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2025中考数学三轮复习专题-二次函数存在性问题专项-二次函数与直角三角形存在性问题
1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，．抛物线的对称轴直线与经过点A的直线交于点D，与x轴交于点E．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若平面直角坐标系内一动点P满足，请求出的最小值．
2．已知对称轴为的二次函数的图像与轴交于，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式和直线的解析式；
(2)点是对称轴上的一个动点，连接，，是否存在点使最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为．
(1)求n的值和抛物线的解析式．
(2)已知P是抛物线上位于直线下方的一动点（不与点B，C重合），设点P的横坐标为a．当a为何值时，的面积最大，并求出其最大值．
(3)在抛物线上是否存在点M，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图所示，已知抛物线（）与轴交于点和点，与轴交点．

(1)求抛物线的解折式；
(2)点是线段上异于，的动点，过点作轴于点，交抛物线于点．当为直角三角形时，请直接写出点的坐标．
5．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为，且与直线交于两点．
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；
(2)求证：是直角三角形；
(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作轴与抛物线交于点M，则是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
6．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与抛物线交于B，C两点（B在C的左边）．

(1)求A点的坐标；
(2)如图1，若B点关于x轴的对称点为点，当以点A，，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值；
(3)定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如，等均为格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值范围．
7．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式．
(2)如图，将抛物线向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为，平移后的抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点．判断以三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．
(3)直线与抛物线交于两点（点在点的右侧），当轴上存在一点，能使以三点为顶点的三角形与相似时，请直接写出点的坐标．
8．如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
(1)求抛物线及直线的函数关系式；
(2)若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，设点P的横坐标为t；
①当时，求点P的坐标；
②是否存在点P，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．已知抛物线与轴有两个不同的交点．
(1)试确定的取值范围．
(2)设该抛物线与轴的交点为，，其中；抛物线与y轴交于点，如图所示．
①求该抛物线的表达式并确定点坐标和点坐标；
②连接，动点以每秒个单位长度的速度由向运动，同时动点E以每秒个单位长度的速度由向运动，连接，当点到达点的位置时，、同时停止运动，设运动时间为秒．当为直角三角形时，求的值．
10．如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C；抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过B，C两点．
(1)求B、C两点的坐标和抛物线的解析式；
(2)抛物线与x轴的另一个交点为点A，在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
(3)在直线的下方的抛物线上，是否存在一点N，使的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出当为直角三角形时点P的坐标．
11．如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若且．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图，点D是该抛物线的顶点，点是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接．
①若是直角三角形，且时，求P点坐标；
②当时，求P点坐标．
12．抛物线 与轴交于点和，与轴交于点，连接．点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于，交轴于，设点的横坐标为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)用关于的代数式表示线段，求的最大值及此时点的坐标；
(3)过点作于点，，
①求点的坐标；
