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广东省惠州市华南师范大学附属惠阳学校2024 2025学年高一下学期第一次月考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，若与共线，则实数（ ）
A． B． C．1 D．2
3．已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．在△ABC中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
6．已知在直角中，角所对边分别为，若且满足，，且点在上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”.1735年，他提出公式：复数是虚数单位.已知复数，设，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
8．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知复数，，则（ ）
A．的虚部为1 B．为纯虚数
C． D．在复平面内对应的点位于第一象限
10．在中，角， ，的对边分别为，，，若，且，则不可能为（ ）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
11．如图，某旅游部门计划在湖中心处建一游览亭，打造一条三角形游览路线．已知是湖岸上的两条甬路，（观光亭视为一点，游览路线、甬路的宽度忽略不计），则（ ）
A．
B．当时，
C．面积的最大值为
D．游览路线最长为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量和向量的夹角为30°，，，则 ．
13．已知是虚数单位，复数，则|z|＝ ．
14．在中，，，则的值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．设，是两个不共线的向量，已知，，．
(1)求证：，，三点共线；
(2)若，且，求实数的值．
16．已知，.
(1)求；
(2)求向量在向量上的投影向量的模．
17．△ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，已知，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，求△ABC的周长的值.
18．养殖户承包一片靠岸水域，如图所示，，为直线岸线，千米，千米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点P按线段和修建养殖网箱，已知．
(1)求岸线上点A与点B之间的直线距离；
(2)如果线段上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得4万元的经济收益．记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？
19．对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量，特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关.
(1)判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由.
①，；
②，，；
(2)已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由.
(3)已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明：
①如果存在等式，则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式，同时成立，其中，则.
参考答案
1．【答案】D
【详解】.
故选D.
2．【答案】C
【详解】已知向量,,所以，
因为与共线，所以，解得：.
故选C.
3．【答案】A
【详解】在中，取为基底，
因为点分别为的中点，，
所以，
所以.
故选A.
4．【答案】A
【详解】由可得，故，所以.
由可得，故，而方向不一定相同，故.不能得到.
综上得，“”是“”的充分不必要条件.
故选A.
5．【答案】C
【详解】由题可知，，,
所以有，所以，得.
故选C.
6．【答案】B
【详解】由题意可作图如下：
由，则
由，则，
解得，
易知，则，
即，
.
故选B.
7．【答案】B
【详解】，，
，
依题意，，当时，，B正确，ACD错误.
故选B
8．【答案】A
【详解】由，得①，
由，得②，
由②-①，得，
由，得，所以，则，
设与的夹角为，则，因为，所以.
故选A.
9．【答案】BCD
【详解】，虚部为2，A错；
，是纯虚数，B正确；
，C正确；
，对应点坐标为，在第一象限，D正确，
故选BCD．
10．【答案】BCD
【详解】由余弦定理求出，然后可得角，然后可选出答案.
【详解】由余弦定理，所以，又，所以，
故为等腰直角三角形.
故选BCD.
11．【答案】ACD
【详解】在中，由余弦定理得，
所以正确；
在中，由正弦定理，
得错误；
在中，由余弦定理，
，
当且仅当时等号成立，所以，
则的面积为，C正确；
由上可得，
所以，
当且仅当时等号成立，所以，D正确.
故选ACD.
12．【答案】3
【详解】解：量和向量的夹角为，，，
又，.
13．【答案】
【详解】根据的周期性（周期为），
即，，，，
所以有,
可知,.
14．【答案】
【详解】在中，，
可得
即
由余弦定理可知，可得，
由正弦定理可知，
因为，
所以.
15．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由已知，得．
因为，所以.
又与有公共点，所以，，三点共线．
（2）由（1），知，若，
且，可设（），
所以，即．
又，是两个不共线的向量，所以，解得．
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，得，而，
则，解得，
所以.
（2）由（1）知，，
向量在向量上的投影向量为，
所以向量在向量上的投影向量的模为.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，即，
所以，
因为，所以
（2）因为，所以，即，所以，
由（1）知，所以
又，所以，解得，
所以△ABC的周长为，
所以△ABC的周长为.
18．【答案】(1)千米
(2)万元.
【详解】（1）在中，由余弦定理得，
即岸线上点与点之间的直线距离为千米；
（2）在中， ，
则，，
设两段网箱获得的经济总收益为万元，则
，
因为，所以，所以，
所以两段网箱获得的经济总收益最高接近万元．
19．【答案】(1)①线性无关；②线性相关；理由见解析
(2)向量，，线性无关；理由见解析
(3)①证明见解析；②证明见解析
【详解】（1）对于①，设，
则可得，所以，线性无关；
对于②设，
则可得，所以，，
可取不全为零，故，线线性相关；
（2）设，
则，
因为向量，，线性无关，
所以，，，
解得，
所以向量，，线性无关；
（3）①，
如果某个，，2，……，m，
则，
因为任意个都线性无关，
所以，，……，，，……，都等于0，
所以这些系数，，……，或者全为零，或者全不为零，
②因为，所以，，……，全不为零，
所以由，
可得，
代入，可得，
所以，
所以，……，，
所以

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