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（小专题冲刺训练）三角形压轴题
2025年中考数学专题突破
1．八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度，测得如下数据：
①测得的长度为8米：（注：）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；
③牵线放风筝的松松身高1.6米．
(1)求风筝的高度．
(2)若松松同学想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
2．为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，呼和浩特某小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，两条街道互相垂直．
(1)由于绿化区的存在，小区居民要想从点A走再到点C必须经过点B绕行，为了方便居民出入，该小区计划在该绿化区中开辟一条从点A直通点C的小路（小路宽度忽略不计）．若此计划落实，则居民从点A到点C能少走多少米？
(2)求这片绿化区的面积．
3．如图1，在中，，点和点分别为边、边上一点，连接，以为直角边，在右侧构造，，连接，使得．
(1)如图2，若点与点重合，
①当时，线段与的数量关系是________，位置关系是________；
②当时，猜想、、之间的数量关系（用表示），并证明猜想．
(2)若点为中点，点为边上的动点，，，如果为等腰三角形，求的长．
4．综合与实践：
定义：将三角形沿过顶点的直线折叠，折叠后的另一个顶点恰好落在这个三角形的边上（不含顶点）时，此时折痕被称为“落边折痕”．
特例感知：已知，为边上一点，将沿折叠，使得点恰好落在边上（不含点），此时折痕称为“落边折痕”．
探究1：如图①，若是直角三角形，其中，，，若点为边上一点，将沿着折叠后，点恰好落在边上的点处，求“落边折痕”的长；
探究2：如图②，若是等腰三角形，其中，请求出“落边折痕”将其分割后的与的面积比；
探究3：如图③，若是等腰三角形，其中，，请求出其“落边折痕”的长度．
5．如图，在中，，，，P为边上的动点，过点P在上方作，使，以，为邻边作．
(1)当点F落在上时，如图（2），求的长．
(2)当的中点M落在上时，如图（3），设交于点N，求证：．
(3)连接，在点P从点A向点B运动的过程中，沿直线将剪开，当剪开的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形时，直接写出的长（写出两个即可）．
6．如图，点、、、在同一条直线上，，线段与线段交于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
7．如图，，，将线段绕着点A顺时针旋转α，，得到，连接、，点E为线段中点，过点D作交于点H．连接交于点F．
(1)如图1，当时，求的度数．
(2)如图2，过点C作于点Q，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想．
(3)如图3，若，点M是直线上一动点，作点M关于点E的对称点N，连接、，对于α的每一个确定值，都有一个对应的最小值，当最小值等于时，请直接写出四边形的面积．
8．已知；如图，在中，，．为延长线上一点，点在上，，连接、和．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
9．已知点是内部一点．将沿翻折，点落在上的点处．
(1)如图1，若，，，求的度数；
(2)如图2，若，请说明；
(3)如图3，连接，若，将绕点顺时针方向旋转一个角度得到，则在这个旋转过程中，当与．某一边平行时，直接写出旋转角的度数．
10．如图，点D，E分别在，上，连接，，，．
(1)求证：；
(2)已知，，求的长．
11．在中，，点为边上中点，为直线上一点，连接．
(1)如图，若，，求线段的长度；
(2)如图，若，点为边上一点，且，连接并延长至点，使，连接．请猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图，若，，点为直线上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点为的中点，连接，请直接写出当取得最小值时的面积．
12．阅读下面材料，并解决问题：
(1)思维指引
如图①等边内有一点，若点到顶点的距离分别为，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，连接，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出___________；
(2)知识迁移
如图②，中，，，、为上的点且，，求的长度；
(3)方法推广
如图③，在中，，，，点为内一点，连接，直接写出的最小值．
13．问题情境：数学课上，老师组织同学们利用两张全等的直角三角形纸片进行图形变换的操作探究．已知，．将和按如图1的方式在同一平面内放置，其中与重合，此时，，三点恰好共线．点，在点异侧．
初步探究：（1）小颖在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点按逆时针方向旋转角度，延长交延长线于点．如图2，判断，的数量关系并说明理由；
深入探究：（2）小军在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点按逆时针方向旋转，当时，连接，．如图3，判断四边形的形状并说明理由；
拓展探究：（3）若，．小彬进行了如下的操作：如图4，两个三角形重合，点，，分别与点，，重合，保持不动，将绕点按逆时针方向旋转一周，在整个旋转过程中，若所在直线恰好经过的一个顶点，直接写出此时的长度为__________．
14．如图，小明为了测量小湖对岸大树的高度，先在点A处（点G，A，C在同一水平线上）测得大树顶端B的仰角为，然后沿着坡度的斜坡走到达斜坡上的点D处，此时测得大树顶端B的仰角为，点A，B，C，D，E，G在同一平面内．
(1)求点D到的距离；