②连接，在轴上是否存在点，使得为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，在平面直角坐标中，是直角三角形，，，，，抛物线经过、两点，抛物线的顶点为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点是直角三角形斜边上一动点（点A、除外），过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一个点，使是以为直角边的直角三角形 若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
14．如图，直线分别与轴、轴交于点与点，函数的图像经过点．点是抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，过点作于点
(1)求该二次函数的解析式；
(2)连接，当为直角三角形时，求的长；
(3)将绕点逆时针旋转，得到，当点的对应点落在坐标轴上时，请求出点的坐标．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线过A，B两点，与x轴的另一个交点为C，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P为抛物线的顶点，求四边形的面积；
(3)抛物线上是否存在点Q，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
《2025中考数学三轮复习专题-二次函数存在性问题专项-二次函数与直角三角形存在性问题》参考答案
1．(1)
(2)存在，或或；
(3)
【分析】（1）根据题意，可求出点的坐标，再运用待定系数法即可求解；
（2）根据直角三角形的性质，分类讨论：①当时；②当时；分别求出直线的解析式，再联立方程组求解即可；
（3）如图，在上取点，使，连接，可证，得，当点三点共线时，的值最小，运用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：在中，当，则，
∴，
∵，
∴，
∴将代入，得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：存在点，理由如下：
直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点，
∴,
在中，当时，，
∴，
①当时，设直线交对称轴于点，
∵，，，
∴，轴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴△为等腰直角三角形，
∴，
∴点坐标为，
设直线的解析式为，将点坐标代入，得，
解得，
直线的解析式为，
联立，解得或，
∴点的坐标为；
②当时，
∵，，，
∴，轴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴当点M与点B重合时，满足是以为直角边的直角三角形，即此时点M的坐标为，
设直线的解析式为，将点坐标代入，得，
解得，
直线的解析式为，
联立，解得或，
∴点的坐标为或；
综上，点的坐标为或或；
（3）解：已知，以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点，
如图，在上取点，使，连接，
，
∴，
，
，
又，
，
，即，
，
当点三点共线时且点P在上时，的值最小，即最小，最小值为线段的长的2倍，
在中，当时，，
∴，
，，
的最小值为．
【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与特殊三角形，圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，特殊三角形的性质，最短路径的计算方法是解题的关键．
2．(1)抛物线解析式为，直线的解析式为
(2)存在点，
(3)存在点，使是直角三角形，点的坐标为或或或
【分析】（1）由题意得：，再将代入，求解即可；设直线的解析式为，把，代入，然后解方程组即可；
（2）连接，，则，当、、三点共线时，有最大值，延长交对称轴于点，，解方程得到，设直线的解析式为，得到直线解析式为，当时，求出的值即可；
（3）根据题意对称轴为直线，设，根据勾股定理，，，分①当时，②当时，③当时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵对称轴为的二次函数的图像与轴交于，，
∴，，
解得：，，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）存在点，连接，，则，
当、、三点共线时，有最大值，
延长交对称轴于点，则，
∵二次函数的图像与轴交于，，
当时，，
解得：，，
∴，
设直线的解析式为，过点，
∴，
解得：，
∴直线解析式为，
当时，，
∴；
（3）存在点，使是直角三角形，
∵点对称轴上，
设，
∵，，
∴，，，
①当时，，
∴，
解得：，
∴；
②当时，，
∴，
解得：，
∴；
③当时，，
∴，
解得：或，
点坐标为或；
综上所述：点坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数综合运用，待定系数法求函数解析式，勾股定理，轴对称的性质，求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．(1)，；
(2)当时，的面积最大，最大值为64；
(3)存在点M，使是以为直角边的直角三角形，此时点M的坐标为或
【分析】（1）先求出，再把点B、C的坐标代入抛物线的表达式，即可求解；
（2）过点P作y轴的平行线交于点H，连接，设点P的坐标为，则点，可得，
再由的面积，结合二次函数的性质，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当点B为直角顶点时，当点C为直角顶点时，即可求解．
【详解】（1）解：对于，
令，则，
令，解得：，
当时，，
∴点A、B、C的坐标分别为；
将点B、C的坐标代入抛物线的表达式得：
