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河南省实验中学2024 2025学年高一下学期第一次月考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知向量，，，则（ ）
A．6 B．4 C．-6 D．-4
2．已知，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，满足，，，则向量与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知的内角A，，所对的边分别为，，，面积为，若，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形
7．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ）

A． B．
C．－1 D．－1
8．在中，角所对的边分别为，，若表示的面积，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则与同向的单位向量为
C．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
D．若，则的最小值为
10．已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则动点的轨迹经过的内心
B．若O为平面内任意一点，，则点为的重心
C．若为的垂心，，则
D．若为锐角的外心，且，则
11．如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（ ）
A．
B．向量与共线
C．
D．若，则最大值
三、填空题（本大题共3小题）
12．在中，已知，，，若存在两个这样的三角形，则的取值范围是 ．
13．在中，角所对的边分别为，且满足，若的中线，且，则的面积为 .
14．在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是 ．

四、解答题（本大题共5小题）
15．已知是同一平面内的三个向量，其中.
(1)若，且，求；
(2)若，且与垂直，求实数的值.
16．．已知中是直角，，点是的中点，为上一点．
（1）设，，当，请用来表示，.
（2）当时，判断是否垂直.若成立，给出证明，若不成立，说明理由.
17．设向量，，．
(1)求的单调递减区间；
(2)在锐角中，角所对的边分别为，若，，，求的面积
18．在中，内角的对边分别是，，．
(1)求角；
(2)若，求边上的角平分线长；
(3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围．
19．在中，角所对的边分别是，．
(1)求角B的大小；
(2)若，且边上的两条中线相交于点G，求的余弦值；
(3)若为锐角三角形，且，记的外心和垂心分别为，连接的直线与线段都相交，求证：线段的长度为．
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，，，所以，，
则．
故选C.
2．【答案】A
【详解】由题意，在上的投影向量为.
故选A
3．【答案】A
【详解】因为，，，
所以，
则

，
所以．
故选A.
4．【答案】A
【详解】因为在边上（不包含端点），不妨设，其中，
即，
所以，，
又因为，则，，其中、均为正数，
且有，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故则的最小值是.
故选A.
5．【答案】D
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选D

6．【答案】B
【详解】因为，所以，
因为，所以，所以，所以；
因为，所以，所以，所以，
所以，所以，
因为，所以，
所以，因为，所以，
所以，则是直角三角形，
故选B
7．【答案】C
【详解】在ABC中，由正弦定理得，
∴．
在ADC中，，
∴.
故选C
8．【答案】D
【详解】因为，
由正弦定理得，所以，
由余弦定理得，
所以，
令，则，当且仅当，即时取等号，
所以，
故选D.
9．【答案】BD
【详解】由，，
A选项：，
则，解得，则，，
所以不存在，使，即，不共线，A选项错误；
B选项：，则，解得，
即，，，
所以与同向的单位向量为，B选项正确；
C选项：时，，
又与的夹角为锐角，
则，解得，且，
即，C选项错误；
D选项：由，得，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，D选项正确；
故选BD.
10．【答案】BCD
【详解】对于A选项，设中点为，如图，
则，，
所以P点轨迹经过三角形的重心，故A不正确；
对于B选项，，
可得 ，即，所以点为的重心,故B正确；
对于C选项，因为，，又因为为的垂心，
所以，所以，故正确；
对于D选项，因为且，
所以，整理得：，即，
设为中点，则，所以三点共线，如图，
又因为，所以垂直平分，故，正确.
故选BCD.
11．【答案】ACD
【详解】对于A选项，由题意可知，，则，
因为为的中点，则，即，
所以，，
因为，则存在，使得，
因为、、三点共线，则存在，使得，
即，可得，
因为、不共线，所以，，解得，故，A对；
对于B选项，，
所以，、不共线，B错；
对于C选项，因为为的中点，则，
因为，则，
故，同理可得，
所以，，C对；
对于D选项，因为为线段上一个动点，则存在，使得，
所以，，
因为、不共线，则，，故，
因此，的最大值为，D对.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】由正弦定理，要使有两解，则，即，
所以，即的取值范围是.
法二：由正弦定理可得，
由题意可知：关于的方程：在有两解，
在同一坐标系内分别作出曲线，和水平直线，

因为它们有两个不同的交点，所以，所以.
13．【答案】
【详解】由，得，
即，因为，所以，
因为，所以，
由，两边平方，
所以，则.
14．【答案】或0
【详解】∵三点共线，
∴可设，
∵，
∴，即，
若且，则三点共线，
∴，即，
∵，∴，
∵,,，
∴，
设，，则，.
∴根据余弦定理可得，，
∵，
∴，解得，
∴的长度为.
当时， ，重合，此时的长度为，
当时，，重合，此时，不合题意，舍去.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，，
所以，，，
所以.
（2）因为，，
所以，，
又与垂直，所以，
即，则.
16．【答案】（1），；（2）不垂直，理由见解析.
【详解】解：（1），
因为，所以.
（2）与不垂直.证明如下：
由可得，，
，又因为，所以，
，
所以与不垂直.
17．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由题意得
，
令，解得，
所以的单调递增区间为.
（2）因为为锐角三角形，由得，
由可得，
所以，故，
在中，由正弦定理得，所以，
所以①，
由余弦定理得，得②，
由①②解得，
所以的面积为.
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）在中，由正弦定理及，
得
，
即，而，，
解得，又，所以.
（2）由及，余弦定理得，
又，解得，
由得，
即，则，所以.
（3）因为是的中点，所以，
则，
由正弦定理得，
即，
为锐角三角形， ，所以，所以，
所以，所以，
所以，
所以，即边上的中线的取值范围为．
19．【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由可得,故，
由于,故，所以,
由于,故
（2）由余弦定理可得，
解得（负值舍去），
因为即为向量与的夹角，
设，，
则，
因为，，
所以，，
故，，
所以，
故．
（3）先证明：设的外心为（三角形外接圆的圆心），以线段、为邻边作平行四边形，第四个顶点为，再以，为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为．若，则点为的垂心；
证明：由题意可知
则
因为为外心，所以
则，即
同理可得：
所以，点为的垂心得证，
因此由于为的垂心，为的外心，
故，其中，
设外接圆半径为，则,
,
由于，
故由于，故

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