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5.1 课时1 轴对称图形及其性质
【基础堂清】
知识点1　轴对称图形
1.某校举办春季趣味运动会,下列是同学们为运动会设计的班徽,其中是轴对称图形的是 (　　)
A B C D
2.　[中华优秀传统文化]中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录.北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计,以期通过现代设计的手段,尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展.下面四幅作品分别代表“立春”“芒种”“白露”“大雪”,其中是轴对称图形的是 (　　)
　
A　　　　　B　　　　C　　　　 D　
知识点2　轴对称图形的性质
3.如图,直线m是多边形ABCDE的对称轴,若∠B=110°,则∠D的度数为 (　　)
A.110° B.70°
C.90° D.30°
4.如图,四边形ABCD关于直线l对称,有下面的结论:
①AB∥CD;②AC⊥BD;③AO=CO;④AB⊥BC.其中正确的结论只有 (　　)
A.①② B.②③ C.①④ D.②
5.我国传统木结构房屋的窗户常用各种图案装饰,如图,这是一种常见的图案,这个图案有　　　　条对称轴.
6.　[数学与英语融合]26个英文字母中,有很多都具有轴对称结构,请你写出其中具有轴对称结构的大写字母(至少3个)　　　　.
【能力日清】
7.某种T形零件(轴对称图形)的尺寸如图所示.
(1)请你用代数式表示AB的长度.
(2)请你计算阴影部分的周长和面积.
【素养提升】
8.如图,这是由两个阴影的小正方形组成的图形,请你在五个方格图中,各补画出一个有阴影的小正方形,使补画后的图形为轴对称图形.
参考答案
1.B　2.D　3.A　4.D　
5.2　6.A,B,C
7.解:(1)如图,AB的长度是2x+0.5x=2.5x.
(2)阴影部分的周长是2(y+x+x+0.5x+3y)=5x+8y;
阴影部分的面积是y(2x+0.5x)+0.5x·3y=4xy.
8.解:5.1 课时2 两个图形成轴对称
【基础堂清】
知识点1　两个图形成轴对称
1.下列两个电子数字成轴对称的是 (　　)
A. B.
C. D.
2.如图,一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD,其中∠B=40°,∠CAD=60°,则∠BCD的度数为 (　　)
A.160°
B.120°
C.80°
D.100°
3.下列说法错误的是 (　　)
A.两个对称的图形对应点所连线段被对称轴垂直平分
B.关于某直线对称的两个图形全等
C.面积相等的两个三角形对称
D.轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后重合
知识点2　画轴对称图形
4.以直线为对称轴画出下列图形的另一半.
【能力日清】
5.如图,直线MN是四边形AMBN的对称轴,与AB交于点Q,P是直线MN上的一点,下列判断错误的是(　　)
A.AQ=BQ
B.AP=BP
C.∠MAP=∠MBP
D.∠ANM=∠NMB
6.如图,在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有　　　　个.
7.　如图,将已知四边形分别在格点图中补成以直线l,m,n,p为对称轴的轴对称图形.
【素养提升】
8.如图,△ABC和△ADE关于直线MN对称,BC和DE的交点F在直线MN上.
(1)若ED=15,BF=9,求EF的长.
(2)若∠ABC=35°,∠AED=65°,∠BAE=16°,求∠BFA的度数.
参考答案
1.D　2.A　3.C
4.解:如图所示:
5.D　6.4
7.解:
8.解:(1)因为△ABC和△ADE关于直线MN对称,ED=15,BF=9,
所以BF=DF=9,
所以EF=ED-DF=15-9=6.
(2)因为△ABC和△ADE关于直线MN对称,∠ABC=35°,∠AED=65°,∠BAE=16°,
所以∠AED=∠ACB=65°,
所以∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-35°-65°=80°.
因为∠BAE=16°,
所以∠EAC=∠BAC-∠BAE=80°-16°=64°.
