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2025年九年级数学中考复习-二次函数部分解答题专项练习
1．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点，若点B的坐标为，点D是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限．
(1)求二次函数的表达式：
(2)连接，过点D作轴于点E，交线段于点F，当点D运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点D的坐标和的最大值；
(3)连接，若关于y轴的对称图形是，是否存在点D，使得四边形为菱形？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点且的面积为8，D是中点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值．
(3)若点G是该抛物线对称轴上的一点，且是等腰三角形，请直接写出点G 的坐标
3．如图，二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，其中．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点在二次函数图象上，且，求点的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线于点A，C，抛物线的顶点为D．

(1)求抛物线的表达式；
(2)M是线段上一点，N是抛物线上一点，平行于y轴且交x轴于点E，当时，求点M的坐标；
(3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
5．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，点P是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点A，C重合）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，过点P作于点Q，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
(3)过点P作x轴的平行线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点N恰好落在y轴上时，请求出此时点M的坐标．
6．如图，抛物线：()与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为．
(1)求抛物线的解析式和顶点的坐标；
(2)将抛物线上下平移，请问在平移后的抛物线上是否存在点，使得是以为腰，点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在请求出平移的方式．
7．已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，（）是直线上方抛物线上的两点，且．
(1)求点B，C的坐标；
(2)求m与n之间的关系式，并直接写出m的取值范围；
(3)过点M作轴交于点D，过点N作轴交于点E，设四边形的周长为．
①求与m之间的函数关系式；
②若四边形为菱形，求m的值；
③若恰好存在四个M点，使四边形的周长相等，请直接写出此时四边形周长的取值范围．
8．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，点E，F在直线上，且点E在点F的左下侧，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，分别连接，延长交抛物线于点P，当点P在第四象限时，若的面积记作，的面积记作，线段在移动过程中，当的值最大时，求点E的坐标；
(3)如图3，点D为该抛物线的顶点，连接，请直接写出的最小值．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴负半轴交于点A，与y轴负半轴交于点B，．
(1)求a的值；
(2)过点B作轴交抛物线对称轴于点C，经过C任作一条直线交抛物线于D，E两点，F为线段中点，当点F到y轴的距离为时，求直线的表达式；
(3)若点，在抛物线上，且分别位于x轴的两侧，求t的取值范围．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点，过点B的直线交y轴于点．在x轴上方抛物线上有一点P，过点P作的垂线，垂足为E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点P作x轴的垂线交直线于点Q，当的周长最大时，求此时点P的坐标；
(3)如图2，连接，当与相似时，求点E的坐标．
11．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于A，两点，交轴正半轴于点，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点在轴上，点在第一象限的抛物线上，若且，求点的坐标；
(3)如图2，已知动点在抛物线上，为的中点，作轴交抛物线于点．设点的横坐标为，线段的长为．
①直接写出关于的函数解析式；
②当时，试探究的取值范围．
12．如图1，抛物线 与x轴交于点A和点B，点D是抛物线的顶点，是抛物线的对称轴且交x轴于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P 是抛物线上一点，且位于点 A和点D之间（不含点A，D）．
如图2，连接，，，求四边形的面积的最大值；
如图3，连接交于点Q，连接交于点E，求的值．
13．如图，点、、在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段长度最大时点的坐标．
(3)点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使得以点 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点．与轴交于，两点（在的左侧），连接、．
(1)求抛物线的表达式：
