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广东市广州市期末冲刺练习卷-2024-2025学年数学七年级下册
一、单选题
1．代数式有意义时，x应满足的条件为（　　）
A． B． C． D．
2．为了了解我市八年级学生每天用于学习的时间，对其中500名学生进行了随机调查，则下列说法错误的是（ ）
A．总体是我市八年级学生每天用于学习的时间的全体
B．其中500名学生是总体的一个样本
C．样本容量是500
D．个体是我市八年级学生中每名学生每天用于学习的时间
3．如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．若成立，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列几组解中，二元一次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
6．已知点在平面直角坐标系的第三象限内，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将向右平移得到，已知，，则的长为（ ）

A．8 B．3 C．4 D．5
8．《九章算术》中的“盈不足”一章有一道题，原文是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何．”意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3解（斛，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？　设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，则可列方程组（ ）
A． B． C． D．
9．如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③，④，其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点，…，按这样的运动规律，第2023次运动后，动点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．计算：＝
12．某市为了解970万市民的出行情况，科学规划轨道交通，400名调查者走入1万户家庭发放了调查问卷，并对收回的3万份问卷进行了调查登记．该调查中的样本容量是 ．
13．若是关于的一元一次不等式，则的值为 ．
14．如图交于点，则
15．已知关于x，y的二元一次方程，不论取何值时，方程总有一组固定不变的解，这组解为 ．
16．如图所示，已知，，，，，…，则的坐标为 ．
三、解答题
17．计算：
18．解方程组
19．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
20．如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别是，，，将先向下平移5个单位长度，然后向右平移6个单位长度，再作关于轴对称的图形，得到．
（1）写出点的坐标；
（2）在平面直角坐标系中画出；
（3）求的面积．
21．为了提高学生的计算能力，某校开展了一次“数学速算”比赛，现随机抽取了部分学生的比赛结果作为样本进行整理，分成了A，B，C，D，E五个等级，绘制成如图所示的统计图（不完整）．
请根据图中提供的信息，完成下列问题：
（1）样本中计算能力为D等级的有多少人？并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“B组”所对应的圆心角是多少度？
（3）已知该校共有1200名学生，请你估计D等级的学生大约有多少人．
22．如图，点，在上，点，分别在，上，且，．

(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
23．学校要购买，两种型号的足球，若买2个型足球和3个型足球，则要花费600元，若买1个型足球和4个型足球，则要花费550元．
（1）求，两种型号足球的销售单价各是多少元？
（2）学校拟购买，两种型号的足球共20个，某体育用品商店有两种优惠活动：活动一，一律打九折；活动二，购物不超过1500元不优惠，超过1500元的超出部分打七折．通过计算说明型号足球最多购买几个时，选择活动一更划算．
24．如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，4），C是第一象限内一点，且BC∥x轴．
（1）连接AC，当S△ABC＝6时，求点C的坐标；
（2）设D为y轴上一动点，连接AD，CD，作∠BCD、∠DAO的平分线相交于点P，在点D的运动过程中，试判断等式∠CPA＝2∠CDA是否始终成立，并说明理由．
25．点A，C，E在直线l上，点B不在直线l上，把线段沿直线l向右平移得到线段．
(1)如图1，若点E在线段上，求证：；
(2)若点E不在线段上，试猜想并证明，，之间的等量关系；
(3)在（1）的条件下，如图2所示，过点B作，在直线之间有点M，使得，，同时点F使得，，其中，设，利用（1)中的结论求的度数（用含m，n的代数式表示）．
《广东市广州市期末冲刺练习卷-2024-2025学年数学七年级下册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B D A C D A D B
1．D
【分析】根据二次根式有意义时被开方数为非负数，分式有意义时分母不为零可求解x的取值范围．
【详解】解：由题意得：，
解得：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，根据二次根式及分式有意义的条件求解是解题的关键．
2．B
【分析】我们在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【详解】A．总体是我市八年级学生每天用于学习的时间，故选项正确；
B．500名学生每天用于学习的时间是总体的一个样本，故选项错误；
C．样本容量是500，故选项正确；
D．个体是其中每名学生每天用于学习的时间，故选项正确．
故选：B
【点睛】本题考查的是总体、个体、样本、样本容量等概念．解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考查的事物．”
3．B
【分析】由两直线平行，同位角相等，可求得的度数，然后求得的度数．
【详解】解：如图，
∵，直尺两边互相平行，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等定理的应用是解此题的关键．
4．D
【分析】根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：A、由可以得到，原不等式不成立，不符合题意；
B、由可以得到，则，原不等式不成立，不符合题意；
C、由，当时不可以得到，原不等式不成立，不符合题意；
D、由可以得到，则，原不等式成立，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．
5．A
【分析】把与的值代入方程检验即可．
【详解】解：A、把代入方程得：左边：左边右边，故是方程的解，符合题意；
B、把代入方程得：左边：左边右边，故不是方程的解，不符合题意；
C、把代入方程得：左边：左边右边，故不是方程的解，不符合题意；
D、把代入方程得：左边：左边右边，故不是方程的解，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
6．C
【分析】第三象限的点，横、纵坐标都小于零，列出不等式组，求解即可.
