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北京市北京师范大学附属实验中学2024 2025学年高一下学期第二阶段测试数学试题
一、单选题
1．是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
2．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（ ）
A． B． C．2 D．4
3．已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离等于，则的图象的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
5．已知满足，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）

A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
7．已知，则“”是“是奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．在平面直角坐标系内，将点向左平移个单位长度，或向右平移个单位长度，所得的点均位于函数的图象C上．则下列结论
①可能为；
②可能为；
③；
④
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题
9．已知向量，，若，则 ．
10．函数的定义域为 .
11．已知向量，，使和的夹角为钝角的的一个取值为 .
12．若函数（）和的图象的对称轴完全重合，则 ， .
13．在长方形中，，，且，则 ， ．
14．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，P，Q分别为AB，AC上的点，满足，，其中．
（1）的值为 ；
（2）向量，的夹角的取值范围是 ．
三、解答题
15．已知平面直角坐标系内，角的终边经过点．
（1）求，及的值；
（2）求和的值．
16．已知函数的最小正周期为，且其图象经过点．
（1）求的解析式；
（2）求的零点；
（3）求的单调递增区间．
17．已知点，，满足．
（1）求m的值；
（2）设O为坐标原点，动点P满足，求当取最小值时点P的坐标．
18．已知函数．
（1）求的最小正周期和对称轴方程；
（2）求在上的最大值；
（3）若在上单调递减，在上单调递增，其中，且，求的值并讨论在上的值域．
19．对于分别定义在，上的函数，以及实数m，若存在，，使得，则称函数与具有关系．
（1）分别判断下列两组函数是否具有关系，直接写出结论；
①，；，；
②，；，；
（2）若与具有关系，求m的取值范围；
（3）已知，为定义在R上的奇函数，且满足：
①在上，当且仅当时，取得最大值1；
②对任意，有．
求证：与不具有关系．
参考答案
1．【答案】C
【详解】显然，所以是第三象限角.
故选C
2．【答案】A
【详解】观察图形知，，所以.
故选A
3．【答案】D
【详解】由，得，由，，得，即，
即，解得，于是，而，
所以.
故选D
4．【答案】A
【详解】由于，故方程等价于，即.
故的图象和直线的全部交点为，由于相邻两个交点间的距离等于，故，即.
所以，其图象的全部最值点满足，即.
所以的图象的全部对称轴为，取即知A正确.
而，故B，C，D错误.
故选A.
5．【答案】A
【详解】在中，，，则，
所以.
故选A
6．【答案】D
【详解】根据函数（其中，，）的部分图象，
可得，，解得，
再根据五点法作图可得，解得，故，
故将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，
经检验，其他选项都不正确.
故选D
7．【答案】C
【详解】若，则，
所以，且，
则，即，
当为奇数时，，为奇函数，
当为偶数时，，为奇函数，
故充分性满足；
若是奇函数，则，即，
即，故必要性也满足；
所以“”是“是奇函数”的充要条件.
故选C
8．【答案】A
【详解】由题意点向左平移个单位长度，所得点位于函数的图象C上，
可得，向右平移个单位长度，所得点位于函数的图象C上，可得，即，
可得,解得，
当时，，不可能为，故①正确，②不正确，
，当k为偶数时，函数值为，
当k为奇数时，函数值为，故③正确，④不正确，
故选A
9．【答案】
【详解】由，，，
可得，解之得
10．【答案】
【详解】试题分析：由 ，解得 ，所以定义域为
考点：本题考查定义域
点评：解决本题的关键熟练掌握正切函数的定义域
11．【答案】（答案不唯一）
【详解】由和的夹角为钝角，得且和不共线，则，
由，得，解得，
整理得，
当时，，，而，则，
因此当和的夹角为钝角时，且，
所以和的夹角为钝角的的一个取值为.
12．【答案】2 或1
【详解】依题意，，函数的周期为，
由函数和的图象对称轴完全重合，得的周期，所以；
函数，由，得，
函数中，由，得，
依题意，，
则当时，，
当为奇数时，，，
当为偶数时，，，所以或.
13．【答案】
【详解】
设，以B为原点建立如图所示平面直角坐标系，
则，
则，
由可得，解得，所以，
且，所以.
14．【答案】2
【详解】（1）
；
（2）由
又因为
所以，又因为
所以
15．【答案】（1）， ，；
（2），．
【详解】（1）角的终边经过点，所以，
；
（2）由，，
．
16．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）由函数的最小正周期为，可得
又函数的图象经过点，则，又，则
则的解析式为
（2）由，可得，解之得
则的零点为
（3）由，可得
则的单调递增区间为
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）解：因为，，，
所以，，
因为，所以，
即，即，
所以，解得；
（2）解：因为，，
所以，，
因为
所以
所以当时，此时，即；
18．【答案】（1）最小正周期，对称轴方程；
（2）3；
（3），值域见解析
【详解】（1），所以最小正周期，由得，对称轴方程为；
（2）由，得，所以当时，取得最大值，为3；
（3）由题， ，为的极小值点，
又，故，所以，即，
由，得，，即，当时，可解得，
i.当，即，此时在上的值域为，即；
ii. 当，即,此时在上的值域为，即
19．【答案】（1）①具有关系；②不具有关系
（2）
（3）证明见详解．
【详解】（1）①具有关系；②不具有关系．
（2），
所以，则；
（3）因为在上，当且仅当时，取得最大值1；
又为定义在R上的奇函数，故在上，当且仅当时，取得最小值，
由对任意，有v，所以关于点对称，
又，所以的周期为
故的值域为；，
当时，；时，
若，则，时有；
当时，；时，
若，则，时有；
由于，所以
故不存在，，使得，
所以与不具有关系．

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