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2025年九年级数学中考二轮复习二次函数综合压轴题题型分类解答题专题训练
一、二次函数与面积问题
1．如图1，抛物线与直线交于点和点，点为该抛物线的顶点，已知抛物线经过点．
(1)求该抛物线与直线的函数表达式；
(2)若抛物线与轴交于点，直线与轴交于点．
（i）以为直角边，点为直角顶点，在直线的右侧作等腰直角，请在图2上画出符合条件的图形，并判断点是否在抛物线上；
（ii）如图3，连接，在直线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，三点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方．

(1)求抛物线的表达式．
(2)如图1，过点作轴，交直线于点E，连接，若，求点P的坐标．
(3)如图2，连接，，，与交于点G，过点作交于点．记，，的面积分别为，求的最小值．
3．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知点是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求点的坐标；
(3)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求面积的最大值及此时点的坐标．
4．综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线上一个动点，设点的横坐标为，连接，，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若，求的值；
(3)点的坐标为，点在直线上，是平面上任意一点，当以，，，四点为顶点的四边形为菱形时，直接写出点的坐标．
5．如图，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，E为x轴负半轴上的点，F为抛物线第一象限上的点，，D为直线上的点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，若四边形是平行四边形，求直线的解析式；
(3)如图②，直线满足（2）中的条件，M为直线上的点，当点D在第一、象限中，且，求点D的坐标．
二、二次函数与特殊四边形问题
6．如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线．
(1)求抛物线解析式；
(2)点为直线下方抛物线上一点，连接，，点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当面积最大时，求此时点的坐标及的最小值；
(3)将抛物线沿射线方向平移后过点，在新抛物线上是否存在一点，使与互补，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点，若点B的坐标为，点D是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限．
(1)求二次函数的表达式：
(2)连接，过点D作轴于点E，交线段于点F，当点D运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点D的坐标和的最大值；
(3)连接，若关于y轴的对称图形是，是否存在点D，使得四边形为菱形？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
8．抛物线（为常数，）与轴交于，两点，与轴交于点．设该抛物线的顶点为，其对称轴与轴的交点为．
(1)求该抛物线的解析式和顶点M的坐标；
(2)P为线段（含端点）上一点，且纵坐标为，为轴上一点，且．
①求n关于m的函数解析式；
②当n取最大值时，将线段向上平移t个单位长度，使得线段与抛物线有且只有一个交点，请直接写出t的值．
9．如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、．
(1)求：，的值；
(2)当时，函数的最小值是2，求出的值；
(3)在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的一个交点为A，顶点C的坐标为．
(1)求二次函数的解析式；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)在直线上方的抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出所有符合条件的点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
三、二次函数与线段周长问题
11．如图1，抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点，经过点B的直线交该抛物线于另一点E．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如图2，当点E与点C重合时，在直线上方的抛物线上任意取一点D，连接，交直线于点P．设，当t取得最大值时，求点D的坐标及此时t的最大值；
