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2025年 九年级数学中考复习
全等三角形 考前冲刺解答题专题提升训练
1．如图，中，D是边上一点，E是的中点，过点C作的平行线交的延长线于F．
(1)求证：，
(2)连接、，若，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
2．如图，直线经过线段的中点，，为射线上的一动点，为射线上的一动点，，连接.
(1)求证：.
(2)若，当时，求的长.
3．如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点E、F分别为的中点，连接．
(1)求证：；
(2)若，且，则的长为 ．
4．如图1，正方形中，点是边上一点，连接，取中点，连接并延长交延长线于点．
(1)求证：．
(2)将绕点逆时针旋转至（如图2），连结，，，
①求的度数；
②求证：．
5．如图，点E、C、D、A在同一条直线上，，，，线段与线段交于点G．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
6．如图1，在中，，平分，点E在斜边边上，以为直径的经过点D．

(1)求证：直线为的切线．
(2)如图2，连结，若，，求的长．
7．如图，在中，，，，P为边上的动点，过点P在上方作，使，以，为邻边作．
(1)当点F落在上时，如图（2），求的长．
(2)当的中点M落在上时，如图（3），设交于点N，求证：．
(3)连接，在点P从点A向点B运动的过程中，沿直线将剪开，当剪开的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形时，直接写出的长（写出两个即可）．
8．古希腊数学家帕波斯在《数学汇编》中探讨了旋转构造下的几何关系．已知，在中，，，，点P为直线上一动点（不与点A，B重合），连接，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，旋转角为，连接．
(1)当点P在延长线上如图①，探究线段与的数量关系；
(2)当点P在直线上，且，，时，请求出线段的长．
9．已知两个完全重叠放置的三角形纸片和，，， ．现将绕点逆时针旋转，旋转角为．
(1)如图1，当的直角顶点恰好落在边上时，延长交于点，求证：点在的平分线上．
(2)当将绕点逆时针旋转到任意位置（如图2）时，延长交于点，请判断点是否为的中点，并说明理由．
(3)如图3，当的直角顶点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，请直接写出此时的长．
10．如图1，和，点在同一条直线上，已知．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，请判断四边形的形状，并说明理由．
11．已知点是矩形的边上一点，连接，将矩形沿翻折，使点，分别落在，处．
(1)如图1，连接，为的中点，，求证：；
(2)如图2，点，，共线，，的延长线相交于点，连接，
①若，求的值；
②点，分别是，延长线上的点，，连接，，若，求证：平分．
12．在矩形中，点是边的中点，点是边上的点，的延长线与的延长线交于点，以为斜边向下作等腰直角．
(1)如图1，求证：；
(2)若点为的中点，
如图，当在上时，求；
如图，连接，当，时，求的长．
13．如图①，在中，，，，，分别是，的中点，连接．将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别是，，直线与边交于点（不与点、重合）．
(1)观察发现
线段的长为________；在绕点旋转的过程中，与的数量关系为________；
(2)探究迁移
当点、、三点共线时，如图②，求的长；
(3)拓展应用
在绕点旋转的过程中，与交于点，当与的一边平行时，请直接写出的长．
14．在中，，，点D为平面内一点（A，B，D三点不共线），为的中线．
【问题初探】
（1）如图1，延长至点M，使得，连接，则与的数量关系为 ；
【类比探究】
（2）如图2，将绕点A顺时针旋转得到，连接．请你猜想与的数量关系，并证明你的结论；
【拓展延伸】
（3）如图3，在（2）的条件下，点D在以点A为圆心，长为半径的圆上运动，直线与直线交于点G，连接，在点G的运动过程中存在最大值．若请直接写出的最大值．
15．在和中，，，，．
(1)如图，求证：；
(2)当点落在线段上时．
如图，若平分时，，求线段的长；
如图，是的中点，过点作交于点，当时，判断线段与的数量关系，并证明．
《2025年 九年级数学中考复习 全等三角形 考前冲刺解答题专题提升训练》参考答案
1．(1)见解析
(2)四边形是菱形
【分析】本题考查全等三角形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，掌握知识点是解题的关键．
（1）由E是的中点，，即可得出一组边相等，两组内错角相等，即可证明．
（2）由，可得，继而可证四边形是平行四边形，再根据，则四边形是菱形．
【详解】（1）证明：∵E是的中点，，
∴，，，
∴．
（2）四边形是菱形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
2．(1)证明见解析
(2)
【分析】（）利用证明即可；
（）先证为等边三角形，可得，进而即可求解；
本题考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键.
