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期末冲刺练习卷（二）-2024-2025学年数学八年级下册人教版
一、单选题
1．要使二次根式有意义，则x不可取的数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．给出下列判断，正确的是（ ）
A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形
3．如图，在中，D和E分别为所在边的中点，若，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．某班30位同学阅读课外读物的本数统计如表所示，其中两个数据被遮盖，下列关于阅读课外读物的统计是中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
本数 2 3 4 5 6 7 8
人数 ■ ■ 2 3 6 7 9
A．平均数，方差 B．中位数，方差 C．平均数，众数 D．中位数，众数
6．下列叙述中，正确的是
A．直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方
B．如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
C．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若，则∠A=90
D．中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若∠B=90 ，则
7．下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，点在的延长线上，且，则的长是（ ）

A． B． C． D．
9．如图，在正方形中，，F是对角线，的交点，G，E分别是，上的动点，且保持，连接，，．在此运动变化的过程中，有下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形可能为正方形；③长度的最小值为；④四边形的面积保持不变．其中正确的是（ ）

A．仅①②③ B．仅①②④ C．仅②③④ D．①②③④
10．如图，在直线分别与x、y轴相交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处，以下结论：①；②直线BC的解析式为；③点D；④若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的坐标是；正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
11．要使式子有意义，则a的取值范围是 ．
12．已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围为 ．
13．如图，将矩形纸片沿折叠，顶点B落在边上点F处．若，则 ．

14．已知四边形ABCD是菱形，周长是40，如果AC＝16，那么菱形ABCD的面积为 ．
15．如图，在中，，P为上任意一点，于F，于E，则的最小值是 ．
16．如图是“赵爽弦图”， 其中、、和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形．如果，，那么等于 ．

三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．某市规定了每月用水18立方米以内（含18立方米）和用水18立方米以上两种不同的收费标准，该市的用户每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系如图所示．
(1)当用水18立方米以上时，求y与x之间的函数关系式．
(2)若小敏家某月交水费81元，求这个月用水量为多少立方米．
19．在四边形中，，点为的中点，，下面是两位同学的对话．请你选择一位同学的说法，并进行证明．
20．“防溺水安全”是校园安全教育工作的重点之一．某校为提高学生的安全意识，组织学生举行了一次以“远离溺水·珍爱生命”为主题的防溺水安全知识竞赛，成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：
年级 平均分 中位数 众数 方差
七年级 8.76 9 1.06
八年级 8.76 8 1.38
(1)根据以上信息可以求出： ， ．
(2)若该校七、八年级各有500人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人
21．如图所示，直线与直线相交于点C，并且与两坐标轴分别交于A，B两点．
(1)求两直线与y轴交点A，B的坐标及交点C的坐标；
(2)求的面积．
22．如图所示，有人在岸上点的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长，且，拉动绳子将船从点沿方向行驶到点后，绳长．
(1)试判定的形状，并说明理由；
(2)求船体移动距离的长度．
23．如图所示，在平行四边形中，对角线与相交于点O，且，，．
(1)求证：；
(2)E，F分别是和的中点，连接，，求证：四边形是菱形．
24．某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的电脑的单价比乙种类型的要便宜10元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
(1)求甲乙两种类型笔记本的单价．
(2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少．
25．在正方形中，点是线段上的动点，连接，过点作（点在直线的下方），且，连接．
(1)【动手操作】
在图①中画出线段，；与的数量关系是：______；
(2)【问题解决】
利用（1）题画出的图形，在图②中试说明，，三点在一条直线上；
(3)【问题探究】
取的中点，连接，利用图③试求的值．
《期末冲刺练习卷（二）-2024-2025学年数学八年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A C D B D B D B
1．A
【分析】根据二次根式有意义的条件进行解答即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：，
∵，
∴x不可取的数为0，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是根据二次根式的被开方数为非负数，求出．
2．D
【分析】依据平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定以及菱形的判定方法，即可得出结论．
【详解】解：A. 一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；
B. 对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项不正确，不符合题意；
C. 对角线互相平分，垂直且相等的四边形是正方形，故该选项不正确，不符合题意；
D. 有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了特殊四边形的判定方法，解题关键在于掌握各特殊四边形的判定方法．
3．A
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，掌握“三角形中位线平行且等于底边的一半”是解题关键．利用中位线的性质求解即可．
【详解】解：在中，D和E分别为所在边的中点，
是的中位线，
，
，
，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了二次根式的四则运算，掌握相关运算法则是解题关键．根据二次根式的加、减、乘、除运算法则逐项计算即可．
【详解】解：A、和不是同类二次根式，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了中位数、众数、方差、平均数的意义和计算方法．通过计算本数为2、3的人数和，判断不影响成绩出现次数最多的结果，因此不影响众数，同时将这组数据按顺序排列，不影响找第15、16位数据，因此不影响中位数的计算，但影响数据的平均数和方差，即可解题．
【详解】解：这组数据中本数为2、3的人数和为：，
则这组数据中出现次数最多的本数为8本，即众数为8，与遮盖的数据无关；
将这组数据按从小到大的顺序排列，第15、16个数据分别为7、7，则中位数为7，与被遮盖的数据无关；
但影响数据的平均数和方差；
故选：D．
6．B
【分析】根据勾股定理及三角形对边与对角的知识求解．
【详解】解：∵由勾股定理知，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，而直角边应该都小于斜边，所以直角三角形中，应该是较小两条边的平方和等于第三边的平方，∴A错误；
∵由勾股定理的逆定理可得：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，∴B正确；
∵，∴c为斜边，c的对角∠C=90 ，∴C错误；
∵△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠B=90 ，∴b为斜边，∴，D错误；
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理的简单应用，注意勾股定理是“两直角边的平方和等于斜边的平方”，所以注意分清直角边和斜边及其所对角是解题关键．
7．D
【分析】根据一次函数、正比例函数的增减性与系数的关系判断即可．
【详解】解：由一次函数、正比例函数增减性知，x系数小于0时，y随x的增大而减小，
，
故只有D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，一次函数的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
8．B
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作的延长线于点，则，由，，可得，，进而得到，，即得为等腰直角三角形，得到，设，由勾股定理得，求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点作的延长线于点，则，
∵，，
∴，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴，
故选：．

