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(共25张PPT)
第五章　四边形
微专题“十字架”结构的解读
（安徽中考链接：2020年第23题，2017年第23题）
（学用见P117~119）
类型1 正方形“十字架”结构
【引例】（1）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE.求证：AF=BE.
【简析】（1）由垂直得角相等，进而证明△DAF≌△ABE，得AF=BE.
图1
（2）如图2，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ.求证：MP=NQ.
（2）如图，过点A作AF∥MP，交CD于点F，过点B作BE∥NQ，交AD于点E.
由平行四边形的判定与性质得AF=MP，BE=NQ，
结合（1）中结论知AF=BE，得MP=NQ.
图2
由引例可归纳得以下核心思路：端点在正方形边上的两条线段：垂直 相等.
例1　（2024·淮北一模）如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，BC上的动点，且AF⊥DE，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，连接CM.
（1）求证：AF=DE；
【答案】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE=∠ABF=90°，DA=AB.
∵AF⊥DE，∴∠BAF+∠AED=90°，
∵∠BAF+∠BFA=90°，∴∠AED=∠BFA，
在△DAE和△ABF中，
∴△DAE≌△ABF（AAS），∴AF=DE.
（2）当点E运动到AB的中点时，求CM的长.
（2）由（1）知△ABF≌△DAE，
∴BF=AE=BE=2.
解法1：如图1，过点F作FN⊥CM于点N.
由翻折可知FM=BF=2，∠AFB=∠AFM.
∵FM=FC，FN⊥CM，∴MN=NC，∠MFN=∠CFN，
∴（∠BFM+∠CFM）=∠AFM+∠MFN=∠AFN=90°，
∴∠AFB=90°-∠NFC=∠FCN，∴tan ∠AFB=tan ∠FCN，∴=2.
设NC=a，则FN=2a，∴FC=a=2，
∴a=，∴CM=2NC=.
图1
解法2：如图2，连接BM，交AF于点O.
由翻折可得FM=BF=2，AM=AB=4，∠AMF=∠B=90°，
∴∠BAM+∠BFM=180°，AF垂直平分BM，即BM=2BO.
∵AF==2，
∴BO=，∴BM=.
易证△ABM∽△FCM，
∴，∴CM=.
图2
（1）由正方形“十字架”结构易证△DAE≌△ABF，即可证明AF=DE.
（2）解法1：过点F作FN⊥CM于点N，证得∠AFB=∠FCN，利用tan ∠AFB=tan ∠FCN=2转化即可求解；
解法2：连接BM，利用△ABM∽△FCM得比例式即可求解.
类型2 矩形“十字架”结构
【引例】（1）如图1，在矩形ABCD中，CD=b，AD=a，在AB边上有一点E.若DE⊥AC，则DE与AC之间有什么数量关系？
（2）如图2，在矩形ABCD中，CD=b，AD=a，在AB边上有一点E，CD边上有一点F.若EF⊥AC，则EF与AC之间有什么数量关系？
（3）如图3，在矩形ABCD中，CD=b，AD=a，E，F分别是AB，CD边上的点，M，N分别是AD，BC边上的点.若EF⊥MN，则EF与MN之间有什么数量关系？
图1　　　 图2 图3
【简析】（1）由垂直得角相等，进而证明△EDA∽△ACD，得.
（2）过点F作FG⊥AB于点G，证明△EFG∽△ACD，得.
（3）过点N作NH⊥AD于点H，过点F作FG⊥AB于点G，证明△EFG∽△MNH，得.
由引例可归纳得以下核心思路：端点在矩形边上的两条线段：垂直 与矩形邻边成比例.
例2　【探究证明】
（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条相互垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，请补充完整探究过程.
如图1，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H.求证：.
图1
【答案】（1）如图1，过点D作DM∥GH交BC于点M，过点C作CN∥EF交AB于点N.
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∠DCB=∠CBA=90°，∴∠DCN+∠BCN=90°，
∴四边形DGHM，EFCN是平行四边形，
∴DM=GH，EF=CN.
∵EF⊥GH，∴DM⊥CN，
∴∠DCN+∠CDM=90°，
∴∠CDM=∠BCN，
∴△CBN∽△DCM，∴，∴.
图1
【结论应用】
（2）如图2，在满足（1）的条件下，AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上.若，则的值为 　.
图2
【联系拓展】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值.
图3
（3）如图2，过点D作EF⊥BC于点E，过点A作AF⊥EF于点F，连接AC，BD交于点O.
∵EF⊥BC，AF⊥EF，∠ABC=90°，
∴四边形ABEF为矩形.
∵AB=AD，BC=CD，
∴AC垂直平分DB，∴.
∵AM⊥DN，∴，∴.
∵AB=AD=10，BC=CD=5，∠ABC=90°，
∴AC==5.
∵AB·BC=AC·BO，解得BO=2，
∴DB=4，∴.
　图2
提分训练
类型1　正方形“十字架”结构
1.如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是边BC，CD延长线上的动点，且CE=DF，连接AE，BF相交于点G，连接DG，则DG的最小值为（ ）
A.-1 B.-1
C. D.
B
2.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AM为BC边上的中线，CD⊥AM于点D，CD的延长线交AB于点E，则的值为　　.
2
3.（2024·滁州全椒一模改编）如图，正方形ABCD的边长为4，点M，N分别在AB，CD上.将该正方形沿MN折叠，使点D落在BC边上的点E处，折痕MN与DE相交于点Q.
（1）若，则MN的长为 ；
（2）若G为EF的中点，随着折痕MN位置的变化，GQ+QE的最小值为　 　.