(2)如图1，点是直线下方抛物线上的一动点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，点、分别为直线、轴上点．连接、、．当最大时，求点的坐标以及的最小值；
(3)将抛物线（）绕点旋转得到新抛物线，点是轴下方新抛物线对称轴左侧上的一点，点是直线上的一点，是否存在点，使得．且满足．若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
15．综合运用：如图，抛物线与轴交于和两点（点在点左侧），与轴交于点，连接，直线经过点．
(1)求直的函数表达式；
(2)是位于直线上方抛物线上的一个动点，过点作于点，连接．求△面积的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线与原抛物线相交于点是新抛物线对称轴上的一个动点，为平面内一点，若以为顶点的四边形是以为边的菱形，求出符合条件的点的坐标．
《2025年九年级数学中考复习-二次函数部分解答题专项练习》参考答案
1．(1)
(2)点D的坐标为时，的最大值为4
(3)点D的坐标是
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）设，由待定系数法求出直线的表达式为，则，列出关于函数关系式，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3）连接，交于点M，设点，由菱形的性质得，从而，解方程即可求解．
【详解】（1）将，分别代入，
得
解这个方程组，得
所以二次函数的表达式为．
（2）设，
由，，可得直线的表达式为，
则，
∴
当时，，
故点D的坐标为时，的最大值为4．
（3）存在，理由如下：
如图，连接，交于点M，
设点，
若四边形为菱形，
则，，
∴，
∴，即，
解得，
∵点D在第一象限，
故当点D的坐标是时，四边形为菱形．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数与几何综合，以及菱形的性质，数形结合是解答本题的关键．
2．(1)
(2)2
(3)或或
【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、二次函数的图象与性质、两点坐标距离公式等知识，正确求得函数解析式是解答的关键．
（1）先求得点B坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可；
（2）先由待定系数法可得直线的函数解析式为为，而D是中点，有，过点P作轴交于点Q，设，则，即得，则，由二次函数性质可得面积的最大值是2；
（3）设，分当时、当时、当时三种情况，结合两点坐标距离公式求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵的面积为8，
∴，解得，
∴，
将，代入得：
，解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：设直线为，将代入得：，解得，
直线为，
，，D是中点，
，
过点P作轴交于点Q，如图：
设，则，
，
，
，，
时，有最大值，最大值为2；
即面积的最大值是2；
（3）解：由得抛物线的对称轴为直线，
根据题意，设，
∴，，，
若是等腰三角形，分三种情况：
当时，，
则，解得，不合题意，舍去；
当时，，
则，解得，此时；
当时，，
则，解得或，
此时或，
综上，满足条件的点P的坐标为或或．
3．(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，求二次函数解析式，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，再根据三角形面积计算公式求出的值，再把代入函数解析式中求出点P的坐标即可．
【详解】（1）解：把代入到中得，
解得，
∴二次函数解析式为；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，解得或，
∴此时点P的坐标为或；
在中，当时，则，此时，故原方程无解，即此种情形不存在；
综上所述，点P的坐标为或．
4．(1)
(2)，
(3)或或或
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）求出直线的表达式为，设，则，，分情况表示出，，结合，列方程求出，即可求解；
（3）画出图形，分是四边形的边和是四边形的对角线，进行讨论，利用勾股定理，相似三角形的判定与性质，函数图像的交点，平移等知识点进行解答即可得出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线过原点，
，
将代入抛物线中，得，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，，其中．
当在点上方时，，．
∵，
∴．
∴，
解得：（不合题意，舍去）；
当M在N点下方时， ．
∴，
解得：（不合题意，舍去）．
∴满足条件的点M的坐标有两个．
（3）解：存在，满足条件的点的坐标有 4 个．
如图，若是四边形的边，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
∴抛物线的对称轴与直线相交于点，
联立，
解得：或（舍去），
，
过点分别作直线的垂线交抛物线于点，
，
，
，
，
，
∴点与点重合．
当时，四边形是矩形．
∵向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位得到．
∴向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位得到，
此时直线的解析式为．
∵直线与平行且过点，
∴直线的解析式为．
∵点是直线与抛物线的交点，
∴，
解得：（舍去）．
，
当时，四边形是矩形，
∵向左平移 3 个单位，向上平移 3 个单位得到．
∴向左平移 3 个单位，向上平移 3 个单位得到．
如图，若是四边形的对角线，
当时．过点作轴，垂足为，过点作，垂足为．
可得，
，
，
设，
，
∵点不与点重合，
和，
，
，
∴如图，满足条件的点有两个．
即．
当时，四边形是矩形．
∵向左平移个单位，向下平移个单位得到．
∴向向平移个单位，向下平移个单位得到．
当时，四边形是矩形．
∵向右平移个单位，向上平移个单位得到．
∴向右平移个单位，向上平移个单位得到．