【详解】（1）证明：∵为的中点，
∴，
在和中，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴为等边三角形
∴，
∴.
3．(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握平行四边形性质和全等三角形的判定定理是解题关键．
（1）由平行四边形性质得，，再结合中点条件，利用“”即可证明．
（2）根据题意得出为等腰三角形，由F是的中点，可得，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵平行四边形，
∴，，，
∴，
∵点E，F分别为的中点，
∴，，
∴，
在和中，
，
．
（2）解：∵，
∴，
∵平行四边形，
，
∴为等腰三角形，
∵点F是的中点，
∴，
在中，，，
∴．
4．(1)见解析
(2)①；②见解析
【分析】（1）由正方形的性质可得，由平行线的性质可得，再证明，即可得证；
（2）①连接，则，由旋转的性质可得，，由等腰直角三角形的性质可得，，推出，由正方形的性质可得，，证明，得出，求出，即可得解；②证明，得出，即可得证．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
，
∵，
∴，
由旋转的性质可得，，
∴，，
∴，
在正方形中，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②证明：∵，且相似比为，由（1）可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
5．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．
（1）先证明，再根据全等三角形的判定可证得结论；
（2）先平行线的性质得到，再根据三角形的内角和定理求出，最后根据全等三角形的性质即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
6．(1)见解析
(2)3
【分析】本题主要考查了切线的性质和判定，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质．
（1）连接，由，得到，由角平分线定义得到，因此，推出，得到半径，即可证明问题；
（2）连接，根据三角函数的定义求出，设，根据三角函数的定义求得，得到，由直角三角形斜边中线的性质即可求得答案．
【详解】（1）证明：连接，

∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴半径于点D，
∴是的切线；
（2）：连接，

∵，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
设，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
7．(1)
(2)见解析
(3)1或25或9．
【分析】（1）作于，先证明，可得，再利用等腰三角形的判定和性质得出，得出，即可求得答案；
（2）过点M作交于点D，在延长线上取点E，使得，连接，证明，得到，证明，，得到，即可得到结论；
（3）分三种情况：①当经过的中点时，②当经过的中点时，③当经过点时，分别利用相似三角形的判定和性质即可．
【详解】（1）解：当点落在边上时，如图，过点作于，
在中，，，，
∴
四边形是平行四边形，
，，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）过点M作交于点D，在延长线上取点E，使得，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（3）解：沿直线将剪开的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形，
必定经过的中点或的中点或点，
①当经过的中点时，如图，过点作于，延长交于，延长交于，
是的中点，
，
，
，
，
，
此时沿直线将剪开的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形，
，，
，即，
，
∵
∴设，则，，
∵，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，，
，
，即，
解得：；
②当经过的中点时，如图，过点作于，交于，
由①可设，，，，，
是的中点，
，
，，
，
，即，
，，
，，
，
，
，即，
解得：，
∴；
③当经过点时，如图，
，
，
，
解得：，
综上所述，AP的值为1或25或9．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，综合性强，分类讨论是关键．
8．(1)
(2)线段的长为4或16
【分析】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，等边三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）过P作，交的延长线于F，则，据此可得，再证明，得到，进一步可证明，得到，据此可得结论；
（2）分P在的延长线上和P在的延长线上，两种情况画出对应的图形讨论求解即可．
【详解】（1）解：过P作，交的延长线于F，则，
，
，
，，
，
由旋转可得，，
，
，
，
，
，
，即；
∴；
（2）解：如图，当P在的延长线上时，则，
，
又，，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
则，
；
如图，当P在的延长线上时，由（1）得，
，，
，
，，
是等边三角形，
则，
，
，
，
，且，
，
则，
，
则，
综上所述，线段的长为4或16．
9．(1)见解析
(2)点是的中点，见解析
(3)
【分析】（1）连接，证明，得出，即可得出答案；
（2）过点E作交的延长线于点H，证明，得出即可；
（3）延长交于点G，连接，根据勾股定理求出，求出，根据中位线的性质求出，证明，根据，得出，求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点在的平分线上．
（2）解：点是的中点；理由如下：
过点E作交的延长线于点H，如图所示：
则，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点为的中点．
（3）解：延长交于点G，连接，如图所示：
∵，， ，
∴，
根据解析（1）可知，平分，
∵，
∴，
根据解析（2）可知，为的中点，
∵M为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合，作出辅助线．
10．(1)见解析