(3)如图3，经过点B不同于的另一直线交该抛物线于另一点F．当均为x轴上方抛物线上的两点（点E在点F的左边）时，直线与y轴分别相交于点．若，试探究是否存在定点Q在直线上，若存在，请求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，抛物线（是常数）的顶点为C，与x轴交于点A，，，连接，作直线，点为轴上一动点，其横坐标为（且）．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)过点作交直线于点，求点的坐标（用含的代数式表示）；
(3)连接，设的面积为．
①求关于的函数关系式；
②根据的不同取值，试探索点的个数情况
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴负半轴交于点A，与y轴负半轴交于点B，．
(1)求a的值；
(2)过点B作轴交抛物线对称轴于点C，经过C任作一条直线交抛物线于D，E两点，F为线段中点，当点F到y轴的距离为时，求直线的表达式；
(3)若点，在抛物线上，且分别位于x轴的两侧，求t的取值范围．
14．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于和两点，与轴相交于，且顶点，是抛物线上一动点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图1，连接，若，求的坐标；
(3)如图2，过作交抛物线于，以、、为顶点的三角形是否存在直角三角形，若存在，求出的坐标；若不存在，通过计算说明．
15．已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，（）是直线上方抛物线上的两点，且．
(1)求点B，C的坐标；
(2)求m与n之间的关系式，并直接写出m的取值范围；
(3)过点M作轴交于点D，过点N作轴交于点E，设四边形的周长为．
①求与m之间的函数关系式；
②若四边形为菱形，求m的值；
③若恰好存在四个M点，使四边形的周长相等，请直接写出此时四边形周长的取值范围．
《2025年九年级数学中考二轮复习二次函数综合压轴题题型分类解答题专题训练》参考答案
1．(1)抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为；
(2)（i）图见解析，点在抛物线上；（ii）点的坐标为．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）（i）根据题意作出图形，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为，，证明，求得，据此求解即可判定；
（ii）分两种情况讨论，当时，，求得直线的解析式为，得到直线的解析式为，联立即可求得点的坐标；当时，设点的坐标为，利用两点之间的距离公式列式计算的坐标，从而确定射线QB上不存在满足条件的点．
【详解】（1）解：将和点代入，得
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
∵，
∴抛物线的顶点，
∵直线过点和，
∴，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：当时，，，
∴，，
（i）由题意画出图形，如图，
分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为，，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
当时，，
∴点在抛物线上；
（ii）如图，当时，，
∵，，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得，
∴点的坐标为；
当时，
∵，∴，
设点的坐标为，
由题意得，
解得或，
当时，，
∴点的坐标为,且在第三象限，
此时，，
故在射线上的任一点Q，得到的
综上，点的坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
2．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）求出直线的解析式为，然后可设，则有，，进而根据可建立方程进行求解；
（3）由题意易得，则有，然后可得，作交y轴于N，作轴交于Q，则有，即，设，则，进而根据相似三角形的性质建立函数关系式，最后根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，则有：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设点，
∵轴，
∴轴，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
解得：，（此时B，P重合，不合题意舍去），
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
，
作交y轴于N，作轴交于Q，

∵直线的解析式为，，
∴直线的解析式为，
将代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，，
∵，轴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
，
∵，
