，
，，
，
．
3．（1）作，，如图，且
∴
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS，
∵平分，平分，
∴，，
∵
∴
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
4．（1）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴ ，
∴，
∴．
（2）（Ⅰ）过E作，则，过F作，则，

∴，，，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（Ⅱ），理由如下：
同（Ⅰ）可得，，，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴，
即，
∴．
5．（1）证明：，，
，
.
（2）解：①平分，平分，
设，
过点H作，如图，

，
∵，
，
，

过点G作，
，
，，
，
.
，
，
解得： ，
.

②
过点H作，过点G作，过点N作，
设，，
由①得：
∴，
∴，
∴，
.
6．（1）证明：如图所示，过B点作，

∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过B点作，过F点作，

则，
∴，，
∵，是的角平分线，
∴，，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
即的度数为；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，，
∴，
∴．
故答案为：．
7．（1）解：，理由如下：
过点作，如下图：

则
∴，
又∵，
∴；
（2）解：①分别过点作，如下图：

则，
∴，，
又∵，
∴
∴；
②分别过点作，过点作，如下图：

则，
∴，，
∴，
由①可得：；
∵和的平分线交于点G，
∴，
∴
由题意可得：
；
∴；
8．（1）解：证明：过点O作，

∵，
∴,
∴,,
又∵，,
∴,,
∴．
（2）解：与相等，理由如下：
延长交于，如下图所示：

∵，∴，
∵，且，
∴，
又∵，
∴在四边形中，，
∵平分，∴,
∴．
（3）解：设，由于，则，
∴，
设，由于，则，
过点作，如下图所示：

∵，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，即，
又∵，则，解得，
∵，
∴，
综上，．
9．（1）如图，分别过点E，F作，，
，
，，
∵，
∴，
又，，
，
，
又，
，
∴；
（2）数量关系为，
证明：如图，分别过点E，F作，，
，
，，
又，，
，
，
又，
，
，，
，
；
（3）如图，过点F作，
由（2）知，，
设，则，
平分，GF平分，
，，
，
，，
∴，
．
10．（1）解：结论不成立，应该是，理由如下：
如图，过点A作，
，，
，
，，
；
（2）如图3，过点作，
，，，
，
与的角平分线相交于点，
，，
，，
，
，，
∴，
；
，
，
与的角平分线相交于点，
，，
，，
，
，，
；
（3）如图，过点作，过点A作，
与的角平分线相交于点，
，，
，，，
，
，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
11．解：（1）如图所示：过点作，
，
，
，
，
，
；
（2），理由如下：
如图所示：过点作，
，
，
，
，
，
，
；
（3），理由如下：
如图所示：过点作，
，
，
，
，
，
；
（4）如图所示：过点作，过点作，
，，
，
，
，，
，，
，，
的平分线和的平分线交于点，
， ，
，
．
【题型3 平行线中在生活上的拐点问题】
1．D
【分析】过作，由平行线的性质得，，由，可得，即可得到结论．
【详解】解：由题意得，，，

，
过作，
，
，
，
，
．
故选：D．
2．
【分析】过点作．先利用平行线的性质和垂直的定义、角的和差关系求出，再利用平行线的性质和角的和差关系求得结论．
【详解】解：过点作．
，
．
．
，
．
，
．
．
故答案为：．

3．（1）解：如图2，，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
即；
（2）如图3，过点作，过点作，

则，
，
，
，，
，
，
．
4．解：如图，过点作，
，
，
，，
．
，
．
．
．
5．解：（1）补全施工路线如图1所示．过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H，
则l∥m，
根据平行线的性质可得：∠BCG=25°，∠CDH=∠GCD=70°-∠BCG=70°-25°=45°，
又∠HDE=90°，
∴∠CDE=∠CDH+∠HDE=45°+90°=135°．
（2）如图所示，
设∠DMN=x，∠CDM=y，
由于DE∥FN，
∴∠EDM=180°-∠DMN=180°-x，
又∠CDM=y=∠CDE-∠EDM=135°-（180°-x）=x-45°，
则x-y=45°，
即∠DMN-∠CDM=45°．
6．解：（1）①当∠1=∠2时，
∵∠1=2∠2-15°，
∴∠1=2∠1-15°，
解得∠1=15°；
②当∠1+∠2=180°时，
∵∠1=2∠2-15°，
∴∠2+2∠2-15°=180°，
解得∠2=65°，
∴∠1=180°-∠2=115°；
（2）过D点作DI∥EF，
∵∠F=145°，
∴∠FDI=35°，
∴∠ADB=180°-90°-35°-25°=30°，
∴∠ABH=90°-30°=60°．
∵GH∥AB，
∴∠H=180°-60°=120°．
7．解：∠1与∠2的度数和是一个定值，∠1+∠2＝90°．
过点B作BP∥EF，
则∠1＝∠ABP．（两直线平行，内错角相等）
∵EF∥GH，
∴BP∥GH （平行于同一直线的两直线平行）
∴∠2＝∠PBC， （两直线平行，内错角相等）
∵∠ABP+∠PBC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
8．解：（1）如图1，
，
，
，
答：当时，才能使公路准确接通；
（2）如图2，由题意得，，，，
，
，，
，
即：．

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