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安徽省淮南市第二中学2024 2025学年高一下学期第一次教学检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．向量，，则 （ ）
A． B．0 C． D．1
2．非零向量，满足，若，则，的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
4．中，是的中点，在上，且，则的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．2
5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（ ）
A．3 B．
C． D．3
6．在中，若，且，那么一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
7．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(sinA-sinC)=sinB，a2=5c2+2accosB，且△ABC的面积为，则△ABC的周长为（　　）
A．6+2 B．4+ C．+4 D．3+2
8．在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法错误的是（ ）
A．点、，与向量共线的单位向量为
B．非零向量和满足，则与的夹角为
C．已知平面向量，，若向量与的夹角为锐角，则
D．向量，，则在上的投影向量的坐标为
10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有（ ）
A．若，则
B．在锐角中，不等式恒成立
C．在中，若，则必是等腰直角三角形
D．若且该三角形有两解，则b的取值范围是
11．如图，在平面直角坐标系xAy中，，，，则下列说法正确的有（ ）
A． B．四边形ABCD的面积为
C．外接圆的周长为 D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，，若，则 ．
13．已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为 .
14．已知的三个内角、、满足，则当的值最大时，的值为 ．
四、解答题（本大题共3小题）
15．在中，内角所对的边分别为．已知．
(1)求A的大小；
(2)若，求的面积．
16．某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时.
(1)求点到点的距离；
(2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间.
17．在中，内角，，所对的边分别是，，，且，.
（1）求角；
（2）若，求边上的角平分线长；
（3）求边上的中线的取值范围.
参考答案
1．【答案】D
【详解】由题可知，
∴.
故选D.
2．【答案】B
【详解】∵非零向量，满足，且，
设，的夹角为，
则，且，
所以.
∴.
∵，∴.
故选B．
3．【答案】B
【详解】∵，
∴由余弦定理，
则得，
∴解得：，或（舍去），
∴由正弦定理可得：．
故选B.
4．【答案】A
【详解】由是的中点得，所以，因为三点共线，所以，
所以，故的最小值为，
故选A.
5．【答案】C
【详解】因，，且，
所以，化为.
所以，解得.
所以.
故选C.
6．【答案】D
【详解】因为，则，
因为，则，所以，则，
又因为，，则，
则，即，
即，又因为，则，
所以，即.
即一定是等边三角形，故D正确.
故选D.
7．【答案】A
【详解】在△ABC中，由正弦定理及(sinA-sinC)=sinB得：(a-c)=b，
由余弦定理及a2=5c2+2accosB得：a2=5c2+，解得b=c，
因此有a=2c，从而得cosB==-，则有sinB＝，
于是得S△ABC，解得c=2，则a=4，b=2，
所以△ABC的周长为a+b+c=6+2.
故选A
8．【答案】A
【详解】以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，
所以，因为D为BC的中点，所以，
，设，所以，
所以，可得，，
所以，
因为，所以.
故选A.

9．【答案】AC
【详解】对于A，因为、，则，，
所以与向量共线的单位向量为，故A错误；
对于B，因为，所以，
则，化简得，
所以，即，
又，
所以，
因为，所以，故B正确；
对于C，因为，，
当时，，得，
经检验，当时，、同向共线，即此时、的夹角不为锐角，故C错误；
对于D，因为，，
所以在上的投影向量的坐标为，故D正确.
故选AC.
10．【答案】ABD
【详解】对于A，在中，，A正确；
对于B，锐角中，，则，
故，B正确；
对于C，在中，若，则，
即得，故或，
故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误；
对于D，有两解，如图示，
则，而，因此，D正确．
故选ABD.
11．【答案】BC
【详解】由题意可得，
所以，故A错误；
过点C作x轴的垂线，设垂足为点E，过点D作x轴的垂线，设垂足为点F，
，
则四边形的面积为
=，故B正确；
因，
在直角三角形中，易得，
设外接圆的半径为R，由正弦定理，，解得，
故外接圆的周长为，故C正确；
因，，
，故D错误.
故选BC．
12．【答案】
【详解】因为向量，，
所以，
又因为，所以
则．
故答案为：.
13．【答案】4
【详解】因为三点共线，所以存在实数k，使，即，
又向量不共线，所以，由，所以，
当且仅当时，取等号，即的最小值为4.
14．【答案】/
【详解】设的三个内角、、的对边分别为、、，
，
由余弦定理知，
因为，所以，所以，
由正、余弦函数在上的单调性可知要使最大，则最大，最小，
所以根据基本不等式得，
当且仅当，即时等号成立，此时．
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，结合正弦定理，
得，
即，
即，
即，
因为，所以，即．
（2）因为，所以．
利用正弦定理得．
而，
故的面积为．
16．【答案】(1)
(2)2小时
【详解】（1）由题意知海里，
，
，
在中，由正弦定理得，
，
（海里）.
（2）在中，，
（海里），由余弦定理得
，
（海里），则需要的时间（小时）．
答：救援船到达点需要2小时．
17．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）因为，
根据正弦定理，
即,
即，又，
所以，
因为，
所以.
（2）由及余弦定理得，
即，
又因为，所以，
所以，
所以，
即.
（3）因为E是AC的中点，所以，
则，
由正弦定理得，
，
即，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
即边上的中线的取值范围为.

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