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期末练习卷-2024-2025学年数学七年级下册北师大版（2024）
一、单选题
1．年月日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为千米，数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知，要得到，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（ ）
A． B． C． D．
3．以下列线段为边能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．若，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．下列说法正确的是（ ）
A．明天的降水概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨
B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上
C．了解一批烟花的燃放质量，应采用抽样调查的方式
D．了解某电视栏目的收视率，应采用普查的方式
6．我们可以用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边和上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合．过角尺顶点的射线便是的平分线，这里构造全等三角形的依据是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，直线，点在射线上．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（图①），然后将剩余部分剪拼成一个平行四边形（图②）．这样操作能验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．计算： ．
10．若，，则 ．
11．已知，，则的值为 ．
12．如图，将长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线交于点G，若，则 ．（用a的代数式表示）
13．如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点B处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，，则的度数为 ．
14．如图，平分交于D点，于E点，若，，，则的长为 ．
15．一个盒子中装有a个白球和6个红球，这些球除颜色外完全相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在，估计a的值为 ．
16．西营城中心学校计划为广场上的雕塑美化绿化，打算将一块长为米，宽为米的长方形地块按照图中的要求，中间保留边长为米的正方形放置雕塑，将如图四周阴影部分进行绿化，则绿化的面积是 平方米．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．如图，已知，，．求证：．
19．如图，直线，把一块含的三角板按如图位置摆放，直边与直线重合，斜边与直线和直线交于点．点分别是直线和直线上两点．连接，作射线．
(1)若，判断与是否平行，并说明理由；
(2)若射线平分，求的度数．
20．图1是长为，宽为的长方形，沿图中的虚线将该长方形裁剪成四块长为，宽为的小长方形，然后按图2方式拼成一个正方形.
(1)根据图形可知，图2中，大正方形的边长为_______，阴影部分的面积为_________；
(2)观察图2的面积可知，代数式，和之间存在一定的等量关系，请直接写出这个等量关系__________；
(3)根据（2）中得到的等量关系，解决问题：
①已知小长方形的周长为，面积为，则阴影部分的边长是________.
②若，，求.
21．如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于.
(1)求证：.
(2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想；
(3)若，，则________.
22．“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
(1)求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式（即用含x的代数式表示Q）；
(2)当（千米）时，求剩余油量Q（升）的值：
(3)当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．
23．已知直线，在三角形纸板中，．
(1)将三角形按如图1放置，点和点分别在直线上，若，则__________；
(2)将三角形按图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，．试求之间的数量关系；
(3)在图2中，若，将三角形绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为秒．当三角形的一条直角边分别与平行时，求出相应的值（直接写出答案）．
《期末练习卷-2024-2025学年数学七年级下册北师大版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D A C D A D
1．C
【分析】本题考查了大数的科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数是解题的关键．确定大数的的方法为：先确定大数的位数，则，即可解决．
【详解】解：，
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，两个三角形全等共有五个定理，即、、、及，注意：无法证明三角形全等．先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项逐一验证，找出错误的选项即可得答案．
【详解】解：∵，，
∴当时，可利用证明，故A选项不符合题意，
当时，无法证明三角形全等，故B选项符合题意，
当时，可利用证明，故C选项不符合题意，
当时，可利用证明，故D选项不符合题意，
故选：B．
3．D
【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．根据三角形两边之和大于第三边判断即可．
【详解】解：、，
长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
B、，
长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
C、，
长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
D、，
长度为，，的三条线段能组成三角形，符合题意；
故选：D．
4．A
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
根据同底且幂相等，则可得关于n的方程，解方程即可．
【详解】解：∵有个相加，表示为．
∴
∴
解得：．
故选：A．
5．C
【分析】此题主要考查统计与概率的定义，解题的关键是熟知概率的定义、统计调查的方法．根据调查方式的选择、随机事件的概率逐项分析即可得出答案．
【详解】解：A、明天的降水概率为，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；
B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上是随机的，故本选项错误；
C、了解一批烟花的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；
D、了解某电视栏目的收视率，应采用抽样调查方式，故本选项错误；
故选：C．
6．D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用证明，得，即可解决问题．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
即射线是的平分线，