∴当时，有最小值．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、二次函数的图象和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
3．(1)；
(2)；
(3)最大值是，此时点的坐标是．
【分析】利用一次函数的解析式求出点、的坐标，根据抛物线的对称轴是，可得关于、、的三元一次方程组，解方程组求出、、的值，即可得到抛物线的解析式；
根据将军饮马原理可知，当的值最小时，点是直线与对称轴的交点，即可求出点的坐标；
设点的坐标为 ，点的坐标为，根据三角形的面积公式可得：，根据二次函数的性质即可求出面积的最大值．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
，
，
当时，
可得：，
点的坐标是，
当时，
可得：，
解得：，
点的坐标是，
抛物线经过点，，
可得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：如图所示，设直线交于点，连接、，
直线，
当时，，
，
直线垂直平分，
，，
，
，
当点与点重合时，，此时的值最小，
，此时的值最小，
当的值最小时，点的坐标是；
（3）解：如图所示，作轴于点，交于点，
点的横坐标为，
点的坐标为 ，点的坐标为，
，
点的坐标是，
，
，
整理可得：，
当时，，此时，
面积的最大值是，此时点的坐标是．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合，用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、将军饮马原理、最短路径．
4．(1)
(2)或；
(3)或或或
【分析】（1）由对称轴计算公式可得，再把A、C两点坐标代入解析式中求解即可；
（2）解得到，则；求出点B的坐标，取点，连接，可证明是等腰直角三角形，且；取靠近T的三等分点R，过点R作于H，连接，则；可求出，则，解直角三角形得到，则，即点D即为线段与抛物线的交点，如图所示，取，连接，取靠近点S的三等分点L，则点D为直线与抛物线的交点，据此求解即可；
（3）分为边和对角线两种情况，根据菱形的邻边相等，以及对角线中点坐标相同讨论求解即可．
【详解】（1）∵对称轴为直线，
∴，即，
∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵，，
∴，
在中，，
∴；
在中，当时，解得或，
∴，
如图所示，取点，连接，
∴， ，
，
∴，
∴是等腰直角三角形，且；
如图所示，取靠近T的三等分点R，过点R作于H，连接，
∵，，
∴R的横坐标为，纵坐标为，
∴；
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴点D即为线段与抛物线的交点，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴此时点D的坐标为；
如图所示，取，连接，取靠近点S的三等分点L，
∴点L的横坐标为，纵坐标为，
∴点L的纵坐标为，
同理可证明此时，即，
∴点D为直线与抛物线的交点，
同理可得直线解析式为，
联立，解得或，
此时点D的坐标为；
综上所述，点D的坐标为或；
（3）解：，，
∴，
∴，
同理可得直线解析式为，
设，
∴，，
如图3-1所示，当是菱形的边时，则，
∴，解得或，
∴，，
在菱形四边形中，∵对角线的中点坐标相同，
∴，
∴，
∴点Q的坐标为；
同理可得点的坐标为；
如图3-2所示，当是菱形的边时，则，
∴，
解得或，
∴，
在菱形四边形中，∵对角线的中点坐标相同，
∴，
∴，
∴点Q的坐标为；
如图3-3所示，当为对角线时，则，
∴，
解得，
∴，
同理可得；
综上所述，点Q的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
5．(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了二次函数综合题，平行四边形的性质、相似三角形的性质等知识，数形结合是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）证明是等腰直角三角形，得到．设直线的解析式为，则，则直线的解析式为．证明，则，，得到．利用待定系数法即可求出答案；
（3）过点D作，垂足为H，过点B作，垂足为N，过点N作，垂足为K．求出，得到，则，根据得到，整理可得，求出，即可得到答案．
【详解】（1）解：点在抛物线上，
．
将代入，
得，
抛物线的解析式为．
（2）如图③，过点作，垂足为．
由（1）可得抛物线的解析式为，
，
是等腰直角三角形，
．
设直线的解析式为，则，
直线的解析式为．
四边形是平行四边形，
，，，
，
，，
，
．
点在直线上，把代入中，
得，解得，
直线的解析式为
（3）如图④，过点D作，垂足为H，过点B作，垂足为N，过点N作，垂足为K．
∵，
∴，
∴，
∴，则．
，则，
由直线EF的解析式为，得．
∵，，
∴直线BN的解析式为，
∴，
∴，
∴，
，
∴，，
整理可得，
解得．
∵点D在第一象限内，
∴，
∴，
即当△ADE∽△DBM时，点D的坐标为．
6．(1)
(2)，最小值为
(3)存在，．
【分析】（1）根据对称轴得出，将将代入，即可求解；
（2）过点P作y轴的平行线，交于点D，则面积，当最大时，面积最大，设，则，得出，即可求出带你P的坐标， 将点向右平移个单位长度至点，连接，则，做点关于抛物线对称轴的对称点，连接，则，当点，M，P三点共线时，，此时，取最小值，即可解答；
