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2025中考数学三轮复习专题-二次函数存在性问题专项
二次函数与平行四边形存在性问题
1．在二次函数中，
(1)如图，当时，若二次函数与轴的交点为（点在点的左侧），与轴交于点．
①求点的坐标．
②在坐标平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)如果都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围．
2．已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点，
(1)求二次函数的表达式及点坐标；
(2)是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积最大时点的坐标；
(3)是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点的坐标（不写求解过程）
3．在平面直角坐标系中，二次函数与直线交于A、B两点，其中点B的坐标为，抛物线的顶点C在x轴上．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点p为线段上的一个动点（点p不与A、B两点重合），过点p作轴交抛物线于点E，设线段的长为h，点p的横坐标为t，当t取何值时，h有最大值？最大值是多少？
(3)点D为直线与对称轴的交点，在线段上是否存在一点p，使得四边形是平行四边形？若存在，请求出此时点p的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图1，抛物线与x轴交于点A、（A点在B点左侧），与y轴交于点，点P是抛物线上一个动点，连接，，
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P的横坐标为3，求的面积；
(3)如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标．
(4)若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M，使得以点B，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
5．抛物线与 x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点， 点 P 是第四象限内抛物线上的一点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，连接，设的面积为S，求S 的最大值，并求出此时点P 的坐标；
(3)如图2，当的面积最大时，过P 作轴于点D， 交直线于 点E． 点， 连接 并延长交直线于点M， 点 N 是x轴上方抛物线上的一点，x 轴上是否存在一点Q，使得以F，M，N，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在， 请说明理由．
6．如图，已知抛物线：与x轴交于A，B两点在B的左侧，与y轴交于点
(1)直接写出点A，B，C的坐标；
(2)将抛物线经过向右与向下平移，使得到的抛物线与x轴交于B，两点在B的右侧，顶点D的对应点为点，若，求点的坐标及抛物线的解析式；
(3)在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线或上是否存在点P，使以，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
7．如图1，抛物线与轴交于、，与轴交于，，且的面积为6．
(1)求抛物线的对称轴和解析式；
(2)、为抛物线上两点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，设点横坐标为，求的值；
(3)如图2，过定点的直线交抛物线于、两点，过点的直线与抛物线交于点，试探究直线是否经过某一定点，若是，求该点坐标；若不是，说明理由．
8．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点C是直线上方抛物线上的一个动点（不与A，B重合），过点C作x轴的垂线交直线于点D，当，求此时C点的坐标；
(3)将抛物线沿射线平移个单位，得到新的抛物线，点E为点B的对应点，点F为的对称轴上任意一点，在上确定一点G，使得以点B，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点G的坐标．
9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点在轴上，且，过点作轴的垂线交抛物线于点，当时，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，作直线交轴于点，若，求的值；
(3)如图3，点是线段上的点，且，过点作轴的垂线交于点，交抛物线于点，是否存在合适的值，使四边形是平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与轴交于点C，且． 抛物线的对称轴交抛物线于点D，交直线于点E．

(1)求抛物线的解析式及点A的坐标；
(2)P是轴上一动点，过点P作轴交直线于点F，交抛物线于点G．
①是否存在点P，使以D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求n的值，若不存在，请说明理由；
②如图2，点M在直线上（点M在x轴上方），且个单位长度，若线段与直线和抛物线都有交点，请直接写出n的取值范围．
11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴的负半轴交于点C，且，G是抛物线的顶点．

(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若M为第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，设点M的横坐标为m，四边形的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
(3)若P是抛物线上的一个动点，Q是x轴上的一个动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、A，G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点.
