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(共25张PPT)
第三章　函　数
3.4　二次函数
第1课时　二次函数的图象与性质
1.二次函数y＝kx2－x(k＜0)的图象大致为( )
C
2.把抛物线y＝x2＋1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线是( )
A.y＝(x＋3)2－1 B.y＝(x＋3)2＋3
C.y＝(x－3)2－1 D.y＝(x－3)2＋3
C
3.如果点P1(1，y1)，P2(3，y2)，P3(4，y3)都在抛物线y＝－x2＋6x＋c的图象上，那么y1，y2与y3之间的大小关系是( )
A.y1＜y3＜y2 B.y3＜y2＜y1
C.y3＜y1＜y2 D.y1＜y2＜y3
A
4.［HK版教材九上P59B组复习题第1(1)题改编］抛物线y＝ax2＋bx＋c如图所示，则下列说法正确的是( )
A.abc＜0
B.当x＞－1时，y随x的增大而增大
C.图象的对称轴是直线x＝－2
D.不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是－3＜x＜1
D
教材知识梳理
二
次
函
数
二次函数的概念 形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0） 图象
开口方向 a>0，开口向上 a<0，开口向下
开口大小 |a|越大，抛物线的开口越小 对称轴 直线x=①　　　 特别提醒直线x=（其中x1，x2为关于对称轴对称的两点的横坐标） 顶点坐标 增减性 当x<-时，y随x的增大而减小； 当x>-时，y随x的增大而增大 当x<-时，y随x的增大而增大；
当x>-时，y随x的增大而减小
最值 当x=-时，y有最小值，为 当x=-时，y有最大值，为
-　
　
特别提醒求二次函数最值时，一定要考虑自变量x的取值范围，注意顶点处的最值是否能取到，有时需作图数形结合考虑
二
次
函
数
二次函数解
析式的确定
二
次
函
数
横坐标　
不相等　
>
相等　
=　
无　
<
二次函数与
一元二次方
程的关系
例　已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1，0），B（3，0），C（2，-3），解答下列问题：
（1） 求该抛物线的表达式.
（1）解法1：由点A，B的坐标，设交点式求解.
解法2：已知函数图象上三点的坐标，利用一般式求解.
（2）该函数图象开口向　 　，对称轴为直线　 　，顶点坐标为　 　；当x　 　时，y有最
　 　值，为　 　；当x>1时，y随x的增大而
　 　；当x<1时，y随x的增大而　 　.
（3）已知在这个抛物线上有三点D（-1.5，y1），E（1，y2），F（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系为
　 　.（用“<”连接）
　y2　减小　
　增大　
　-4　
　小　
　=1　
　（1，-4）　
　x=1　
　上　
（4）利用数形结合法，画出在特定范围内的函数图象，结合对称轴和增减性，并注意端点值.
（4） 当0　 　.
　-4≤y<5　
（5）若抛物线上的点（5，12）关于对称轴对称的点为P，则点P的坐标为　（-3，12）　.
（6）将该函数图象先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到抛物线C，则抛物线C的表达式为　y=（x+2）2+1（或y=x2+4x+5）　.
（7）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y1-y2=-9，则m=　6或-4　.
【答案】（1）解法1：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1，0），B（3，0），
∴可设抛物线的表达式为y=a（x+1）（x-3），
将点C（2，-3）代入，解得a=1，
∴该抛物线的表达式为y=（x+1）（x-3）=x2-2x-3.
解法2：将点A，B，C的坐标分别代入y=ax2+bx+c，
解方程组得a=1，b=-2，c=-3，
∴该抛物线的表达式为y=x2-2x-3.
比较二次函数值大小的方法
　　已知二次函数图象上几个点的横坐标，比较其纵坐标的大小：①代入求值比较大小；②根据性质比较大小：若这些点在对称轴的同一侧，可通过增减性比较；若不在对称轴的同一侧，可利用对称性，转化为在同一侧，然后再进行比较.
二次函数图象的平移
二次函数图象的平移实质是图象上点的坐标的整体平移（关键是研究顶点坐标），平移过程中二次函数图象的开口方向、大小不变，即二次项系数不变，因此可先求出其顶点坐标，利用顶点坐标进行平移即可.
命题点1 二次函数的图象与性质［10年3考］
1.(2023·安徽第5题)下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是( )
A.y＝x2＋1 B.y＝－x2＋1
C.y＝2x＋1 D.y＝－2x＋1
D
2.(2019·安徽第14题)在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y＝x－a＋1和y＝x2－2ax的图象相交于P，Q两点.若平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，则实数a的取值范围是　 　.
　a＞1或a＜－1　
【解析】函数y＝x2－2ax的图象是抛物线，抛物线的开口向上，与x轴的交点坐标为(0，0)和(2a，0)，由题意知a≠0，应分两种情况：①当a＞0时，若平移直线l，使得P，Q都在x轴的下方，如图1，此时当x＝0时，y＝0－a＋1＜0，解得a＞1；②当a＜0时，若平移直线l，使得P，Q都在x轴的下方，如图2，此时当x＝2a时，y＝2a－a＋1＜0，解得a＜－1.综上可得a＞1或a＜－1.
图1　　　　　　图2
真题改编　在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2ax与直线y＝x＋2的图象在－1≤x≤1的范围有且只有一个公共点P，则a的取值范围是　 　.
　a≥2或a≤－1　
命题点2 坐标系中函数图象的判断［10年2考］
3.(2017·安徽第9题)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与反比例函数y＝的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y＝bx＋ac的图象可能是( )
B
4.(2015·安徽第10题)如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是( )
A
【解析】设点P的坐标为(x，ax2＋bx＋c)，因为点P在直线y1＝x上，所以x＝ax2＋bx＋c，即ax2＋(b－1)x＋c＝0.由图象可知一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c交于第一象限的P，Q两点，所以方程ax2＋(b－1)x＋c＝0有两个正实数根，所以函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象与x轴有两个交点，并且这两个交点都在x轴的正半轴上，符合条件的只有选项A.(共16张PPT)
第三章　函　数
微专题 用“铅垂高”法解决动点三角形面积类问题
（安徽中考链接：2023年第23题，2016年第22题）
1.什么是“铅垂高”法？
　　如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的水平宽（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的铅垂高（h），我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.简要证明如下：由图2得S△ABC=S△ABD+S△ACD=a1h+a2h，而a1+a2=a，所以S△ABC=ah.（其中a1，a2是直线AD与外侧两条直线之间的距离）
图1　　　 图2
2.什么时候才能用“铅垂高”法？
　　如果三角形的三边均是倾斜放置在平面直角坐标系中，求这样的三角形面积时一般使用“铅垂高”法.
（1）如果是固定的三角形（三个顶点是定点），则可过任意一点作对应边的铅垂高.
（2）如果是变化的图形，则从动点向另外两点所在的定直线作铅垂高.
3.如何用“铅垂高”法求三角形的面积？
　　从动点向另外两点所在的直线作铅垂高，将变化的平行于y轴（或垂直于x轴）的线段作为三角形的高，则底就是两个点水平方向上的距离，然后结合三角形的面积公式即可求解.
例　（2024·六安一模）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为原点），A（4，0）两点，且经过点（-2，6）.
（1）求二次函数的表达式；
（2）已知y轴上一点B（0，4），P是二次函数图象上位于x轴下方的一点，连接PA，PB，AB.设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S.
①求直线AB的表达式；
②当S取最大值时，求点P的坐标.
【答案】（1）由题意，得解得
∴二次函数的表达式为y=x2-2x.
（2）①设直线AB的表达式为y=kx+d.
将点A（4，0），B（0，4）代入，得解得
∴直线AB的表达式为y=-x+4.
②过点P作PH∥y轴交AB于点H.
∵点P的横坐标为t，
∴点P，H（t，-t+4），
∴S=S△PHB+S△PHA=PH·AO=×4=-t2+2t+8=-（t-1）2+9.
