资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2025年七年级下册期末数学复习专题
01 运算提升训练
【考点一】二元一次方程组
【题型一】解二元一次方程组（8题）
1．（24-25七年级下·贵州·期中）解下列方程组：
（1）； （2）
2．（24-25七年级下·广东广州·期中）解下列二元一次方程组：
（1） （2）
3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）解下列方程组：
（1） （2）
4．（24-25七年级下·福建厦门·期中）解二元一次方程组：
（1） （2）
5．（24-25七年级下·新疆喀什·期中）解下列方程组：
（1）； （2）
6．（24-25七年级下·四川南充·期中）解二元一次方程组：
（1）； （2）．
7．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）用指定的方法解下列方程组
（1）（代入法） （2）（加减法）
8．（24-25七年级下·重庆忠县·期中）解下面各题：
（1）解方程组； （2）用代入法解方程组：
【题型二】整体思想解二元一次方程组（4题）
1．（2024七年级下·全国·专题练习）“整体代换”是一种常用的数学思想，在解二元一次方程组时也可以运用“整体代换”的思想例如：求解二元一次方程组
将②式变形，得③．
将①式代入③式，得，解得．
将代入①式，得，解得，
该二元一次方程组的解为
（1）类比“整体代换”法解方程组
（2）已知，满足方程组求的值．
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）善于思考的小军在解方程组时，采用了一种整体代换的解法．
解：将方程②变形，得，即．③把方程①代入③，得，解得．把代入①，得方程组的解为．
请你仿照小军的整体代换法解决以下问题：
（1）解方程组
（2）已知满足方程组，求的值．
3．（24-25七年级下·全国·单元测试）先阅读材料：
解方程组 解：由①得③， 把③代入②中得，解得． 把代入③中得，即． 故方程组的解为， 这种方法称为“整体代入法”．
请用上述方法解方程组．
4．（22-23七年级下·四川内江·阶段练习）阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法：
解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为．
请你解决以下问题
（1）模仿小强同学的“整体代换”法解方程组；
（2）已知，满足方程组，求的值．
【考点二】整式的乘除
【题型三】幂的运算（4题）
1．（24-25七年级下·河北承德·期中）计算
（1）解二元一次方程组：
（2）计算：
2．（2025七年级下·全国·专题练习）计算
（1）； （2）．
3．（24-25八年级上·山东德州·期中）计算：
（1）； （2）；
4．（24-25八年级上·重庆万州·期中）解决下列有关幂的问题：
（1）若，求值；
（2）若n为正整数，且，求的值．
【题型四】整式的乘法8题）
1．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）计算：
（1） （2）
2．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）计算：
（1） （2）
3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算与化简：
（1）； （2）．
4．（24-25七年级下·福建三明·期中）利用整式乘法公式计算：
（1） （2）
5．（24-25七年级下·江苏南京·期中）计算：
（1）； （2）．
6．（24-25七年级下·山东济南·期中）计算：
（1）． （2）．
7．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）化简：
（1）； （2）．
8．（24-25七年级下·山东青岛·期中）计算
（1） （2）
（3） （4）利用乘法公式计算：
（5）利用乘法公式计算：
【题型五】整式的乘法化简求值（8题）
1．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）先化简，再求值：，其中，．
2．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）先化简，再求值：其中．
3．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）先化简，再求值：，其中，．
4．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）已知的展开式中不含项，且常数项是．
（1）求，的值．
（2）求的值．
5．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
6．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值：
（1），其中．
（2）已知，求代数式的值．
7．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值：
（1），其中．
（2）已知，求代数式的值．
8．（22-23八年级下·山东滨州·期中）先化简，再求值：
（1），其中．
（2）设，．求，的值
【考点三】因式分解
【题型六】因式分解（8题）
1．（24-25八年级上·山东东营·期中）因式分解：
（1）； （2）．
2．（24-25八年级上·河南新乡·期中）因式分解
（1）； （2）＋8＋16．
3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）因式分解：
（1）； （2）．
4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）因式分解
（1）； （2）．
5．（24-25八年级上·河南南阳·期中）因式分解：
（1）； （2）．
6．（24-25八年级上·山东威海·期中）因式分解：
（1） （2）
7．（24-25八年级上·山东威海·期中）因式分解：
（1） （2）
8．（24-25八年级上·山东泰安·期中）把下列各式因式分解：
（1）； （2）
【题型七】因式分解与化简求值（6题）
1．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）先因式分解，再计算求值：，．
2．（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）先因式分解，再求值∶已知，其中．
3．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）先因式分解，再计算求值：，其中，．
4．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）先因式分解，再计算求值：，其中；
5．（21-22八年级下·广东深圳·期中）分解因式：
（1）；
（2）先因式分解，再计算求值：，其中．
6．（21-22八年级下·广东佛山·阶段练习）已知，先因式分解，再求值：．
【考点三】分式
【题型八】分式的运算（8题）
1．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）计算：
（1）； （2）．
2．（24-25八年级上·山东泰安·期末）计算
（1）； （2）．