　
2
类型2　矩形“十字架”结构
4.如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12.将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE.若点P恰好在边BC上，连接AP，则的值为 　.
5.如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC的延长线上，连接EF与边CD相交于点G，连接BE与对角线AC交于点H，已知AE=CF，∠1=∠2.若，则的值为 　.
6.（2023·抓分卷卷二第22题）已知E是矩形ABCD的边CD上一点，连接AE交BD于点O，过点D作DF⊥AE于点G，交BC于点F.
（1）如图1，若=k，求的值.（用含k的代数式表示）
解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC=∠C=90°，∴∠ADF+∠CDF=90°.
∵DF⊥AE，∴∠ADF+∠DAE=90°，
∴∠DAE=∠CDF，∴△DAE∽△CDF，
∴.
∵=k，∴.
图1　
（2）如图2，设AE，BC的延长线交于点M，移动点E，使得∠ADB=∠AMD.
（ⅰ）求证：△BDF∽△MDE；
（2）（ⅰ）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC.
∵∠ADB=∠AMD，
∴∠DBC=∠AMD.
由（1）知△DAE∽△CDF，
∴∠AED=∠DFC，
∴∠BFD=∠DEM，
∴△BDF∽△MDE.
（ⅱ）若BF=DF，求证：MG=CD.
（ⅱ）过点M作MN⊥AD，交AD的延长线于点N.
∵BF=DF，∴∠DBF=∠BDF.
∵∠DBF=∠AMD=∠ADB，
∴∠BDF=∠AMD=∠ADB.
∵∠DOG=∠MOD，
∴△ODG∽△OMD，
∴∠ODM=∠OGD=90°，
∴∠ADB+∠MDN=90°，∠BDF+∠FDM=90°，
∴∠FDM=∠MDN.
∵DF⊥AM，MN⊥DN，∴MN=MG.
∵∠N=∠DCM=∠CDN=90°，
∴四边形DCMN是矩形，∴MN=CD，∴MG=CD.(共28张PPT)
第五章　四边形
5.2　矩形、菱形与正方形
第2课时　菱　形
1.(2024·甘肃临夏州)如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为(3，4)，则顶点A的坐标为( )
A.(－4，2) B.(－，4)
C.(－2，4) D.(－4，)
C
课前基础自测
B
A.2 B. C.3 D.4
2.［RJ版教材八下P61习题18.2第11题改编］(2023·四川乐山)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连接OE.若AC＝6，BD＝8，则OE＝( )
C
3.(2024·武汉)小美同学按如下步骤作四边形ABCD：(1)画∠MAN；(2)以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；(3)分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；(4)连接BC，CD，BD.若∠A＝44°，则∠CBD的大小是( )
A.64° B.66°
C.68° D.70°
4.［BS版教材九上P9习题1.3第3题改编］如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝16，BD＝12，则BH∶CH＝　 　.
18∶7
垂直　
教材知识梳理
邻边　
一半
（学用见P111~112）
例　已知四边形ABCD为菱形，点E在BC上.
（1）如图1，点F在AD上，AF=CE，AE，CF分别交BD于点G，H.求证：△BGE≌△DHF.
【答案】（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=AD，BC∥AD，∴∠GBE=∠HDF.
∵CE=AF，∴BE=DF，四边形AECF为平行四边形，
∴∠GEB=∠HFD，∴△BGE≌△DHF.
图1
（1）结合菱形的性质，由AF=CE能得到哪些结论？这些结论中哪些能作为证明△BGE≌△DHF的条件？
（2）如图2，在（1）的条件下，连接CG，AH，试判断四边形AGCH的形状，并说明理由.
（2）四边形AGCH为菱形.
理由：由（1）知四边形AECF为平行四边形，△BGE≌△DHF，
∴AE∥CF，AE=CF，GE=HF，
∴AE-GE=CF-HF，即AG=CH，
∴四边形AGCH为平行四边形.
由菱形ABCD的对称性知AG=CG，
∴平行四边形AGCH为菱形.
图2
（2）由△BGE≌△DHF能得到什么结论？由菱形的对角线你能想到什么？
（3）如图3，E，F分别是边BC，CD上的动点，∠EAF=∠ABC=60°，AB=3.
①CE+CF的值为　 　；
②EF的最小值为 .
图3
3
　
（3）①提示：连接AC.
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，∴∠ACF=60°.
∵∠BAC=∠EAC+∠BAE=60°，∠EAF=∠EAC+∠CAF=60°，∴∠BAE=∠CAF，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF，∴CE+CF=CE+BE=BC=AB=3.
②提示：由①知△BAE≌△CAF，∴AE=AF，
∵∠EAF=60°，∴△AEF为等边三角形，∴EF=AE，则EF的最小值即为AE的最小值，当AE⊥BC时，AE最小，此时AE=，∴EF的最小值为.
（3）①由四边形ABCD为菱形，点E在BC上，∠ABC=60°，可想到连接AC，得到等边三角形.通过证明三角形全等，将CF转化为BE（或将CE转化为DF）；
②由①易证△AEF为等边三角形，EF的最小值即为AE的最小值.
（4）如图4，F为CD上一点，AF与DE交于点G，∠AGE=∠ABC=60°，AG=2DG.求证：AE⊥BC.
（4）∵∠AGE=∠ABC=60°，
∴∠AGD=∠DCE=120°.
∵AD∥BC，∴∠ADG=∠DEC，
∴△AGD∽△DCE.
∵AG=2DG，∴CD=2CE.
∵BC=CD，∴BC=2CE，即E为BC中点.
连接AC，易知△ABC为等边三角形，∴AE⊥BC.
