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湖北省武汉市2025年中考数学核心考点练习卷（一）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列几种著名的数学曲线分别是“笛卡尔爱心曲线”“费马螺线”“卡西尼卵形线”“蝴蝶曲线”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程的根是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，若，则（　　）
A． B． C． D．
4．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若点与点关于原点成中心对称，则的值是（ ）
A． B． C．5 D．9
6．下列成语描述的事件是随机事件的是（ ）
A．水中捞月 B．日出东方 C．守株待兔 D．画饼充饥
7．以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，将正方形沿（点E在边上）所在直线折叠后，点D的对应点为点，比大，若设，，则下列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．若点A（﹣3，），B（1，），C（m，）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且＜＜，则m的取值范围是（　　）
A．﹣3＜m＜1 B．﹣5＜m＜﹣1或﹣3＜m＜1
C．m＜﹣3或m＞1 D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1
二、填空题
11．中国的陆地面积约为9 600 000km2，把9 600 000用科学记数法表示为 ．
12．若分式的值为零，则的值为 ．
13．“学雷锋”活动月中，学校组织学生开展志愿者劳动服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是 ．
14．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为 ．
15．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将线段绕原点О顺时针旋转，点A的对应点的横坐标是 ．
三、解答题
16．先化简，再求值：．其中．
17．如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．求证：．
18．综合与实践：小星学习了解直角三角形的知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线）．
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，在同一平面内，测得，，折射角．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，求B，D之间的距离．（结果精确到）
（参考数据：，，）
19．三月是文明礼貌月，我市某校以“知文明礼仪，做文明少年”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了文明礼仪知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于分（满分分）．
【收集数据】随机从七、八年级各抽取名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）．
【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用x表示成绩，分成五组：A．，B．，C．，D．，E.）．
①八年级学生成绩在D组的具体数据是：，，，，，，．
②将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）：

【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级
八年级 m
根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次抽取八年级学生的样本容量是______；
(2)频数分布直方图中，C组的频数是_______；
(3)本次抽取八年级学生成绩的中位数_______；
(4)分析两个年级样本数据的对比表，你认为______年级的学生测试成绩较整齐（填“七”或“八”）；
(5)若八年级有名学生参加了此次测试，估计此次参加测试的学生中，该年级成绩不低于分的学生有______人．
20．如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接．

(1)求证：为的切线；
(2)若且，求的半径．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与x轴相交于点C，连接．

(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)当时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式的解集；
(3)过点B作平行于x轴，交于点D，求梯形的面积．
22．某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系．
(1)请直接写出y与x的函数关系式；
(2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
23．
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．
(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．
①求的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
24．如图，在平面直角坐标系中，拋物线的顶点为，交轴于点，点是拋物线上一点．

(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标．
(2)当时，求二次函数的最大值与最小值的差．
(3)若点是轴上方抛物线上的点（不与点重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点，当线段的长随的增大而增大时，请直接写出的取值范围．
《湖北省武汉市2025年中考数学核心考点练习卷（一）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B D A C A A A D
1．C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此进行判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选C．
2．A
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，掌握求解的方法是解题的关键；
原方程变形后，利用因式分解法求解即可．
【详解】解：方程可变形为：，
即为，
∴或，
∴．
故选：C．
3．B
【分析】根据同角的余角相等即可得到，再利用角的和差即可得到的度数．此题考查了余角的性质、角的和差等知识，熟练掌握同角的余角相等是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
由角的和差，得；
故选：B．
4．D
【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，求出不等式的解集，根据在数轴上表示不等式解集的方法解答即可．
【详解】解：，
，
，
∴，
所以，不等式的解集在数轴上表示为：
．
故选：D．
5．A
【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，根据两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标互为相反数，进而得出答案．
【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称，
∴，，
解得，，
∴．
故选：A．
6．C
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．
【详解】解：A．水中捞月，是不可能事件，故该选项不符合题意；
B．日出东方，是必然事件，故该选项不符合题意；
C．守株待兔，是随机事件，故该选项符合题意；
D．画饼充饥，是不可能事件，故该选项不符合题意；
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点分别作轴的垂线，，继而得到，即可求解坐标．
【详解】解：过点分别作轴的垂线，垂足为点，则
∵，
∴
由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在第二象限，
∴
故选：A．
8．A
【分析】本题可先由二次函数y=ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=ax+b的图象相比较看是否一致．
【详解】A、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．
故选A．
9．A
【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后，对应角相等，涉及了二元一次方程组的应用，根据题意得是解题关键．
【详解】解：由折叠的性质可知：，
∵比大，
∴
∵，
∴
故选：A
10．D
【分析】根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为x＝﹣2，分a＜0和a＞0两种情况讨论，分别根据图像上点的坐标特征得到关于m的不等式，然后解不等式即可解答．
【详解】解：抛物线y＝ax2+4ax+c的对称轴为x＝﹣＝﹣2，
∵点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且y1＜y3＜y2，
∴当a＜0，则|m+2|＜1且|m+2|＞3，（不存在）；
当a＞0，则1＜|m+2|＜3，解得﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、解一元一次不等式组，解题的关键是根据二次函数的性质找出关于m的一元一次不等式．
11．9.6×106
【详解】将9600000用科学记数法表示为9.6×106．
故答案为9.6×106．
【点睛】本题考查了科学记数法，解决此题的关键是正确算出n的值．
12．
【分析】根据且，计算即可．
本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分子为零，且分母不为零是解题的关键．
【详解】解：分式的值为0，
故且，
解得，
故答案为：．
13．
【分析】画树状图（用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场馆的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：（用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）

