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福建省安溪第八中学2024-2025学年高一下学期第一次质量检测数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．伊丽莎白塔俗称“大本钟”，是英国伦敦的标志性建筑．该钟的时针长约为2.8m，则经过，时针的针尖走过的路程约为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点是角终边上的一点，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知角终边经过点，则（ ）
A．8 B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知平面向量，则“”是“，共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7．在中，，分别是边，的中点，点满足，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列化简正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数的最小正周期为，则（ ）
A．
B．点是图象的一个对称中心
C．在上单调递减
D．将的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到的图象
11．正五角星与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，且为第二象限角，则 .
13．函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为 ．
14．如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一动点（含端点A，B）．若，则的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．（1）已知，在第二象限，求，的值；
（2）已知，求的值；
（3）已知，，求的值.
16．已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
17．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求图象的对称中心及单调增区间.
18．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知，是两个夹角为的单位向量，，．
(1)求；
(2)设，是否存在实数t，使得是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
19．已知，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)若方程在有两个根，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为时针每转一周，
故经过，时针的针尖转过的弧度数为，
走过的路程约为．
故选C.
2．【答案】A
【详解】根据三角函数的定义，可得.
故选A.
3．【答案】A
【详解】角终边经过点，故，，
所以.
故选A
4．【答案】D
【详解】因为，
所以.
故选D.
5．【答案】A
【详解】若则，共线，故充分性成立；
若，共线，不一定得到，
如，，显然满足，共线，
但是不存在实数使得，故必要性不成立；
所以“”是“，共线”的充分不必要条件.
故选A
6．【答案】D
【详解】由可得，
由于，可得，
解得，
由于，因此．
故选D
7．【答案】D
【详解】
，
故选D.
8．【答案】B
【详解】
，
当且仅当时取等.
故选B.
9．【答案】BD
【详解】对于A，易知，可得A错误；
对于B，易知，即B正确；
对于C，易知
，即可得C错误；
对于D，，可得D正确.
故选BD.
10．【答案】ABD
【详解】因为，
又的最小正周期为，所以，得到，所以选项A正确，
对于选项B，因为，由，得到，
所以的对称中心为，当时，对称中心为，所以选项B正确，
对于选项C，当时，，且
所以由图象与性质知，在上不单调，故选项C错误，
对于选项D，将的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到，所以选项D正确，
故选ABD.
11．【答案】AC
【详解】在正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且．
对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，
若，则，不合题意，D错误．
故选AC.
12．【答案】/
【详解】，且为第二象限角，,
又.
13．【答案】
【详解】由图象可知：，，所以.
由，且，可得.
所以.
14．【答案】
【详解】因为点C为的中点，，所以，，
所以
．
因为点M为线段AB上的一动点（含端点），所以，
所以，所以的取值范围是．
15．【答案】（1）（1）；（2）；（3）
【详解】（1）在第二象限，
，
.
（2）由，
所以.
（3）因为，且，解得或（舍去），
则.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以.
所以.
（2）
.
17．【答案】(1)；
(2)，.
【详解】（1）由图形可知，，得.
因为过点，所以，即，
所以.
.
所以函数的解析式；
（2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，
得到的图象，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，
得到的图象，
即，
由，得，
所以的对称中心为，
令，得，
所以的单调递增区间为.
18．【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）由题意可知：，
因为，
所以．
（2）因为，．
若是以AB为斜边的直角三角形，则，
即，
可得，
即，化简得，解得，
所以存在满足条件．
19．【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）函数，
由的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，得的最小正周期，解得，
所以函数的解析式为.
（2）由，解得，
所以函数的单调递减区间是.
（3）当时，，由，得，
则函数在上单调递增，函数值从增大到0，在上单调递减，函数值从0减小到，
当时，直线与函数的图象有两个交点，
即方程在有两个根，
所以的取值范围.

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