∵-1<0，0提分训练
1.（2024·滁州三模改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=（a-2）x2+（a+1）x+b与x轴有两个公共点A（-2，0），B（4，0），交y轴于点C，并与动直线l：x=m（0（1）在直线l运动的过程中，线段PF是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.
（2）连接AC，求四边形ACPB面积的最大值.
解：（1）存在.将点A，B代入y=（a-2）x2+（a+1）x+b，得解得
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+8，
令x=0，则y=8，∴点C（0，8），
易得直线BC的表达式为y=-2x+8.
设点P（m，-m2+2m+8），则点F（m，-2m+8），
∴PF=-m2+2m+8-（-2m+8）=-m2+4m=-（m-2）2+4，
∵-1<0，0∴当m=2时，PF取得最大值，最大值为4.
（2）由（1）得，S四边形ACPB=S△ACB+S△PCB
=AB·OC+PF·OB=×［4-（-2）］×8+×4（-m2+4m）=-2m2+8m+24=-2（m-2）2+32，
∵-2<0，0∴当m=2时，S四边形ACPB有最大值，最大值为32.
2. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，已知点A（0，8），点B（-4，0）.
（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；
（2）已知点D的坐标为（0，4），F为该二次
函数在第一象限内图象上的动点，连接CD，CF，以CD，CF为邻边作平行四边形CDEF.设平行四边形CDEF的面积为S，求S的最大值.
解：（1）把点A（0，8），B（-4，0）代入y=-x2+bx+c，
得解得
∴二次函数的表达式为y=-x2+x+8.
当y=0时，-x2+x+8=0，解得x1=-4，x2=8，
∴点C的坐标为（8，0）.
（2）连接DF，过点F作FH⊥x轴于点H，交CD于点G.
易得直线CD的表达式为y=-x+4，
设点F，
则点G，
∴FG=-m2+m+8-=-m2+m+4，
∴S=2S△CDF=2×OC·FG=8×(-m2+m+4)=-2m2+12m+32=-2（m-3）2+50.
∵-1<0，0∴当m=3时，S有最大值为50.
3.（2024·合肥新站区一模）已知抛物线y=a2x2-2a2x-3a2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线y=ax+b经过点A.
（1）求A，B两点的坐标.
（2）设直线y=ax+b与抛物线y=a2x2-2a2x-3a2的对称轴交于点E.
（ⅰ）若E为抛物线的顶点，求a的值；
（ⅱ）若点E在第四象限并且在抛物线的上方，记△ACE的面积为S1，△ABE的面积为S2，S=S2-S1，求S与a的函数表达式，并求出S的最大值.

解：（1）y=a2x2-2a2x-3a2=a2（x2-2x-3）=a2（x-3）（x+1），
令y=0，得（x-3）（x+1）=0，解得x1=-1，x2=3，
∴点A（-1，0），B（3，0）.
（2）（ⅰ）∵直线y=ax+b经过点A（-1，0），
∴0=-a+b，∴b=a，∴直线的函数表达式为y=ax+a.
∵y=a2x2-2a2x-3a2=a2（x-1）2-4a2，
∴抛物线y=a2x2-2a2x-3a2的顶点E的坐标为（1，-4a2）.
∵点E（1，-4a2）在直线y=ax+a上，
∴-4a2=a+a，解得a=0（舍去）或a=-，
∴a的值为-.
（ⅱ）设直线y=ax+a交y轴于点G，抛物线y=a2x2-2a2x-3a2的对称轴直线x=1交x轴于点H，易得点E（1，2a），G（0，a）.
∵点E在第四象限，并且在抛物线的上方，
∴a<0，∴HE=-2a，
∴S2=AB·HE=×［3-（-1）］·（-2a）=-4a.
易得点C（0，-3a2），∴GC=a-（-3a2）=3a2+a，
∴S1=GC·（xE-xA）=（3a2+a）［1-（-1）］=3a2+a，
∴S=S2-S1=-4a-（3a2+a）=-3a2-5a=-3(a+)2+.
∵-3<0，∴当a=-时，S取得最大值为，
∴S与a的函数表达式为S=-3a2-5a，S的最大值为.(共22张PPT)
第三章　函　数
3.5　二次函数的实际应用
第1课时　增长率问题与最大利润问题
1.［BS版教材九下P47习题2.8第1题改编］如图是窗子的形状，它是由上下连成一体的两个矩形构成.若窗框用料是8 m，则这个窗户的最大透光面积为( )
A. m2 B. m2
C.2 m2 D.4 m2
B
2.［HK版教材九上P41练习第1题改编］已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1.下列说法正确的是( )
A.点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同
B.点火后24 s火箭落于地面
C.点火后10 s的升空高度为139 m
D.火箭升空的最大高度为145 m
D
3.(2014·安徽第12题)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y＝　 　.
　a(1＋x)2　
4.廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形廊桥的示意图.已知抛物线的表达式是y＝－x2＋10，为了确保廊桥上的通行安全，在抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF为　 米.
8　
5.［HK版教材九上P42习题21.4第3题改编］某商店以每个10元的价格购进某种商品，当以17元/个出售时，每天可以卖出50个.店庆期间，在确保不亏本的前提下采取降价促销的方式招揽顾客，调查发现：每降价1元，每天可多卖出10个.这种玩具的售价定为多少元时，商店每天获得的利润最大？最大利润是多少？
请先完成以下填空，再完整解答.
【填空】设每个商品在售价17元的基础上，降价x元出售，则此时每个玩具的售价为　 　元，利润是
　 　元；销售量在50个的基础上，增加　 　个，此时玩具的销售量是　 　个.设商店每天获得的利润为y元，根据题意列出y与x之间的函数关系式为y＝
　 　(无需化简).
　(7－x)(50＋10x)　
　(50＋10x)　
　10x　
　(7－x)　
　(17－x)　
解：【完整解答】设这种玩具每个降价x元，商店每天获得的利润为y元.
根据题意，得y＝(50＋10x)(7－x)＝－10x2＋20x＋350＝－10(x－1)2＋360，
∴当x＝1时，y最大＝360，此时17－1＝16(元).
答：当这种玩具的售价定为16元/个时，商店每天获得的利润最大，最大利润是360元.
【完整解答】
二
次
函
数
的
实
际
应
用
二
次
函
数
的
实
际
应
用
例 　 某超市销售一种商品，成本为每千克15元.经过市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数y=-2x+60.设该商品每天的总利润为W元，根据题意，解决下列问题：
（1）求W与x之间的函数表达式.（化成顶点式）
（2）若规定每千克售价不低于成本，求售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
（3）若规定每千克售价不低于成本，且不高于20元，则售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
（4）若规定每千克售价不低于成本，售价为整数，且销售量尽量多，则售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
求最值时，需分析自变量的取值范围是否包括顶点：
（2）自变量的取值范围包括顶点，二次函数什么时候取最大值？
（3）自变量的取值范围不包括顶点，如何求二次函数的最大值？
（4）自变量的取值范围包括顶点，且限定为整数，如何求二次函数的最大值？
【答案】（1）W=（x-15）（-2x+60）=-2x2+90x-900=-2（x-22.5）2+112.5.
（2）∵x≥15，对称轴为直线x=22.5，
∴当x=22.5时，Wmax=112.5（元）.
答：当售价为22.5元时获得最大利润，最大利润是112.5元.
（3）∵15≤x≤20，对称轴为直线x=22.5，
∴当x=20时，Wmax=100（元）.
答：当售价为20元时获得最大利润，最大利润是100元.
（4）∵x≥15，x为整数，且y尽可能大，
∴当x=22时，Wmax=112（元）.
答：当售价为22元时获得最大利润，最大利润是112元.
如何求销售利润的最大值
（1）运用公式法、配方法、数形结合法，求出销售利润对应的二次函数的最大值.
（2）若题中自变量的取值范围包括顶点，则二次函数在顶点处取得最大值；若自变量的取值范围不包括顶点（即在对称轴一侧），则需要结合二次函数的增减性判断在自变量取值范围的某一端点处取得最大值.
