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2025年中考数学三轮冲刺专题：
圆的切线证明与长度计算综合练习
1．如图，是的直径，与相切于点，点是上一点，连接并延长交的延长线于点．连接、相交于点，延长交于点．若平分，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求及的长．
2．如图，中，，，平分，点是边上一点，以点为圆心，以为半径作圆，恰好经过点D．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求线段的长．
3．如图，为的直径，点C、点D为上异于A、B的两点，连接，过点C作，交的延长线于点E，连接．
(1)若，求证：是的切线；
(2)若的半径为，，求的长．
4．如图，在中，，为的外接圆，为的直径，连接、，过作交延长线于点．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长度．
5．如图，在中，以为直径的过的中点，交于点，过点作于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
6．如图，在中，为直径，点在上，连接．点在的延长线上，点为上不与重合的任意一点，满足．
(1)求证：为的切线；
(2)若点为的中点，的直径为13，，求的长．
7．如图，是的直径，点在的延长线上，，是上的两点，，.
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长；
8．如图，已知是的直径，为的内接三角形，为延长线上一点，连接于点，交于点．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长．
9．如图，的弦是的中点，连接并延长交于点D，交于于点F，过点D作，与的延长线交于点E，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
10．如图，为的直径，是的一条弦，D为弧的中点，过点D作，垂足为的延长线上的点E，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)延长交的延长线于F，若，，求的长．
11．如图，内接于⊙，过点作平行于交的延长线于点，．
(1)求证：是⊙的切线；
(2)若，求的长．
12．如图，内接于，是的直径，过点O作交于点D，垂足为M．连接、，与交于点E，在的延长线上取一点N，使．
(1)求证：是的切线；
(2)若的直径为5，，求的长．
13．如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．点在的延长线上，且．
(1)求证：直线是的切线：
(2)若，，求的长，
14．如图，内接于，直径交于点，过点作射线，使得，延长交过点的切线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
15．如图，是的直径，点C，E在上，，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F，连接，平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若E为的中点，连接，的半径为2，求的长．
《2025年中考数学三轮冲刺专题：圆的切线证明与长度计算综合练习》参考答案
1．(1)证明见解析
(2)的长为，的长为
【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键．
（1）连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）连接，设，则，在中，利用勾股定理可求出的值，由此即可得的长；根据全等三角形的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理可求出的值，从而可得的长，再在中，利用勾股定理可求出的长，最后根据求解即可得．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵与相切于点，
∴，即，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：如图，连接，
设，
∵，
∴，
由（1）已证：，
∴在中，，即，
解得，
∴，
∴，
由（1）已证：，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
∴在中，，
∴，
综上，的长为，的长为．
2．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，欲证明是的切线，只要证明即可；
（2）求出，长，可得出，设，则，可得，解方程即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接．
平分，
，
，
，
，
，
，
直线是的切线；
（2）解：∵，
∴，
在中，，
，
，
，
在中，
，
，
设，则，
，
，
解之得，或（舍去），
．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，解一元二次方程，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌切线的判定和性质．
3．(1)见解析
(2)12
【分析】本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用切线的判定，锐角三角函数的定义、圆周角定理以及勾股定理．
（1）连接，可证明，由于，所以，根据切线的判定即可求出答案．
（2）连接，由于，所以，设，，所以，列出方程即可求出x的值．
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线．
（2）连接，
∵，
∴
∵是的直径，
∴
∴，
设，
∴，
∵的半径为，
∴，
∴，
∴．
4．(1)详见解析
(2)
【分析】（1）连接，并延长交于点，根据等腰三角形的性质证明是的垂直平分线，证明边形为矩形，得出，即可证明结论；
（2）根据等腰三角形性质求出，求出，根据，求出，根据弧长公式求出结果即可．
【详解】（1）解：连接，并延长交于点，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
为的直径，
，
四边形为矩形，
，
即，
是的半径，
为的切线；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，，
，
在中，，
，
，
，
的长度为．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，弧长公式，圆周角定理，切线的判定，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
5．(1)详见解析
(2)4
【分析】（1）连接，由O、D是中点，得，结合，得，即可证明；
（2）连接，交于点，则易得四边形是矩形，则有；再由平行线分线段成比例定理证明点G是中点，得；设，则，可表示出半径及直径，再由余弦函数关系得到关于x的方程，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
以为直径的过的中点，
是的中位线，
，
，
于点，
，
，
即，
是的半径，
是的切线；
（2）解：如图，连接，交于点，
是的直径，
，
，
由（1）知，
，
四边形是矩形，
，
由（1）知，，
则，
即，
∴点G是的中点，
，
设，则，
，
，
在中，，
，
，解得，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，直径对的圆周角是直角，矩形的判定与性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，余弦函数等知识，熟练掌握并运用这些知识灵活解决问题是解题的关键．