综上，满足条件的点的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求函数的解析式，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，点的平移等知识，根据题意画出符合条件的图形，进行分类讨论是解题的关键．
5．(1)
(2)当的值最大时，点P的坐标为，的最大值为
(3)
【分析】1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出直线的解析式为，作轴交直线于，交轴于点，求出，得到，由平行线的性质可得，解直角三角形可得，即当取得最大值时，也取得最大值，设，则，表示出，再由二次函数的性质求解即可；
（3）设交轴于点，由平行线的性质结合折叠的性质可得，即可得出和都是等腰直角三角形，设，则，，求出，得到，代入二次函数解析式计算即可得解．
【详解】（1）解：∵已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图，作轴交直线于，交轴于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴当取得最大值时，也取得最大值，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，此时有最大值为，也取得最大值为，
当时，，即；
当的值最大时，点P的坐标为，的最大值为；
（3）解：如图，设交轴于点，
∵轴，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴和都是等腰直角三角形，
设，
∴，，
∴，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式，二次函数综合—线段问题，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
6．(1)，顶点的坐标为
(2)存在，将抛物线向上平移个单位或向下平移个单位
【分析】（）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，进而把解析式转化为顶点式可求出顶点的坐标；
（）设平移后解析式为，过点作的垂线并在垂线上取一点，使得，记上方的点为，下方的点为，连接，则为等腰直角三角形，过点作轴于点，可证，可得，，得到点坐标为，进而把点坐标代入可得，即可得将抛物线向上平移个单位；同理可得点坐标为，进而可得将抛物线向下平移个单位，即可求解；
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
将点代入得，，
解得，
∴该抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点的坐标为；
（2）解：存在，理由如下：
∵将抛物线上下平移，
∴，抛物线对称轴，
∴设平移后解析式为，
过点作的垂线并在垂线上取一点，使得，记上方的点为，下方的点为，连接，则为等腰直角三角形，
过点作轴于点，
则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点坐标为，
把代入得，，
解得，
∴将抛物线向上平移个单位；
同理可得点坐标为，
把代入得，，
解得，
∴将抛物线向下平移个单位；
综上，将抛物线向上平移个单位或向下平移个单位，平移后的抛物线上存在点，使得是以为腰，点为直角顶点的等腰直角三角形．
7．(1)点，点
(2)，且
(3)①；②或；③
【分析】（1）将抛物线的解析式化成顶点式和两点式，即可求出点B，C的坐标；
（2）根据点B，C的坐标求出直线的解析式，由，（）是直线上方抛物线上的两点，确定，（），且，因为，得，将点M，N的坐标代入即可得出，并确定m的取值范围为且；
（3）①根据已知条件，易证四边形为平行四边形，由,，求得，由（2）得，点的坐标为，过点作于点，易证，得，即，平行四边形的周长，当时，，当时，；
②若平行四边形为菱形，即，由①得，，当时，，即，求解并判断是否符合即可；当时，，即，求解并判断是否符合即可；
③当时，，，当时，，，若恰好存在四个M点，使四边形的周长相等，即图象上有四个点的横坐标对应同一个纵坐标，得．
【详解】（1）解：抛物线的解析式，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），
，
点B，C的坐标分别为：点，点；
（2）设直线的解析式为，由点，点，
得，
，，
直线的解析式为，
，（）是直线上方抛物线上的两点，
，（），且，
如图所示，过点作于点，
，
，
，，
，
即，
，
，
，
，m的取值范围为且；
（3）①轴，轴，
，
，
四边形为平行四边形，
，
点的坐标为：，
，
由（2）得，点的坐标为，
，
，
，，
，
，
平行四边形的周长，
当时，，，
当时，，，
综上所述，；
②若平行四边形为菱形，，
由①得，，
，
当时，，即，解得（舍），，
当时，，即，解得，（舍），
综上所述，或；
③当时，，，
当时，，，
如图所示，四边形的周长的图象为抛物线上的实线，
若恰好存在四个M点，使四边形的周长相等，即图象上有四个点的横坐标对应同一个纵坐标，
．
【点睛】本题是二次函数的压轴题，考查了抛物线与坐标轴交点的求解、直线斜率与平行条件的应用、函数关系式的建立与取值范围分析、几何图形周长计算与菱形性质的应用、函数对称性与方程解的个数关系等，要会用“分类讨论”的思想探究分段函数，解题的关键是通过坐标几何关系，将几何图形转化为代数表达式，及结合二次函数图象的特征分析解的个数．
8．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法求二次函数，两直线的交点，最短路径，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可解答；
（2）可得的面积为定值，当的面积取最大值时，的值最大，当点位于抛物线最下端时，的面积最大，即点与顶点重合时，求得点，即可求点；
（3）过点作，截取，连接，得到的最小值为，利用两点距离公式即可解答．
【详解】（1）解：把，代入，
可得，
解得，
所以抛物线的表达式为；
（2）解：令，可得，
解得，
，
点到直线的距离为定值，
的面积为定值，
当的面积取最大值时，的值最大，
当点位于抛物线最下端时，的面积最大，即点与顶点重合时，
，
，
设直线的解析式为，
把代入得，，解得，
所以直线的解析式为，
设直线的解析式为，
把，代入可得，
解得，
所以直线的解析式为，
联立方程，
解得，
把代入，可得，
，
如图，作轴，作交于点，
