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第五章5.3.2第1课时函数的极值
一、选择题
1．下列关于函数的极值的说法正确的是( 　 )
A．导数值为0的点一定是函数的极值点
B．函数的极小值一定小于它的极大值
C．函数在定义域内必有一个极大值和一个极小值
D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数
2．函数f(x)＝ax3＋ax2＋x＋3有极值的充要条件是( 　 )
A．a>1或a≤0 B．a>1
C．01或a<0
3．已知函数y＝f(x)，x∈R有唯一的极值，且x＝1是f(x)的极小值点，则( 　 )
A．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≤0
B．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0
C．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0
D．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≤0
4．已知函数f(x)＝x(x－c)2，在x＝2处取得极大值，则实数c的值是( 　 )
A． B．2
C．2或6 D．6
5．函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是( 　 )
A．(0,3)　　　　　 B．(－∞，3)
C．(0，＋∞) D．
6．若函数y＝ex＋mx有极值，则实数m的取值范围是( 　 )
A．m>0 B．m<0
C．m>1 D．m<1
7．(多选题)若函数f(x)＝aln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则( 　 )
A．bc>0 B．ab>0
C．b2＋8ac>0 D．ac<0
8．(多选题)对于函数f(x)＝x3－3x2，给出下列结论中正确的是( 　 )
A．f(x)是增函数，无极值
B．f(x)是减函数，无极值
C．f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)
D．f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值
二、填空题
9．已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d有极值，则c的取值范围为________.
10．若x＝1是函数f(x)＝x3＋的一个极值点，则实数a＝________.
11．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________.
12．已知f(x)＝x3－x2＋2x＋1，x1，x2是f(x)的两个极值点，且013．已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________.
三、解答题
14．设函数f(x)＝2x3＋3x2＋ax＋b，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－12x＋1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的极值．
15．设函数f(x)＝(x2＋3x＋1)ex.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)的极值．
16．已知函数f(x)＝(a，b∈R且a≠0，e为自然对数的底数)．若曲线f(x)在点(e，f(e))处的切线斜率为0，且f(x)有极小值，求实数a的取值范围．
第五章5.3.2第1课时函数的极值
一、选择题
1．　D
　由函数极值的有关概念知A、B、C说法都不正确，故选D．
2．　D
　f(x)有极值的充要条件是f ′(x)＝ax2＋2ax＋1＝0有两个不相等的实根，即4a2－4a>0，解得a<0或a>1.故选D．
3．　C
　由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数是左负右正，又函数f(x)，x∈R有唯一的极值，故当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0.
4．　D
　函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f ′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)(3x－c),
由f(x)在x＝2处有极大值，即有f ′(2)＝0，即(c－2)(c－6)＝0，
解得c＝2或6, 若c＝2时，f ′(x)＝0，可得x＝2或，
由f(x)在x＝2处导数左负右正，取得极小值，
若c＝6，f ′(x)＝0 ，可得x＝6或2 ，
由f(x)在x＝2处导数左正右负，取得极大值.
综上可得c＝6.
5．　D
　y′＝3x2－2a，因为函数在(0,1)内有极小值，
所以y′＝3x2－2a＝0在(0,1)内必有实数解，
记f(x)＝3x2－2a，如图
所以解得06．　B
　y′＝ex＋m，则ex＋m＝0必有根，∴m＝－ex<0.
7．　BCD
　函数f(x)＝aln x＋＋的定义域为(0，＋∞)，求导得f ′(x)＝－－＝，
因为函数f(x)既有极大值也有极小值，则函数f ′(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a≠0，
因此方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正根x1，x2，
于是即有b2＋8ac>0，ab>0，ac<0，显然a2bc<0，即bc<0，A错误，B、C、D正确，故选BCD．
8．
　CD
　f ′(x)＝3x2－6x.令f ′(x)＝3x2－6x>0，得x>2或x<0；令f ′(x)＝3x2－6x<0，得0二、填空题
9． 　
　∵f ′(x)＝x2－x＋c且f(x)有极值，
∴f ′(x)＝0有不等的实数根，
即Δ＝1－4c>0，解得c<.
10． 　3
　∵函数f(x)＝x3＋，
∴f ′(x)＝3x2－，
∵x＝1是函数f(x)的一个极值点，
∴f ′(1)＝0，即3－a＝0，∴a＝3.经验证a＝3符合题意．故答案为3.
11． 　3
　f ′(x)＝
＝，
由题意得f ′(1)＝＝0，解得a＝3.经检验，a＝3符合题意．
12． 　
　f′(x)＝x2－ax＋2，
∴x1，x2是f′(x)＝0的两个根，
由0解得313． 　
　由题知，x>0，f ′(x)＝ln x＋1－2ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f ′(x)＝0有两个不等的正根，即函数y＝ln x＋1与y＝2ax的图象有两个不同的交点(x>0)，则a>0；设函数y＝ln x＋1上任一点(x0,1＋ln x0)处的切线为l，则kl＝y′＝，当l过坐标原点时，＝ x0＝1，令2a＝1 a＝，∴0三、解答题
14．　(1)∵f(x)＝2x3＋3x2＋ax＋b，
∴f ′(x)＝6x2＋6x＋a，
曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－12x＋1，
所以f(0)＝b＝1，f ′(0)＝a＝－12，
∴f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1.
(2)由(1)得f ′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，
令f ′(x)＝0，x＝－2或x＝1，
f ′(x)＞0，x＜－2或x＞1，f ′(x)＜0，－2＜x＜1，
∴f(x)递增区间是(－∞，－2)，(1，＋∞)，递减区间是(－2,1)，
∴f(x)的极大值为f(－2)＝21，极小值为f(1)＝－6.
15．　(1)∵f ′(x)＝(2x＋3)ex＋(x2＋3x＋1)ex＝(x2＋5x＋4)ex＝(x＋1)(x＋4)ex，
∴当x∈(－∞，－4)∪(－1，＋∞)时，f ′(x)>0；
当x∈(－4，－1)时，f ′(x)<0，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－4)和(－1，＋∞)，单调递减区间为(－4，－1)．
(2)由(1)可知f(x)在x＝－4处取得极大值，在x＝－1处取得极小值，∴f(x)的极大值为f(－4)＝5e－4＝，极小值为f(－1)＝－e－1＝－.
16． 　f(x)＝，(x＞0)，
∴f ′(x)＝，
由f ′(e)＝0，则b＝0，则f ′(x)＝，
当a＞0时，f ′(x)在(0，e)内大于0，在(e，＋∞)内小于0，
∴f(x)在(0，e)内为增函数，在(e，＋∞)为减函数，
∴f(x)有极大值无极小值；
当a＜0时，f(x)在(0，e)为减函数，在(e，＋∞)为增函数，
∴f(x)有极小值无极大值；
∴实数a的取值范围(－∞，0)．

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