9．D
【分析】先证可得，然后说明可判断①；当G，E为中点时，四边形为正方形，可判断②；先说明当最小时，最小，时，最小为4，然后运用勾股定理求得的最小值；根据全等三角形的性质可得，即，据此即可判定④．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴为等腰直角三角形，
又∵F为斜边的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴为等腰直角三角形．故①正确，
当G，E为中点时，四边形为正方形，故②正确；
∵为等腰直角三角形，
∴当最小时，最小，
当时，最小为，
∴最小值为，故③正确；
∵，
∴，
∴，
∴四边形的面积保持不变， 故④正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握全等三角形及正方形的性质是解题关键．
10．B
【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求的长，可判断①；
由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求的长，可得点坐标，利用待定系数法可求解析式，可判断②；
由面积公式可求的长，代入解析式可求点坐标，可判断③；
由菱形的性质可得，可得点纵坐标为，可判断④，即可求解．
【详解】解：直线分别与、轴交于点A、B，
点，点，
，，
，故①正确；
线段沿翻折，点落在边上的点处，
，，，
，
，
，
，
点，
设直线解析式为：，
，
，
直线解析式为：，故②正确；
如图，过点作于，
，
，
，
，
当时，，
，
点，，故③正确；
线段上存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形，且，
∴，
点纵坐标为，故④错误，
故答案为：B．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
11．
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数成为解题的关键．
根据二次根式有意义的条列立不等式求解即可．
【详解】解：根据题意：，解得：．
故答案为：．
12．
【分析】若函数的图象经过第一、二、四象限，则，由此可以确定m的取值范围．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴．
故答案是：．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，掌握一次图象经过第一、二、四象限，则是关键．
13．
【分析】由矩形的性质可得，再由折叠的性质可得，据此利用勾股定理求出答案即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴在中，由勾股定理得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形与折叠问题，灵活运用所学知识是解题的关键．
14．
【分析】由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求，即可求解．
【详解】解：如图所示：
四边形是菱形，周长是40，，
，，，
，
，
菱形的面积，
故答案为：96．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的面积公式．
15．/
【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短等知识点，是确定出何时最短是解题的关键．
根据已知得出四边形是矩形得出，要使最小，只要最小即可，再根据勾股定理求得，最后根据垂线段最短即可解答．
【详解】解：如图：连接，
∵，于F，于E，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴要使最小，只要最小即可，即当时，最小，
在中，，
由勾股定理得：，
由三角形面积公式得：，
∴，即的最小值是．
故答案为：．
16．2
【分析】根据勾股定理求得，进而求得的值即可．
【详解】解：，，
，
∵、、和是四个全等的直角三角形
∴，
，
故答案为：2．
【点睛】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先算乘除法以及去括号，再计算加减，即可作答．
（2）先根据完全平方公式，平方差公式展开，再计算加减，即可作答．
【详解】（1）解：
（2）解
18．(1)
(2)30立方米
【分析】本题考查了一次函数的应用；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）令，代入（1）中解析式，即可求解．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
∵直线过点，，
∴
解得
∴．
（2）∵，
∴当时，，解得．
答：这个月用水量为30立方米．
19．见解析
【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质．选择小星的说法：连接，证明，进而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可；选择小红的说法：根据判定即可得到结论．
【详解】证明：选择小红的说法，证明如下：
，，
四边形是平行四边形；
选择小星的说法，证明如下：
连接，
点E为的中点，，