，，
，
轴，
，
为等腰直角三角形，
，
，即；
（3）解：如图，过点作，截取，连接，
，四边形为平行四边形，
，
，
当三点共线时，取最小值，最小值为，
根据（2）可得点的横坐标，纵坐标比点的的横坐标，纵坐标都大，
，即，
，
，即的最小值为．
9．(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法，一次函数的图象和性质，解不等式组，熟练掌握抛物线的图象和性质是解题的关键．
（1）令，求得，进而得到，将其代入抛物线解析式，即可求解；
（2）根据点C在对称轴上且轴得到，设直线的表达式为：，的横坐标分别为，与抛物线的表达式联立并整理得，因此，根据点F到y轴的距离为，得到，求解即可解答；
（3）当点M在x轴下方时，则点N在x轴的上方，即且，即可求解；当点N在x轴下方时，则点M在x轴的上方，同理可解．
【详解】（1）解：令，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，
解得．
（2）解：由（1）知抛物线为，
则抛物线的对称轴为直线，
∵轴，，
∴，
设直线的表达式为：，的横坐标分别为，
联立上式和抛物线的表达式并整理得：，
∴，
∵当点F到y轴的距离为，即，
解得：或，
∴直线的表达式为：或；
（3）解：将点M、N的坐标代入抛物线的表达式得：，
，
当点M在x轴下方时，则点N在x轴的上方，
即且，
解得：；
当点N在x轴下方时，则点M在x轴的上方，
即且，
解得：，
综上，或．
10．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点，灵活运用数形结合思想成为解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）先运用待定系数法可得直线的解析式为，如图：过点A作x轴的垂线，交直线于点M，进而得到，再证明可得，即当PQ最大时，的周长最大，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，进而得到，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）如图2，过点E作x轴的平行线，再过点P、B作该平行线的垂线，垂足分别为M、N，再证明可得，由，则要使与相似，即或2；设点，、，进而得到或，即，最后求点E的坐标即可．
【详解】（1）解：抛物线过点、点、点，
设抛物线的解析式为：，
，解得：，
抛物线的解析式为：．
（2）解：设直线的解析式为，
，，
∴
直线的解析式为：，
如图：过点A作x轴的垂线，交直线于点M，
点M的坐标为，
，，，
，
，
，
又，
，
．
当PQ最大时，的周长最大，
设点P的坐标为，则点Q的坐标为，
，
，
∴当时，，
点P的坐标为．
（3）解：如图2，过点E作x轴的平行线，再过点P、B作该平行线的垂线，垂足分别为M、N，
，
，，
，
，
，
，要使与相似，
∴或2，
设点，
，，
或，
，，点不合题意，应舍去，
把点代入抛物线的解析式为：，
解得：，（舍去），
点E的坐标为．
11．(1)
(2)
(3)①；②或
【分析】（1）由得，得，得，根据，得，即得；
（2）由得，得，设，根据，，得，得,解得，即得；
（3）①∵，为的中点，得；②根据，得，解得或．
【详解】（1）解：∵中，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
解得或，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵时，或，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，，
∴，
∴，
解得，
∴；
（3）解：①∵，为的中点，
∴，
∵轴，交抛物线于点，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∴，
解得或．
【点睛】本题考查了二次函数与几何综合．熟练掌握庭系数法求函数解析式，平移性质，中点坐标性质，二次函数的图象和性质，函数与不等式，是解题的关键．
12．(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据题意得到，解方程组即可得到答案；
（2）①求出点B的坐标是，则，过点P作轴，交线段于点Q，求出点的 D的坐标是，得到，可得，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，则，得到，得到四边形面积，由，即可得答案；
②设点P的坐标为，求出直线的解析式为，求出，则，求出直线的解析式为，则点E的坐标是，求出，即可求出定值．
【详解】（1）解：把点代入得到，①
∵是抛物线的对称轴且交x轴于点．
∴，②
联立①②得，
解得
∴抛物线的解析式为：
（2）解：①∵，
当时，，
当时，，解得，，
∴点B的坐标是，
∴，
连接，过点P作轴，交线段于点Q，
∵
∴顶点D的坐标是，
∴
∴，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，则点Q的坐标为，
∴，
∴，
∴四边形面积，
∵点P是抛物线上一点且位于点A和点D之间．
∴，
∴当时，有最大值，最大值为9；
②设点P的坐标为，如图，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
∴
∴，
设的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点E的坐标是，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了二次函数综合题，二次函数与面积，二次函数与线段和，还考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，难度较大，数形结合是解题的关键．
13．(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）将、的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将点横坐标代入抛物线的解析式中.
（2）的长实际是直线与抛物线的函数值的差，可设点的横坐标为，用分别表示出、的纵坐标，即可得到关于 的长、的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得的最大值.
