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河北承德市第一中学
2024—2025学年第二学期高一数学4月份月考试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知向量，，且，则的值为（ ）
A. -6 B. 6 C. D.
2.观察下面的几何体，哪些是棱柱( )
A. (1)(3)(5) B. (1)(2)(3)(5) C. (1)(3)(5)(6) D. (3)(4)(6)(7)
3.已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
4.用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知平面向量，，，满足，且，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
6.关于x的方程有一根为1，则一定是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
7.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法不正确的是(　　)
A. 棱台的两个底面相似 B. 棱台的侧棱长都相等
C. 棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台 D. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
10.在等腰直角三角形中，，，则下列命题正确的是（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 的图象关于点对称
C. 将函数的图象向右平移个个单位得到函数的图象
D. 若方程在上有且只有一个实数根，则m的取值范围是
三、填空题（本大题共3小题，共15分
12.若，则______．
13.已知的内角所对的边分别为a、b、c，，为边上一点，满足，且．则的最小值为______．
14.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到达处时测得公路右侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度______．
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本题13分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求
（2）若，的面积为，求a的值.
16.（本题15分）已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）若，求的值；
（3）将函数图象上所有点向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有两个零点，求的取值范围．
17.（本题15分）已知.
（1）求的单调递增区间；
（2）若，，求满足不等式的x的取值范围.
18.（本题17分）已知向量，且与的夹角为，.
（1）求证：
（2）若，求的值；
（3）若与的夹角为，求的值．
19.（本题17分）如图，在平行四边形中，，垂足为P，E为中点，
（1）若·=32，求的长；
（2）设||＝，||＝，＝－，＝x＋y，求的值．
参考答案：
1.【答案】A
【解析】由题意得，解得,
2.【答案】A
【解析】根据棱柱的结构特征：一对平行的平面且侧棱相互平行的几何体，所以棱柱有(1)(3)(5).
3.【答案】D
【解析】由，则，所以.
又，由，得，则.而
.对应选项为D.
4.【答案】D
【解析】用弧度制可表示为，
选项A, ,与不同，所以A不符合.
选项B, ,与不同，所以B不符合.
选项C, ,与不同，所以C不符合.
选项D, ,符合该选项的形式.
5.【答案】C
【解析】因为，，
则，即，得，可得，
，又，
，
则，所以的最大值为.对应选项C.
6.【答案】A
【解析】因为1是的根，
所以，
又，
所以有，，
整理可得，，即.
因为，，，所以.
则由可得，，所以.所以一定是等腰三角形.
7.【答案】D
【解析】对于指数函数，因为底数，所以在上单调递增. 则. 对于对数函数，底数，在上单调递增，所以. 对于余弦函数，在区间上单调递减，所以，且. 综上，.
8.【答案】C
【解析】，，，
又，，
，，
，，
又因为；
则.
9.【答案】BCD
【解析】由棱台是用平行于底面的平面截棱锥而得，知A正确，B，C不正确；棱柱的侧棱都相等且互相平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，D不正确.
10.【答案】AD
【解析】等腰直角中，,所以A正确；
选项B：由A可知，所以，所以B不正确；
选项C：由A可知，所以，
所以，所以C不正确；
选项D：由，
所以，所以D正确.
11.【答案】AC
【解析】由函数图象可得，函数的周期满足，则，故，解得，所以.又函数过点，即，则，
所以，，即，，又，所以，
所以.由前面计算已求得故A正确；
对于B：若函数的图象关于点对称，则.
计算，
所以的图象不关于点对称，故B错误；
对于C：将函数的图象向右平移个单位得到：
，故C正确；
对于D：当时，，
令，则，.
当时， 在上单调递增，在上单调递减.，，.因为的图象与有且只有一个实数根，所以的取值范围是，故D错误.
12.【答案】
【解析】由，得，，所以.
13.【答案】9
【解析】因为，所以平分．
又因为，所以在中由，则，
化简得，即，所以．
因为，故，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9．
故答案为9．
14.【答案】
【解析】由题意得，
故，
故中，由正弦定理得，
即，解得，
又在点测得山顶的仰角为，故，
故.
15.【答案】解：（1）在中由余弦定理可知，
所以，
所以．
（2）因为
所以，
在中，
所以，
所以，．
因为，
由的面积为得，
所以．
由正弦定理得，，
所以，故.
16.【答案】解：（1）因为
，
所以最小正周期.
（2）因为，所以，即，又因为，所以
.
（3）将函数图象上所有点向右平移个单位长度得到，
再把所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到，所以，
因为函数在上有两个零点，所以在有两根，
即与函数图象在上有两个交点，
因为，所以，
则当时，
令，解得，所以在上单调递增，
令，解得，所以在上单调递减，
又当时，，当时，，图象要有两个交点，则，解得，
故函数在上有两个零点，实数的取值范围为
17.【答案】解：（1）
=
=，
令，解得
所以单调递增区间为，.
（2）由（1）可得，
令，则，所以,
所以不等式为，得，即,
由，解得，所以解集为.
18.【答案】（1）证明：因为与的夹角为，
所以.
所以.
（2）由题意可知，
，
因为，所以，即，可化为，解得或,
所以的值为或.
（3）由（2）知， ，
，
因为与的夹角为，
所以，即，且，
于是有，即，解得或（舍）,
所以的值为.
19.【答案】解：（1）,∴是在方向上的投影向量,
∴·＝,即；
法二：，∴·||·||||·||，
即；
（2）在中，＝，
所以，
＝＝，
因为，所以，,
以P为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，建系如图:
易知因为E为中点，
所以，
，，,
∵＝x＋y,∴,
，解得：，所以：.
法二：
在中，＝，
所以，
＝＝，
因为，所以，,
因为，所以，
又∵,
由平面向量基本定理得：
，解得：，所以：.

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