3．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）计算：
（1）； （2）．
4．（24-25八年级上·重庆南川·期末）计算：
（1）； （2）．
5．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）（）化简：；
（）化简：．
6．（24-25八年级上·广东广州·期末）已知
（1）化简；
（2）当，求的值．
7．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）计算：
（1）； （2）．
8．（24-25八年级下·重庆·期中）分式化简：
（1）1 （2）
【题型九】分式的化简求值（8题）
1．先化简，再求值：，其中
2．先化简，再求值：，其中
3．已知．
（1）化简A；
（2）若，求A的值．
4．先化简，再求值：，其中从中选取一个合适的数代入求值．
5．先化简，，其中m为满足的整数，请选出一个合适的数作为m的值代入求值．
6．先化简，再求值：，且的值满足
7．（1）化简：．
（2）是否存在整数，使得（1）式中的结果是整数？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
8．小红在解决“先化简，再求值：，其中”这个问题时，把“”错抄成了“”，但她的计算结果也是正确的，请你通过计算解释这是怎么回事？
【题型十】解分式方程（6题）
1．（24-25八年级上·云南昭通·期末）解下列分式方程：
（1） （2）
2．（24-25八年级上·山东淄博·期末）解方程：
（1）， （2）．
3．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）解方程：
（1） （2）
4．（24-25八年级上·全国·期末）解方程：
（1）； （2）．
5．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）解下列方程：
（1）； （2）．
6．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）已知关于x的分式方程．
（1）当时，求这个分式方程的解；
（2）若此分式方程无解，求m的值．
【考点四】浙江地区期末考试真题专项训练
【题型十一】解二元一次方程组（8题）
1．（23-24七年级下·浙江金华·期末）解方程组：
（1）； （2）．
2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）解下列方程组：
（1） （2）
3．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）解方程组：
4．（22-23七年级下·浙江绍兴·期中）解下列二元一次方程组：
（1） （2）．
5．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）解方程组：
（1） （2）
6．（21-22七年级下·黑龙江大庆·期末）解下列方程组
（1） （2）
7．（23-24七年级下·浙江台州·期末）解二元一次方程组时，两位同学的部分解答过程如下：
圆圆：由②，得③（依据：____________） 把③代入①，得 芳芳：把①代入②，得2（__________）．
（1）补全上述空白部分内容；
（2）请选择一种你喜欢的方法完成解答．
8．（2019·河北邢台·一模）李宁准备完成题目：“解二元一次方程组”发现系数“”印刷不清楚．
（1）他把“”猜成，请你解二元一次方程组；
（2）张老师说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果，是一对相反数”通计算说明原题中“”是几？
【题型十二】整式的运算与化简求值（8题）
1．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）计算：
（1） （2）
2．（23-24七年级下·浙江金华·期末）计算：
（1）； （2）．
3．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）计算：
（1）； （2）．
4．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）计算：
（1）
（2）（用简便方法）
5．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）（1）计算：．
（2）当时，求代数式的值．
6．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，现有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为米的正方形．
（1）求绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）；
（2）若，，绿化成本为100元/平方米，则完成绿化共需要多少元？
7．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）设a为常数且，若，求a的值．
8．（23-24七年级下·浙江·期末）对于实数a，b，定义新运算“*”，规定如下：．
例如：．
（1）若，求的值．
（2）若，求的值．
（3）若，，求的值．
【题型十三】因式分解（4题）
1．（24-25八年级上·浙江·期末）因式分解：
（1）；
（2）．
2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）因式分解：
（1）； （2）．
3．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）因式分解：
（1）； （2）．
4．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）分解因式：
（1） （2）
5．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）因式分解：
（1）； （2）．
6．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）将下列各式因式分解：
（1） （2）
【题型十四】分式的运算与化简求值（6题）
1．（22-23七年级下·浙江·期末）设．
（1）化简；
（2）若为整数，求整数的值．
2．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）先化简，再求值：，其中满足．
3．（2023·山东菏泽·一模）先化简，再求值，其中．
4．（23-24八年级上·浙江台州·期末）先化简，再求值： ，请你从中选取适当的数代入求值．
5．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知分式，请在分式①；②中选择一个，并选择一种运算，使它们的运算结果为整式．
①我选择 （填序号）；
②列式并计算．
6．（22-23七年级下·浙江金华·期末）阅读以下内容，完成问题．
解： ① ② ③ ④

（1）小明的计算步骤中，从哪一步开始出现错误？______（填写序号）
（2）小明从第①步的运算结果到第②步的运算是否正确？______（填“是”或“否”）若不正确，错误的原因是____________．
（3）请你帮小明写出此题完整正确的解答过程．
【题型十五】解分式方程（6题）
1．（23-24八年级上·浙江台州·期末）解分式方程：.