（3）根据题意得出平移后的解析式为，，①当点Q在x轴下方时：过点A作的垂线，交于点Q，过点Q作轴于点E，则，设，则，求出m即可；
②当点Q在x轴上方时：同理可得：，即可解答．
【详解】（1）解：∵对称轴为直线，
∴，则，
将代入得：，
则，
解得：，
∴，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：过点P作y轴的平行线，交于点D，
∵，对称轴为直线，
∴，
当时，，
∴，
设直线的解析式为：，
将，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵面积，
∴当最大时，面积最大，
设，则，
∴，
当时，最大，面积最大，
∴，
∵点为抛物线对称轴上一动点，轴，
∴
将点向右平移个单位长度至点，连接，
则，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
做点关于抛物线对称轴的对称点，连接，
则，
∴，
当点，M，P三点共线时，，
此时，取最小值，
∵，，
∴，
∴．
综上：，最小值为．
（3）解：∵将抛物线沿射线方向平移后过点，
∴原抛物线向下平移2个单位长度，向左平移4个单位长度，
∴平移后的解析式为，
∵，
∴，
∴，
①当点Q在x轴下方时：
过点A作的垂线，交于点Q，过点Q作轴于点E，
∵，
∴，
∴，则，
∴，则点Q即为所求，
设，
∴，，
∴，
整理得：，
解得：（舍去），
∴，
②当点Q在x轴上方时：
同理可得：
设，
∴，，
∴，
整理得：，
解得：（舍去），
∴（舍去），
综上：存在，．
【点睛】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法和步骤，铅锤法求面积，将军遛马最值模型，以及一线三等角证明相似．
7．(1)
(2)点D的坐标为时，的最大值为4
(3)点D的坐标是
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）设，由待定系数法求出直线的表达式为，则，列出关于函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3）连接，交于点M，设点，由菱形的性质得，从而，解方程即可求解．
【详解】（1）将，分别代入，
得
解这个方程组，得
所以二次函数的表达式为．
（2）设，
由，，可得直线的表达式为，
则，
∴
当时，，
故点D的坐标为时，的最大值为4．
（3）存在，理由如下：
如图，连接，交于点M，
设点，
若四边形为菱形，
则，，
∴，
∴，即，
解得，
∵点D在第一象限，
故当点D的坐标是时，四边形为菱形．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数与几何综合，以及菱形的性质，数形结合是解答本题的关键．
8．(1)抛物线解析式为：，顶点
(2)①；②或
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）①设点坐标为（其中），由勾股定理得：，即可求解；②求出线段的解析式，得到线段向上平移个单位长度后的解析式为：，当线段向上平移，线段与抛物线有且只有一个交点时，由；当时，线段依然满足条件，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线（为常数，）与轴交于，两点，
∴根据抛物线两点式设抛物线的表达式为，
∴整理得，，
∴，解得，，
∴抛物线解析式为：；
∵抛物线的对称轴为：，
∴，
∴顶点；
（2）解：由（1）可知，抛物线解析式为，与轴交于点，
∴抛物线的对称轴为：，顶点，，，
∴，
已知为线段（含端点）上一点，且纵坐标为，
∴，且，
①根据题意，（其中，如图所示，过点作于点，则四边形为矩形，即，
在中，，且,
∴，
在中，，且，,
∴，
在中，，且，，
∴，
，
在中，由勾股定理得：，
∴，
整理得：；
②对于，
当时，取得最大值为，则，
设所在直线的解析式为，且点、点，
∴，解得，，
∴线段的解析式为：，
∵线段向上平移个单位长度
∴平移后的解析式为：，
当线段向上平移，线段与抛物线有且只有一个交点时，联立方程组得，
，整理得，，
∴，解得，；
∵，
当时，，
∴当时，线段与抛物线有且只有一个交点
综上所述，线段与抛物线有且只有一个交点时，或．
【点睛】本题主要考查二次函数图象性质与一次函数图象的性质的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，一次函数的性质、勾股定理的运用、图形的平移，二次函数与一次函数交点的计算方法等知识的灵活运用是解题的关键．
9．(1)，2
(2)
(3)存在，点或
【分析】本题考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法求表达式，二次函数的性质，二次函数与角度问题等．第（3）问关键是构造三角全等．
（1）由题意得：，利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点，点，抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的性质解答即可；