因为线段AE与AC关于直线MN对称,
所以∠EAN=∠CAN=∠EAC=×64°=32°,
所以∠BAN=∠BAE+∠EAN=16°+32°=48°,
所以∠BFA=180°-(∠ABC+∠BAN)=180°-(35°+48°)=97°.5.1 课时3 图形的折叠
【基础堂清】
1.如图,把一张长方形的纸片沿着EF折叠,点C,D分别落在M,N的位置,且∠MFB=∠MFE,则∠MFB的度数为 (　　)
A.30° B.36° C.45° D.72°
2.如图,D为△ABC边AB的中点,点E在AC上,将△ABC沿着DE折叠,使点A落在BC上的点F处.若∠B=65°,则∠BDF的度数为 (　　)
A.65° B.50° C.60° D.57.5°
3.如图,△ABC的周长为30 cm,把△ABC的边AC对折,使顶点C和点A重合,折痕交BC边于点D,交AC边于点E,连接AD,若AE=4 cm,则△ABD的周长是 (　　)
A.22 cm B.20 cm C.18 cm D.15 cm
4.如图,在四边形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,将△BMN沿MN翻折,得△FMN,若MF∥AD,FN∥DC,则∠B的度数为 (　　)
A.60° B.70° C.80° D.90°
5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC的边BC沿CD折叠到CE,点E在AC上,若∠ADE=10°,则∠A的度数为　　　　.
6.如图,在△ABC中,∠A=65°,∠B=75°,将△ABC沿EF对折,使点C与点C'重合.
(1)△　　　　和△　　　　关于直线EF成轴对称.
(2)∠C'=　　　　.
(3)当∠1=45°时,∠2=　　　　.
7.如图,在三角形纸片ABC中,AB=10,BC=7,AC=6,沿过点B的直线折叠这个三角形,使顶点C落在AB边上的点E处,折痕为BD,求△AED的周长.
【能力日清】
8.如图,图1是长方形纸带,∠DEF=24°,将纸带沿EF折叠成图2,再沿BF折叠成图3,则图3中的∠CFE的度数为 (　　)
图1　　　　　　图2　　　　　　图3
A.104° B.106° C.108° D.110°
9.如图,在△ABC中,∠A=30°,E是AC边上的点,先将△ABE沿着BE翻折,翻折后△ABE的AB边交AC于点D,又将△BCD沿着BD翻折,点C恰好落在BE上,此时∠CDB=82°,则原三角形的∠B的度数是 (　　)
A.78° B.52° C.68° D.75°
10.如图,将△ABC沿DE,EF翻折,顶点A,B均落在点O处,且EA与EB重合于线段EO,若∠CDO+∠CFO=106°,则∠C的度数是 (　　)
A.40° B.37°
C.36° D.32°
11.如图,这是一个风筝的图案,它是轴对称图形,EF是对称轴,∠A=90°,∠AED=120°,∠C=50°,则∠BFC的度数为　　　　.
【素养提升】
12.　如图,在直角三角形纸片ABC中,∠C=90°,将纸片沿EF折叠,使得点A落在BC上的点D处,连接DE,DF.△CDE中有两个内角相等.
(1)若∠A=50°,求∠BDF的度数.
(2)若△BDF中也有两个内角相等,求∠B的度数.
参考答案
1.B　2.B　3.A　4.C
5.40°
6.(1)EFC　EFC'
(2)40°
(3)35°
7.解:因为BC沿BD折叠,点C落在AB边上的点E处,
所以DE=CD,BE=BC.
因为AB=10,BC=7,
所以AE=AB-BE=AB-BC=10-7=3,
所以△ADE的周长=AD+DE+AE
=AD+CD+AE
=AC+AE
=6+3
=9.
8.C　9.A　10.B
11.160°
12.解:(1)因为∠C=90°,且△CDE中有两个内角相等,
所以∠CED=∠CDE=45°.
因为△EDF是由△EAF翻折得到,∠A=50°,
所以∠EDF=∠A=50°,
所以∠BDF=180°-∠CDE-∠EDF=180°-45°-50°=85°.