(1)求二次函数的表达式；
(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求当S取最大值时点P的坐标，并且求S的最大值；
(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
13．如图，抛物线 与轴交于，两点，过点的直线交抛物线于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是直线下方抛物线的一个动点，当面积最大时，求点的坐标及面积最大值．
(3)若点是抛物线上的动点，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
14．如图，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点A和点B，抛物线的对称轴与抛物线交于点D，与直线交于点E．抛物线与抛物线关于原点O中心对称．
(1)求抛物线顶点D的坐标及抛物线的解析式；
(2)若点P是抛物线上位于y轴左侧的一个动点，点Q是坐标平面内一点，是否存在点Q，使得以点P、Q、D、E为顶点的四边形是面积为36的平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点是直线下方抛物上一动点，连接，，求面积的最大值以及此时点的坐标；
(3)在（2）中的面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左移动2个单位，平移后的抛物线顶点坐标为，为轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
《2025中考数学三轮复习专题-二次函数存在性问题专项-二次函数与平行四边形存在性问题》参考答案
1．(1)①②，或
(2)或
【分析】本题主要考查了求二次函数图象与坐标轴的交点坐标，二次函数和平行四边形的综合，二次函数和不等式综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和不等式的求解．
（1）①当函数值为0时，转化成一元二次方程进行求解即可；
②根据题意，结合平行四边形的判定定理，即对角线互相平分的四边形为平行四边形，一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，分类进行讨论求解即可；
（2）根据点的纵坐标相等判断出是对称点，得出，得到表示出，利用列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：①当时，，
当时，
解得，
；
②存在，理由如下：
由得
当线段为对角线时，假设，则线段中点坐标为即，
解得
∴；
当线段为边时，此时，，,假设，
解得，或，
∴或；
综上，，或；
（2）解：∵，
∴两点是对称点，
解得，
，
，
∵，
整理得
解得或．
2．(1)
(2)
(3)有，满足条件的点的坐标为或或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质及运用分类讨论思想解答是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出二次函数表达式，进而可求出点A坐标；
（2）连接，求出直线的表达式为，过点D作x轴的垂线，交于点G，得，可知当取最大值时，的面积最大，设，则，可得，，即得，最后利用二次函数的性质解答即可求解；
（3）先求出的长及二次函数的对称轴，再分为平行四边形的边和对角线两种情况，根据平行四边形的性质解答即可求解．
【详解】（1）解：把，代入
则有，
解得
二次函数的解析式为，
令，得到，解得或，
．
（2）如图中连接，．
设直线解析式为：，
，，
，
解得，，
直线的解析式为，
过点作轴的垂线交于点，设点的坐标为，
则，
点在第三象限，
，
，
当时，，点，
面积最大时，；
（3）解：在二次函数图象上存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形；理由如下：
∵，
∴，
由得，抛物线的对称轴为直线，
∵以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形，
当为平行四边形的边时，，
设点N的横坐标为t，
∵轴，
∴，
解得或，
∵点N在抛物线上，
∴点N的坐标为或；
当为平行四边形的对角线时，
则，
解得，
∴点N的坐标为；
综上，在二次函数图象上存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形；点N的坐标为或或．
3．(1)二次函数的表达式为
(2)当为时，的最大值为
(3)存在一点，使得四边形是平行四边形，此时
【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质与判定，根据背景图形得出是解题关键．
（1）将点代入函数解析式，求出的值即可得出抛物线解析式；
（2）设点的横坐标为，可表达点和点的坐标，进而可得出线段的长，利用二次函数的性质可得出的最大值；
（3）令，可得点的坐标，根据题意可知，，若四边形是平行四边形，只需要即可，由题可知，抛物线的对称轴为直线，即点的横坐标为1，由此可得出的点和点的坐标，进而求出的长，由（2）得出的长，由此建立方程，即可得出的值，进而可求出点的坐标．
【详解】（1）将点代入函数解析式，
，解得，
二次函数的表达式为；
（2）令，解得或，
．
设的横坐标为，
，，
．
，
当为时，的最大值为．
（3）存在，理由如下：
抛物线的顶点为，
，
点为直线与对称轴的交点，
，
；轴，
，
若四边形是平行四边形，则只需，