共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3，
所以两人恰好选择同一场馆的概率，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
14．
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，设规定时间为x天，则快马的时间为天，慢马的时间为天，再根据快马的速度是慢马的2倍列出方程即可．
【详解】解：由题意得，，
故答案为：．
15．/
【分析】记点A的对应点为点B，取中点为点C，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，过点B作x轴的垂线交y轴的垂线于点E，连接，可求得，通过矩形和即可求解．
【详解】解：记点A的对应点为点B，取中点为点C，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，过点B作x轴的垂线交y轴的垂线于点E，连接，
∴，
∵
∴四边形是矩形，
∴，
∵点C为中点，，
∴，
由题意得，
∴为等边三角形，
∵点C为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A的横坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，矩形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键．
16．，
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
=
=
=
=
当时，原式=．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则和计算方法．
17．见解析
【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，掌握该知识点是解题的关键．由“到线段两端点距离相等的点在该线段垂直平分线上”，可判断是的垂直平分线，即可解得．
【详解】证明：∵，，
∴点A、C在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线，
∴．
18．B，D之间的距离．
【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质等知识，根据等腰直角三角形的性质得到，由题意可得：，根据解直角三角形求出的长，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：在中，，
∴，
∴，
由题意可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
答：B，D之间的距离．
19．(1)
(2)
(3)
(4)八
(5)该年级成绩不低于分的学生约有人；
【分析】（1）根据样本容量是抽取的个数求解即可得到答案；
（2）利用总数减去其它频数即可得到答案；
（3）找到最中间两个数求平均即可得到答案；
（4）根据方差越大波动越大，方差越小波动越小即可得到答案；
（5）利用总人数乘以符合的频率即可得到答案；
【详解】（1）解：∵随机从七、八年级各抽取名学生的测试成绩，进行整理和分析，
∴本次抽取八年级学生的样本容量是，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴C组的频数是；
（3）解：∵，，
∴中位数落在D组上，
∴ ，两个数是：，，
∴中位数是：；
（4）解：∵，
∴八年级的学生测试成绩较整齐；
（5）解：由题意可得，
（人），
答：该年级成绩不低于分的学生约有人；
【点睛】本题考查中位数，方差，样本容量，利用频率估算，解题的关键是熟练掌握几个定义．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键．
（1）连接，根据等边对等角结合对顶角相等即可推出结论；
（2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵是半径，
∴为的切线；
（2）解：由（1）得，
设的半径，则，
∴，，
在中，由勾股定理得，，
，
解得，或舍去，
∴的半径为．
21．(1)反比例函数为：，一次函数为．
(2)
(3)9
【分析】（1）利用可得反比例函数为，再求解，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合可得答案；
（3）求解的解析式为：，结合过点B作平行于x轴，交于点D，，可得，，由为，可得，，再利用梯形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数过，
∴，
∴反比例函数为：，
把代入可得：，
∴，
∴，解得：，
∴一次函数为．
（2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合可得
不等式的解集为：．
（3）∵，同理可得的解析式为：，
∵过点B作平行于x轴，交于点D，，
∴，
∴，即，
∴，
∵为，
当，则，即，
∴，
∴梯形的面积为：．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，利用图象解不等式，坐标与图形面积，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
22．(1)
(2)6元
(3)当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元
【分析】（1）根据题意可得，该函数经过点，y与x的函数关系式为，将代入，求出k和b的值，即可得出y与x的函数关系式；
（2）根据总利润=每千克利润×销售量，列出方程求解即可；
（3）设利润为w，根据总利润=每千克利润×销售量，列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质， 即可解答．
【详解】（1）解∶ 根据题意可得，该函数经过点，
设y与x的函数关系式为，
将代入得：
，解得：，
∴y与x的函数关系式为，
（2）解；根据题意可得：，
∴，
整理得：，
解得：，
∵售价不低于成本价且不超过每千克7元，
∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元；
（3）解：设利润为w，
，
∵，函数开口向下，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w有最大值，此时，
∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数关系式，熟练掌握二次函数的性质．
23．(1)见解析
(2)
(3)①；②
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；
（2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果；
（3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；
②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果．
【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
；
（3）解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
；
②由①得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
24．(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）先运用待定系数法求得函数解析式，然后再运用配方法求得出顶点M的坐标即可；
（2）先根据该二次函数的性质求得其在上的最大值和最小值，然后作差即可解答；
（3）先求出直线的表达式为，设点（且），则点．然后分点在点的下方和上方两种情况解答即可．
【详解】（1）解：∵点是拋物线上的点，
∴解得：
∴抛物线的表达式为．
∵，
∴拋物线顶点的坐标为．
（2）解：∵抛物线顶点的坐标为，
∴当时，随的增大而减小．
∴当时，在处，取得最大值；
在处，取得最小值．
∴当时，二次函数的最大值与最小值的差为．
（3）解：设直线的表达式为，
∵点，
解得：
直线的表达式为，
设点（且），则点．
当点在点的下方，即时，，
∴时，线段的长随的增大而增大；
当点在点的上方时，，
∴当时，线段的长随的增大而增大．
综上所述，当线段的长随的增大而增大时，的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数的最值、二次函数增减性等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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