（3）存在.如图，设抛物线与的交点为，由题意，可知 轴，分图中四种情形，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质求解即可.
【详解】（1）解：将代入，得到，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）将点的横坐标代入，得，
∴，
设直线的解析式为，
把分别代入，得，解得：，
∴直线的函数解析式是，
设点的横坐标为，则、的坐标分别为：，
∵点在点的上方，
∴，
∵，
∴当时，最大，最大值为，此时点的坐标为；
（3）存在．满足条件的点的坐标为或或或．
理由：如图，设抛物线与轴的交点为，由题意得，
∵，
∴轴，，
当点与点重合时，
①当是平行四边形的边时，即 ，则， 得，
②当是平行四边形的对角线时，即，则得，
当点在轴的上方时，令，解得，
∴，
由平移的性质可知，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的定义，待定系数法求解二次函数解析式，二次函数与一次函数交点求线段的最值问题，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质，解题关键是熟悉各个知识点并综合运用．
14．(1)
(2)当最大时，点的坐标为；的最小值为
(3)或
【分析】本题考查了正切的定义，二次函数综合问题，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）根据已知得出，根据，得出，然后待定系数法求解析式即可求解；
（2）先求出直线的解析式为，设交于点，设，则，，根据是等腰直角三角形，得出，进而用含的关系式表示出的长度，进而根据二次函数的性质得出当时，的最大值为，点的坐标为；作关于和轴的对称点，当在上时，取得最小值，即可求解；
（3）先求得新抛物线的解析式为：，过点作与点，交于点，得出，设，则，进而可得，得出，则，可得，可得的解析式为，设，则根据得出或，进而分别求得直线的解析式为或，联立抛物线解析式，即可求解．
【详解】（1）解：，当时，
∴，则，
∵,
∴，
∴，
将，代入得，
解得：，
∴；
（2）解：当时，
解得：，
∵，
∴，
∵，设直线的解析式为，代入得
，
解得：，
∴直线的解析式为，
如图，设交于点，
设，则，
∵，，
∴，则是等腰直角三角形，
∴，
∵，则
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
∴当时，的最大值为
此时点的坐标为，如图，作关于和轴的对称点，
∴
∴
∵
∴当在上时，取得最小值，最小值为的长，为
（3）解：∵
∴顶点为，
关于的对称点为即
∵绕点旋转得到新抛物线，
∴新抛物线的解析式为：
如图，过点作与点，交于点，
∵，则
设，则
又∵在直线上，当时，
∴
设，则
∴．
∵．
∴．
∵，，
∴，
∴
∵
∴
又∵
∴
∵，
同理可得的解析式为，
设
∵
∴
解得或
∴或
∴直线的解析式为或
联立或
解得：（舍去）或或或（舍去）
∵点是轴下方新抛物线对称轴左侧上的一点，
∴或
即点的横坐标为：或
15．(1)
(2)
(3)点的坐标为或或
【分析】（1）根据抛物线解析式求与x轴，与y轴的交点，用待定系数法求直线的函数表达式即可；
（2）点作轴交于点，过点作于点，设，则，可得是等腰直角三角形，表示出，则，那么，再转化为二次函数求最值即可；
（3）可求，结合条件得到将抛物线向左平移2个单位长度，向下平移6个单位长度，则新抛物线，求出交点．设．，，，由于以为顶点的四边形是以为边的菱形，分两种情况讨论，即和，建立方程求出，再根据对角线互相平分的性质求解．
【详解】（1）解：∵抛物线，令，则；
令，则．
解得．
∴．
∵直线经过点，
∴，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：如答图，过点作轴交于点，过点作于点．
设，则．
∴．
∵，
∴
∴．
∵轴，
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形．
∴，
∴，
将代入得：，
∴．
∴，
∵，
∴面积的最大值为，此时．
∴．
∴点的坐标为；
（3）解：∵，
∴．
∴将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线，
相当于平移了的长度，而点的水平距离为1，铅锤距离为3，
∴将抛物线向左平移2个单位长度，向下平移6个单位长度．
∵抛物线，
∴新抛物线．
∴新抛物线的对称轴为直线．
联立．
解得．
∴．
设．
∴，
，
．
∵以为顶点的四边形是以为边的菱形，
①当时，即．
解得．
∴．
设点的坐标为．
∴，
即．
解得．
∴点的坐标为；
②当时，即．
解得．
∴或．
同理可得点的坐标为或．
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，菱形的性质，两点之间距离公式，函数图象的平移等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．

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