，解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图，过点P作y轴的平行线交于点H，连接，
设点P的坐标为，则点，
∴，
∴的面积，
∵，
∴当时，的面积存在最大值，最大值为64；
（3）解：存在，理由如下：
①当点B为直角顶点时，如图，此时，分别过点M和点C作y轴的垂线，垂足分别为N，D，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
∵点M在抛物线上，
∴，解得或0（舍），
∴，
∴；
②当点C为直角顶点时，如图，此时，过点作y轴的垂线，过点C作x轴的垂线，
由①知，
∴，
∴，
∴，
设点的横坐标为m，则，
∴，
∴，解得或8（舍），
∴．
综上所述，存在点M，使是以为直角边的直角三角形，此时点M的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
4．(1)
(2)或．
【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）如图，过作于，证明，可得，而轴，分两种情况讨论：当，当时，如图，再利用数形结合的方法即可解题．
【详解】（1）解：∵（）与轴交于点和点，
∴，解得：，
∴抛物线为：；
（2）如图，过作于，

由抛物线，当，则，
∴，而，
∴，
∴，而轴，
当，
∴
∴，
∵，，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，
设，则
∴，，
∴，
解得：，（不符合题意舍去）
∴，
当时，如图，

则关于抛物线的对称轴对称，，
∴，
解得：，（不符合题意舍去）
∴，
综上：或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，抛物线的性质，清晰的分类讨论，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
5．(1)
(2)见解析
(3)存在，N点，其坐标为或或或
【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；
（2）分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于D、E两点，得出和为等腰直角三角形,进而可得出,即可得到答案；
（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出的长度，当和相似时，利用三角形相似的性质可得或，可求得N点的坐标．
【详解】（1）∵顶点A的坐标为，
∴设抛物线的解析式为，
又∵抛物线过原点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，即，
联立抛物线和直线解析式可得，
解得或，
∴，；
（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于D、E两点，
则，，，
∴和为等腰直角三角形，
∴，即，
∴是直角三角形；
（3）存在，点N的坐标为或或或，理由如下：
假设存在满足条件的点N，
设，则，
∴，，
由（2）在和中，可分别求得，，
∵轴于点N，
∴，
∴当和相似时有或，
①当时，则有，即，
∵当时，M、O、N不能构成三角形，
∴，
∴，即，
解得或，此时N点坐标为或；
②当时，则有，即．
∴，
即，解得或，此时N点坐标为或．
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为或或或．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N、M的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度稍大．
6．(1)
(2)或；
(3)或．
【分析】（1）对于直线，令，求出x，即可求解；
（2）表示出点，，的坐标，利用勾股定理解方程求解，注意直角顶点不确定，需分类讨论；
（3）直线与抛物线所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在轴和直线上，各为13个，分别求出的范围．
【详解】（1）解：对于直线，
当时，，
∴A点的坐标为；
（2）解：联立直线与抛物线得：
，
，
或，
，，
点关于轴的对称点为点，
，
，
，
，
若，则，即，所以，
若，则，即，所以，
若，则，即，此方程无解．
或；
（3）解：如图，直线与抛物线所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在轴和直线上，
，，，
，
格点数恰好是26个，
落在轴和直线上的格点数应各为13个，
落在轴的格点应满足，即，
①若，即，
所以线段上的格点应该为，，，，
②若，，，所以线段上的格点正好13个，
综上，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，勾股定理，关键是弄清格点只能落在轴和直线上，各为13个，并对点、进行定位．
7．(1)抛物线的解析式为
(2)是直角三角形．理由见解析
(3)点的坐标或
【分析】（1）将代入抛物线，通过待定系数法，即可解答；
（2）写出平移后的解析式，再求出三点的坐标，求得，即可判断；
（3）求出直线的解析式，再求出两点的坐标，根据相似的性质，进行分类讨论，即可解答．
【详解】（1）解：∵将点代入抛物线，可得方程，
∴抛物线的解析式为；
（2）是直角三角形．理由如下：
将抛物线向左平移1个单位长度，得新抛物线，
∴平移后的抛物线顶点为，
令，得，
∴，
令，得，
解得：，
∴，如图1，连接，
∵，
∴轴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是直角三角形．

（3）

解：存在，理由如下：
，
，
是等腰直角三角形，
直线的斜率为1，
直线的解析式为，
联立方程，解得，，
，
①当时，，
，
根据图形可得，是等腰直角三角形，
设直线的解析式为，将代入解析式可得，