图4
（4）点E在什么位置才能使得AE⊥BC？这与题中关键条件“AG=2DG”中的“2倍关系”如何联系起来？
提分练1　如图，四边形ABCD是菱形，对角线相交于点O，OM⊥DC，若OC=2，OM=，则菱形ABCD的面积是（ ）
A.8　　B.16
C.4 D.8
A
提分练2　（2024·木牍5月联考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AC边上一点，连接BD，E是△ABC外一点且满足BE∥AC，AE∥BD，AB平分∠DAE，连接DE交AB于点O.
（1）求证：四边形ADBE是菱形；
解：（1）∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形ADBE是平行四边形，∠EBA=∠BAD.
∵AB平分∠DAE，∴∠EAB=∠BAD，
∴∠EBA=∠EAB，∴BE=AE，
∴四边形ADBE是菱形.
（2）连接OC，若四边形ADBE的周长为20，OC=2，求BC的长.
（2）由（1）知四边形ADBE是菱形，
∴OA=OB，AD=BD=5.
在Rt△ACB中，OC=OA=OB=2，AB=4，
∴在Rt△BOD中，OD=，
∴DE=2OD=2.
由S菱形ADBE=DE·AB=AD·BC，得BC=4.
十年真题精选
命题点　与菱形有关的推理及计算［10年4考］
1. (2021·安徽第8题)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为( )
A.3＋ B.2＋2
C.2＋ D.1＋2
A
【解析】解法1：由AB＝2，∠A＝120°，易得EG＝.由题可知四边形EFGH是矩形，∴OE＝OF＝OG＝OH＝.∵EG⊥AB，FH⊥AD，∴∠EOH＝180°－120°＝60°，
∴△OEH是等边三角形，∴EH＝，∴EF＝，
∴四边形EFGH的周长＝2×()＝3＋.
解法2：连接AC，BD，交点为O，则AC⊥BD.∵∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，∠ABD＝30°.∵AB＝2，∴OA＝1，OB＝.在Rt△OBE中，BE＝OB·cos 30°＝.易得△BEF是等边三角形，∴EF＝BE＝.由题意知四边形EFGH是矩形，∠EFH＝30°，∴在Rt△EFH中，EH＝EF·tan 30°＝，
∴四边形EFGH的周长＝2×＝3＋.
真题改编　如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，过矩形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为　 　.
20
2.(2015·安徽第9题)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4.点E在AB上，点F在CD上，点G，H在对角线AC上.若四边形EGFH是菱形，则AE的长是( )
A.2 B.3
C.5 D.6
C
【解析】连接EF交AC于点M.由四边形EGFH是菱形可得FM＝EM，EF⊥AC，易证△FMC≌△EMA，所以AM＝MC.在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC＝4，
且tan ∠BAC＝.在Rt△AME中，AM＝AC＝2，tan ∠BAC＝，可得EM＝.
在Rt△AME中，由勾股定理求得AE＝5.
3.(2024·安徽第22题)如图1， ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD，BC上，且AM＝CN. 点E， F 分别是 BD与AN，CM的交点.
(1) 求证：OE＝OF；
解：(1)解法1：由题意知AD∥BC，AM∥CN，OA＝OC.
由于AM＝CN，则四边形AMCN是平行四边形，
从而AN∥CM，所以∠OAE＝∠OCF.
在△AOE与△COF中，因为OA＝OC，∠OAE＝∠OCF，∠AOE＝∠COF，
所以△AOE≌△COF，故OE＝OF.
图1
解法2：通过证明△ABE≌△CDF得BE＝DF，从而得OE＝OF.
解法3：由AN∥CM得，又因为DM＝BN，AM＝CN，所以BE＝DF，从而得OE＝OF.
(2)连接BM 交AC于点H，连接 HE，HF.
(ⅰ)如图2，若HE∥AB，求证：HF∥AD；
图2
(2)(ⅰ)因为HE∥AB，所以.
又OB＝OD，OE＝OF，则.
由于∠HOF＝∠AOD，故△HOF∽△AOD.
于是∠OHF＝∠OAD，所以HF∥AD.
(ⅱ)如图3，若 ABCD 为菱形，且MD＝2AM，∠EHF＝60°，求的值.
(ⅱ)因为 ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
又OE＝OF，∠EHF＝60°，
所以∠EHO＝∠FHO＝30°，于是OH＝OE.
因为AM∥BC，MD＝2AM，所以，即HC＝3AH.
又OA＝OC，所以OA＝2OH＝2OE.
又因为BN∥AD，MD＝2AM，AM＝CN，所以，
即BE＝BD，DE＝BD. 又OB＝OD，所以OE＝BD，所以OB＝5OE.
故，即的值是.
图3(共32张PPT)
第五章　四边形
5.2　矩形、菱形与正方形
第1课时　矩　形
1.(2023·上海)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是( )
A.AB∥CD B.AD＝BC
C.∠A＝∠B D.∠A＝∠D
C
课前基础自测
2.(2023·合肥四十五中二模)在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O.下列结论一定正确的是( )
A.△AOB是等边三角形
B.AO＝BD
C.AC⊥BD
D.BD平分∠ABC
B
3.［HK版教材八下P87例1改编］如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O.若AB＝BD，OA＝2，则BC的长为( )
A.4 B. C.2 D.2
D
4.［BS版教材九上P19习题1.6第5题改编］如图，P是矩形ABCD的边AD上一个动点，PE⊥AC，PF⊥BD，且PE＋PF＝，BD＝10，则矩形ABCD的面积是　 　.
48
教材知识梳理
定义 有一个角是①　 　的平行四边形叫做矩形
直角　
判定
矩形
（学用见P107~108）
例　已知 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOD=2∠OAB，E为BC上一点.