在例题的条件下，销售过程中，每销售1千克将捐赠a（a<2）元给精准扶贫对象，且保持售价在15≤x≤23时利润随售价的增加而增加，求a的取值范围.
解：W=（x-15-a）（-2x+60）=-2x2+（90+2a）x-900-60a，对称轴为直线x=，
∵当15≤x≤23时利润随售价的增加而增加，
∴≥23，解得a≥1，∴1≤a<2.
命题点 增长率问题与最大利润问题［10年2考］
1.(2017·安徽第22题)某超市销售一种商品，成本为每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元.经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：


(1)求y与x之间的函数表达式；
售价x/(元·千克－1) 50 60 70
销售量y/千克 100 80 60
(2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润＝收入－成本)；
(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出每千克售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
解：(1)设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b，
∴解得
即y与x之间的函数表达式为y＝－2x＋200.
(2)由题意可得，W＝(x－40)(－2x＋200)＝－2x2＋280x－8000，
即W与x之间的函数表达式为W＝－2x2＋280x－8000.
(3)∵W＝－2x2＋280x－8000＝－2(x－70)2＋1800，40≤x≤80，
∴当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，
当70＜x≤80时，W随x的增大而减小，
∴当x＝70时，W取得最大值，此时W＝1800.
答：当40≤x≤70时，W随x的增大而增大，当70＜x≤80时，W随x的增大而减小.每千克售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元.(共31张PPT)
第三章　函　数
3.1　平面直角坐标系与函数
1.在平面直角坐标系中，点P(3，－1)所在的象限是
( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
D
2.已知点P(m＋2，2m－4)在y轴上，则点P的坐标为
( )
A.(－8，0) B.(0，－8)
C.(4，0) D.(0.4)
B
3.已知点A(2，3)，则点A关于x轴的对称点的坐标为( )
A.(3，2) B.(2，－3)
C.(－2，3) D.(－2，－3)
B
4.［HK版教材八上P31习题12.1第7题改编］放学后，依依以匀速步行回家，在路上他遇到了同学钟钟，两人停下来聊了一会儿，然后依依提高了速度继续匀速步行回家.下列图象能表示依依放学回家的行程中，所剩路程与步行时间之间的关系的是( )
C
5.(2014·安徽第9题)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA＝x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是( )
B
教材知识梳理
平面
直角
坐标
系与
函数
平面
直角
坐标
平面
直角
坐标
系与
函数
（-a，b）　
（-a，-b）
平面直角
坐标系
平面
直角
坐标
系与
函数
平面直
角坐标
系中的
距离
　|b|　
|a|　
|a-m|　
|b-n|
平面
直角
坐标
系与
函数
函数
常量与变量 在某一变化过程中，始终保持不变的量是常量，可以变化的量是变量
概念 在一个变化过程中，有两个变量x，y，如果对于x在它允许取值范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数
　特别提醒 以上多种形式结合考查时，取各个条件的公共部分
　　易错警示 实际问题中自变量的取值范围要符合实际意义
函数值 在自变量x的取值范围内，把x的一个值代入函数关系中求得的y值
考点1 平面直角坐标系中点的坐标特征
例1 　 已知点P(a，b)是平面直角坐标系中的一点，且2a－b＝1.
(1)若点P在y轴上，则点P的坐标为　 　；
(2)若点P在第四象限，则a的取值范围为　 　；
(3) 若点P到x轴的距离为3，则点P的坐标为　 　；
　(2，3)或(－1，－3)　
　(0，－1)　
0＜a＜
(4)已知点Q(－1，5)，若PQ∥y轴，则点P的坐标为
　 　；
(5) 已知点Q(－2，4)，PQ中点的纵坐标为－3，则点P的坐标为 　；
　(－1，－3)　
（3）（4）此类题可数形结合得到坐标特点；
（5）准确运用中点坐标公式，可求出b的值，进而求出点P的坐标.
(6) 若b＝2，则点P关于直线x＝－2对称的点的坐标为 　，点P与点Q的距离为
　 　.
　5　
点P（a，b）关于直线x=m对称的点的坐标为P'（2m-a，b）（常在二次函数中使用，可利用PP'的中点公式进行推导）.
考点2 分析判断函数图象
例2　［RJ版教材八下P108复习题19第8题改编］(2024·武汉)如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水.下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是( )
D
想一想，在不同时间段内，水槽中剩余装水部分的底面积如何变化？在图象中，直线的陡峭程度有什么意义？
如何分析判断实际问题中的函数图象
　　首先应分清图象的横、纵坐标代表的实际意义及函数中自变量的取值范围，同时要注意：
（1）结合题意，分析有几段图象；
（2）图象拐点：判断函数图象的倾斜方向和倾斜程度或增减性发生变化的关键点；
（3）横轴平行线：函数值随自变量的增大而保持不变.
例3　(2024·安徽第10题改编)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝，点D在折线ACB上运动，过点D作AB的垂线，垂足为点E.设AE＝x，S△ADE＝y，则y关于x的函数图象大致是( )
A
想一想，点D运动到哪一位置时，前后图象会发生变化（即拐点在哪里）？在不同阶段中，如何建立起DE与AE的数量关系？
【解析】过点C作CF⊥AB于点F.由题意，得AC＝＝2，CF＝＝2，∴AF＝＝4.当点D在AC上，即0＜x≤4时，∵tan A＝，∴DE＝AE＝x，∴y＝AE·DE＝x2，当x＝4时，y＝4；当点D在CB上，即4＜x＜5时，EB＝AB－AE＝5－x，∵tan B＝＝2，∴DE＝2EB＝2(5－x)，∴y＝AE·DE＝x·2(5－x)＝－x2＋5x.综上所述，当0＜x≤4时，抛物线开口向上，当4＜x＜5时，抛物线开口向下，观察各选项只有A项符合.
如何分析判断几何动态问题中的函数图象
（1）细致审题，弄清横轴与动点位置、纵轴与所求线段长或图形面积的关系.一般情况下，当为单动点时，动点在几何图形中的几条边上运动，则对应的函数图象就有几段；若为双动点，则需分运动阶段讨论.
（2）抓住图象拐点、与坐标轴的交点：当动点运动到
几何图形的顶点或交点位置时，则对应函数图象上出现拐点；由图象与坐标轴的交点，可判断动点运动过程中的起点、终点及特殊位置.
（3）掌握与面积有关的函数图象判断基本结论：
命题点　分析判断函数图象［10年5考］
1.(2022·安徽第5题)甲、乙、丙、丁四个人步行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是( )

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
A
2.(2018·安徽第10题)如图，直线l1，l2都与直线l垂直，垂足分别为点M，N，MN＝1.正方形ABCD的边长为，对角线AC在直线l上，且点C位于点M处.将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点N重合为止.记点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于l1，l2之间的部分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为( )
A
点击放大观看几何
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【解析】由正方形ABCD的边长为，易得其对角线长为2，则对角线长的一半为1.分三种情况：①当0≤x≤1时，y＝2x，函数图象为线段，且y随x的增大而增大；②当1＜x≤2时，y＝2，函数图象是平行于x轴的一条线段；③当2＜x≤3时，y＝－2x＋6，函数图象为线段，且y随x的增大而减小.综上所述，只有选项A符合.