解得，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，将代入解析式得，解得，
直线的解析式为，
当时，解得，
；
，
，
，
②当时，，
，
，
，
．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，抛物线的平移，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握数形结合技巧，分类讨论是解题的关键．
8．(1)直线的函数关系式为，抛物线函数关系式为；
(2)①；②．
【分析】
（1）设直线的函数关系式为，，代入和即可得答案；
（2）①过N作直线的平行线与抛物线交点即为P；
②构相似造三角形，设P横坐标为t，用t表示相关线段列方程即可得出P的坐标．
【详解】（1）
解：设直线的函数关系式为，将，代入得：
，解得，
∴直线的函数关系式为，
将，代入得：
，解得，
∴抛物线函数关系式为；
（2）
解：①在函数关系式中，令得，
∴，
∵，
∴，
过N作的平行线与抛物线交点即为P，设所作直线为，
将代入得，
∴所作平行线为，
由得（与N重合舍去）或，
∴；
②若是以为斜边的直角三角形，
过A作轴，过C作轴，过P作轴，分别交、于点E、F，如图：
∵，
∴，
而，
∴，
∴，
∵点P的横坐标为t，
∴，
又，，
∴，，，，
∴，解得，
∵P是抛物线上位于直线上方的一个动点，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握待定系数法和相似三角形的判定及性质是关键．
9．(1)
(2)，，；或
【分析】（1）根据抛物线与轴有两个不同的交点，得方程有两个不同的实数根，根据根的判别式，即可；
（2）把点代入抛物线中，求出抛物线的解析式，再根据，求出点的坐标，，求出点的坐标，即可；根据点，点的坐标，得是等腰直角三角形，得，根据为直角三角形，分类讨论：当时，根据勾股定理求出；当时，根据勾股定理求出，即可．
【详解】（1）∵抛物线与轴有两个不同的交点，
∴方程有两个不同的实数根，
∴，
∴．
（2）点代入抛物线中，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：，
当时，，
∴点，
当时，，，
∴点；
∵点，点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
：当，，
∴，，
∴，
∵动点以每秒个单位长度的速度由向运动，同时动点E以每秒个单位长度的速度由向运动，
∴，，，
∴，
∴；
当，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
综上所述，当为直角三角形时，或．
【点睛】本题考查二次函数和几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质，勾股定理的运用．
10．(1)，；
(2)；
(3)存在，；
(4)P的坐标为或或或．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）根据抛物线的对称性可知，当B，C，M共线时，的值最小，求出点坐标即可；
（3）设，，过点作轴交于点，则，则，当时，的面积有最大值，此时，
（4）设，分别求出，，，根据直角三角形斜边的情况分三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：令则，
，
令，则，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
，
将，代入中，
，
解得，
；
（2）解：由抛物线的对称性可知，，
，当B，C，M共线时，的值最小，
将代入中，得，
；
（3）解：存在点，使的面积最大，理由如下：
设，，
过点作轴交于点，则，
，
，
当时，的面积有最大值，
此时，；
（4）解：设，
，，
，，，
①当为斜边时，，
解得，
；
②当为斜边时，，
解得，
；
③当为斜边时，，
解得或，
∴或；
综上所述：点坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
11．(1)
(2)①②点的坐标为
【分析】（1）由点坐标可得，由可得，即,再运用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）①求出点的坐标，设根据勾股定理列出方程求出的值即可；②取的中点，作于点，连接过点作于过点作轴于点求得抛物线的顶点的坐标为 求得 由面积法可得故，即知 得，，把点坐标代入求出的值即可
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
把，代入，得：
，
解得，，
∴抛物 的解析式为：；
（2）
∴抛物线的对称轴为直线
，
是第二象限内抛物线上的一个点，
，
是直角三角形，且，
解得，，
，
当时，，
；
②取的中点，作于点，连接过点作于过点作轴于点如图，
∵
∴抛物线的顶点的坐标为
∵
，
∴
为的中点，
∴
即
设则，
解得，（与点B重合，舍去）或
∴，
∴点的坐标为
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，此题计算量较大，准确的计算是解题的关键．
12．(1)
(2)，
(3)①；②存在，或
【分析】（1）将点和代入解析式，列方程组求解即可得到答案；
（2）令求出点C坐标，从而求出直线解析式，用t表示点P点坐标，从而得到关于t的函数，求出最值即可得到答案；
（3）①根据题意用t表示点H的坐标根据面积列方程求解即可得到答案；②设出点坐标，分，两类讨论，根据勾股定理逆定理即可得到答案．
【详解】（1）将点和代入解析式，
得，解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）由题意可得P点坐标为，
令得，
∴点C坐标为，
设直线的解析式为，将B、C坐标代入，
得，解得，
∴直线的解析式为，
∵轴，
∴点M的坐标为，
∴，
∵，
∴当时，的值最大， ，