（1）如图1，求证：四边形ABCD为矩形.
【答案】（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=AC，OB=BD.
∵∠AOD=∠OAB+∠OBA，∠AOD=2∠OAB，
∴∠OAB=∠OBA，∴OA=OB，
∴AC=BD，∴平行四边形ABCD为矩形.
图1
（1）平行四边形再添加什么条件能成为矩形呢？所给条件∠AOD=2∠OAB应如何转化？
（2）如图2，连接AE，OE.若AE平分∠BAD，∠AOD=120°，则∠AEO的度数为　 　.
（2）提示：由（1）知四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=∠ABE=90°，OA=OB.∵AE平分∠BAD，∠AOD=120°，∴易得△ABE为等腰直角三角形，△OAB为等边三角形，∴∠OBE=30°，∠BEA=45°，OB=AB=BE，∴∠BEO=∠BOE=75°，∴∠AEO=∠BEO-∠BEA=30°.
图2
30°
（2）
（3）如图3，连接AE，OE，若AB=6，BC=8，当△EOC为直角三角形时，AE的长为　 　.
（3）提示：①∠OCE=90°时，此情况不存在；②当∠OEC=90°时，OE∥AB，∵O为AC中点，∴E为BC中点，即BE=4，∴AE==2；③当∠EOC=90°时，由AB=6，BC=8知AC=10，则OC=5，∵cos∠ACB=，∴EC=，∴BE=BC-EC=，∴AE=.综上所述，AE的长为2.
图3
2
（3）本题显然需要分类讨论：
①∠OEC=90°；②∠EOC=90°.
（4）如图4，连接EO并延长交AD于点F，EF⊥AC，过点F作FG⊥EF交CD于点G，连接EG，求证：EG∥BD.
（4）解法1：∵FG⊥EF，EF⊥AC，
∴FG∥AC，∴.
易证△AOF≌△COE，△DOF≌△BOE，
∴FA=CE，DF=EB，∴，∴EG∥BD.
图4
解法2：设FG交BD于点M，EG交AC于点N.
易证△AOF≌△COE，∴OF=OE.
∵FG⊥EF，AC⊥EF，∴ON∥FG，
∴ON是△EFG的中位线，即ON=FG，ON∥FG.
∵FG∥AC，OA=OD，∴MF=MD.
同理可得MD=MG，∴MF=MG，
∴ON=MG，ON∥MG，
∴四边形ONGM为平行四边形，∴EG∥BD.
图4
（4）证明两直线平行的常用方法有寻找（或构造）同位角相等、内错角相等、同旁内角互补、成比例线段、三角形相似、平行四边形等.由题目条件EF⊥AC，EF⊥FG，可得AC∥FG，那么本题适合用哪种方法呢？
提分练　（2024·兰州）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC.
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC=∠ADB=90°.
∵CE∥AD，∴∠ECD=∠ADB=90°.
∵AE⊥AD，∴∠EAD=90°，
∴∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°，∴四边形ADCE是矩形.
（2）若BC=4，CE=3，求EF的长.
（2）∵在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，BC=4，
∴BD=CD=BC=2.
由（1）可知四边形ADCE是矩形，∴AE=CD=2，∠AEC=90°，
在Rt△AEC中，AE=2，CE=3，
由勾股定理，得AC=.
∵EF⊥AC，∴S△AEC=AC·EF=AE·CE，∴EF=.
十年真题精选
命题点　与矩形有关的推理及计算［10年6考］
1.(2017·安徽第10题)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3.动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为( )
A. B. C.5 D.
D
真题改编　如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，P是矩形ABCD内的一个动点，且满足S△PAB＝S△PCD，则PC＋PD的最小值为　 　.
4
2.(2018·安徽第14题)在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC.若△APD是等腰三角形，则PE的长为　 　.
【解析】由△PBE∽△DBC，且∠C＝90°，可得∠PEB＝∠C，∠PBE＝∠DBC，即PE⊥BC，点P在对角线BD上.又由△APD为等腰三角形，故分情况讨论：①PA＝PD，如图1，作边AD的垂直平分线与BD，BC分别交于点P，E，易知PE是△DBC的中位线，∴PE＝CD＝3；
图1
3或
②PD＝AD，如图2，以点D为圆心，AD长为半径画弧交BD于点P，过点P作PE⊥BC于点E，由勾股定理求得BD＝＝10，则BP＝BD－DP＝10－8＝2，由△PBE∽△DBC，得，即，解得PE＝；③由图知PA＜AD，∴不存在等腰△APD，使PA＝AD.综上所述，PE的长为3或.
图2
3.(2020·安徽第23题)如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD.EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝AB.
(1)求证：BD⊥EC；
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，
∴∠EAF＝∠DAB＝90°.
又∵AE＝AD，AF＝AB，
∴△AEF≌△ADB(SAS)，∴∠E＝∠ADB，
∴∠GEB＋∠GBE＝∠ADB＋∠ABD＝90°，
即∠EGB＝90°，∴BD⊥EC.
图1
(2)若AB＝1，求AE的长；
(2)由矩形的性质知AE∥CD，
∴∠E＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，
∴△AEF∽△DCF，∴，即AE·DF＝AF·DC.
设AE＝AD＝a(a＞0)，则有a·(a－1)＝1，
整理得a2－a－1＝0，解得a＝或a＝(舍去)，
∴AE的长为.
(3) 如图2，连接AG，求证：EG－DG＝AG.
(3)解法1 1：如图①，作AH⊥AG，交EC于点H.
∵∠EAH＋∠HAD＝90°，∠DAG＋∠HAD＝90°，∴∠EAH＝∠DAG.