3.(2016·安徽第9题)一段笔直的公路AC长20千米，途中有一处休息点B，AB长15千米.甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发.甲以15千米/时的速度匀速跑至点B，原地休息半小时后，再以10千米/时的速度匀速跑至终点C；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C.下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y(千米)与时间x(时)函数关系的图象是( A )
【解析】由题意知甲跑1小时到了B地，在B地休息了半个小时，2小时正好跑到C地；乙跑小时到了C地，在C地休息了小时才和甲相遇，由此可知正确的图象是A项.(共17张PPT)
第三章　函　数
微专题 二次函数图象与系数a，b，c的关系
（安徽中考链接：2023年第9题，2019年第9题）
a 决定抛物线的开口方向和大小 a>0，抛物线开口①　 　；
a<0，抛物线开口②　 　；
|a|越大，抛物线开口③　 　；
|a|越小，抛物线开口④　 　
a，b 决定抛物线的对称轴位置 a，b同号，对称轴在y轴⑤　 　；
a，b异号，对称轴在y轴⑥　 　；
b=0，对称轴为y轴
右侧　
左侧　
越大　
越小　
向下　
向上　
1.抛物线y=ax2+bx+c与系数a，b，c的关系
c 决定抛物线与y轴交点的位置 c>0，抛物线与y轴交于正半轴；
c<0，抛物线与y轴交于负半轴；
c=0，抛物线过原点
b2-4ac 决定抛物线与x轴的交点个数 b2-4ac>0，抛物线与x轴有两个交点；
b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；
b2-4ac<0，抛物线与x轴没有交点
abc 由图象判断a，b，c各自正负
2a+b -与1比较
2a-b -与-1比较
a+b+c 令x=⑦　 　，看纵坐标正负
a-b+c 令x=-1，看纵坐标正负
4a+2b+c 令x=2，看纵坐标正负
4a-2b+c 令x=⑧　 　，看纵坐标正负
9a+3b+c 令x=3，看纵坐标正负
9a-3b+c 令x=-3，看纵坐标正负
-2　
1　
2.特殊代数式正负的判断方法
a>0，b⑨　 　0，
c⑩　 　0，
b2-4ac 　 　0，
2a-b 　 　0，
a-b+c 　 　0
a<0，b 　 　0，
c 　 　0，
b2-4ac 　 　0，
2a+b 　 　0，
a+b+c 　 　0
>　
<　
>　
=　
>　
>　
>　
<　
>　
>　
【当堂小练习】
abc 　 　0，
4a+2b+c 　 　0，
4a-2b+c 　 　0，
9a+3b+c 　 　0，
9a-3b+c 　 　0，
5a-b 　 　0
>　
>　
>　
>　
<　
<　
类型1 平面直角坐标系中函数图象的判断
例1（2024·合肥经开区模拟）如图，已知一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与一次函数y=-2x+4的图象交于第一象限的点A，与x轴交于点B（-2，0），则函数y=ax2+bx+a-b的图象可能是（ ）
D
【解析】∵一次函数y=ax+b（a≠0）的图象经过第一、二、三象限及点B（-2，0），∴a>0，b>0，且-2a+b=0，∴b=2a，∴二次函数y=ax2+bx+a-b=ax2+2ax-a，其开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴为直线x=-=-1.综上所述，D项正确.
类型 根据函数图象判断结论正误
例2　（2024·池州三模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A.a+b+c-1>0 B.-2a+c>0
C.16a-3b+c0
C
2
【解析】由题意知，当x=1时，y=0，即a+b+c=0，∴a+b+c-1=-1<0，故A项错误；由题可得a>0，c<0，∴-2a<0，∴-2a+c<0，故B项错误；∵二次函数的对称轴为x=-2，与x轴交于点（1，0），∴二次函数的图象与x轴交于另一点（-5，0），∴当x=-4时，y=16a-4b+c<0，即16a-3b+c0，c<0得ac<0，∴ac-b2<0，故D项错误.
提分训练
1.（2024·山东青岛）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=-1，则过点M（c，2a-b）和点N（b2-4ac，a-b+c）的直线一定不经过（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
C
2.（2024·合肥蜀山区一模）已知反比例函数y=（k≠0）在第二象限内的图象与一次函数y=mx+n（m≠0）的图象如图所示，则函数y=mx2+nx-k+1的图象可能为（ ）
A
【解析】由图象可知，k<0，m>0，n>0，∴-k+1>0，-<0，∴二次函数y=mx2+nx-k+1的图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴正半轴相交，排除B，C，D项.
3.（2024·蚌埠三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+a与二次函数y=ax2-a的图象可能是（ ）
C
【解析】由一次函数y=ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（-1，0），由二次函数y=ax2-a可知，二次函数的图象与x轴交于点（-1，0）和（1，0），∴一次函数y=ax+a与二次函数y=ax2-a的图象交于点（-1，0），排除A，B，D项.当a<0时，二次函数图象开口向下，顶点在y轴正半轴上，故C项符合题意.
4.（2024·黑龙江绥化）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x=-1，则下列结论：
①>0；②am2+bm≤a-b（m为任意实数）；③3a+c<1；
④若M（x1，y），N（x2，y）是抛物线上不同的两个点，则x1+x2≤-3.其中正确的结论有（ ）
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
B

【解析】由图象可知a<0，c>0，∵抛物线的对称轴是直线x=-=-1，∴b=2a<0，∴<0，故①错误；由题意得，当x=-1时，y取最大值为a-b+c，∴对于任意实数m，当x=m时，y=am2+bm+c≤a-b+c，∴am2+bm≤a-b，故②正确；由图象可知，当x=1时，y=a+b+c<0，又∵b=2a，∴3a+c<0<1，故③正确；∵M（x1，y），N（x2，y）是抛物线上不同的两点，∴点M，N关于直线x=-1对称，∴x1+x2=-=-=-2>-3，故④错误.(共17张PPT)
第三章　函　数
3.4　二次函数
第2课时　二次函数性质的综合应用
1.［HK版教材九上P26习题21.2第1(3)题改编］如果点
(a，b)在抛物线y＝－x2＋1上，那么下列各点中一定在该抛物线上的是( )
A.(－a，－b) B.(－a，b)
C.(a，－b) D.(b，a)
B
2.(2023·成都)如图，二次函数y＝ax2＋x－6的图象与x轴交于A(－3，0)，B两点.下列说法正确的是( )
A.抛物线的对称轴为直线x＝1
B.抛物线的顶点坐标为
C.A，B两点之间的距离为5
D.当x＜－1时，y的值随x值的增大而增大
C
3.［HK版教材九上P34习题21.3第5题改编］已知抛物线y＝x2＋4x＋k－1.
(1)若抛物线与x轴没有交点，则k的取值范围是
　 　；
(2)若抛物线的顶点在直线y＝x＋1上，则k的值为　 　.
　4　
　k＞5　
4.已知二次函数y＝x2与一次函数y＝2x＋1相交于A，B两点，点C在线段AB上运动，点D在抛物线上，且CD平行于y轴.在移动过程中，CD的最大值为　　.
　2　
例 　 已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A（-3，0），B（m，0）.解答下列问题：
（1）若m=2，则抛物线y=ax2+bx-3有最　 　值，为　 .
（2）若抛物线y=ax2+bx-3开口向下，且当-≤x≤0时，-3≤y≤，则a=　 　.
（3） 若m=1，平移抛物线y=ax2+bx-3得到抛物线y1=a1x2+b1x+c，使其顶点在直线y=-x-3上.求平移后的抛物线y1=a1x2+b1x+c与y轴交点的纵坐标的最小值.
　-1　
　小　
-　
（2）求a消b（用含a的式子表示b）→范围已定，确定或讨论对称轴的相对位置，判断增减性.
（3）平移后的顶点在直线y=-x-3上，所以可设顶点坐标为（h，-h-3）.
【答案】（2）提示：∵抛物线y=ax2+bx-3经过点A（-3，0），∴9a-3b-3=0，∴b=3a-1，∴y=ax2+（3a-1）x-3，∴该抛物线的对称轴为直线x=-=-.
∵a<0，∴x=-<-，∴当-≤x≤0时，y随x增大而减小，∴当x=-时，y取最大值，即a+（3a-1）·-3=，解得a=-1.
（3）易知原抛物线的表达式为y=x2+2x-3.
设平移后的抛物线表达式为y1=（x-h）2+k，顶点为（h，k）.
依题意，知k=-h-3，∴y1=（x-h）2-h-3.
令x=0，则y1=h2-h-3=，
∴当h=时，y1取最小值-，
∴平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标的最小值为-.
提分练　已知直线l：y=kx+4和抛物线y=ax2-x+c都经过点A（2，0），且与y轴有相同的交点.