(2)设∠EDF=∠EAF=x°,
所以∠BDF=180°-45°-x°=(135-x)°,∠B=(90-x)°,
所以∠BFD=180°-(135-x)°-(90-x)°=(2x-45)°.
因为△BDF中有两个内角相等,可分三种情况讨论:
①当∠BDF=∠B时,令135-x=90-x,则方程无解,
所以此情况不成立,舍去;
②当∠BFD=∠B时,令2x-45=90-x,
解得x=45,
所以∠B=90°-45°=45°;
③当∠BFD=∠BDF时,令2x-45=135-x,
解得x=60,
所以∠B=90°-60°=30°.
综上所述,若△BDF中也有两个内角相等,则∠B的度数为45°或30°.5.2 课时1 等腰三角形的性质
【基础堂清】
知识点1　等腰三角形
1.已知等腰三角形的一个底角的度数为40°,则它的顶角的度数为 (　　)
A.40° B.80°
C.100° D.40°或100°
2.下列不在等腰三角形对称轴上的是 (　　)
A.顶角的平分线 B.一边的中线
C.底边上的中线 D.底边上的高线
3.等腰三角形的一个内角为70°,则其底角的度数为　　　　.
4.如图,AB=AC,若∠B=35°,则x的度数为　　　　.
5.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,∠BAD=35°,则∠C的度数为　　　　.
6.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,AD=AE,∠BAD=30°,求∠EDC的度数.
知识点2　等边三角形
7.等边三角形两条中线相交所成的锐角度数为 (　　)
A.30° B.45° C.60° D.75°
8.如图,△ABC和△BDE均为等边三角形,A,B,E三点在同一直线上,连接AD,EC,若∠BAD=39°,则∠BCE=　　　　.
9.如图,O为等边三角形ABC内一点,∠OCB=∠ABO,求∠BOC的度数.
【能力日清】
10.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC.若以点B为圆心,BC的长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是(　　)
A.AE=EC
B.AE=BE
C.∠EBC=∠BAC
D.∠EBC=∠ABE
11.如图,下列四个三角形中,均有AB=AC,则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是 (　　)
A.①③ B.①②④
C.①③④ D.①②③④
12.如图,△ABC的周长为20,且AB=AC,AD⊥BC于点D,△ACD的周长为16,那么AD的长为　　　　.
13.如图,P是等腰三角形ABC底边BC上的任意一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,BH是等腰三角形AC边上的高.猜想:PE,PF和BH间具有怎样的数量关系 并说明理由.
【素养提升】
14.　如图,在△ABC中,AB=BC,BE平分∠ABC,AD为BC边上的高,且AD=BD.
(1)∠1=∠2=　　　　°.
(2)∠1与∠3相等吗 为什么
(3)试判断线段AB与BD,DH之间有何数量关系,并说明理由.
参考答案
1.C　2.B
3.70°或55°　4.70°　5.55°
6.解:因为AB=AC,D为BC的中点,
所以∠ADC=90°,∠BAD=∠CAD=30°.
因为AD=AE,
所以∠ADE=∠AED=(180°-∠CAD)=75°,
所以∠EDC=∠ADC-∠ADE=15°,
所以∠EDC的度数为15°.
7.C　8.39°
9.解:因为△ABC是等边三角形,
所以∠ABC=60°.
因为∠OCB=∠ABO,
所以∠OBC+∠OCB=∠OBC+∠ABO=∠ABC=60°.
在△OBC中,∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-60°=120°.
10.C　11.C　12.6
13.解:PE+PF=BH.
理由:如图,连接AP.
因为AB=AC,
所以S△ABC=S△ABP+S△ACP=AB×PE+AC×PF=AC×(PE+PF).
因为S△ABC=AC×BH,
所以PE+PF=BH.
14.解:(1)22.5.
(2)∠1=∠3.
理由:因为AB=BC,BE平分∠ABC,
所以BE⊥AC,所以∠BEA=90°=∠ADB.