（3）先求出，分点在左侧时，点在右侧时，两种情况讨论，利用三角形全等的性质解答即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
则，则，
抛物线的解析式为：，
则；
（2）解：当时，，
解得，，
点，
当时，，
点．
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，
当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值，
则，则（舍去），
∴的值为；
（3）解：存在点，理由如下：
∵，，
∴，
，
①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点，
在和中，
，，，
，
，
，
设直线的解析式为，
由点、的坐标得，直线的解析式为，
联立上式和抛物线的表达式得：，
则（舍去）或，故点；
②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点，
则，，，
，
，
四边形是正方形，
，
令中，，则，
解得或，
，，
，，
，
，
，
在点抛物线上，即点满足条件，
故存在满足条件的点有两个，分别为：或．
10．(1)
(2)是直角三角形，理由见解析
(3)存在，符合条件的点P的横坐标为或
【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，一次函数的几何综合，解一元二次方程，勾股定理的逆定理等知识．
（1）设二次函数解析式为，将顶点代入解析式得，再将代入求解即可；
（2）过点C作轴于点D，过点A作于点E，，然后根据勾股定理的逆定理即可解决问题；
（3）设点P的坐标为，过点P作，垂足为H，过点P作轴交直线于点Q，连接，求出直线的解析式为，得点Q的坐标为，得，解方程即可．
【详解】（1）解：设二次函数解析式为，
将顶点代入解析式得，
∵二次函数的图象与x轴交于点，
∴，
解得，
∴二次函数解析式为；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
，解得：或，
根据题意，
如图1，过点C作轴于点D，
∴，
过点A作于点E，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：存在，理由如下：
，
设点P的坐标为，
过点P作，垂足为H，过点P作轴交直线于点Q，连接，
设直线的解析式为，将代入得，
，
解得：
∴直线的解析式为，
∴点Q的坐标为，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵轴，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴所有符合条件的点P的横坐标是或．
11．(1)
(2)当时，即点D的坐标为时，t取得最大值
(3)直线过定点Q的坐标为
【分析】（1）将，代入，再建立方程组求解即可；
（2）求解直线的表达式为，设点D的坐标为，过点D作轴交于点H，可得点H的坐标为，求解，证明，，进一步可得答案；
（3）如图，设点E的坐标为，点F的坐标为，设直线的表达式为，直线的表达式为，求解直线的表达式为，直线的表达式为，可得，设直线的表达式为，求解直线的表达式为，进一步求解即可．
【详解】（1）解：将，代入，
得，，
解得，，
所以，抛物线的表达式为；
（2）解：设直线的表达式为，
将代入中，
得，，
解得，，
所以，直线的表达式为，
设点D的坐标为，过点D作轴交于点H，
∴点H的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，即点D的坐标为时，t取得最大值；
（3）解：如图，设点E的坐标为，点F的坐标为，
设直线的表达式为，直线的表达式为，
将代入中，
得，，
解得，，
∴直线的表达式为，
将代入中，
得，，
解得，，
∴直线的表达式为，
∴，
∴，
∴，
设直线的表达式为，
将代入中，
得，，
解得，，
∴直线的表达式为，
∵，
∴，
∴
∴直线过定点，
∴直线过定点Q的坐标为．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数的综合，本题的难度大，细心的计算，选择合适的方法解题是关键．
12．(1)
(2)
(3)①
②当时，对于每个S的值，存在3个P点；
当时，存在2个P点；
当时，对于每个S的值，存在1个P点．
【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、坐标与图形等知识．
（1）利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求得直线、和直线的解析式，求得，
（3）①分两种情况，利用三角形的面积公式列式即可求解；
②画出函数的图象，利用图象解决问题．
【详解】（1）解：，，
，
将，分别代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）由可知，
设直线的解析式为，
将，分别代入，
得解得，
直线的解析式为，
同理可求直线的解析式为，
∵，
设直线的解析式为，
将代入，得，
，
直线的解析式为，
联立，解得，
，
（3）①如图1，当时，
，
；
如图2，当时，
，
综上可知，；
②如图3，
对于，
，
画出图象，如图：
当时，对于每个S的值，存在3个P点；
当时，存在2个P点；