（1）求直线l及抛物线的表达式.
（2）P是抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，且-3≤m≤3，平移直线l使其经过点P，设平移后的直线为l'，且与y轴交点的纵坐标为n.求n关于m的函数表达式以及n的取值范围.
解：（1）将点A（2，0）代入y=kx+4，得2k+4=0，解得k=-2，
∴直线l的表达式为y=-2x+4.
令x=0，则y=4，∴直线l与y轴的交点为（0，4）.
将（2，0），（0，4）代入y=ax2-x+c，
得解得
∴抛物线的表达式为y=-x2-x+4.
（2）由题意，得直线l'的表达式为y=-2x+n.
易知点P的坐标为，且点P在l'上，
∴-2m+n=-m2-m+4，得n=-m2+m+4=-（m-1）2+.
∵-<0，-3≤m≤3，∴当m=1时，n最大，此时n=，
当m=-3时，n最小，此时n=-.∴n的取值范围是-≤n≤.
命题点　二次函数性质的综合应用［10年4考］
1.(2023·安徽第23题)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，
抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A(3，3)，对称轴为直线x＝2.
(1)求a，b的值.
(2)已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t＋1.过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E.
(ⅰ)当0＜t＜2时，求△OBD与△ACE的面积之和.
(ⅱ)在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B，C，D，E为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由.
解：(1)因为直线x＝2是抛物线对称轴，所以－＝2，故b＝－4a.
又因为抛物线过点A(3，3)，所以9a＋3b＝3.
解得a＝－1，b＝4.
(2)(ⅰ)由(1)可得抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋4x.
当x＝t时，y＝－t2＋4t，
当x＝t＋1时，y＝－(t＋1)2＋4(t＋1)＝－t2＋2t＋3，
则点B，C的坐标分别为(t，－t2＋4t)，(t＋1，－t2＋2t＋3).
由O(0，0)，A(3，3)可得直线OA对应的一次函数表达式为y＝x，
于是点D，E的坐标分别为(t，t)，(t＋1，t＋1).
所以DB＝－t2＋3t，EC＝－t2＋t＋2.
从而S△OBD＝DB·t＝－t3＋t2，
S△ACE＝EC·［3－(t＋1)］＝t3－t2＋2，
故S△OBD＋S△ACE＝2.
(ⅱ)过点D作DH⊥CE于点H，则H(t＋1，t).
①当2＜t＜3时，如图1，DB＝－t2＋3t，CE＝t2－t－2，
所以S四边形BDCE＝(BD＋CE)×1＝［(－t2＋3t)＋(t2－t－2)］×1＝t－1.
由S四边形BDCE＝，解得t＝，符合要求.
图1
②当t＝3时，无法构成四边形，不符合题意.
③当t＞3时，如图2，BD＝t2－3t，CE＝t2－t－2，
S四边形DBCE＝(BD＋CE)×1＝［(t2－3t)＋(t2－t－2)］
×1＝t2－2t－1.
由S四边形DBCE＝，
解得t1＝，t2＝.由于t1，t2均小于3，不符合要求，舍去.
综上，存在点B，使得以B，C，D，E为顶点的四边形的面积为，点B的横坐标t的值为.
图2(共34张PPT)
第三章　函　数
3.3　反比例函数
1.(2023·武汉)关于反比例函数y＝，下列结论正确的是
( )
A.图象位于第二、四象限
B.图象与坐标轴有公共点
C.图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小
D.图象经过点(a，a＋2)，则a＝1
C
2.(2019·安徽第5题)已知点A(1，－3)关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为( )
A.3 B. C.－3 D.－
A
3.一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝(a，b 为常数且均不等于0)在同一平面直角坐标系内的图象可能是( )
D
4.如图，A(m，n)是双曲线y＝(x＞0)上一动点，AB⊥y轴交双曲线y＝(x＞0)于点B，连接OA，OB，则当m增大时，△OAB的面积应( )
A.减小 B.增大
C.不变 D.先增大后减小
C
教材知识梳理
反比例函数y=(k≠0) 图 象 k>0 k<0
图象在第一、三象限 图象在第二、四象限
性质 在每个象限内,y随x的增大而①　 　 在每个象限内,y随x的增大而②　 　
反比例函数y=(k≠0)的图象是双曲线;每个图象有两个分支,每个分支都无限接近坐标轴,但不与坐标轴相交,图象关于直线y=x,y=-x对称,且关于原点O中心对称 增大　
减小　
反
比
例
函
数
图象与性质
讨论反比例函数的增减性时需强调在每一象限内或强调x>0(或x<0)
反
比
例
函
数
图象与性质
比例系数k的几何意义 设P(x,y)是反比例函数y=图象上任意一点,过点P向x轴、y轴作垂线,垂足分别为点A,B,如图所示,则=S矩形OAPB
数学学科应用、跨学科应用
实际应用
考点 反比例函数的图象与性质
例1　已知反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，请回答下列问题：
(1)k的取值范围是　 　；
(2)若此反比例函数的图象经过点P(2，4)，则当－4＜x＜－1时，y的取值范围为　 　；
(3)在这个反比例函数图象上有三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为　 　.(用“＜”连接)
　y2＜y1＜y3　
　－8＜y＜－2　
　k＜1　
1
方法总结
比较反比例函数值大小的方法
(1)直接代入求解：将各自对应的横坐标值代入反比例函数表达式中，求出y值，直接比较；
(2)利用函数图象判断：先根据反比例函数的k值确定反比例函数的增减性，再看两点是否在同一分支上，若不在同一分支上则可直接判断，若在同一分支上则利用增减性判断.
图1
考点2 求反比例系数k
例2　已知在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限内，△AOB的边与反比例函数y＝(x＞0)有交点.
(1)如图1，点A在反比例函数y＝(x＞0)的图
象上，AB⊥x轴，垂足为点B，△AOB的
面积为5，则k的值为　 　.
　10　
图2
(2)如图2，AB⊥x轴，垂足为点B，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过AB的中点C.若S△AOB＝3，则k的值为　 　.
　3　
(3) ［HK版教材九上P60 B组复习题第4题改编］如图3，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过△AOB的顶点A和边AB的中点C.若△AOC的面积为3，求k的值.
图3
(3)解法1：(设坐标法)由C为AB的中点，你能想到作何辅助线？设点A，你能用含m，k的代数式表示出其他点的坐标吗？由题目条件建立关于k的方程.
解法2：(面积法)利用k的几何意义，由图象上一点向两个坐标轴作垂线所围成的矩形面积相等(或连接原点所围成三角形的面积相等).由C为AB的中点，联系到面积，你想到了什么？
【答案】(3)解法1：过点C作CD∥x轴，交OA于点D，则D为OA中点.设点A，则点D，C，CD＝，∴S△AOC＝S△ACD＋S△OCD＝·CD·＝3，解得k＝4.
解法2：过点A，C分别作AE⊥OB，CF⊥OB，垂足分别为点E，F.
∵C为AB的中点，∴CF＝AE，BF＝FE.
由题可知k＞0，∴S△AOE＝S△COF＝k，
∴OF＝2OE，即OE＝EF＝BF，
∴S△AOE＝S△AOB＝S△AOC＝2，∴k＝2S△AOE＝4.
考点3 反比例函数与一次函数综合
例3　已知一次函数y＝－x＋b与x轴交于点(5，0)，与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点A(m，4)和B(4，n).
(1)求一次函数与反比例函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象；
(2)根据图象，方程－x＋b＝的解为　 　；
(3)根据图象，不等式－b＞－x的解集为
　 　；
(4)连接OA，OB，求△AOB的面积.
　0＜x＜1或x＞4　
　x1＝1，x2＝4　
【答案】(1)将(5，0)代入y＝－x＋b，得－5＋b＝0，
解得b＝5，即一次函数的表达式为y＝－x＋5.
∵一次函数y＝－x＋5经过点A(m，4)和B(4，n)，
∴m＝1，n＝1，
∴k＝1×4＝4，即反比例函数的表达式为y＝.