，
，
四边形为平行四边形，
．
20．(1)，
(2)人
【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，用样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键．
（1）根据中位数的定义可确定a的值；根据众数的定义可确定b的值；
（2）分别将样本中七、八年级优秀所占比例乘以500即可作出估计．
【详解】（1）解：∵七年级成绩由高到低排在第13位的是B等级9分，
∴，
∵八年级A等级人数最多，
∴，
故答案为：9，10；
（2）解：（人），
答:该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有600人．
21．(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为
(2)2
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、一次函数的交点问题，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）把分别代入两个函数解析式即可求出点A，B的坐标，再联立函数解析式得到点C的坐标；
（2）求出的长度，利用面积公式即可求出的面积．
【详解】（1）解：由，
当时，，
∴点A的坐标为．
由，
当时，，
∴点B的坐标为．
由
得
∴点C的坐标为．
（2）由点A，B的坐标知，
∴．
22．(1)等腰直角三角形，理由见解析
(2)
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．
（1）直接利用勾股定理得出的长，进而得出的形状；
（2）利用勾股定理得出的长，进而得出的长．
【详解】（1）解：是等腰直角三角形，理由如下：
由题意可得，，，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
故船体移动距离的长度为．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用平行四边形性质得到，，再利用勾股定理逆定理得到为直角三角形，即可证明；
（2）利用直角三角形性质和线段中点的特点，得到，，结合平行四边形性质得到，进而证明四边形是平行四边形，再根据，即可证明平行四边形是菱形．
本题考查平行四边形性质和判定，勾股定理逆定理，直角三角形性质，线段中点的特点，菱形的判定，熟练掌握运用这些判定和性质是解题关键．
【详解】（1）证明：在平行四边形中，对角线与相交于点O，，，
，．
，
，即，
为直角三角形，，
．
（2）证明：由（1）知为直角三角形．
E，F分别是和的中点，
，．
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形．
又∵，
平行四边形是菱形．
24．(1)甲类型的笔记本单价为110元，乙类型的笔记本单价为120元
(2)最低费用为11000元
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的运用等知识，根据题意，列出方程和函数解析式是解题的关键．
对于，设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为元，根据用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样列方程，从而可解决问题；
对于，设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了件，列出w关于a的函数解析式，由一次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
乙类型的笔记本单价为元，
答：甲类型的笔记本单价为110元，乙类型的笔记本单价为120元；
（2）设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了件，
购买的乙的数量不超过甲的3倍，
∴且，，
解得，
根据题意得，
，
随a的增大而减小，∴时，w最小值为（元），
答：最低费用为11000元．
25．(1)见解析，
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据题意补全图形，结合正方形的性质可得，进而可得结论；
（2）如图，连接，先证明，可得，可知，进而可证明结论；
（3）连接，，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可知，再证，得，取的中点，连接，则，，再证是等腰直角三角形，即，设，则，，即可求解．
【详解】（1）解：如图，在正方形中，，
∵，
∴，则，
∴，
故答案为：；
（2）证明：如图②，连接．
∵四边形是正方形，
∴，，
由（1）可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，，三点在一条直线上；
（3）连接，，
在和中
∵P是斜边的中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴
取的中点，连接，则，，
∴，
∴是等腰直角三角形，即，
设，则，，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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