因为∠3+∠BEA+∠AHE=180°,∠2+∠ADB+∠BHD=180°,∠AHE=∠BHD,
所以∠2=∠3.
因为∠1=∠2,所以∠1=∠3.
(3)AB=BD+DH.
理由:在△BDH和△ADC中,
所以△BDH≌△ADC(ASA),
所以DH=DC,
所以BC=BD+DC=BD+DH.
因为AB=BC,
所以AB=BD+DH.5.2 课时2 线段的对称
【基础堂清】
知识点　线段垂直平分线的性质
1.P是△ABC中AB边的垂直平分线上的点,则一定有 (　　)
A.PB=PC
B.PA=PC
C.PA=PB
D.点P到∠ABC的两边距离相等
2.如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D,E.若∠B=60°,∠C=25°,则∠BAD等于 (　　)
A.50° B.70° C.75° D.80°
3.如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E,交AC于点F,连接BF,∠A=50°,AB+BC=16 cm,则△BCF的周长和∠EFC分别等于 (　　)
A.16 cm,40° B.8 cm,50°
C.16 cm,50° D.8 cm,40°
4.小明在纸上画出线段AB及它的中点O,再过点O画出与AB垂直的直线CD,沿直线CD将纸对折.发现OA与OB重合,则直线CD称为线段AB的　　　　.
【能力日清】
5.如图,在△ABC中,AB,AC的垂直平分线l1,l2相交于点O,若∠BAC=82°,则∠OBC等于 (　　)
A.8° B.9° C.10° D.11°
6.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E.已知∠BAE=16°,则∠C等于　　　　度.
7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的中垂线DE交AC于点D,交AB于点E,有下述结论:(1)BD平分∠ABC;(2)AD=BD=BC;(3)△BDC的周长等于AB+BC;(4)D是AC的中点.其中正确命题的序号是　　　　.
【素养提升】
8.　如图,在△ABC中,AB的垂直平分线l1交BC于点D,AC的垂直平分线l2交BC于点E,l1与l2相交于点O,△ADE的周长为6.
(1)AD与BD的数量关系为　　　　　　.
(2)求BC的长.
(3)分别连接OA,OB,OC,若△OBC的周长为16,求OA的长.
参考答案
1.C　2.B　3.A　
4.垂直平分线　5.A　6.37
7.(1)(2)(3)
8.解:(1)AD=BD.
(2)因为l2是线段AC的垂直平分线,
所以EA=EC.
因为△ADE的周长为6,
所以AD+DE+AE=6,
所以BD+DE+EC=6,即BC=6.
(3)如图,连接OA,OB,OC.
因为l1是线段AB的垂直平分线,
所以OA=OB.
因为l2是线段AC的垂直平分线,
OA=OC,
所以OB=OC.
因为△OBC的周长为16,BC=6,
所以OB+OC=10,
所以OA=OB=OC=5.5.2 课时3 用尺规作线段的垂直平分线
【基础堂清】
1.如图,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为 (　　)
A.65°
B.60°
C.55°
D.45°
2.如图,在平面内,使用尺规过一点P作直线MN的垂线,根据作图痕迹判断 (　　)
A.点P在点O处
B.点P在点A处
C.点P在点B处
D.无法确定点P的位置
3.如图,在△ABC中,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,所画的弧交于两点,再连接该两点所在直线交BC于点D,连接AD.若BD=2,则AD的长为　　　　.
4.如图,线段AB=4 cm,其垂直平分线CD的作法如下:
第一步:分别以点A和点B为圆心,a cm为半径作圆弧,两弧相交于点C和点D.
第二步:作直线CD.
上述作法中a满足的条件为a　　　　2(填“>”“<”或“=”).
5.如图,P是直线l上一点,过点P作直线l的垂线.
【能力日清】
6.用尺规作图“已知底边和底边上的高线,作等腰三角形”,有下列作法:
①作线段BC=a;
②作线段BC的垂直平分线m,交BC于点D;
③在直线m上截取DA=h,连接AB,AC.