又∵AE＝AD，∠E＝∠ADG，
∴△AEH≌△ADG(ASA)，
∴AH＝AG，EH＝DG，
∴△HAG为等腰直角三角形，
∴EG－DG＝EG－EH＝HG＝AG.
图2
图①
解法1 2：如图②，过点A作AG的垂线，与DB的延长线交于点M.
在△AEG和△ADM中，AE＝AD，∠AEG＝∠ADM，∠EAG＝90°＋∠DAG＝∠DAM，
∴△AEG≌△ADM(ASA)，
∴EG＝DM，AG＝AM，
∴△AGM为等腰直角三角形，
∴EG－DG＝DM－DG＝GM＝AG.
图②
解法2 1：如图③，在EG上截取EH＝DG.
∵∠E＝∠ADG，AE＝AD，
∴△AEH≌△ADG(SAS)，
∴AH＝AG，∠EAH＝∠DAG，
∴∠HAG＝∠DAG＋∠HAD＝90°，
∴△HAG为等腰直角三角形，
∴EG－DG＝EG－EH＝HG＝AG.
图③
解法2 2：如图④，延长DB至点M，使DM＝EG.
∵∠E＝∠ADM，AE＝AD，
∴△AEG≌△ADM(SAS)，
∴AG＝AM，∠GAM＝∠EAD＝90°，
∴△AGM为等腰直角三角形，
∴EG－DG＝DM－DG＝GM＝AG.
图④
解法3：如图⑤，过点A作AM⊥EF，AN⊥BD，垂足分别为点M，N.
∴∠AME＝∠AND＝90°.
易证△AEM≌△ADN，∴AM＝AN，EM＝DN.
由(1)知BD⊥EC，∴∠NGM＝90°，
∴∠AMG＝∠ANG＝∠NGM＝90°，
∴四边形AMGN是正方形，∴AM＝MG＝GN＝AN，
∴△AMG是等腰直角三角形，
∴MG＝AG，∴EG－DG＝(EM＋MG)－(DN－GN)＝EM＋MG－DN＋GN＝2MG＝2×AG＝AG.
图⑤
（3）思路1：由联想到等腰直角三角形中斜边与直角边的关系，构造以AG为直角边的等腰直角三角形.如图①和图②所示.
图①
图②
思路2：三条线段关系，通常化三为二，可在较长线段上截取较短线段，或将较短线段补成较长线段，再利用线段和、差关系求证.如图③和图④所示.
图③
图④
思路3：由AG可以联想到等腰直角三角形，想到45°角，构造正方形.如图⑤所示.
图⑤(共33张PPT)
第五章　四边形
5.1　多边形与平行四边形
4
B
2.［HK版教材八下P76例1改编］在 ABCD中，AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为　 　.
1.(2024·云南)一个七边形的内角和等于( )
A.540° B.900° C.980° D.1080°
课前基础自测
35°
3.［RJ版教材八下P50习题18.1第10题改编］如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BC上一点，且CF＝AE，连接DF.若∠ABC＝70°，则∠CDF的度数为　 　.
A
A.4 B.6
C.8 D.5
4.［HK版教材八下P78例4改编］如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O 作OE⊥AC交AD于点E.若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为( )
教材知识梳理
例　已知在 ABCD中，E为BC上一点（不与点B，C重合），连接AE.
（1）如图1，若E是BC的中点，取AD的中点F，连接CF，求证：四边形AECF为平行四边形.
【答案】（1）易知BC=AD，BC∥AD.
∵E，F分别为BC，AD的中点，∴EC=AF，EC∥AF，
∴四边形AECF为平行四边形.
图1
（2）在（1）的条件下，连接BD，分别交AE，CF于点G，H，如图2.下列结论：①△BGE≌△DHF；
②BG=GH=DH；
③S ABCD=12S△DHF.其中正确的结论是　 　.（填序号）
图2
①②③
（2）①②由（1）知四边形AECF为平行四边形，可得到AE∥CF，由此条件，能得到什么结论呢？
③
（2）提示：①易知△BGE≌△DHF，故①正确；②由（1）知AE∥CF，∵AF=DF，∴GH=DH，同理可得BG=GH，∴BG=GH=DH，故②正确；③解法1：∵BC∥DF，∴△BHC∽△DHF，∴=2，
∴S△DHC=2S△DHF，=4，
∴S△BHC=4S△DHF，
∴S ABCD=2S△BCD=2（S△BHC+S△DHC）=12S△DHF，故③正确.
解法2：连接AH，由②知BH=2DH，∴S△ABH=2S△ADH.∵AF=DF，∴S△ADH=2S△DHF，∴S△ABH=4S△DHF，
∴S ABCD=2S△ABD=2（S△ABH+S△ADH）=12S△DHF，故③正确.
解法3：易知FH是△AGD的中位线，
∴S四边形AGHF=3S△DHF，
∴S ABCD=2S AECF=4S四边形AGHF=12S△DHF，故③正确.
（3）如图3，点F在边AD上，且AE⊥BD于点M，CF⊥BD于点N.若∠ABE=∠CFD，BM=4，BE=2，求AB的长.
（3）在Rt△BME中，BM=4，BE=2，∴ME=2.
易证四边形AECF为平行四边形，易得∠AEB=∠CFD.
∵∠ABE=∠CFD，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE.
设AB=x，则AM=AE-ME=AB-ME=x-2，
在Rt△ABM中，AB2=AM2+BM2，
即x2=（x-2）2+42，解得x=5，
∴AB的长为5.
图3
（3）
（4）如图4，连接对角线AC，BD相交于点O，∠BAC=90°，AB=3，AD=5.