【详解】解：第三象限的点，横、纵坐标都小于零，
则有：，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查平面直角坐标系以及一元一次不等式组的求解，比较简单．
7．D
【分析】根据平移的性质可得，因此只需要求出的长即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵将向右平移得到，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，熟知平移的性质是解题的关键．
8．A
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，根据5个大桶加上1个小桶可以盛酒3解可得方程，根据1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛可得方程，据此列出方程组即可．
【详解】解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，
由题意得，，
故选：A．
9．D
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，先由平行线的性质得到，再由角平分线的定义得到，进而推出，则，据此逐一判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∴，
∴平分，，故①正确，④正确；
∵，
∴，故②正确；
故选：D．
10．B
【分析】观察图象，得出点P运动的规律，再根据循环规律可得答案．
【详解】解：∵动点P第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，…，
∴横坐标与下标相同，纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，，0，2，0；
∵，
∴经过第2023次运动后，动点P的横坐标为2023，纵坐标是1，即：．
故选：B．
【点睛】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律：纵坐标每6次运动组成一个循环是解题的关键．
11．3
【分析】根据算术平方根的定义计算即可．
【详解】解：．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的求法是解答本题的关键．
12．3万
【分析】根据样本容量的意义：一个样本包括的个体数量叫做样本容量，即可解答．
【详解】解：对收回的3万份问卷进行了调查登记，
则样本容量是：3万，
故答案为：3万．
【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
13．-2
【分析】一元一次不等式即为含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，据此即可确定m的值.
【详解】解：由题意可得
解得
因为
解得
所以
故答案为-2
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，准确理解定义中“一元”与“一次”的含义是解题的关键.
14．/46度
【分析】本题考查了平行线的性质，；邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据邻补角的定义得到，再根据两直线平行，同位角相等，即可得出．
【详解】解：，
，
，
．
故答案为：．
15．/
【分析】此题考查了解决含字母参数的二元一次方程组的能力，关键是能准确理解题意并能用特殊值法求解．该方程变形为，再分别令和时求解方程即可．
【详解】解：该方程变形为，
当时，解得，
将代入方程，
得，
解得；
当时，解得，
将代入方程，，
得，
解得，
不论取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查点的坐标规律探究，根据题意可得各个点分别位于象限的角平分线上（和第四象限内的点除外），逐步探索出下标和各点坐标之间的关系，总结出规律，根据规律推理出点的坐标即可．
【详解】解：观察图形可知：各个点分别位于象限的角平分线上（和第四象限内的点除外），
∵，
∴点在第二象限，且转动了505圈后在第506圈上，
∴的坐标为；
故答案为：．
17．
【分析】本题考查实数的混合运算，先计算立方根和算术平方根及乘方，化简绝对值，再计算加减即可．
【详解】解：原式

．
18．
【分析】利用加减消元法解方程组即可
【详解】解：
由①+②得，4x=8
x=2；
把x=2代入①得：y=1
方程组的解是
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．
19．，数轴表示见解析
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】解不等式①得，，，
解不等式②得，，，
故不等式组的解集为：．
数轴表示如下：
20．（1）、、；（2）见解析；（3）2
【分析】（1）根据平移规律写出坐标即可；
（2）根据坐标画出图形即可；
（3）利用分割法求出三角形的面积即可．
【详解】解：（1）根据平移方式可得：，，；
（2）如图所示，即为所作图形：
（3）
∴的面积为2．
【点睛】本题考查作图-轴对称变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握平移和轴对称的基本知识．
21．（1）样本中计算能力为D等级的有70人；补全的条形统计图见解析；（2）扇形统计图中“B组”所对应的圆心角是72°；（3）D等级的学生大约有420人．