当时，对于每个S的值，存在1个P点．
13．(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法，一次函数的图象和性质，解不等式组，熟练掌握抛物线的图象和性质是解题的关键．
（1）令，求得，进而得到，将其代入抛物线解析式，即可求解；
（2）根据点C在对称轴上且轴得到，设直线的表达式为：，的横坐标分别为，与抛物线的表达式联立并整理得，因此，根据点F到y轴的距离为，得到，求解即可解答；
（3）当点M在x轴下方时，则点N在x轴的上方，即且，即可求解；当点N在x轴下方时，则点M在x轴的上方，同理可解．
【详解】（1）解：令，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
解得．
（2）解：由（1）知抛物线为，
则抛物线的对称轴为直线，
∵轴，，
∴，
设直线的表达式为：，的横坐标分别为，
联立上式和抛物线的表达式并整理得：，
∴，
∵当点F到y轴的距离为，即，
解得：或，
∴直线的表达式为：或；
（3）解：将点M、N的坐标代入抛物线的表达式得：，
，
当点M在x轴下方时，则点N在x轴的上方，
即且，
解得：；
当点N在x轴下方时，则点M在x轴的上方，
即且，
解得：，
综上，或．
14．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据图象顶点为点，设抛物线解析式为，再代入求出即可解答；
（2）将以为旋转中心顺时针旋转对应点，连接交抛物线于，过作轴，且，则，求出，，证明，求出，求出的直线解析式，联立即可求解．
（3）分为①当时，②当时，分别画图求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象顶点为点，
故设抛物线解析式为，
∵抛物线图象经过，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，
即；
（2）解：将以为旋转中心顺时针旋转对应点，连接交抛物线于，过作轴，且，
，
令，解得：，
，
当时，，
，
∵，
∴在和中
，
∴，
∴，
，
设的直线解析式为，
∴，
解得：，
∴的直线解析式为，
∴，
整理的，
解得：，
当时，，
∴；
（3）解：①当时，
设的直线方程为，
设的直线方程为，
∴，
整理得，
∴，
∴，
，
∴，
整理得，
∴，
∴，
∴，
，
∴直线与轴夹角的正切值直线与轴夹角的正切值的倒数，
∴，即，
，
∴，
即，
∵，
设的直线解析式为，
，
整理得：，
，
∴，
解得：，
∴的直线解析式为，
∴，
整理得，
解得：，
∵当在的左侧时，
，
，
，
∵当在的右侧时，
，
；
②由（1）知，顶点，
，
，
，
，
∴此时为直角三角形，即，
若，此时与重合，与题意不合，应舍去．
综上，或时，以为顶点的三角形是直角三角形．
【点睛】该题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，二次函数解析式求解，全等三角形的性质和判定，勾股定理，一次函数解析式，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是运用分类讨论思想解决问题．
15．(1)点，点
(2)，且
(3)①；②或；③
【分析】（1）将抛物线的解析式化成顶点式和两点式，即可求出点B，C的坐标；
（2）根据点B，C的坐标求出直线的解析式，由，（）是直线上方抛物线上的两点，确定，（），且，因为，得，将点M，N的坐标代入即可得出，并确定m的取值范围为且；
（3）①根据已知条件，易证四边形为平行四边形，由,，求得，由（2）得，点的坐标为，过点作于点，易证，得，即，平行四边形的周长，当时，，当时，；
②若平行四边形为菱形，即，由①得，，当时，，即，求解并判断是否符合即可；当时，，即，求解并判断是否符合即可；
③当时，，，当时，，，若恰好存在四个M点，使四边形的周长相等，即图象上有四个点的横坐标对应同一个纵坐标，得．
【详解】（1）解：抛物线的解析式，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），
，
点B，C的坐标分别为：点，点；
（2）设直线的解析式为，由点，点，
得，
，，
直线的解析式为，
，（）是直线上方抛物线上的两点，
，（），且，
如图所示，过点作于点，
，
，
，，
，
即，
，
，
，
，m的取值范围为且；
（3）①轴，轴，
，
，
四边形为平行四边形，
，
点的坐标为：，
，
由（2）得，点的坐标为，
，
，
，，
，
，
平行四边形的周长，
当时，，，
当时，，，
综上所述，；
②若平行四边形为菱形，，
由①得，，
，
当时，，即，解得（舍），，
当时，，即，解得，（舍），
综上所述，或；
③当时，，，
当时，，，
如图所示，四边形的周长的图象为抛物线上的实线，
若恰好存在四个M点，使四边形的周长相等，即图象上有四个点的横坐标对应同一个纵坐标，
．
【点睛】本题是二次函数的压轴题，考查了抛物线与坐标轴交点的求解、直线斜率与平行条件的应用、函数关系式的建立与取值范围分析、几何图形周长计算与菱形性质的应用、函数对称性与方程解的个数关系等，要会用“分类讨论”的思想探究分段函数，解题的关键是通过坐标几何关系，将几何图形转化为代数表达式，及结合二次函数图象的特征分析解的个数．

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