这样作图的根据是 (　　)
A.等腰三角形三线合一
B.等腰三角形两底角相等
C.等腰三角形两腰相等
D.等腰三角形的轴对称性
7.如图,经过直线AB外一点C作这条直线的垂线,作法如下:
(1)任意取一点K,使点K和点C在AB的两旁.
(2)以点C为圆心,CK的长为半径作弧,交AB于点D和点E.
(3)分别以点D和点E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧相交于点F.
(4)作直线CF.则直线CF就是所求作的垂线.
根据以上尺规作图的过程,若将这些点作为三角形的顶点,其中不一定是等腰三角形的为 (　　)
A.△CDF B.△CDK
C.△CDE D.△DEF
8.如图,分别以线段AB的两个端点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,在线段AB的两侧分别交于点C,D,作直线CD交AB于点E,在射线EC上任取一点F,连接AD,BD,AF,BF.下列结论一定成立的是　　　　.(填序号)
①CD⊥AB;
②AF=BF;
③∠DAF=∠DBF;
④∠ADE=∠BDE.
9.作图题:按要求用尺规作图(不写作法,但要保留作图痕迹,并写出结论).
如图,点A,B,C表示三个住宅小区,现要修建一个快递中转站,使它到三个住宅小区的距离相等,求快递中转站的位置P.
10.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC(1)用直尺和圆规,作出点D的位置(不写作法,保留作图痕迹).
(2)连接AD,若∠B=37°,求∠CAD的度数.
【素养提升】
11.下面是小明设计“作三角形一边上的高”的尺规作图过程.
已知:△ABC.
求作:△ABC的边BC上的高AD.
作法:
①分别以点B和点C为圆心,BA,CA的长为半径作弧,两弧相交于点E;
②作直线AE交BC边于点D.
线段AD就是所求作的高.
根据小明设计的尺规作图过程,完成下列题目.
(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹).
(2)通过所作图形,说明AD是BC边上的高.
参考答案
1.A　2.A
3.2　4.>
5.解:如图所示.
6.A　7.A
8.①②③
9.解:如图,点P即所求.
10.解:(1)如图,点D即所求.
(2)在直角△ABC中,∠B=37°,所以∠CAB=53°.
又由(1)可知AD=BD,所以∠BAD=∠B=37°,
所以∠CAD=∠CAB-∠BAD=53°-37°=16°.
11.解:(1)如图,AD即所求.
(2)如图,连接BE,CE.
因为AB=BE,AC=CE,BC=BC,
所以△ABC≌△EBC(SSS),
所以∠ABC=∠EBC.
因为AB=BE,
所以BC⊥AE,即AD是BC边上的高.5.2 课时4 角的对称
【基础堂清】
1.如图,∠1=∠2,PD⊥OA于点D,则点P到OB的距离等于 (　　)
A.PB
B.PA
C.PD
D.PE
2.在三角形内找一点,使它到三条边的距离相等,这个点应是 (　　)
A.三条中线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三条高所在直线的交点
3.如图,∠BAC=90°,CD平分∠ACB交AB于点D,DE⊥BC于点E,若DE=2,BD=5,则AB的长为　　　　.
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AM是∠CAB的平分线,CM=20 cm,则点M到AB的距离为　　　　.
5.如图,在直角△ABC中,∠A=90°,DE⊥BC,BD是∠ABC的平分线,且AC=8,DE=3,求DC的长.
6.如图,∠C=∠D=90°,E是CD上的一点,AE,BE分别平分∠DAB,∠ABC.试说明:E是CD的中点.
【能力日清】
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB于点E,且AB=6 cm,则△DEB的周长是 (　　)
A.6 cm B.4 cm
C.10 cm D.以上都不对
8.如图,BD平分∠ABC,DA⊥AB于点A,AD=3,P为BC边上一动点,则DP长的最小值为　　　　.
9.如图,射线OC上的任意一点到∠AOB的两边的距离都相等,点D,E,F分别在边OC,OA,OB上,如果要想证得OE=OF,只需要添加以下四个条件中的某一个即可,请写出所有可能的条件的序号:　　　　.