由（2）知，，
，解得（舍或，
．
综上，存在一点，使得四边形是平行四边形，此时．
4．(1)
(2)
(3)四边形面积最大面积是，此时
(4)存在，或或或
【分析】（1）直接使用待定系数法求解即可；
（2）过点P做轴的平行线交于点，将分为和分别求解即可；
（3）结合（2）将四边形面积分为和两部分相加，设，则，列出四边形面积的表达式，将其化为顶点式即可解题；
（4）根据平行四边形的性质，结合坐标与图形，以及二次函数图象与性质，分别讨论点B，M，N，P形成平行四边形的情况，再求解即可．
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点A、（A点在B点左侧），与y轴交于点，
将、两点代入得：，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：设的所在直线的解析式为：，
将代入得：，解得：，
的所在直线的解析式为，
将P的横坐标代入得：，
的坐标为，
如图，过点P做轴的平行线交于点，则点横坐标为，
将点横坐标为代入，，
的坐标为，
由图知：
；
（3）解：，
抛物线的对称轴为直线，
点A、（A点在B点左侧）关于直线对称，
，
，
如（2）所示：
设，则，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为，
此时即；
（4）解：由（2）可知：的坐标为，
①如图所示，四边形为平行四边形，
，且，
∴点的纵坐标为，，解得：，，
∴点的坐标为，
，
设点，
，
，则，即；
②如图所示，四边形是平行四边形，过点作轴于点，过点作轴于点，
，，，，
可得，
，且，设，，
，解得：，，
当时，，即，则，当时，，即，则，
点的坐标为或；
③如图所示，四边形为平行四边形，
，，，
设，则，
，即点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，坐标与图形，二次函数与几何图形的综合，二次函数的最值，平行四边形性质，掌握二次函数图像的性质，动点的运动规律，几何图形的面积计算方法及性质是解题的关键．
5．(1)
(2)4，
(3)存在，点Q的坐标为或或或．
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与几何的综合、平行四边形的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）先求得直线的解析式为，如图：过P作轴交于点G， 设，则，可得，进而得到，最后根据二次函数的性质即可解答；
（3）先求出直线的解析式为，进而求得；设， 然后分为平行四边形的边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的性质列方程组求解即可．
【详解】（1）解：将、代入可得：
，解得：，
所以抛物线解析式为．
（2）解：∵，
∴
设直线的解析式为，则：
，解得：，
∴直线的解析式为，
如图：过P作轴交于点G，
设，则，
∴，
∴的面积为，
∴当时，的面积最大为4，此时点P的坐标为．
（3）解：∵，，
∴设直线的解析式为，则：
，解得：，
∴直线的解析式为，
∵当的面积最大时，过P 作轴于点D，连接 并延长交直线于点M，
∴M的横坐标为，则纵坐标为，即，
设，
如图：当为平行四边形的边时，由平行四边形的性质可得：
，解得：或，
∴或；
如图：当为平行四边形的对角线时，由平行四边形的性质可得：
，解得：或，
∴或；
综上，点Q的坐标为或或或．
6．(1)，，
(2)，
(3)存在，满足条件的点P的坐标为或或或或
【分析】（1）令或，解方程可得结论；
（2）设平移后的抛物线的解析式为，如图1中，过点作于，连接，．构建方程组解决问题即可；
（3）观察图象可知，当点的纵坐标为3或时，存在满足条件的平行四边形．分别令和等于3或，解方程即可解决问题．
【详解】（1）解：对于，令，
得到，解得或1，
，，
令，得到，
；
（2）解：设平移后的抛物线的解析式为，
如图1中，过点作于，连接．
是抛物线的顶点，
，，
，，
，
，
，
又，经过，
，
解得或1（不合题意舍弃），，
，；
（3）解：如图2中，
观察图象可知，当点的纵坐标为3或时，存在满足条件的平行四边形．
对于，令，，
解得或，可得，
令，则，
解得，可得，，，，
对于，令，方程无解，
令，则，
解得或4，可得，，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的平移，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
7．(1)对称轴为直线；
(2)m值为或或或
(3)直线是经过一定点，该定点坐标为
【分析】（1）先求得抛物线的对称轴方程，利用对称性和三角形的面积公式求得点C坐标，再利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）设，，分为对角线、为对角线、为对角线三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分和中点坐标公式分别求解即可；
（3）设，，则直线的解析式为，由直线经过定点则，再由直线经过点，与抛物线交于点可得直线的解析式为，进而可求得，再利用待定系数法求得
直线解析式为，进而可知当时，，即直线必过定点．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，，
∴，则，
∵的面积为6，
∴，则，
∴，
将和代入中，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由题意，设，，有三种情况：
当为对角线时，则：，