6．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，可得，，则，，，结合切线的判定即可求解；
（2）连接，根据勾股定理得，为的垂直平分线，为的中位线，根据平行线分线段成比例定理，得到，由此即可求解．
【详解】（1）解：连接，
，
，
∵是直径，
∴，
∴，即，
∵，，
，
∴，
∴，
∴，
，
，
∴，
，
，
又为的半径，
是的切线．
（2）解：连接，
为的直径，
，
在中，，根据勾股定理，
的直径为13，，
，
为的中点，
，
，
，
为的垂直平分线，
为的中点，为的中点，
为的中位线，
，
∴，即，
，
，根据平行线分线段成比例，
，即，
．
【点睛】本题主要考查切线的判定，勾股定理，垂直平分线的判定和性质，中位线的判定和性质，平行线分线段成比例定理的运用，掌握以上知识的综合，数形结合分析是关键．
7．(1)证明见解析；
(2)
【分析】连接，根据圆周角定理可知，从而可得，再根据可得，根据切线的定义可证结论成立；
根据，，可证，根据相似三角形对应边成比例可得：，根据可得，根据可以求出的长度．
【详解】（1）证明：如下图所示，连接，
是的直径，
，
，
，
，
又，
，
，
，
即，
是的半径，
是的切线；
（2）解：在中，，
，，
，
，
又，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、圆周角定理，解决本题的关键是相似三角形的性质得到对应边成比例，再利用对应边成比例求出线段的长度．
8．(1)详见解析
(2)2
【分析】本题考查了切线的证明和解直角三角形，解题关键是熟练运用切线的判定定理进行证明，利用圆的性质得出等边三角形，运用三角函数求解；
（1）连接，根据和证明即可；
（2）根据得出，得出是等边三角形，再根据三角函数求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
∴
是的半径，
是的切线；．
（2）解：在中，，
，
是等边三角形，
，
是直径，
，
在中，．
9．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由垂径定理得，即，再由得，即可得出结论；
（2）由且得四边形是平行四边形，得，再由圆周角定理得，即可得；
（3）由已知可得，再由勾股定理得，设圆的半径为r，则，由勾股定理得，有，解方程进而可得，再证得，再由即可得解．
【详解】（1）证明：是的中点，
∴由垂径定理得：，即，
又∵，
，
为半径，
是的切线；
（2）证明：∵且，
∴四边形是平行四边形，
，
和是同弧所对的圆周角，
，
；
（3）解：如图，连接，由（2）知四边形是平行四边形，
，
又是的中点
，
在中，由勾股定理得，
，
设圆的半径为r，则，
在中，由勾股定理得，有，
解得：，则，
，
，
∴在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了垂径定理，平行四边形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质．
10．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角函数解直角三角形、勾股定理等：
（1）连接，根据等边对等角得出，根据D 是弧的中点，可得，等量代换得出，推出，结合得出，即可证明是的切线；
（2）先利用三角函数和勾股定理解求出，再证，求出，再证，根据对应边成比例列式即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵D 是弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：在 中，∵，，
∴，，
如图，连接，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
，
，
∴的半径为5，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴ ，
∴ ，
解得．
11．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题是一道圆的综合题，考查了圆的有关知识，即切线的判定、圆周角定理、弧长公式等，同时涉及等腰三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握以上知识点，明确弧长计算公式是解题的关键．
（1）连接，通过圆周角定理，得，由，得，在中，易得，，根据，得，即可证明；
（2）连接，由（1）得，根据，得，通过圆周角定理，得，在中，，由弧长计算公式，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
内接于⊙，
，
，
，
，
，
又，
，，
，
，
是⊙的半径，
是⊙的切线．
（2）解：如图，连接，
，，
，
，
，
，
在中，，
的长为．
12．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据，求得，，即可解答．
（2）根据圆周角定理得，根据三角函数，得到，由勾股定理得，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，三角函数，勾股定理，相似三角形的判定与性质．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，即
，
是的半径，
是的切线
（2）是的直径，
在中，，，
，即，
由勾股定理得
，为的半径，
，
，
，
，
，
，
，即，
．
13．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据直径确定直角，再由等腰三角形三线合一的性质，推出，最后利用圆的切线的判定方法进行解答即可；
（2）根据直角三角形的边角关系，圆周角定理求出、、，进而求出、，再根据相似三角形的判定和性质求出即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
即，
，
，
，
，
，
，
即，
是的直径，
是的切线；
（2）解：如图，过点作于点，
在中，，，
，，
，，
，
在中，，，
，，
，
，
，
即，
解得，
经检验是原方程的解，
．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，掌握切线的性质和判定方法，圆周角定理，勾股定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
14．(1)见解析
(2)9
【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理和相似三角形的判定和性质：
（1）连接，等边对等角，结合圆周角定理推出，即可得证；
（2）证明，列出比例式进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接，则：，
∴，
∵，，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）∵为的切线，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
15．(1)见解析
(2)2
【分析】（1）连接，根据圆周角定理，等腰三角形的性质以及平行线的性质和判定，得出即可；
（2）连接，，证明是等边三角形，利用等边三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
则，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：如图2，连接，，
则．
由（1）知，
∴，
∴．
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质、圆周角定理是解题的关键．

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