(2)求大树的高度．（结果精确到；参考数据：，，，，）
15．如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接、．
(1)求证：．
(2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由．
(3)直接写出当t为何值时，为直角三角形．
《（小专题冲刺训练）三角形压轴题-2025年中考数学专题突破》参考答案
1．(1)米
(2)7米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键；
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论∶
【详解】（1）解：在中，
由勾股定理得，
所以，（负值舍去），
所以，（米），
答：风筝的高度为米；
（2）如图：由题意得，米，∴米，
∴，
∴米，
∴（米），
∴他应该往回收线7米．
2．(1)居民从点到点将少走
(2)这片绿地的面积是
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识．
（1）连接，利用勾股定理求出的长，再求出的结果即可得到答案；
（2）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，即，再根据列式计算即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
，，，
，
，
答：居民从点到点将少走；
（2）解：∵，，，
∴，
∴
是直角三角形，即，
∵，，
，
答：这片绿地的面积是．
3．(1)①；②，证明见解析
(2)的长为或或或
【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质，勾股定理以及全等三角形的性质与判定，关键是掌握以上知识；
（1）①当时，则，为等腰直角三角形，证明，即可得出结论；
②，证明如下，证明，进而证明，根据，得出，根据，即可求解；
（2）取的中点，连接，证明得出，进而分三种情况讨论，结合等腰三角形的定义，即可求解．
【详解】（1）解：①当时，则，为等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∵
∴
∴，
∵
∴，即
故答案为：．
②，证明如下，
当时，
∵，
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
∴，即
在中，
∴
∴
∴
即；
（2）解：如图，取的中点，连接，
∵在中，，
∴
∴，
∵分别为的中点，
∴，，\
∴
∴
∴
∵
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∵为等腰三角形，
①当时，
当在店的左侧时，如图，
∴，
当在点的右侧时，
，
②当时，如图，
∵
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
③当时，
∴，
综上所述，的长为或或或
4．探究1：；探究2：；探究3：或．
【分析】探究1：根据叠的性质可知，，则，即可求解；
探究2：分别过点作、的垂线，垂足分别为，．根据折叠的性质可知，，，推出，得到，即可求解；
探究3：分情况讨论：当沿折叠，点落在边上的点处时，当沿折叠，点落在边上的点处时，当沿折叠，点落在边上的点处时，当沿折叠，点落在边上的点处时，结合相关知识求解即可．
【详解】解：探究1：根据叠的性质可知，，
又，，
；
探究2：如解图①，分别过点作、的垂线，垂足分别为，．
根据折叠的性质可知，，，
，
，（将面积比转化为线段比）
在等腰中，，
，
，
即；
探究3：根据题意可知，当三角形存在“落边折痕”时，折叠后的对应点在三角形的边上（不含顶点）．
在等腰中，
，，，
只能是点向下折叠，则分情况讨论．（若是其他折叠方式，则对应点落在三角形边的延长线上或顶点处，不满足定义）
①如解图②，当沿折叠，点落在边上的点处时，
由探究2可得，
，
，
过点作于点，过点作于点，（通过面积比，可以推导出对应线段比值，构造等量关系，求解所需线段）
，为中点，，
，，
由勾股定理得:，
，
，，
，
，
∴在中，；
②如解图③，当沿折叠，点落在边上的点处时，同①，则；（此种情况与情况①属于对称状态，折痕相等）
③如解图④，当沿折叠，点落在边上的点处时，
为的垂直平分线，即，
由①可知，
，
；
④如解图⑤，当沿折叠，点落在边上的点处时，为的垂直平分线，则同情况③，则．（此种情况与情况③属于对称状态，折痕亦相等）
综上所述，“落边折痕”的长度为或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是灵活运用相关知识．
5．(1)
(2)见解析
(3)1或25或9．
【分析】（1）作于，先证明，可得，再利用等腰三角形的判定和性质得出，得出，即可求得答案；
（2）过点M作交于点D，在延长线上取点E，使得，连接，证明，得到，证明，，得到，即可得到结论；
（3）分三种情况：①当经过的中点时，②当经过的中点时，③当经过点时，分别利用相似三角形的判定和性质即可．
【详解】（1）解：当点落在边上时，如图，过点作于，
在中，，，，
∴
四边形是平行四边形，
，，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）过点M作交于点D，在延长线上取点E，使得，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（3）解：沿直线将剪开的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形，
必定经过的中点或的中点或点，
①当经过的中点时，如图，过点作于，延长交于，延长交于，
是的中点，
，
，
，
，
，
此时沿直线将剪开的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形，
，，
，即，
，
∵
∴设，则，，
∵，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，，
，
，即，
解得：；
②当经过的中点时，如图，过点作于，交于，