∴，
将F坐标代入抛物线解析中，得，
解得：；
当为对角线时，则，
∴，
将F坐标代入抛物线解析中，得：
，
解得；
当为对角线时，则，
∴，
将F坐标代入抛物线解析中，得，
解得，；
综上，满足条件得m值为或或或；
（3）解：设，，
设直线的解析式为，
由得，
∴，，则，，
∴直线的解析式为，
∵直线经过定点，
∴，则，
∵直线经过点，与抛物线交于点，
∴，则，
∴直线的解析式为，
由得，，
∴，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为，
即，
当时，，
∴直线必过定点．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，平行四边形的性质、中点坐标公式、抛物线与一次函数的交点问题，直线恒过定点问题、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用待定系数法、数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．
8．(1)
(2)或
(3)或或
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）先求出直线的解析式，设 则点即可得到，即可求解；
（3）当为对角线时，由中点坐标公式得：；当或为对角线时，列方程求出值解题．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）解：设直线AB的解析式为，
则，解得，
∴直线的表达式为：
设则点
∴，
解得：
则点或
（3）解：将抛物线沿射线平移个单位，即向左平移个单位向上平移个单位，则，
∴点对应的点，
设点， 点，
当为对角线时，由中点坐标公式得：， 则，
即点；
当或为对角线时，
同理可得： 或，
解得：或，
即点或；
综上， 或或．
9．(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）先求得，再用待定系数法求解即可；
（2）先用待定系数法求出直线解析式，再把代入求解即可；
（3）求出，，，，则，，根据，得，求解即可．
【详解】（1）解：∵，，轴，
∴
把，代入，得
解得：，
∴．
（2）解：∵点C在抛物线上，
∴，
设直线解析式为，
把，代入，得
，
解得：，
∴直线解析式为，
∵，，
∴
∴
把代入，得
解得：．
∵
∴
（3）解：∵，，
∴，
对于抛物线，当时，，
∴，
由（2）知：直线解析式为，
当时，
∴
∴
∵
∴，，
∴，
∵轴，轴，
∴当时，四边形是平行四边形，
∴
解得：，
∵
∴
∴存在，当时，四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查二次函数与特征四边形综合，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的判定，二次函数与一次函数图象上点的坐标特征，解一次二次方程．熟练掌握用待定系数法求函数解析式和平行四边形的判定是解题的关键．
10．(1)
(2)①存在，或；②或
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，令，求出的值，即可得解；
（2）①求出点坐标，点坐标，进而得到当D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形时，且，分点G在点F的上方和点G在点F的下方，两种情况进行求解即可；②求出当时，对应的直线的自变量的值以及抛物线对应的点的横坐标，利用数形结合的思想，进行求解即可．
【详解】（1）解：依题意：点C的坐标为 ，即，
∵，
∴，即点B的坐标为
将点B代入抛物线中，，得，
∴抛物线的解析式为：；
令，解得：，，
即点A的坐标为；
（2）①设直线的解析式为：，
∵B， C，
∴，解得：，
∴直线的解析式为
∵
∴，
∴，，
假设存在点P，使以D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形，则且，
∴，
若点G在点F的上方，
，即，得（舍）或2
若点G在点F的下方，
，即，得
综上，存在三个满足条件的点P，或．
②∵直线：，
当时：，
解得：，
∵抛物线：，
当时：，
解得：；

如图：线段与直线和抛物线都有交点时，
的取值范围为：或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
11．(1)
(2)；
(3)存在，或
【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）分是边、是对角线两种情况，利用平移的性质和中线定理即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点C，
∴点C的坐标为，，
∵，且点B在x的正半轴上，
∴点B的坐标为，
∵抛物线经过点B，
∴，
解得：（舍去），，
∴抛物线解析式为；
（2）连接，过点M作平行于y轴，交于点D，

设直线的解析式为，
把点和点的坐标代入解析式得：
，解得，
∴直线的解析式为，
∵抛物线解析式为，
∴，点，
，
∴，
∵，
∴当时，．
（3）有两个位置满足条件，此时P为或．
设点，点，
由抛物线的表达式知，点，
而点A、C的坐标分别为、，
①当是边时，
点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到点G，同样，点P（Q）向右平移2个单位向下平移4个单位得到点Q（P），
故或，
解得或1（舍去1），
故点P的坐标为或；
②当是对角线时，
由中点公式得：，解得（舍去）；
综上，点P的坐标为或．