【答案】
【分析】此题主要考查分式方程的解法，根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验，进行计算即可得到答案．
解：
方程两边乘以得：
，
经检验，时，，
原方程的解为．
2．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）解方程（组）：
（1）； （2）．
3．（22-23八年级上·浙江台州·期末）（1）解方程：；
（2）先化简，再求值：，其中．
4．（21-22七年级下·浙江丽水·期末）
（1）解方程组； （2）解方程:．
5．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）解答下列各题：
（1）解分式方程∶ ．
（2）先化简，再求值：，其中．
6．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知a，b均为不等于0的实数，我们定义新运算“※”：．例如：．
（1）验证新运算“※”是否满足乘法交换律？若满足，请写出推导过程；若不满足，请举反例说明．
（2）计算：．
（3）当时，若，尝试求出x的值．
【题型十六】二元一次方程组、整式的乘除、因式分解、分式综合（8题）
1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）解方程：
（1）； （2）．
2．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）解答下列各题：
（1）解分式方程：；
（2）先化简，再求值：，其中．
3．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）
（1）化简：； （2）解方程组：．
4．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）先化简，再求值：
（1），其中．
（2），其中，．
5．（23-24七年级下·浙江金华·期末）解下列方程（组）：
（1）； （2）．
6．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）（1）计算：；
（2）计算：；
（3）先化简：，再从，，0这5个数中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
7．（23-24七年级下·浙江金华·期末）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）先化简代数式，若是满足的整数，从中选一个恰当的的值代入求出代数式的值．
8．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）解方程及方程组
（1）解方程：；
（2）解方程组：；
（3）若，解方程组：；
（4）因式分解：．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2025年七年级下册期末数学复习专题
01 运算提升训练
【考点一】二元一次方程组
【题型一】解二元一次方程组（8题）
1．（24-25七年级下·贵州·期中）解下列方程组：
（1）； （2）
【答案】（1） （2）
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
（1）用代入消元法解方程组即可；
（2）用加减消元法解方程组即可．
解：（1）解：
把代入得，
解得，
将代入得，
原方程组的解为；
（2）解：
得，
解得，
将代入得，
解得，
原方程组的解为．
2．（24-25七年级下·广东广州·期中）解下列二元一次方程组：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查解二元一次方程组，
（1）根据“”可得关于的一元一次方程，求解后得再代入，即可得解；
（2）根据“”可得关于的一元一次方程，求解后得再代入，即可得解；
解题的关键是掌握消元的方法：代入消元法与加减消元法．
解：（1）解：，
，得：，
解得：，
把代入，得：，
解得：，
∴原方程组的解是；
（2），
，得：，
解得：，
把代入，得：，
解得：，
∴原方程组的解是．
3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）解下列方程组：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法和加减消元法．
（1）利用加减消元法进行求解即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
解：（1）解：
得，
解得，
将代入②得，
解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：
得，
得，
解得，
将代入②得，
解得，
∴原方程组的解为．
4．（24-25七年级下·福建厦门·期中）解二元一次方程组：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键；
（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
解：（1）解：
②代入①得，
解得：
将代入①得，
∴方程组的解为；
（2）解：
①②得：
解得：，
将代入①得，
解得：
∴方程组的解为
5．（24-25七年级下·新疆喀什·期中）解下列方程组：
（1）； （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了解二元一次方程组．
（1）得出，求出x，再把代入①求出y即可；
（2）得出，求出y，再把代入②求出x即可．
解：（1）解：，
，得，
解得，
将代入①，得，
解得，
所以原方程组的解为；
（2）解：，
，得，
解得，
将代入①，得，
解得，
所以原方程组的解为．
6．（24-25七年级下·四川南充·期中）解二元一次方程组：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法．
（1）利用加减消元法进行求解即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
解：（1）解：
得，
得，
解得，
将代入①得，
解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：