由①可设，，，，，
是的中点，
，
，，
，
，即，
，，
，，
，
，
，即，
解得：，
∴；
③当经过点时，如图，
，
，
，
解得：，
综上所述，AP的值为1或25或9．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，综合性强，分类讨论是关键．
6．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）根据线段的和差可得出，再利用即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得出，再根据等角对等边即可得证．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即．
∴在和中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
7．(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质求解，，再结合平行四边形的性质与三角形的外角的性质可得答案；
（2）仿照（1）求解，，可得，，结合点E为线段中点，，证明，可得为等腰直角三角形，，过作于，而，证明为等腰直角三角形，可得，即，进一步可得结论；
（3）如图，由（2）同理可得：，，延长至，使，证明，可得，可得当三点共线时，最小，即的长，此时三点重合，如图，记的交点为，可得，过作于，过作于，证明，可得，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵，，将线段绕着点A顺时针旋转α得到，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
如图，
∵，，将线段绕着点A顺时针旋转α得到，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点E为线段中点，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
过作于，而，
∴，
∴四边形为矩形，，
∴，，
∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，即，
∴，
即．
（3）解：如图，由（2）同理可得：，，
∵点M关于点E的对称点N，
∴，
∴，
延长至，使，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，即的长，
此时三点重合，如图，记的交点为，
∵此时，，
∴，
过作于，过作于，
∵，
结合（2）可得：
，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴四边形的面积为：．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理与外角的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，旋转的性质，轴对称的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
8．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
（1）根据已知利用判定，由全等三角形的对应边相等就可得到；
（2）根据等腰直角三角形的性质得出，，根据全等三角形的性质得出，利用三角形外角性质即可求得的度数．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
9．(1)
(2)详见解析
(3)旋转角α的度数为或或
【分析】本题主要考查了翻折变换、旋转变换、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
（1）由翻折知，由三角形的内角和得，由平行线的性质得，再由三角形的内角和即可得解；
（2）由翻折知，，再由三角形的内角和等量代换即可得解；
（3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵将沿翻折，点落在上的点处，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵将沿翻折，点落在上的点处，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，延长交于点，
∵将沿翻折，点落在上的点处，，
∴，，，
∴，
如图，当时，
∴，
如图，当时，延长交的延长线于点，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当时，延长交于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：旋转角α的度数为或或．
10．(1)详见解析
(2)2
【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，熟记三角形全等的判定方法是解决问题的关键；
（1）由全等三角形的判定方法角边角得出即可；
（2）根据可得，然后即可求解；
【详解】（1）证：（1）∵，，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
；
11．(1)；
(2)，理由见解析；
(3)当取得最小值时的面积为．
【分析】（）由等腰三角形的性质可得，，，，则，根据性质可得，设，则，则，然后求出的值即可；
（）延长至，使得，连接，证明，则，，设，，再证明，故有，，从而求出，所以，过作于点，可得，然后由线段和差即可求解；
（）通过勾股定理得，由折叠性质可知，，，则点在以为圆心，为长度的圆上，即点在上运动，取中点，连接，所以点在以为圆心，为长度的圆上运动，当点三点共线时，当取得最小值，过作，交于点，过作，交延长线于点，由平行线分线段成比例可得，求出，所以，证明，则，故，求出，所以，然后用面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵，点为边上中点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，整理得，