这两个函数图象如图所示：
(4)如图，S△AOB＝×5×5－×5×1－×5×1＝.
提分练1　(2024·甘肃白银)如图，在平面直角坐标系中，将函数y＝ax的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数y＝ax＋b的图象，与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点A(2，4).过点B(0，2)作x轴的平行线分别交y＝ax＋b与y＝(x＞0)的图象于C，D两点.
(1)求一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝的表达式；
(2)连接AD，求△ACD的面积.
解：(1)由题意，得b＝3，
将点A(2，4)代入y＝ax＋3，得2a＋3＝4，解得a＝，
∴一次函数的表达式为y＝x＋3.
∵点A(2，4)在反比例函数的图象上，
∴k＝2×4＝8，
∴反比例函数的表达式为y＝.
(2)将y＝2代入y＝x＋3，得x＋3＝2，解得x＝－2，
∴点C的坐标为(－2，2).
将y＝2代入y＝，得x＝4，∴点D的坐标为(4，2)，
∴CD＝4－(－2)＝6，
∴S△ACD＝×6×(4－2)＝6.
提分练2　 (2015·安徽中考第21(3)题改编)已知M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)是反比例函数y＝(k＞0)图象上的三点，若x1＜x2，y1＜y3＜y2，则一次函数y＝(x3－x2)x＋x3－x1一定经过第　 　象限.
　二、三　
（以形解数）此题读懂题意是关键，可画图分析，由题可先确定点M，N的相对位置，再讨论点P的位置.
【解析】由题意得反比例函数y＝(k＞0)在第一、三象限，且在各象限中，y随x的增大而减小.∵x1＜x2，y1＜y2，∴点M(x1，y1)在第三象限，点N(x2，y2)在第一象限.又∵y1＜y3＜y2，∴x3＜x1或x3＞x2.①当x3＜x1＜0＜x2时，x3－x2＜0，x3－x1＜0，∴一次函数y＝(x3－x2)x＋x3－x1经过第二、三、四象限；②当x1＜0＜x2＜x3时，x3－x2＞0，x3－x1＞0，∴一次函数y＝(x3－x2)x＋x3－x1经过第一、二、三象限.综上可得，一次函数y＝(x3－x2)x＋x3－x1一定经过第二、三象限.
本题中，若仅知k≠0，则答案又是什么呢？
命题点 反比例函数综合［10年8考］
1.(2024·安徽第6题)已知反比例函数y＝(k≠0)与一次函数y＝2－x的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为( )
A.－3 B.－1 C.1 D.3
A
2.(2022·安徽第13题)如图， OABC的顶点O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，反比例函数y＝的图象经过点C，y＝(k≠0)的图象经过点B.若OC＝AC，则k＝　 　.
　3　
3.(2020·安徽第13题)如图，一次函数y＝x＋k(k＞0)的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴，垂足分别为点D，E.当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为　 　.
　2　
4.(2023·安徽第14题)如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函数y＝(k＞0)的图象经过斜边OB的中点C.
(1)k＝ 　；
(2)D为该反比例函数图象上的一点，
若DB∥AC，则OB2－BD2的值为　 　.
　4　
【解析】(1)因为AB＝2，∠AOB＝30°，∠OAB＝90°，所以OA＝2，OB＝4，所以A(2，0)，B(2，2).因为C是OB的中点，所以C(，1)，所以k＝.(2)解法1：由BD∥AC，得∠DBA＝∠BAC＝60°.在直角三角形中求BD2.过点D作DF⊥BA于点F，在Rt△BDF中，设BF＝a，易得DF＝a.由B(2，2)，得D(2a，2－a)，依据点D在反比例函数图象上，可得(2a)(2－a)＝k＝，化简得a2＝3，则BD2＝4a2＝12，所以OB2－BD2＝16－12＝4.
解法2：由DB∥AC，得∠DBA＝∠BAC＝60°.联想乘法公式，转化OB2－BD2＝(OB＋BD)(OB－BD).如图，作直线BD，分别与x轴、y轴相交于点G，H，依据已知条件，易得OB＝BH＝BG，则OB＋BD＝BH＋BD＝DH，OB－BD＝BG－BD＝DG，即OB2－BD2＝DH·DG.采用“化斜为直”的思想，过点D分别作DN⊥x轴于点N，DM⊥y轴于点M，则在Rt△HDM
中，DH＝DM，同理DG＝2DN，所以OB2－BD2＝DM·2DN＝DM·DN.依据点D在反比例函数图象上，
可得DM·DN＝k＝，所以OB2－BD2＝＝4.
5.(2021·安徽第19题)已知正比例函数y＝kx(k≠0)与反比例函数y＝的图象都经过点A(m，2).
(1)求k，m的值；
(2)在图中画出正比例函数y＝kx的图象，
并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围.
解：(1)因为反比例函数y＝的图象经过点A(m，2)，所以2＝，解得m＝3，
于是点A的坐标为(3，2).
又因为正比例函数y＝kx(k≠0)的图象也经过点A(3，2)，所以2＝3k，解得k＝，
故k＝，m＝3.
(2)图象如图所示，由图知x的取值范围
是－3＜x＜0或x＞3.(共35张PPT)
第三章　函　数
3.2　一次函数
1.若一次函数y＝－3mx－4(m≠0)，当x的值增大时，y的值也增大，则m的取值范围为( )
A.m＞0 B.m＜0
C.0＜m＜3 D.无法确定
B
课前基础自测
2.［HK版教材八上P61 A组复习题第7(2)题改编］若点A(－2，y1)，B(3，y2)在一次函数y＝x＋b的图象上，则y1与y2的大小关系是( )
A.y1＞y2 B.y1＝y2
C.y1＜y2 D.y1≥y2
C
3.若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则函数y＝bx－k的大致图象是( )
B
4.如图，直线y＝2x与y＝kx＋b相交于点P(1，2)，则关于x的方程kx＋b＝2x的解是( )
A.x＝ B.x＝2
C.x＝1 D.x＝4
C
5.(2024·广西)激光测距仪L发出的激光束以3×105 km/s的速度射向目标M，t s后测距仪L收到M反射回的激光束，则L到M的距离d(km)与时间t(s)的关系式为( )
A.d＝t B.d＝3×105t
C.d＝2×3×105t D.d＝3×106t
A
教材知识梳理
一
次
函
数
概念
k≠0　
一
次
函
数
图 象 与 性 质 一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是经过点（0，②　　　　）和点（③　　　　，0）的一条直线 k>0 b>0 经过第一、 二、三象限 y随x的增大 而④　　　 ⑥　　　　越大，一次函数图象的倾斜程度越大（越陡峭），函数图象越靠近y轴，表明纵坐标与横坐标的比值的绝对值越大
b=0 经过第一、 三象限 b<0 经过第一、 三、四象限 k<0 b>0 经过第一、 二、四象限 y随x的增大 而⑤　　　 b=0 经过第二、 四象限 b<0 经过第二、 三、四象限 b　
-　
增大　
减小　
|k|
一
次
函
数
解析式
的确定
方法 待定系数法
具体步骤
一
次
函
数
一次函数图
象的平移
一
次
函
数
一次函数
与一次
方程（组）
的关系
一次函数与一元
一次不等式的关系
一
次
函
数
一次函数
的应用
一次函数与坐标轴
围成的三角形面积
S△AOB=AO·BO=
|xA|·|yB|　
S△ABC=BC·AD=
|xC-xB|·|yA|　
S△ABC=BC·AD=
|yB-yC|·|xA|
一
次
函
数
考点1 一次函数的图象和性质
例1　已知一次函数y＝(2m－4)x＋4－m，解答下列问题：
(1)若y是关于x的正比例函数，则下列各点在该正比例函数图象上的是( )
A.(4，0) B.(－1，－4)
C.(－2，8) D.(－4，16)
B
(2)若该函数图象经过第一、二、三象限，且m为整数.