①若E为BC的中点，则sin∠BAE= 　；
（4）①提示：∵∠BAC=90°，AB=3，BC=AD=5，∴AC=4.解法1：
∵E为BC的中点，∴AE=BE，∴∠BAE=∠ABE，∴sin∠BAE=sin∠ABE=.
解法2：过点E作EF⊥AB于点F.∵E为BC的中点，∴AE=BC=，易知EF为△ABC的中位线，∴EF=AC=2，∴sin∠BAE=.
图4
②连接DE，当△ADE为直角三角形时，求BE的长.
②分三种情况讨论：
当∠ADE=90°，此情况不存在；
当∠EAD=90°，即AE⊥AD时，易得∠AEB=90°，
∴sin∠BAE==sin∠BCA=，
∴BE=(或由AE=，得BE=)；
当∠AED=90°，即AE⊥DE时，解法1：取AD中点I，连接IE，IC，过点I作IH⊥EC于点H，易知IE=IC=AD=，IH=，∴EH=，∴BE=BC-2EH=
(解法2：∵∠BAC=90°，∴∠ACD=90°.又∵∠AED=90°，∴点A，C，D，E在以AD为直径的圆上，∴∠ADE=∠ACE，又∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACE，∴∠ADE=∠DAC，∴AE=CD，∴AE=AB=3.过点A作AG⊥BE于点G，易知BG=，则BE=2BG=).
综上所述，BE的长为
（4）①
②本题显然需要分类讨论，在直角三角形中求线段的长，可以选择的方法有三种：（1）勾股定理；（2）找相似，利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，可通过作辅助线构造相似三角形；（3）若有30°，45°，60°，可考虑锐角三角函数.
提分练　如图，在 ABCD中，E是BD的中点，则下列四个结论：①AM=CN；②若DM=AM，∠A=90°，则BM=CM；③若MD=2AM，则S△MNC=S△BNE；④若AB=MN，则△MFN与△DFC全等.其中结论正确的是　 　.（填序号）
①②③④
【解析】①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠MDE=∠NBE，∵E是BD的中点，∴BE=DE，易得△MDE≌△NBE，∴DM=BN，∴AM=CN，故①正确；②若∠A=90°，易得△BAM≌△CDM，∴BM=CM，故②正确；③由①知△MDE≌△NBE，∴ME=NE，∴S△BNE=S△BMN，∵MD=2AM，∴BN=2CN，∴S△MNC=S△BMN=S△BNE，故③正确；④当MN∥AB时，易知四边形MNCD是平行四边形，则△MFN≌△CFD.当MN不平行于AB时，∵AB=MN，AB=DC，∴MN=DC，又∵AD∥BC，∴四边形MNCD是等腰梯形，∴∠MNC=∠DCN，∴△MNC≌△DCN，∴∠NMC=∠CDN，∴△MFN≌△DFC，故④正确.
十年真题精选
命题点1多边形的性质［10年4考］
1.(2023·安徽第6题)如图，正五边形ABCDE内接于☉O，连接OC，OD，则∠BAE－∠COD＝( )
A.60° B.54°
C.48° D.36°
【解析】因为∠BAE＝180°－＝108°，∠COD＝＝72°，所以∠BAE－∠COD＝108°－72°＝36°.
D
2.(2015·安徽第8题)在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，点E在边AB上，∠AED＝60°，则一定有( )
A.∠ADE＝20° B.∠ADE＝30°
C.∠ADE＝∠ADC D.∠ADE＝∠ADC
【解析】令∠A＝∠B＝∠C＝α，由△ADE的内角和，得∠ADE＝120°－α，由四边形ABCD的内角和，得∠ADC＝360°－3α＝3(120°－α)，故∠ADE＝∠ADC.
D
3.(2024·安徽第9题)在凸五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝DE，F是CD的中点.下列条件中，不能推出AF与CD一定垂直的是( )
A.∠ABC＝∠AED B.∠BAF＝∠EAF
C.∠BCF＝∠EDF D.∠ABD＝∠AEC
D
【解析】A项，如图1，连接AC，AD.∵∠ABC＝∠AED，AB＝AE，BC＝DE，∴△ACB≌△ADE(SAS)，∴AC＝AD，又∵F为CD的中点，∴AF⊥CD，不符合题意；B项，如图2，连接BF，EF.∵AB＝AE，∠BAF＝∠EAF，AF＝AF，∴△ABF≌△AEF(SAS)，∴BF＝EF，∠AFB＝∠AFE，又∵CF＝DF，BC＝DE，∴△CBF≌△DEF(SSS)，∴∠CFB＝∠DFE，∴∠CFB＋∠AFB＝∠DFE＋∠AFE＝90°，∴AF⊥CD，不符合题意；
图1　　　 图2
C项，如图2，∵CF＝DF，∠BCF＝∠EDF，BC＝DE，∴△CBF≌△DEF(SAS)，∴BF＝EF，∠CFB＝∠DFE，
∵AB＝AE，AF＝AF，∴△ABF≌△AEF(SSS)，
∴∠AFB＝∠AFE，∴∠CFB＋∠AFB＝∠DFE＋∠AFE＝90°，∴AF⊥CD，不符合题意；D项，由∠ABD＝∠AEC无法得出相应结论，符合题意.
图1　　　 图2
命题点2与平行四边形有关的推理及计算［10年8考］
4.(2018·安徽第9题)在 ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( )
A.BE＝DF B.AE＝CF
C.AF∥CE D.∠BAE＝∠DCF
【解析】如图，由 ABCD得AB＝CD，AB∥CD，所以∠ABE＝∠CDF，结合选项A或D的条件可得到△ABE≌△CDF，进而得到AE＝CF，AE∥CF，判断出四边形AECF一定为平行四边形；结合选项C的条件可得到△ABF≌△CDE，所以AF＝CE，判断出四边形AECF一定为平行四边形；只有选项B不能判断出四边形AECF一定为平行四边形.