①∠ODE=∠ODF;②∠OED=∠OFD;③ED=FD;④EF⊥OC.
10.　如图,OD平分∠EOF,在OE,OF上分别取点A,B,使OA=OB,P为OD上一点,PM⊥BD于M,PN⊥AD于N.试说明:PM=PN.
11.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,BE平分∠ABC.
(1)若∠A=40°,求∠BEC的度数.
(2)若DE=2,BC=6,求△BCE的面积.
【素养提升】
12.　如图,∠1=∠2,∠3=∠4.说明:点P到AB,AC的距离相等.
参考答案
1.C　2.C
3.7　4.20 cm
5.解:因为BD是∠ABC的平分线,∠A=90°,DE⊥BC,
所以AD=DE=3.
因为AC=8,
所以DC=AC-AD=8-3=5.
6.解:如图,过点E作EF⊥AB于点F.
因为∠C=∠D=90°,AE,BE分别平分∠DAB,∠ABC,
所以CE=EF,DE=EF,
所以CE=DE,
所以E是CD的中点.
7.A
8.3　9.①②④
10.解:因为OD平分∠EOF,
所以∠BOD=∠AOD.
在△BOD和△AOD中,
所以△BOD≌△AOD(SAS),
所以∠BDO=∠ADO,即DO平分∠BDA.
又因为P为OD上的一点,且PM⊥BD,PN⊥AD,
所以PM=PN.
11.解:(1)在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=40°,
则∠ABC=90°-40°=50°.
因为BE平分∠ABC,
所以∠DBE=∠ABC=25°.
因为∠BEC+∠BED=180°,
∠DBE+∠BDE+∠BED=180°,
所以∠BEC=∠DBE+∠BDE=115°.
(2)如图,过点E作EF⊥BC于点F.
因为BE平分∠ABC,CD⊥AB,EF⊥BC,
所以EF=ED=2,
所以△BCE的面积=×BC×EF=×6×2=6.
12.解:如图,过点P作PQ⊥AB于点Q,PN⊥BC于点N,PM⊥AC于点M.
因为∠1=∠2,∠3=∠4,
所以PQ=PN,PN=PM,
所以PQ=PM,
所以点P到AB,AC的距离相等.5.2 课时5 用尺规作角平分线
【基础堂清】
1.观察图中尺规作图的痕迹,下列说法错误的是 (　　)
A.OE是∠AOB的平分线
B.OC=OD
C.点C,D到OE的距离不相等
D.∠AOE=∠BOE
2.学完尺规作图,某数学兴趣小组研究“过直线l上一点P作已知直线的垂线”这一问题,得到了很多种解决方案,小丽提出:可以将直线看作以点P为顶点的平角,作出该角的平分线即可,作图痕迹如图所示,则△AOP≌△BOP的依据是 (　　)
A.SSS B.SAS
C.AAS D.ASA
3.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,以顶点C为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,BC于点E,F,再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线CP交AB于点D,若BD=3,AC=10,则△ACD的面积是　　　　.
4.如图,这是一块三角形草坪,现要在草坪上建一个凉亭P供大家休息,且凉亭P到草坪三边的距离相等,利用直尺和圆规,确定凉亭P
的位置.(保留作图痕迹,不写作法)
5.　[教材P134习题5.2第10题变式]如图,在公路与铁路的夹角内部区域,需要建一个货运站点P,使货运站点P到公路和铁路的距离相等,且到公交A站与地铁B站的距离也相等,请用尺规作图在图中标出货运站点P的位置.(不写作法,保留作图痕迹)
【能力日清】
6.如图,已知锐角∠AOB.
(1)在射线OA上取一点C,以点O为圆心,OC的长为半径作弧MN,交射线OB于点D,连接CD;
(2)分别以点C,D为圆心,大于CD的长为半径作弧,两弧交于点P,连接CP,DP;
(3)作射线OP交CD于点Q.