①求m的值，并在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象；



②若点A(x1，y1)，B(x2，y2)是该一次函数图象上的两点，且x1＞x2，则(x1－x2)(y1－y2)　 　0；(填“＞”“＝”或“＜”)
③若该一次函数的图象先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，则平移后的一次函数的表达式为
　 　.
　y＝2x＋6　
　＞　
(3)在(2)的条件下，若过点P(－1，7)的直线l：y＝kx＋b与该一次函数y＝(2m－4)x＋4－m的图象交于点Q(a，－5).
① 直线l的函数表达式为　 　；
② 不等式kx＋b＋m≥(2m－4)x＋4的解集为
　 　.
　x≥－3　
　y＝6x＋13　
【答案】(2)①由题意，得解得2＜m＜4.
∵m为整数，∴m＝3.
函数y＝(2×3－4)x＋4－3＝2x＋1的图象如图所示.
初高中衔接
两直线的特殊位置关系特性
1.两直线平行的结论：
已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.
①若l1∥l2，则k1＝k2，b1≠b2；
②若k1＝k2，且b1≠b2，则l1∥l2.
2.两直线垂直的结论：
已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，k1k2≠0.
①若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；
②若k1·k2＝－1，则l1⊥l2.
安徽中考解答题中不能直接将其作为结论应用（这是教材习题的一个结论），但是在小题中可以巧用.
考点2 一次函数的实际应用
例2　(2024·内蒙古呼伦贝尔)某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：



该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元；购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元.
(1)求a，b的值；
水果种类 进价/(元·千克－1) 售价/(元·千克－1)
甲 a 22
乙 b 25
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克.实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售.求超市当天销售完这两种水果获得的利润y(元)与购进甲种水果的数量x(千克)之间的函数关系式(写出自变量x的取值范围)，并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润.
【答案】(1)由题意，得
解得
(2)当50≤x≤80时，y＝(22－14)x＋(25－19)×(150－x)＝2x＋900，∴y随x的增大而增大；
当80＜x≤120时，y＝(22－14)×80＋(22－14－5)×(x－80)＋(25－19)×(150－x)＝－3x＋1300，y随x的增大而减小，
∴当x＝80时，y取最大值，最大值为2×80＋900＝1060(元).
综上所述，y＝
当购进甲种水果80千克，乙种水果70千克时，获得最大利润为1060元.
例3　 (2024·长春)区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度.小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶(减速时间忽略不计)，当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/小时.汽车在区间测速路段行驶的路程y(千米)与在此路段行驶的时间x(小时)之间的函数图象如图所示.
(1)a的值为 　；
(2)当≤x≤a时，求y与x之间的函数关系式；
(3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速.(此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/小时)
【答案】(2)当≤x≤时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.
根据题意，得解得
∴y与x之间的函数关系式为y＝90x＋2.
(3)当x＝时，y＝90×＋2＝9.5，
9.5÷＝114(千米/小时)，
∵114＜120，∴该辆汽车减速前没有超速.
1. (2022·安徽第9题)在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋a2与y＝a2x＋a的图象可能是( )
命题点1 一次函数的图象和性质［必考，多与二次函数、反比例函数结合考查］
D
【解析】解法1：当x＝1时，两个函数的函数值相等为y＝a＋a2，即两个图象都经过点(1，a＋a2)，故选项A，C不符合题意；当a＞0时，a2＞0，一次函数y＝ax＋a2与y＝a2x＋a的图象都经过第一、二、三象限，且都与y轴的正半轴有交点，故选项B不符合题意；当a＜0时，a2＞0，一次函数y＝ax＋a2经过第一、二、四象限，与y轴的正半轴有交点，一次函数y＝a2x＋a经过第一、三、四象限，与y轴的负半轴有交点，故选项D符合题意.
解法2：观察两个表达式特征可知，当x＝1时，两个函数值均为a＋a2，即两条直线的交点为(1，a＋a2)，由选项B，D可知a＜0，即只有选项D符合.
2.(2020·安徽第7题)已知一次函数y＝kx＋3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是( )
A.(－1，2) B.(1，－2)
C.(2，3) D.(3，4)
B
【解析】因为y随x的增大而减小，所以k＜0.选项A中，根据题意，得2＝－k＋3，k＝1，不符合k＜0的条件，此选项错误；选项B中，根据题意，得－2＝k＋3，k＝－5，符合k＜0的条件，此选项正确；选项C中，根据题意，得3＝2k＋3，k＝0，不符合k＜0的条件，此选项错误；选项D中，根据题意，得4＝3k＋3，k＝，不符合k＜0的条件，此选项错误.
3.［HK版教材八上P65 C组复习题第3题改编］(2021·安徽第6题)某品牌鞋子的长度y cm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系.若22码鞋子的长度为16 cm，44码鞋子的长度为27 cm，则38码鞋子的长度为( )
A.23 cm B.24 cm C.25 cm D.26 cm
命题点2 一次函数的实际应用［10年2考，多与二次函数的实际应用结合，2021年单独考查］
B
【解析】根据题意，设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b.根据题意，得解得所以y＝x＋5.当x＝38时，y＝24.(共30张PPT)
第三章　函　数
3.5　二次函数的实际应用
第2课时　几何图形面积问题与抛物线型问题
②如图2，养殖场需要留两扇各1 m宽的门，则养殖场的最大面积为　 　m2.
图1
　220.5　
类型1 几何图形面积问题
例1　某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙，其余几面用栅栏围成.
（1）已知墙面足够长，栅栏的总长为40 m.
①如图1，养殖场的最大面积为　 　m2；
　200　
图2
　　　
（2）如图3，已知墙面长度为12 m，栅栏的总长为70 m，养殖场中间用一道栅栏隔开，并在如图所示的两处各留一扇1 m宽的门，则养殖场的最大面积是多少？
图3
（3）（2015·安徽第22题改编）如图4，已知墙面足够长，用总长为80 m的栅栏围成了如图所示的①②③三块矩形区域，并且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2.当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
图4
设核心变量→表示其他相关变量→→得最值
（1）②留两扇各1 m宽的门，则BC边实线的所用材料为多少？BC边实际总长为多少？
（2）限制墙面长度，会对什么有影响？
（3）由①②③的位置及面积关系，你能得出什么结论？如何用x表示AB（CD）的长？
【答案】（1）②提示：设AB=x，则BC=40-2x+2=42-2x.养殖场的面积S=x（42-2x）=-2（x-10.5）2+220.5，由题意得42-2x>2，∴0（2）设AB=x，则BC=70-3x+2=72-3x.
养殖场的面积S=x（72-3x）=-3（x-12）2+432.
由题意得2<72-3x≤12，解得20≤x<，
当x=20时，S最大=-3×（20-12）2+432=240.
∴养殖场的最大面积是240 m2.
（3）∵①②③三块矩形区域的面积相等，∴CE=2BE，
∴BE=x，CE=x，
∴AB=CD=x，
∴y=x=-（x-24）2+320.
∵x>0，∴0∴当x=24时，y有最大值，最大值是320 m2.
如何解决几何图形面积问题
　　解决此类问题，一般是根据几何图形的性质，先找核心变量，并确定核心变量的取值范围，用核心变量表示出其他边的长，再确定各变量与图形周长或面积之间的关系，从而确定二次函数的表达式，最后根据题意及二次函数的性质解题即可.

提分练　如图，某市计划利用现有的一段“L”字形的古城墙（粗线ABC表示古城墙，AB⊥BC，AB=60米，BC=20米）和总长为280米的仿古城墙围建一个“日”字形的展览馆DBEF（细线表示仿古城墙，展览馆中间GH也是用仿古城墙隔开）.
（1）如图1，当点D在线段AB上，点E在线段
BC的延长线上，DF为多少时，展览馆DBEF的
面积最大？最大面积为多少米2？
图1
（2）如图2，当点D在线段BA的延长线上，点E在线段BC的延长线上，DF为多少时，展览馆DBEF的面积最大？最大面积为多少米2？
图2
解：设展览馆DBEF的面积为S米2，DF的长为x米.