【分析】（1）先根据根据B等级的人数和所占的百分比求出本次调查的人数，然后即可计算出D等级的人数，然后补全条形统计图即可；
（2）360°乘以“B等级”所占的百分比即可；
（3）1200乘以“D等级”所占百分比即可．
【详解】解：（1）本次调查的学生有：40÷20%＝200（人），
样本中计算能力为D等级的有：
200﹣14﹣40﹣56﹣20＝70（人）
补全的条形统计图如图所示；
（2）扇形统计图中“B组”所对应的圆心角是：360°×20%＝72°；
（3）1200×＝420（人）．
答：D等级的学生大约有420人．
【点睛】本题主要考查条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体等知识点，解题的关键是从条形统计图和扇形统计图获取有用的信息．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质得出，再利用平行线的性质即可证明结论；
（2）根据垂直定义得到，再利用平行线的性质即可求出结果．
【详解】（1）解：证明：，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同位角相等”及“同位角相等，两直线平行”是解题的关键．
23．（1），两种型号足球的销售单价各是150元/个，100元/个；（2）型号足球最多购买4个时，选择活动一更划算．
【分析】(1)设A型足球的销售价格为x元/个，B型足球的销售单价为y元/个，根据“若买2个A型足球和3个B型足球，则要花费600元，若买1个A型足球和4个B型足球，则要花费550元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买总金额为m（m＞1500）元，求出当两种优惠活动所需费用相同时m的值，设该校购买A型足球a个，则购买B型足球（20-a）个，分总价小于m，解之即可得出结论．
【详解】解：(1)设A型足球的销售价格为x元/个，B型足球的销售单价为y元/个，
依题意，得：，
解得：．
答：A型足球的销售价格为150元/个，B型足球的销售单价为100元/个．
(2)设购买总金额为m（m＞1500）元，
若两种优惠方案所需费用相同，则0.9m＝1500+0.7（m﹣1500），
解得：m＝2250．
设该校购买A型足球a个，则购买B型足球（20﹣a）个，
当优惠活动一所需费用较少时，150a+100（20﹣a）＜2250，
解得：a＜5；此时a的最大整数值是4
答：型号足球最多购买4个时，选择活动一更划算．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式（或一元一次方程）．
24．（1）C（3，4）；（2）等式∠CPA＝2∠CDA始终成立；理由见解析．
【分析】（1）利用三角形面积公式求得BC的长，即可求得C的坐标；
（2）利用角平分线的意义、三角形内角和定理以及直角三角形两锐角互余的关系计算证明即可．
【详解】解：（1）∵B（0，4），C是第一象限内一点，且BC∥x轴，
∴OB＝4，
∵S△ABC＝BC OB＝6，
∴BC＝3，
∴C（3，4）；
（2）等式∠CPA＝2∠CDA始终成立；理由如下：
连接AC，如图所示：
∵AP是∠OAD的平分线，
∴∠DAP＝∠DAO＝（90°﹣∠ADO）＝45°﹣∠ADO，
∵PC是∠BCD的角平分线，
∴∠PCD＝∠BCD＝（90°﹣∠BDC）＝45°﹣∠BDC，
在△PAC中，∠CPA＝180°﹣（∠PAC+∠PCA）
＝180°﹣（∠DAC +∠DAP+∠PCD +∠DCA）
＝180°﹣（∠DAC+∠DAO+∠BCD+∠DCA）
＝180°﹣（180°﹣∠ADC+45°﹣∠ADO+45°﹣∠BDC）
＝∠ADC+（∠ADO+∠BDC）﹣90°
＝∠ADC+（180°﹣∠ADC）﹣90°，
＝∠ADC﹣∠ADC
＝∠ADC，
∴2∠CPA＝∠CDA．
∴在点D的运动过程中，等式∠CPA＝2∠CDA始终成立．
【点睛】本题考查平面直角坐标系和角平分线以及角度之间的关系，解题的关键是能够熟练的掌握三角形面积的求解方法，利用相关定理寻找角与角之间的数量关系．
25．(1)见解析
(2)当点E在的延长线上时，；当点E在的延长线上时，
(3)
【分析】（1）如图1中，过点E作．利用平行线的性质证明即可
（2）分两种情形：当点E在CA的延长线上时，当点E在AC的延长线上时，构造平行线，利用平行线的性质求解即可．
（3）利用（1）中结论，可得，由此解决问题即可．
【详解】（1）证明：如图1中，过点E作．由平移可得，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当点E在的延长线上时，；当点E在的延长线上时，，理由如下：
如图中，当点E在的延长线上时，过点E作．
∵，
∴，
∴，
∴．
如图中，当点E在的延长线上时，过点E作．
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述：当点E在的延长线上时，；当点E在的延长线上时，；
（3）解：如图，设，
∵，
∴与（1）同理可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
又与（1）同理可得：，
∴．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线的性质，解题的关键是学会条件常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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