根据以上作图过程及所作图形,下列结论中正确的是　　　　.
①CP∥OB;②CP=2QC;③∠AOP=∠BOP;④CD⊥OP.
7.如图,在△ABC中,点D在边AC上,且AD=AB.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线(保留作图痕迹,不写作法).
(2)若(1)中所作的角平分线与边BC交于点E,连接DE.试说明:DE=BE.
8.如图,已知△ABC.
(1)作∠ABC的平分线交AC于点D,作线段BD的垂直平分线EF分别交AB于点E,BC于点F,垂足为O.(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,连接DF,判断并说明DF与AB的位置关系.
9.如图,在△ABC中,AB=AC.
(1)求作∠ABC的平分线交AC于点E.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,若AE=BE,求∠A的度数.
【素养提升】
10.　如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=40°.
(1)尺规作图:①作边AB的垂直平分线交BC于点D;
②连接AD,作∠CAD的平分线交BC于点E.(要求:保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)所作的图中,求∠DAE的度数.
参考答案
1.C　2.A
3.15
4.解:如图,点P为所求.
5.解:如图,点P为所求.
6.③④
7.解:(1)如图,射线为所求.
(2)因为AE平分∠BAC,
所以∠BAE=∠DAE.
因为AB=AD,AE=AE,
所以△BAE≌△DAE(SAS),
所以DE=BE.
8.解:(1)作图如图所示.
(2)结论:DF∥AB.
理由:由作图可知,∠ABD=∠CBD.
因为EF垂直平分线段BD,
所以FB=FD,
所以∠CBD=∠FDB,
所以∠ABD=∠BDF,
所以DF∥AB.
9.解:(1)作图如图所示.
(2)设∠A=α.
因为AE=BE,
所以∠A=∠ABE=α.
因为BE平分∠ABC,
所以∠ABE=∠CBE=α,
所以∠ABC=2α.
因为AB=AC,
所以∠ABC=∠C=2α.
因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
所以α+2α+2α=180°,
所以α=36°,
所以∠A=36°.
10.解:(1)如图,点D,射线AE即为所求.
(2)因为DF垂直平分线段AB,
所以DB=DA,
所以∠DAB=∠B=30°.
因为∠C=40°,
所以∠BAC=180°-30°-40°=110°,
所以∠CAD=110°-30°=80°.
因为AE平分∠DAC,
所以∠DAE=∠DAC=40°.5.2 课时6 小节综合练习
【基础堂清】
1.已知一个等腰三角形一底角的度数为80°,则这个等腰三角形顶角的度数为 (　　)
A.20° B.70° C.80° D.100°
2.如果等腰三角形的两边长分别是8 cm和4 cm,那么它的周长是 (　　)
A.20 cm B.16 cm
C.20 cm或16 cm D.12 cm
3.如图,MN是线段AB的垂直平分线,点C在MN外,且与点A在MN的同一侧,BC交MN于点P,则 (　　)
A.BC>PC+AP
B.BCC.BC=PC+AP
D.BC≥PC+AP
4.如图,在△ABC中,OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB,过点O作DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E,若BD+CE=6,则线段DE的长为 (　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
5.如图,AB=AC,DE垂直平分AB,分别交AB,AC于D,E两点,若∠A=40°,则∠EBC=　　　　.
6.如图,AD⊥BC于点D,D为BC的中点,连接AB,∠ABC的平分线交AD于点O,连接OC,若∠AOC=125°,则∠ABC=　　　　.
7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=80°,并进行如下操作:
①以点B为圆心,小于AB的长为半径作弧,分别交BA,BC于点E,F;
②分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径作弧,两弧交于点M;
③作射线BM交AC于点D.
则∠BDC的度数为　　　　.
