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河北省宁晋县第二中学2024 2025学年高一下学期第一次月考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．如图，在中，D是BC上的点，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，则（ ）．
A． B． C． D．
3．在中，角所对的边分别是，已知，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
4．若三点，，在同一条直线上，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
5．在中，为的中点，点满足，则（ ）
A． B．
C． D．
6．海面上有相距的A，B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C岛和A岛成的视角，则B，C间的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．设、是非零向量，则“”是“为锐角”的（ ）条件.
A．充分必要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要
8．在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知向量，，下列命题中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论正确的是（ ）

A． B．
C． D．
11．中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，若，则实数m的值为 ．
13．，是平面内两个单位向量，它们的夹角为， .
14．已知是的重心，，，，则的大小为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量与的夹角为，且，求：
(1)；
(2)．
16．在△中，，，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的大小．
17．已知向量，．
(1)求的值；
(2)求；
(3)求向量在向量上的投影向量的坐标．
18．在中，内角、、所对的边分别为、、，且.
（1）求的大小；
（2）在锐角中，，求的取值范围.
19．如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行100海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上．
(1)求处与小岛之间的距离；
(2)求，两座小岛之间的距离．
参考答案
1．【答案】C
【详解】.
故选C.
2．【答案】C
【详解】由题意知，
，
所以，
故选C.
3．【答案】A
【详解】解:由余弦定理,
故代入边角互化得: ,整理得:
所以,故三角形为等腰三角形.
故选A
4．【答案】C
【详解】因为、、三点共线，所以，
又因为，，
所以，解得.
故选C.
5．【答案】A
【详解】为的中点，点满足，
，，
.
故选A.
6．【答案】D
【详解】由题意得，，则，
所以，所以，
即B，C间的距离为.
故选D.
7．【答案】C
【详解】当“为锐角”时，，所以“”是“为锐角”的必要条件；
当时，，所以“”是“为锐角”的不充分条件.
所以“”是“为锐角”的必要不充分条件.
故选C.
8．【答案】B
【详解】由余弦定理得，即，即，又，
，即，当且仅当时等号成立.
，
.
.
故选B.
9．【答案】AC
【详解】因为，所以不平行，B错误；
因为，所以，C正确；
因为，所以，
又，所以，A正确，D错误.
故选AC.
10．【答案】BC
【详解】对于A，根据正六边形性质知道方向相反，故A错误.
对于B, ,故B正确.
对于C，,故C正确.
对于D，,,
根据正六边形性质知道，且.
故.故D错误.
故选BC．
11．【答案】ABD
【详解】选项A，根据已知得到，再根据正弦定理即可得到三角形只有一解，故符合题意.选项，根据正弦定理得到，因为，所以只有一解.选项C，根据正弦定理得到，无解，不符合题意.选项D，根据正弦定理得到，，符合题意.
【详解】选项A，，，，又，
由正弦定理得：，只有一种情况，
此时三角形只有一解，故A符合题意.
选项B，，，，
由正弦定理：得：，
又，，只有一解，故B符合题意.
选项，，，，
由正弦定理得：，
无解，不符合题意.
选项D，，，；
由正弦定理：得，
此时 三角形只有一解，故D符合题意.
故选.
12．【答案】-2
【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，
解得：.
13．【答案】
【详解】由题意可得：
，
所以.
14．【答案】/
【详解】如图，
延长交于点，则为中线，
所以，延长到点，
使，有，连接，
易知，从而，
在和中，
由余弦定理，得，
，
所以，解得，
故，
在中，由余弦定理，得，
由，解得.
15．【答案】(1)
(2)12
【详解】（1）由已知得
（2）．
16．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【详解】（Ⅰ）因为，所以由正弦定理可得．因为，
所以．
（Ⅱ）由余弦定理 ．
因为三角形内角，所以．
17．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，，
所以.
（2）因为，，
所以，
所以.
（3）因为，所以，
所以向量在向量上的投影向量为.
18．【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）
，
，
，则，，由，可得：；
（2）在锐角中，，由（1）可得，，
由正弦定理可得，
，
由，可得，所以，
，可得：.
19．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题可知在中：，，
所以，
由正弦定理可得：，
所以（海里）．
（2）由题可知在中：，，所以．
所以（海里），
由余弦定理可得：
，
所以（海里），
由题意可知，在中，，
由余弦定理可得：
，
所以（海里）.

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