解得：（负值已舍去），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，延长至，使得，连接，
∵点为边上中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
设，，
∵，点为边上中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，
过作于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）解：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵点为边上中点，
∴，
∴，
由折叠性质可知，，
如图，点在以为圆心，为长度的圆上，即点在上运动，取中点，连接，
∵点为的中点，
∴，
∴点在以为圆心，为长度的圆上运动，
∴如图，当点三点共线时，当取得最小值，过作，交于点，过作，交延长线于点，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴为中点，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为，
∴当取得最小值时的面积为．
【点睛】本题考查了圆有关概念，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
12．(1)
(2)
(3)
【分析】（）由全等三角形和旋转的性质可得为等边三角形，即得， ，进而由勾股定理的逆定理可得，进而可得，即可求解；
（）把绕点逆时针旋转得到，可证，得到，再根据等腰直角三角形和旋转的性质可得，进而利用勾股定理求出的长即可求解；
（）在内部任取一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，由旋转的性质可得，可知当四点共线时，取最小值，最小值为，过点作的垂线交延长线于点，分别求出和的长，再利用勾股定理求出的长即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，，，
∵为等边三角形，
∴，
由旋转得，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图②，把绕点逆时针旋转得到，
由旋转得，，，，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图③，在内部任取一点，连接，
将绕点顺时针旋转得到，
由旋转得，，，， ，
∴，
∴，
∴当四点共线时，取最小值，最小值为，
如图，过点作的垂线交延长线于点，则，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
13．（1），理由见解析；（2）四边形是矩形，理由见解析；（3）2或
【分析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由，得到，得出由，得到，即可求解；
（2）先得到，再证明四边形是平行四边形，即可得出结论；
（3）分两种情况：当经过点时，当所在直线经过点时，分别求解即可．
【详解】解：（1），理由如下：
连接，如图：
∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）四边形是矩形，理由如下：
如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（3）如图，当经过点时，过点作，交的延长线于点，则，
在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
当所在直线经过点时，如图：
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上，的长为或．
14．(1)
(2)
【分析】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握斜坡的坡度即是正切值，利用锐角三角函数列方程求解．
（1）过点作于点，由坡度可求，设，则，利用勾股定理求解即可；
（2）过点作于点．由题知，四边形是矩形，设，则，利用两个直角三角形的锐角三角函数进行求解．
【详解】（1）解：如图，过点作于点．
在中，．
设，则．
，
即，
解得．
答：点到的距离为．
（2）如图，过点作于点．由题知，四边形是矩形，
．
设，则．
在中，
，
．
在中，，
．
在中，，
，
解得．
答：大树的高度约为．
15．(1)证明见解答过程
(2)当时，四边形能够成为菱形．理由见解答过程
(3)或 2
【分析】（1）利用已知用未知数表示出的长，进而得出；
（2）首先得出四边形为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出时，求出的值，进而得出答案；
（3）分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时，分别分析得出即可．
【详解】（1）证明：在中，，，
，
又 ∵，
；
（2）解：四边形能够成为菱形．理由如下：
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
，
若使平行四边形为菱形，则需，
即，
解得：．
即当时，四边形为菱形；
（3）解：根据（2）可得四边形是平行四边形，，
∴，
分情况讨论：
①当时，，
∴，即， ∴；
②时，，
∴，即， ∴；
③时，此种情况不存在．故当或2时，为直角三角形，
故答案为：或 2 ．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，解答本题的关键要掌握：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半；解题时注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

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