(2)平行四边形，见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质；
（1）先证明，再利用证明即可；
（2）由全等三角形的性质可得，，从而可得结论．
【详解】（1）证明：∵，
，
在和中，
；
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
，
，
∴，
四边形是平行四边形．
11．(1)见解析
(2)①，②见解析
【分析】（1）根据折叠证明为等边三角形，则，那么，在矩形中，，得到，然后证明为等边三角形即可；
（2）①先证明，则，可得点，，在同一条直线上，然后由平行得到，则；
②过点作于点，先证明，则，，．再证明，则，，最后证明即可．
【详解】（1）证明：∵矩形，
∴，
由翻折可知，，，，，
为的中点，，
，
，
∴为等边三角形，
，
．
在矩形中，，
，
，
，
为等边三角形，
．
（2）①解：∵矩形，
∴，，，
由翻折可知，，，，
，
，
，
，
，
点，，在同一条直线上，
，
．
，
∴，
；
②证明：过点作于点，
，
，
，，
，
，，．
∵
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
平分．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的综合问题，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等知识点，难度较大，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由矩形的性质得，再结合，，即可得证；
（2）设，则，
由得，然后根据矩形的性质、等腰直角三角形的性质证明，得到，，所以，最后根据即可求解；
连接，由得，证明点，，共线，再证明得，即，解出的值，即可得解．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
，
，，
；
（2）解：设，则，
由（1）知，
，
四边形是矩形，
，，
，，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
，，
；
连接，由（1）知，
，
，
，，
，
，
，
点，，共线，
，，
，
，
，即，
解得：，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
13．(1)；
(2)
(3)或
【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，中位线的性质，正方形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；
（1）勾股定理求得，进而根据中位线的性质可得，连接，证明，即可得出结论；
（2）根据（1）得出，根据等腰三角形的性质可得，设，则，，根据勾股定理建立方程，即可求解；
（3）分两种情况讨论，当时，证明四边形是正方形，根据得出，进而求得，根据，求得的长，当时，得出，设，在中，勾股定理建立方程，解方程得出，进而根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴
∵，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴；
∴
如图，连接，
∵将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别是，，
∴，
又∵
∴，
∴；
故答案为：；．
（2）解：如图，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，即，
设，则，
在中，
∴
解得：，
即
（3）解：如图，当时，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
又∵
∴四边形是正方形，
∴， ，
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
∴；
当时，如图，
∴
又∵
∴
∴
∴
∵
∴，
又
∴
∴
设，则，
在中，
∴
解得：
∴
综上所述，或．
14．（1）；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，从而可得，再利用平行线的性质可得；
（2）延长至点M，使得，连接，
（3）先利用证得，再利用三角形中位线定理可得，即，然后利用直角三角形性质可得，得出点在以为圆心，3为半径的上运动，再运用勾股定理即可求得答案．
【详解】（1）解：连结，
∵为的中线，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2）延长到点M，使得，连接，
由（1）可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，延长至M，使，连接，
在和中，
∴（），
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴（），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
点G在以为直径的上运动，当且仅当B、O、G三点共线时，取得最大值，
此时，
在，O为的中点，则，
∴，
在中，O为斜边的中点，
∴，
∴的最大值为．
【点睛】本题考查了三角形的全等的性质与判定，旋转的性质，两直线垂直的判定，三角形中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识点，解题关键熟悉上述定理，并能熟练运用求解．
15．(1)见解析；
(2)；．
【分析】（）证明，然后根据全等三角形的性质即可求证；
（）作于点，求出，再通过等腰直角三角形性质可得，又平分，则，再得出，则有，最后通过线段和差即可求解；
延长交于点，连接交于点，证明，则有，再证明，所以，设，则，在中，由勾股定理得，再代入求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴；
（2）解：如图，作于点，
∵，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，延长交于点，连接交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，是的中点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，角平分线定义等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．

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