B
5.(2019·安徽第20题)如图，点E在 ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE.
(1)求证：△BCE≌△ADF；
解：(1)如图1，延长FA与CB的延长线交于点M.
∵AD∥BC，∴∠FAD＝∠M.
又∵AF∥BE，∴∠M＝∠EBC，
∴∠FAD＝∠EBC.
同理得∠FDA＝∠ECB，
∴△BCE≌△ADF(ASA).
(2) 设 ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值.
(2)解法1：如图1，连接EF.
由(1)知△BCE≌△ADF，∴AF＝BE.
又∵AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形，
∴S△AEF＝S△AEB.同理S△DEF＝S△DEC，
∴T＝S△AEB＋S△DEC.
另一方面，T＝S△AED＋S△ADF＝S△AED＋S△BCE，
∴S＝S△AEB＋S△DEC＋S△AED＋S△BCE＝2T，
于是＝2.
图1
解法2：由(1)知△BCE≌△ADF，
∴T＝S△AED＋S△BCE.
如图2，过点E作直线l⊥BC，交BC于点G，交AD于点H，∴EG⊥BC，EH⊥AD，
∴T＝S△AED＋S△BCE＝BC·(EG＋EH)＝BC·GH＝S，即＝2.
图2
真题改编　如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC＝∠CAB，∠DEC＝90°.
(1)求证：AC∥DE；
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB.
∵∠EDC＝∠CAB，
∴∠EDC＝∠ACD，∴AC∥DE.
(2)过点B作BF⊥AC于点F，连接EF，判断四边形BCEF的形状；
(2)四边形BCEF是平行四边形.
理由：∵BF⊥AC，四边形ABCD是矩形，∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠AFB＝90°，DC＝AB，
∴△CDE≌△BAF(AAS)，
∴CE＝BF，DE＝AF.
∵AC∥DE，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AD＝EF.
∵AD＝BC，∴EF＝BC.
∵CE＝BF，∴四边形BCEF是平行四边形.
(3)连接DF，若矩形ABCD的面积记为S1，四边形CEDF的面积记为S2，直接写出的值.
(3)的值为2.(共26张PPT)
第五章　四边形
5.2　矩形、菱形与正方形
第3课时　正方形
1.［RJ版教材八下P67复习题18第1(3)题改编］如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BED的度数为
( )
C
A.15° B.35° C.45° D.55°
课前基础自测
2.如图，四边形ABCD是矩形，E，F是BC，AB上的点，AE⊥DF于点H，AE＝DF，AE与BD交于点G.
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴∠BAE＋∠DAH＝90°.
∵AE⊥DF，∴∠DAH＋∠ADF＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF.
∵AE＝DF，∴△BAE≌△ADF，
∴AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形.
(2)已知∠BAE＝25°，求∠AGD的度数.
(2)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°，
∵∠BAE＝25°，
∴∠AGD＝∠BAE＋∠ABD＝70°.
教材知识梳理
正方形
定义有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形
性质
4
垂直平分　
判定
（学用见P115~116）
例　如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交直线BC于点F.
（1）如图1，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系，并加以证明.
【答案】（1）EA=EF.理由如下：
如图1，过点E作GH⊥BC于点H，交AD于点G.
∵在正方形ABCD中，∠EBH=45°，∴AG=BH=EH.
∵∠AGE=∠AEF=∠EHF=90°，
∴∠GAE+∠AEG=∠HEF+∠AEG=90°，
∴∠GAE=∠HEF，∴△AGE≌△EHF（ASA），∴EA=EF.
（亦可过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，构造“旋转型”全等）
图1
图1
（1）利用全等三角形的性质证明线段相等是常用的方法，本题中容易想到以EA，EF为斜边构造全等的直角三角形.既可作辅助线构造“一线三直角型”全等，也可构造“旋转型”全等.
（2）如图2，若点F在线段CB的延长线上，写出线段BC，BE和BF的数量关系，并说明理由.
（2）BC=BF+BE.理由如下：
解法1：过点E作GH⊥BC于点H，交AD于点G.
同（1）得FH=EG，BH=AG=EH，
∴BH=EH=BE，
∴BC=AB=GH=GE+EH=FH+EH=BF+BH+EH=BF+BE.
图2
解法2：连接CE，在BC上截取CP=BF，连接EP.
由正方形的对称性结合（1）可知EC=EA=EF，
∴∠ECP=∠EFB.
易证△ECP≌△EFB，∴PE=BE.
∵∠EBP=45°，∴△EBP为等腰直角三角形，
∴PB=BE，∴BC=CP+PB=BF+BE.
（2）虽然点F在线段CB的延长线上，但根据解题经验可知，辅助线的添法及解题思路应延续第（1）问.你还能想到其他解题思路吗？
（3）如图3，若点F在线段BC上，过点F作FH⊥BD于点H.求证：BD=2EH.
（3）解法1：由（1）知△AEF为等腰直角三角形，∴∠AFE=45°.
∵∠ABD=∠CBD=45°，∴∠AFE=∠ABD=45°，∴∠BAF=∠HEF.
∵FH⊥BD，∴∠EHF=∠ABF=90°，
∴△ABF∽△EHF，∴.
∵∠CBD=45°，FH⊥BD，∴△BHF为等腰直角三角形，
∴，∴，即AB=EH.
∵在正方形ABCD中，BD=AB，∴BD=2EH.
