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福建省泉州市泉港区第二中学2024 2025学年高一下学期第一次月考考试数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．设，为非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知角是第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，是单位向量，且，则为（ ）
A． B． C．3 D．5
4．已知等边三角形的边长是，、分别是、的中点，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量、满足，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．先把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴可以是（ ）
A． B． C． D．
7．已知角满足，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列选项说法错误的是（ ）
A．若，，均为非零向量，则
B．已知向量，满足，，则的取值范围是
C．已知非零向量，满足，则A，B，C，D四点构成一个梯形
D．若，则
10．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
11．对于函数，下列正确的有（ ）
A．是偶函数 B．在区间单调递增
C．是周期函数且最小正周期为 D．的图象关于直线对称
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，的模相等且夹角为，若向量与向量垂直，则实数 ．
13．已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为 .
14．函数在区间上的一个对称中心是，则的值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．（1）已知，求的值；
（2）若，求的值.
16．设是不共线的两个非零向量．
（1）若，求证：三点共线；
（2）若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时k的取值
17．已知函数
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（2）将函数的图象向左平移单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．
18．如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点．
（1）令，，用，表示；
（2）求线段的长．
19．已知函数（其中，，）的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点的坐标为.
（1）求函数的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数是偶函数，求的最小值.
（3）利用上一问的结果，若对任意的，恒有，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】B
【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立，
故得不到，
若，则，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选B.
2．【答案】A
【详解】因为角是第二象限角，所以，又，所以．
故选A.
3．【答案】B
【详解】因为向量，是单位向量，所以
由则，
所以，
故选B.
4．【答案】B
【详解】如下图所示：

因为等边三角形的边长是，、分别是、的中点，
则，
由得，可得，
由平面向量数量积的定义可得，
因此，
.
故选B.
5．【答案】C
【详解】设向量、的夹角为，因为，可得，
所以，在上的投影向量为.
故选C.
6．【答案】D
【详解】由题意可得：，
经过题中的一系列变换得到，
令，，解得：，，
对各项验证可得：当时，.
故选D.
7．【答案】A
【详解】法一：因为，所以，
整理得，所以，又，
则，
法二：，所以，
即①，又，，
解得或，
代入①式，得到，化简得，
故选A.
8．【答案】C
【详解】连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则，
即，所以，，
又因为，，则，
因为、、三点共线，设，则，
所以，，且、不共线，
所以，，，故，因此，.
故选C.
9．【答案】ACD
【详解】由题意，
选项A，
与共线，与共线，
∴不一定成立，
∴选项A错误；
选项B，
与的方向相同时，取得最小值3，
与的方向相反时，取得最大值5，
∴选项B正确；
选项C，
A，B，C，D四点共线时不能构成一个梯形，
∴选项C错误；
选项D，
，，方向不确定，
∴选项D错误，
故选ACD．
10．【答案】ACD
【详解】由图可知：的最小正周期，
当时，，所以；
对于A，，正确；
对于B，，错误；
对于C，将向右平移，得到，正确；
对于D，的大致图象如下：
欲使得在内方程有2个不相等的实数根，
则，正确；
故选ACD.
11．【答案】ABD
【详解】因为，所以是偶函数，故A正确；
当时，在区间单调递增，
且，根据正弦函数的单调性可知B正确；
因为，
所以是的一个周期，故C错误；
因为，
所以的图象关于直线对称，故D正确．
故选ABD.
12．【答案】2
【详解】由向量，的模相等且夹角为，得，
由向量与向量垂直，得，
而，所以.
13．【答案】
【详解】因在上的投影向量为，即，
则，又，则得，
所以，
又，故向量与向量的夹角为.
14．【答案】
【详解】由题意得，，
令，得，
当时，，，故的值为.
15．【答案】（1），（2）
【详解】（1）由可得故
故，
（2）由可得，故，
即，解得
16．【答案】（1）证明见解析
（2），
【详解】（1）由，
得，
，
所以，且有公共点B，
所以三点共线.
（2）由与共线，
则存在实数，使得，
即，
又是不共线的两个非零向量，因此，
解得，或，
实数k的值是.
当时，与反向共线
17．【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间为，；
（2）.
【详解】（1）由题设，，
所以的最小正周期为，
令，，解得，，
因此，函数的单调递减区间为，．
（2）由（1）知，，
将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图象，
∵，则，
∴，则．
∴在上的值域为．
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）∵，分别为，的中点，
∴；
（2）设，
∵，分别为，的中点，
所以，
因为三点共线，三点共线，
所以，解得，
即，
由已知与平行且相等，因此是平行四边形，
所以，是等边三角形，
所以．
19．【答案】（1）,图象如图所示
（2）
（3）
【详解】（1）设函数的最小正周期为，由题意，，
且，解得，则，即有，
将点代入，化简可得，则，
即，因，故得，即.
取函数在一个周期上的五点列表如下：
0 2 0 0
在直角坐标系中作图如下：
（2）依题意，是偶函数，
故，解得，即，
因，则得，则时，取得最小值为 .
（3）由（2）分析可得，因，则，
结合余弦函数的图象性质可得，故得，
因对任意的，恒有成立，故得，
解得或，即的取值范围为.

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