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等求解即可．
【详解】∵，
∴．
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键．根据图①可得剩余部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，根据图②可得剩余部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，由此即可得．
【详解】解：由图①可知，剩余部分的面积为，
由图②可知，拼成的平行四边形矩形的底为，高为，
则剩余部分的面积为，
所以能验证的等式是，
故选：D．
9．
【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，根据零指数幂和负整数指数幂的计算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，根据计算求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
11．16
【分析】本题考查了完全平方公式．解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式把式子变形为．根据，，利用完全平方公式把式子变形，可以求得所求式子的值．
【详解】解：，，
，
故答案为：16．
12．
【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握，两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．先根据平行线的性质得出，根据折叠得出，根据平行线的性质得出．
【详解】解：∵，
∴，
∵长方形中，，
∴，
∵将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
13．64
【分析】本题考查了平行线的性质，由对顶角相等得到，求出，再根据平行线的性质即可得出答案，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14．2
【分析】过点D作于F，根据角平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于F，
平分，，，
，
，，，
，
解得：，
故答案为：
15．9
【分析】本题考查了利用频率估计概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在得到比例关系，列出方程求解即可．
【详解】解：由题意可得，，
解得，
经检验，是分式方程的解且符合题意，
故答案为：
16．
【分析】本题主要考查了阴影部分的面积，多项式乘多项式，完全平方公式，解题的关键是正确表示出阴影部分的面积．
根据图形可得阴影部分的面积等于长方形面积与正方形面积之差，列出代数式进行化简即可．
【详解】解：绿化面积为
（平方米）．
故答案为：．
17．(1)2
(2)
【分析】（1）先根据负数的偶次幂，零指数幂，负整指数幂的运算法则进行化简，再进行加减即可；
（2）根据同底数幂乘除法，积的乘方的法则进行运算，最后再并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【点睛】本题考查了有理数及整式的混合运算，涉及负数的幂的运算，零指数幂，负整指数幂及有理数的加减运算，同底数幂乘除法，合并同类项，根据法则正确运用是解题的关键．
18．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定．证明，根据全等三角形的性质，即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
在中，
，
∴，
∴．
19．(1)平行，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角板的角度问题，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．
（1）由两直线平行，内错角相等，得到，进而得出，即可证明全等；
（2）由三角板可知，，结合角平分线的定义，得到，再根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：与平行，理由见解析；
，
，
，
，
；
（2）解：由三角板可知，，
，
平分，
，
，
．
20．(1)；
(2)
(3)①；②
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，平方根的定义，二次根式的性质，掌握完全平方公式的结构特征以及图形中各个部分面积的和差关系式正确解答的关键．
（1）根据图2可得出大正方形的边长和阴影部分的正方形的边长，可得结论；
（2）根据图形各个部分面积之间的和差关系即可得出结论；
（3）①设这个长方形的长为，宽为，则，，利用（2）中的结论，将数据代入然后进行计算即可；
②根据完全平方公式变形求值，得出，即可求解．
【详解】（1）解：根据图形可知，图2中，大正方形的边长为，阴影部分正方形的边长为，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：；；
（2）由（1）知：图2中阴影部分的面积为，
阴影部分的面积也可以看作大正方形与个小长方形的面积差，即为，
∴代数式，和之间的数量关系是：；
（3）解：①这个小长方形的长为，宽为，则，，
∴，
由（2）知：，
∴，
∴阴影部分的边长是．
故答案为：．
②∵，，
∴
∴
21．(1)见解析
(2)，见解析
(3)2
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．
（1）连接、，先根据线段垂直平分线的性质的性质得，再根据角平分线的性质得，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）证明得，再结合（1）的结论，得；
（3）根据（2）的结论得，再根据可得答案.
【详解】（1）证明：如图，连接、，
∵，D为中点，
∴，
∵，，且平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）知，
∴．
即；
（3）解：由（2）知，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
22．(1)
(2)剩余油量Q的值为17升；
(3)能在汽车报警前回到家，见解析
【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，根据数量关系列出关系式是解题的关键．
（1）单位耗油量=耗油量÷行驶里程，剩余油量=油箱内油的升数-行驶路程的耗油量；
（2）把千米代入剩余油量公式，计算即可；
（3）计算出升油能行驶的距离，与来回400千米比较大小即可得．
【详解】（1）解：该汽车平均每千米的耗油量为（升/千米），
∴行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式为；
（2）解：当时，（升），
答：当（千米）时，剩余油量Q的值为17升；
（3）解：他们能在汽车报警前回到家，
（千米），
由知他们能在汽车报警前回到家．
23．(1)
(2)
(3)或或或
【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，过“拐点”构造平行线是解题关键．
（1）过F点作，根据、即可求解；
（2）过F点作，根据、即可求解；
（3）根据题意画出满足条件的几何图，分四种情况讨论，求出旋转的角度即可求解．
【详解】（1）解：过F点作，如图所示：
∵，，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：；
（2）解：过F点作，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：；
（3）解：∵，，
∴，
时，如图所示：
此时：，
旋转角度，
∴；
时，如图所示：
此时：旋转角度，
∴；
时，如图所示：
此时：，
旋转角度，
∴；
时，如图所示：
此时：，
旋转角度为：，
∴；
综上所述：的值为：或或或．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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