【能力日清】
8.如图,DE是线段AB的垂直平分线,下列结论一定成立的是 (　　)
A.ED=CD
B.∠DAC=∠B
C.∠C>2∠B
D.∠B+∠ADE=90°
9.如图,△ABC的三边AB,BC,CA长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC分为三个三角形,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于 (　　)
A.1∶1∶1
B.1∶2∶3
C.2∶3∶4
D.3∶4∶5
10.如图,在△ABC中,以点B为圆心,BC的长为半径画弧,分别交AC,AB于D,E两点,并连接BD,DE,若∠A=30°,AB=AC,则∠BDE=　　　　.
11.如图,在△ABC中,AB(1)若∠ABD=50°,∠C=28°,求∠CAD度数.
(2)若F是BD的中点,连接AF,说明:∠BAF=∠EDC.
【素养提升】
12.　如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AD,BE为△ABC的角平分线,连接DE.
(1)说明:点E到DA,DC的距离相等.
(2)求∠DEB的度数.
参考答案
1.A　2.A　3.C　4.B
5.30°　6.70°　7.105°
8.D　9.C
10.67.5°
11.解:(1)由题意可得AB=AD,
所以∠ADB=∠ABD=50°.
因为DE⊥AD,
所以∠ADE=90°,
所以∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=180°-50°-90°=40°,所以∠ADC=∠ADC+∠EDC=130°.
因为∠C=28°,
所以∠CAD=180°-∠ADC-∠C=180°-130°-28°=22°.
(2)因为AB=AD,F是BD的中点,
所以AF⊥BD,∠BAF=∠DAF,
所以∠DAF+∠ADB=90°.
因为DE⊥AD,
所以∠ADE=90°,
所以∠ADF+∠EDC=90°,
所以∠DAF=∠EDC,
所以∠BAF=∠EDC.
12.解:(1)如图,过点E作EH⊥AB于点H,EF⊥BC于点F,EG⊥AD于点G.
因为AD平分∠BAC,∠BAC=120°,
所以∠BAD=∠CAD=60°.
因为∠CAH=180°-120°=60°,
所以AE平分∠HAD,
所以EH=EG.
因为BE平分∠ABC,EH⊥AB,EF⊥BC,
所以EH=EF,所以EF=EG,
所以点E到DA,DC的距离相等.
(2)由(1)知DE平分∠ADC.
因为∠EDC+∠EDB=180°,∠EDB+∠DEB+∠DBE=180°,
所以∠EDC=∠DEB+∠DBE,
所以∠CDA=∠DEB+∠ABC,
所以∠DEB=(∠CDA-∠ABC)=∠BAD=30°.问题解决策略:转化
【基础堂清】
1.如图,在正方形网格中有M,N两点,在直线l上求一点P使PM+PN最短,则点P应选在 (　　)
A.A点 B.B点 C.C点 D.D点
2.　[教材P123第5题变式]如图,直线L是一条河,P,Q是两个村庄.欲在L上的某处修建一个水泵站,向P,Q两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则所需管道最短的是 (　　)
　 A　　　　　B　　　　C　　　D　　　
3.如图,P是∠AOB内任意一点,OP=6 cm,M和N分别是射线OA和射线OB上的动点,△PMN周长的最小值是6 cm,则∠AOB的度数是 (　　)
A.25° B.30° C.35° D.40°
4.如图,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的对称轴分别交AC,AB于点E,F,若D为边BC的中点,M为线段EF上一动点,则△CDM周长的最小值为 (　　)
A.6 B.8 C.10 D.12
【能力日清】
5.如图,P为∠AOB内一定点,M,N分别是射线OA,OB上一点,当△PMN的周长最小时,∠OPM=50°,则∠AOB的度数为 (　　)
A.40° B.45° C.50° D.55°
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AB上一点,DE∥CB,交AC于点E,P是EC上的一个动点,若要使PD+PB最小,则点P应满足 (　　)
A.PB=PD
B.PC=PE
C.∠BPD=90°
D.∠CPB=∠DPE
【素养提升】
7.　如图,已知直线MN与A,B,求在MN上作一点P,使PA-PB最大,保留作图痕迹,不写作法.
参考答案
1.C　2.D　3.B　4.C　5.A　6.D
7.解:如图所示.

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