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河北承德市双滦区实验中学
2024—2025学年第二学期高一数学4月份月考试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.，若，则（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
2.在中，已知，判断的形状（ ）
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
3.是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为（ ）
A. 3 B. C. D. 2
4.为了得到函数的图象．只需把函数的图象上所有的点（）
A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度
C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度
5.已知，则（）
A. B. C. D.
6.的值是（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数在区间上至少有3个零点，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
8.若，，且，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）
A.
B. 函数的图象关于对称
C. 函数在上的值域为
D. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位
10.下列选项正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若．且，则
C.
D.
11.在等腰直角三角形中，，，则下列命题正确的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共3小题，共15分
12.的内角的对边分别为，若，且的面积为，则的最小值为______.
13.函数的图象关于中心对称，那么的最小值为______.
14.函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则函数的解析式为_________.
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. （本题13分）已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）设.
①求函数的单调递增区间；
②当时，求不等式的解集.
16.（本题15分）已知函数．
（1）求函数的单调增区间；
（2）求函数的对称轴方程和对称中心；
（3）当时，求的值域．
17.（本题15分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求B；
（2）若的面积等于，求的周长的最小值．
18.（本题17分）在中，角所对边分别为，且.
（1）求角的大小;
（2）若.
（i）求的值;
（ii）求的值.
19.（本题17分）已知向量，且与的夹角为，.
（1）求证：
（2）若，求的值；
（3）若与的夹角为，求的值．
参考答案：
1.【答案】A
【解析】：先计算的坐标，， ，
则.
因为，，根据两向量平行的坐标关系，
若，平行，则，
所以，即，解得.
2.【答案】D
【解析】由正弦定理(为外接圆的半径)，得，,则由，得，即，即，
所以.因为,是三角形内角，所以，即，所以为等腰三角形.对应选项D.
3.【答案】A
【解析】已知，，根据向量减法，
可得.因为，，三点共线，所以与共线.
又已知，且，不共线.对于两个非零向量，（，不共线），若与共线，则.那么对于与，有，由此解得.
4.【答案】C
【解析】，令有,
所以为了得到函数的图象,只需把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度即可．
5.【答案】D
【解析】由cos2＝2cos2－1有.
6.【答案】A
【解析】因为，根据诱导公式，所以，又由于，根据诱导公式， .故.对应选项A.
7.【答案】C
【解析】因为，所以t＝(ωx+∈，则y=cost在上至少有3个零点，
故，解得，则的取值范围是.
8.【答案】C
【解析】因为，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，因为，
所以.
因为，，所以，
由得到.
9.【答案】ACD
【解析】y＝sinx的每个单调区间的长度为,平衡点与相邻极值点的长度为,由图象可知，，，所以.
又y＝sinωx的周期，则.
函数图象最高点为，由五点作图法知，最高点为五点中的第二个点,则
，故，满足，A选项正确.
由A可得，而，
则直线不是函数的对称轴，选项B错误;
当时，t=，sint∈,2sint∈[－,],
所以函数在上的值域为[－,]，选项C正确;
将函数的图象上所有点向左平移个单位后的函数表达式为
，而选项D正确.
10.【答案】ABD
【解析】对选项A，分子分母同除以得，即，解得，故A正确；
对选项B，因为，且，，
所以，
因为，所以，则.故B正确；
对选项C，根据正弦的二倍角公式，得，所以，故C错误；
对选项D，因为，则，即.所以，故D正确.
11.【答案】AD
【解析】等腰直角中，,所以A正确；
选项B：由A可知，所以，所以B不正确；
选项C：由A可知，所以，
所以，所以C不正确；
选项D：由，
所以，所以D正确.
故选：AD.
12.【答案】
【解析】由可得，
即；
据余弦定理得，
所以，由于，
故，
由于，故，因此，故，
，
又
又由题知，
故，
所以，
同理可得，
故，
将代入可得，
化简得，令，则
将其代入，化简可得，
因为在三角形中一定有解
则，解得，或，（与矛盾舍去）
故最小值为.
13.【答案】
【解析】代入，所以
所以，
故当时，取最小值.
14.【答案】
【解析】如图所示.
区域①和区域③面积相等，故阴影部分的面积即为矩形的面积，
可得，设函数的最小正周期为，则，
由题意可得，解得，故，可得，
即，
又的图象过点，即，
因为，所以，解得.
故.
15.【答案】解：（1），
所以最小正周期为；
（2）因为，
①单调递增区间为，，
所以
所以的单调递增区间为，.
②，，
，所以或，
得或，
所以不等式的解集是.
16.【答案】解：（1）由，得，即，所以函数的单调增区间是.
（2）由，得，，所以函数的对称轴方程为，；
由，解得，，
因为，
所以函数对称中心为，.
（3）由，可得，
所以，则，则，即，所以的值域为.
17.【答案】（1）已由正弦定理（为外接圆半径），可得，. 将其代入,得：.
因为，所以，等式两边同时除以，得到.
变形为，所以.
因为，所以，则，
解得.
(2)已知，得.
由余弦定理，，，可得.
根据基本不等式（当且仅当时取等号），
所以，则，当且仅当时，等号成立.
那么的周长，
的周长的最小值为.
18.【答案】解：（1）由得，，由余弦定理可得，
，
又.
（2）（i）及正弦定理，可得，则，
因为，由可得为锐角，
所以.
（ii），，
又因为，
所以.
19.【答案】（1）证明：因为与的夹角为，
所以.
所以.
（2）由题意可知，
，
因为，所以，即，可化为，解得或,
所以的值为或.
（3）由（2）知， ，
，
因为与的夹角为，
所以，即，且，
于是有，即，解得或（舍）,
所以的值为.

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