图3　
解法2：过点A作AO⊥BD于点O，易知BD=2BO.
由（1）知EA=EF，易证Rt△AOE≌Rt△EHF，
∴OE=HF.
易知△BHF为等腰直角三角形，∴BH=HF，
∴OE=BH，∴EH=OH+OE=OH+BH=BO=BD，
即BD=2EH.
（3）思路1：欲证BD=2EH，注意到BD=AB，证AB=EH.
思路2：欲证BD=2EH，取BD中点O，证BO=EH.
（4） 如图4，连接AF交BD于点G，BG∶EG=3∶5.
①试判断以BG，EG，DE三条线段为边能否构成直角三角形？请说明理由.
（4）如图2，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，连接HG.
①能构成直角三角形.
理由：∵△ADE≌△ABH，
∴AH=AE，BH=DE，∠ABH=∠ADE，∠BAH=∠DAE.
∵在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADE=45°，∴∠ABH=45°，
∴∠HBG=∠ABH+∠ABD=90°，∴HG2=BH2+BG2=DE2+BG2.
由（1）知∠EAF=45°，
又∵∠EAH=90°，∴∠HAG=∠EAH-∠EAF=45°.
图2
图4
在△HAG和△EAG中，
∴△HAG≌△EAG（SAS），
∴HG=EG，
∴EG2=DE2+BG2，
∴以BG，EG，DE三条线段为边能构成直角三角形.
②若AB=12，求AG·FG的值.
②设BG=3a.
∵BG∶EG=3∶5，∴HG=EG=5a.
由①知EG2=DE2+BG2，即（5a）2=DE2+（3a）2，
∴DE=4a，∴BD=BG+EG+DE=3a+5a+4a=12a.
∵在正方形ABCD中，BD=AB=12，∴a=.
易知△AGB∽△EGF，∴，
∴AG·FG=BG·EG=3a×5a=15a2=15×（）2=30.
（4）将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，即可将DE转化为BH，连接HG.
①判断三条线段能否构成直角三角形，需要先将三条线段组合成一个三角形，注意到∠EAF=45°，证明HG=EG，即可判断△BHG的形状.
提分练　在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，AC=12.
（1）如图1，若BE=BF，则AE与CF相等吗？请说明理由；
解：（1）AE=CF.
理由：连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OC.
∵BE=BF，∴OE=OF，∴OA-OE=OC-OF，
即AE=CF.
图1
（2）如图2，若∠FBE=45°，CF=4，求EF的长.
（2）将△BCF绕着点B逆时针旋转90°得到△BAG，连接EG，如图.
由旋转的性质知△BCF≌△BAG，∠GBF=90°，
∴∠GAB=∠FCB=45°，BG=BF，AG=CF=4，
∴∠GAE=∠GAB+∠BAC=45°+45°=90°.
∵∠GBF=90°，∠FBE=45°，∴∠GBE=∠GBF-∠FBE=45°，
在△GBE和△FBE中，∴△GBE≌△FBE（SAS），∴GE=EF.
设EF=GE=x，则AE=AC-CF-EF=8-x，在Rt△AGE中，∵AG2+AE2=GE2，
∴42+（8-x）2=x2，解得x=5，∴EF的长为5.
图2
十年真题精选
命题点　与正方形有关的推理及计算［10年6考］
1.(2023·安徽第8题)如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G.若AF＝2，FB＝1，则MG＝( )
A.2 B.
C.＋1 D.
B
【解析】因为四边形ABCD是正方形，AF＝2，FB＝1，所以AD＝DC＝BC＝AB＝AF＋FB＝3，AD∥CB，因为EF⊥AB，AD⊥AB，BC⊥AB，所以AD∥EF∥BC，所以＝2，△ADE∽△CME，所以＝2，所以CM＝AD＝，
所以MB＝，易证△BMG≌△CMD，所以BG＝DC＝3，
所以MG＝.
2.(2022·安徽第14题)如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G.连接DF，请完成下列问题：
(1)∠FDG＝　 　°；
【解析】(1)易证△ABE≌△GEF，∴AE＝GF，AB＝GE.
∵在正方形ABCD中，AB＝AD，∴AD＝GE，
∴AE＝DG＝GF，∴∠FDG＝∠DFG＝45°.
45
(2) 若DE＝1，DF＝2，则MN＝ 　.
(2)解法1：过点F作FH⊥CD于点H.∵∠FHD＝90°，∴四边形DGFH是正方形，∴DH＝FH＝DG＝2，AG∥FH，∴，∴DM＝，HM＝，
同理可得HN＝，∴MN＝HM＋HN＝.
解法2：如图1，将△DMF绕点F逆时针旋转90°，
得△HPF，连接CH，PN，
易证D，C，H三点共线.易知△DGF为等腰直角三角形，
EG＝3，GF＝2，DH＝4.∵DM∥GF，∴，∴，
∴DM＝，∴MH＝DH－DM＝.易证△DMF≌△HPF，△MNF≌△PNF，∴DM＝PH，MN＝PN，∴PH2＋HN2＝PN2，
即DM2＋HN2＝MN2，设MN＝x，则HN＝－x，∴＝x2，
解得x＝，即MN＝.
图1
解法3：如图2，连接EN，
易知，
∴S△MNF＝MN·DG＝S△EFN＝BE2＝，∴MN＝.
图2
（2）解法1：过点F作FH⊥CD于点H.由平行线分线段成比例分别求出HM和HN的值即可.
解法2：将△DMF绕点F逆时针旋转90°，结合全等三角形，利用勾股定理构造方程求解即可.
解法3：连接EN，得到S△MNF与S△ENF的关系后，通过面积公式可求得MN的值.

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