此时点的坐标为：；
（3）①由题意可得，如图1，
∵，轴，
∴点C、H纵坐标相同，点N、H、P的横坐标相同，
∴点H的坐标为，点N的坐标为，
∵，
∴，
即，
解得，（不符合题意舍去）
∴点P的坐标为；
②当时，如图2所示，
∵，
∴点Q、P的纵坐标相同，
∴此时Q点坐标为，
即；
当时，如图3所示，
设，
根据勾股定理得，
解得 ，
∴，
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，根据二次函数性质求最值问题，动点围成直角三角形问题，解题的关键是根据题意设出点的坐标，利用性质列式求解．
13．(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】（1）根据，求出的长，进而得到A，的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法求出直线的解析式，用含的式表示出、的坐标，求出的长度最大时的值，即可求得、的坐标；
（3）分两种情况，和时，分别求得点的坐标，将纵坐标代入抛物线解析式，即可求得点的值．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
∴，，
把A，代入得：，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）∵直线经过点，
设直线的解析式为：
把A，代入代入得：
解得：，
∴直线的解析式为：
∵过点作轴的垂线交抛物线于点，
设点横坐标为，点在线段上(点A，除外)，
∴点，
∴点横坐标为，点在抛物线上，
∴点，
据图知：点在点上方，
∴，
∵，开口向下，有最大值，
当时，的最大值为9．
∴，，
∴点，点；
（3）存在
①当时，点的纵坐标为3，
即，
解得：，，
∴，；
②当，点的纵坐标为，
即，
解得，（舍去）
∴点，
综上所述，存在点，使是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质和分类讨论思想．
14．(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）先确定出点、的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）当点在对称轴左侧时，不可能为直角三角形，当点在对称轴右侧时，为锐角，分两种情况：当时，当时，根据直角三角形的性质分别求解即可；
（3）分点落在轴和轴两种情况计算即可．当点落在轴上时，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，交于点，先利用互余和旋转角相等得出是等腰直角三角形，根据，建立方程即可；根据等腰直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：直线分别与轴、轴交于点与点，
，
抛物线经过点，
，
抛物线解析式为；
（2）解：当点在对称轴左侧时，不可能为直角三角形，当点在对称轴右侧时，为锐角，分两种情况：
当时，
，
点坐标为，
；
当时，设，
，
，，，
在中，，
，解得，
；
综上所述，当为直角三角形时，的长为或；
（3）解：①当点落在轴上时，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，交于点，如图所示：
设点的坐标为，
，
轴，，
轴，
由旋转得，
，
，
是等腰直角三角形，
，
同理，
，
，整理得，
解得或（舍去），
当时，，
点的坐标为；
当点落在轴上时，如图所示：
过点作轴，交于，过点作轴，交的延长线于点，
设点的坐标为，
，
由旋转得，
是等腰直角三角形，
，
，解得或（舍去），
当时，，
点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，锐角三角函数，等腰直角三角形的性质，根据题意恰当构造直角三角形是解决问题的关键．
15．(1)；
(2)；
(3)点Q的坐标为或．
【分析】（1）根据一次函数解析式可求出点A、B的坐标，解直角三角形可得，则可得点C的坐标，设抛物线解析式为两点式，代入点B坐标即可；
（2）连接、，过点B作轴交于D，求出直线的解析式，进而可得点D的坐标，然后根据进行计算即可；
（3）设点Q，分情况讨论：①当点A为直角顶点时，过点A作，交y轴于点M，交抛物线于点Q1，过点Q1作轴，垂足为N，证出，即，求解即可的坐标；②当点B为直角顶点时，过点B作，交抛物线于点，过点作轴，垂足为G，证出，即，求解即可得到的坐标．
【详解】（1）解：在直线中，当时，，
当时，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设抛物线的解析式为，
代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴顶点，
连接、，过点B作轴交于D，
设直线解析式为，
代入，得：，
解得：，
∴直线解析式为，
将代入得：，
解得：，
∴，
∵，，
∴
；
（3）（3）存在．
设点Q．
①当点A为直角顶点时，过点A作，交y轴于点M，交抛物线于点Q1，过点Q1作轴，垂足为N．
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵轴，，
∴，
∴．
即．，
解得，（舍去）．
∴，
∴．
②当点B为直角顶点时，过点B作，交抛物线于点，过点作轴，垂足为G．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
即，
解得，（舍去），
，
∴点．
∴点Q的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、解直角三角形、一次函数的图像与性质、用待定系数法求函数表达式、等腰直角三角形的判定与性质等知识与方法，解题过程中还应注意数形结合、分类讨论等数学思想的运用，求出所有符合条件的结果．

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