（1）∵点D在线段AB上，点E在线段BC的延长线上，
∴EF=280-2x-（x-20）=300-3x，x>20，
∵AB=60，∴0由矩形的面积公式，得S=x（300-3x）=-3（x-50）2+7500，
∵a=-3<0，80≤x<100，
∴当x=80时，S有最大值，最大值为4800，
即当DF=80米时，展览馆DBEF的面积最大，最大面积为4800米2.
（2）∵点D在线段BA的延长线上，点E在线段BC的延长线上，
∴EF==180-x，x>20，
∵EF>60，∴180-x>60，解得x<80.
由矩形的面积公式，得S=x=-x2+180x=-（x-60）2+5400，
∵a=-<0，20∴当x=60时，S有最大值，最大值为5400，
即当DF=60米时，展览馆DBEF的面积最大，最大面积为5400米2.
类型2 抛物线型问题
例2 　 （2023·河北）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题.
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1 m.嘉嘉在点A（6，1）处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线C1：y=a（x-3）2+2的一部分，淇淇恰在点B（0，c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C2：y=-x2+x+c+1的一部分.
（1）写出C1的最高点坐标，并求a，c的值；
（2） 若嘉嘉在x轴上方1 m的高度上，且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值.
（2）嘉嘉能接到沙包的位置坐标范围是多少？该位置应在哪一抛物线上？

【答案】（1）∵抛物线C1：y=a（x-3）2+2，
∴C1的最高点坐标为（3，2）.
∵点A（6，1）在抛物线C1：y=a（x-3）2+2上，
∴1=a（6-3）2+2，解得a=-，
∴抛物线C1的表达式为y=-（x-3）2+2.
∵点B（0，c）在抛物线C1上，∴令x=0，得c=1.
（2）当嘉嘉在（5，1）处接到沙包时，1=-×52+×5+1+1，解得n=；
当嘉嘉在（7，1）处接到沙包时，1=-×72+×7+1+1，解得n=.
∴≤n≤，∴符合条件的n的整数值为4和5.
如何解决抛物线型问题
　　此类问题一般涉及隧道、拱桥、喷泉水柱、抛球、投篮等，解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义：最高点为抛物线的顶点，抛出点为抛物线中的c值，落地点为抛物线与x轴的交点，落地点到抛出点的水平距离是此落地点横坐标的绝对值.
（1）判断货车能否通过隧道或船能否通过拱桥，即判断两端点的坐标是否在抛物线的下方；
（2）判断人是否会被喷泉淋湿，即判断人所处位置的水的高度是否比人的身高高；
（3）判断抛球运动中球是否过网，即判断网所在点的坐标是否在抛物线下方；
（4）判断投篮是否投中，即判断篮网是否在球的运动轨迹所在的抛物线上.
命题点1 几何图形面积问题［10年1考，仅2015年考查］
1.(2015·安徽第22题)为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域面积相等.设BC的长度是x米，矩形区域ABCD的面积为y米2.
(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变
量x的取值范围.
(2)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
解：(1)设AE＝a.
由题意，得AE·AD＝2BE·BC，AD＝BC，∴BE＝a，AB＝a.
由题意，得2x＋3a＋2·a＝80，∴a＝20－x.
∵
∴0＜x＜40，∴y＝AB·BC＝a·x＝x，
整理，得y＝－x2＋30x(0＜x＜40).
(2)∵y＝－x2＋30x＝－(x－20)2＋300(0＜x＜40)，
∴当x＝20时，y取最大值，且最大值是300米2.
命题点2 抛物线型问题［10年1考，仅2022年考查］
2.(2022·安徽第23题)如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米.以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米.E(0，8)是抛物线的顶点.
(1)求此抛物线对应的函数表达式.
解：(1)由题意可设此抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋c.
将点A(－6，2)，E(0，8)代入，得
解得
∴此抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋8.
(2)(ⅰ)由题意，得点P1的坐标为(m，0)，
∴点P2的坐标为，点P3的坐标为，点P4的坐标为(－m，0)，
∴P1P2＝P3P4＝MN＝－m2＋8，P2P3＝2m，
∴l＝3×＋2m＝－m2＋2m＋24，
整理得l＝－(m－2)2＋26.
∵－＜0，0＜m≤6，∴当m＝2时，l取得最大值为26.
答：栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝－m2＋2m＋24，l的最大值为26.
(ⅱ)方案一：设P1P2＝MN＝P3P4＝t，则P2P3＝18－3t，
＝t(18－3t)＝－3(t－3)2＋27.
∵－3＜0，∴抛物线开口向下，
∴当t＝3时，取得最大值为27.
将y＝3代入y＝－x2＋8，解得x1＝，x2＝－，
∴点P4的横坐标的最小值为－，点P1的横坐标的最大值为.
∵P1P4＝P2P3＝18－3t＝18－9＝9，
∴当点P4的横坐标为－时，点P1的横坐标取最小值，为9－，
∴点P1的横坐标的取值范围是9－≤x≤.
方案二：设MN＝P2P3＝n，则P3P4＝P1P2＝＝9－n，∴＝n(9－n)＝－.
∵－1＜0，∴抛物线开口向下，
∴当n＝时，取得最大值为.
此时P3P4＝P1P2＝9－n＝，
把y＝代入y＝－x2＋8，解得x1＝－，x2＝，
∴点P4的横坐标的最小值为－，点P1的横坐标的最大值为.
∵P1P4＝MN＝n＝，
∴当点P4的横坐标为－时，点P1的横坐标取最小值，为，
∴点P1的横坐标的取值范围是≤x≤.
(两种方案任写其中一种即可)(共8张PPT)
第三章　函　数
微专题 反比例函数中的“k”（必考）
一、知识梳理
1.k值的代数意义
已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=（k≠0）图象上的两点，则k=x1y1=x2y2.
2.k值的几何意义
在反比例函数y=（k≠0）的图象上任取一点A，过点A分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为点B，C，如图所示：
（1）矩形面积不变性：S矩形OBAC=|k|.
（2）三角形面积不变性：SRt△AOB=SRt△AOC=|k|.
二、反比例函数图象的面积不变性图例展示
基本图形 图形变式 结论
S阴影=|k|
S阴影=
基本图形 图形变式 结论
S1=S2
S△AOB=S四边形ACDB
S阴影=|k1|+|k2|
基本图形 图形变式 结论
S阴影=
基本图形 图形变式 结论
S阴影=
S1=4|k|；
S2=S3=S1=2|k|；
S4=S3=S2=S1=|k|
其他图形结构：
餐
茶
一、知识梳理
1.k值的代数意义
已知点A(,y),B(K2,2)是反比例函数
(k华O)图象上的两点，则k仁=y2:
2.k值的几何意义
在反比例函数y(k:O)的图象上任取一点A,过点A
分别向轴，轴作垂线，垂足分别为点B,C,如图所示：
y个
C
A
k
y=1
X
0
B
X
y个
C
A
k
y-1
X
0
B
X
DB=AC
y个
C
A y=
k
X
DO
B
X
PA
k
A
0
B
X
少
y=
x
A
C
0
B
X
y个
x
B
A
0
X
y
k
y=
B
A
C
0
X
y个
k
X
A
S
B
S
0
X
k
y个
X
A
B
S
0
X
k
Y个
1=
X
A
B
0
X
y
k
y=
X
A
B
0
C
D
X
k
x
y个
y=
X
B
A
C
0
D
X
k
X
A
D
oo
X
B
2
x
CD=AB
y个
B
A
k
y=
y=
X
X
净
C
0
D
A
k
y=
x
B
0
X
y个
A
k
y=
X
D
B
O
X
C yE
y-1
C
B
A
0
X
y=
x
C
B
A
0
D
X
y个
B
A
2
k
y-x
0
X
y个
B
A
k
y-x
oc
X
y
A
y=
X
0
X
y个
\A
y=1
X
C
0
X

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