12．(1)
(2)，
(3)存在，点N的坐标为或或
【分析】（1）由二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，得二次函数顶点为，故可设顶点式，最后将点代入即可求出函数解析式；
（2）连接，根据求出S与t的函数关系式，再根据二次函数的性质即可解答；
（3）设，分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，结合平行四边形的性质，由中点坐标公式求出n即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，
∴二次函数顶点为，
∴可设二次函数解析式为，
将点代入得，，
解得：，
∴二次函数解析式为；
（2）如图，连接，
对于，当时，即，
解得：，，
∴．
∵点P在抛物线上，
∴点P的纵坐标为．
∵点P在第四象限，
∴，
∴
，
∴当时，S取最大值，最大值为．
，
∴此时；
（3）设，
分类讨论：①当为对角线时，
∵，，，
∴由中点坐标公式得，
∴
解得：，
∴，
∴；
②当为对角线时，
同理可得，
解得：，
∴；
③当为对角线时，
同理可得，
解得：，
∴．
综上可知点N的坐标为：或或．
【点睛】此题考查待定系数法求抛物线的解析式，抛物线与图形面积，平行四边形的性质等知识．熟练掌握待定系数法及平行四边形的性质是解题的关键．
13．(1)
(2)，
(3)存在，点坐标为或或
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）过点作轴，垂足为，交于点，先求出点坐标，即可求出直线的解析式，设点坐标为，则点坐标为，点坐标为，，表示出，即可求出最大值；
（3）设点坐标为，点坐标为，以、、、点的平行四边形，，根据平行四边形是中心对称图形，可以分以为对角线时，以为对角线时，以为对角线时三种情况讨论，分别计算出结果即可．
【详解】（1）解：抛物线 与轴交于，两点，
将，代入得，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）（2）如图1：过点作轴，垂足为，交于点，

在抛物线上，
，
，
直线经过，，
设直线的表达式为，
，
解得：，
直线的表达式为，
设点坐标为，
则点坐标为，点坐标为，
，
，
，
当时，的面积有最大值，
最大值为；
（3）答：存在.
解：设点坐标为，点坐标为，
以、、、点的平行四边形，，，
根据平行四边形是中心对称图形，可以分三种情况来讨论：
①如图：以为对角线时，，得，
点坐标为，
，得，
点坐标为，
②如图：以为对角线时，，得，
点坐标为，
得，
点坐标为，
③如图：以为对角线时，，得，
点坐标为，
，得，
点坐标为，
点坐标为，，．

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图像和最值，二次函数和平行四边形综合题中存在性问题等知识，解题的关键是对二次函数和平行四边形性质的灵活运用．
14．(1)顶点D的坐标为，
(2)存在，Q的坐标为或或
【分析】（1）根据抛物线的对称轴为可求a，然后配方成顶点式即可得出顶点D的坐标，然后求出抛物线与x轴的交点A，B坐标，根据抛物线与抛物线关于原点O中心对称可求抛物线的顶点坐标，与x轴的交点坐标，最后根据待定系数法求解即可；
（2）分以为边和为对角线两种情况讨论．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为，
∴，解得，
∴，
∴顶点D的坐标为，
令，则，
解得，，
∴，，
∵抛物线与抛物线关于原点O中心对称，
设抛物线与x轴交于，两点（A与对应，B与对应），顶点为，
∴，，，
设抛物线的解析式为，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线解析式为，
则由题意，得，解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴，
∴，
设，
①以点P、Q、D、E为顶点的平行四边形以为边时，
则，
∵以点P、Q、D、E为顶点的四边形是面积为36的平行四边形，
∴，解得，
∴，
∴，
∴或，
即或；
②以点P、Q、D、E为顶点的平行四边形以为对角线时，
则，
∴，
∴，
∴，
设，
则，解得，
∴，
综上，Q的坐标为或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与特殊四边形等，第（2）问的解题关键是进行分类讨论．
15．(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）设出交点式直接求解；
（2）作出辅助线将三角形面积用二次函数表示出来，然后求二次函数的最大值即可；
（3）将已知的边分类讨论，因为点横坐标已知，因此直接利用平移规律得出的横坐标，代入二次函数直接求解即可．
【详解】（1）抛物线与轴交于，两点，
可得
∴，解得
∴
（2）设，过作于，交于，
由（1）可知，，
令，即，
设解析式为：，
代入，，
，解得，
∴解析式为：，
∴，
∴，
∴，
∴当时，最大，
此时．
（3）抛物线沿水平方向向左移动2个单位，
可得
∴顶点
∵，
①当是平行四边形的一条边时，
根据平移规律可得或
当，
当，
∴或
②当是平行四边形的对角线时，
可知中点
∵中点也为
∴
∴
∴
综上所述：或或
【点睛】此题考查二次函数的综合题，解题关键是数形结合将三角形的面积最大值转化为求二次函数的最大值，解题技巧是将平行四边形的已知边进行分类讨论，通过平移规律直接求出横坐标即可．

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