得，
得，
解得，
将代入②得，
解得
∴原方程组的解为．
7．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）用指定的方法解下列方程组
（1）（代入法） （2）（加减法）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解答步骤是解题的关键．
（1）将①代入②得，，进而将代入①得，即可求解；
（2）①②
解：（1）解：
将①代入②得，
解得：
将代入①得
∴原方程组的解为：
（2）解：
①②得，
解得：
将代入①得，
解得：
∴原方程组的解为：
8．（24-25七年级下·重庆忠县·期中）解下面各题：
（1）解方程组； （2）用代入法解方程组：
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键．
（1）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可；
（2）由②得，再把③代入①中求出x的值，进而求出y的值即可得到答案．
解：（1）解：
整理得：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：
由②得，
把③代入①得：，解得，
把代入③得：，
∴原方程组的解为．
【题型二】整体思想解二元一次方程组（4题）
1．（2024七年级下·全国·专题练习）“整体代换”是一种常用的数学思想，在解二元一次方程组时也可以运用“整体代换”的思想例如：求解二元一次方程组
将②式变形，得③．
将①式代入③式，得，解得．
将代入①式，得，解得，
该二元一次方程组的解为
（1）类比“整体代换”法解方程组
（2）已知，满足方程组求的值．
【答案】（1）；（2）4
【分析】本题主要考查运用“整体代换”解二元一次方程程组：
（1）把变形为，再用整体代换的方法解题；
（2）把①变形为这样的形式，再利用整体代换的方法解决．
解：（1）解： ，
把②变形为③，
把①代入③得，，
解得，
把代入①得，
即方程组的解为；
（2）解：
把①变形为③，
把②代入③可得，，
解得，
．
答：的值是4．
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）善于思考的小军在解方程组时，采用了一种整体代换的解法．
解：将方程②变形，得，即．③把方程①代入③，得，解得．把代入①，得方程组的解为．
请你仿照小军的整体代换法解决以下问题：
（1）解方程组
（2）已知满足方程组，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了解方程组，掌握代入消元法和整体思想成为解题的关键．
（1）由②可得③，然后将①整体代入③可求得，进而求得方程组的解；
（2）由①得③，然后将②整体代入③可求解即可．
解：（1）解：
由②可得③，
把①代入③，得，解得：．
把代入①，得，解得，
方程组的解为．
（2）解：，
由①得③，
把②代入③，得，解得．
3．（24-25七年级下·全国·单元测试）先阅读材料：
解方程组 解：由①得③， 把③代入②中得，解得． 把代入③中得，即． 故方程组的解为， 这种方法称为“整体代入法”．
请用上述方法解方程组．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先由第一个方程得到，再把③代入②求出x的值，进而求出y的值即可．
解：
由①得：，
把③代入②得：，解得，
把代入③得：，解得，
∴方程组的解为．
4．（22-23七年级下·四川内江·阶段练习）阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法：
解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为．
请你解决以下问题
（1）模仿小强同学的“整体代换”法解方程组；
（2）已知，满足方程组，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
（1）利用整体代换的方法进行求解即可；
（2）结合题目所给的解答方法进行求解即可．
解：（1）解：，
将②变形为：，即，
将①代入③得：，
解得：，
把代入①得，
故原方程组的解是：；
（2）解：原方程组可化为：，
将①代入②得：，
解得：．
【考点二】整式的乘除
【题型三】幂的运算（4题）
1．（24-25七年级下·河北承德·期中）计算
（1）解二元一次方程组：
（2）计算：
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，幂的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可；
（2）先计算积的乘方和幂的乘方，再计算同底数幂乘法，最后合并同类项即可得到答案．
解：（1）解：
整理得
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为；
（2）解：
．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）计算
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了同底数幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先根据幂的乘方与积的乘方法则计算，再合并同类项即可；
（2）先根据幂的乘方法则运算，再根据同底数幂的乘法法则计算即可．
解：（1）解：
；
（2）解：
．
3．（24-25八年级上·山东德州·期中）计算：
（1）； （2）；
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先计算同底数幂的乘法，然后按照整式的加减运算法则合并同类项即可；
（2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，然后按照整式的加减运算法则合并同类项即可．
解：（1）解：
；
（2）解：
．
【点拨】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，整式的加减运算，合并同类项等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4．（24-25八年级上·重庆万州·期中）解决下列有关幂的问题：
（1）若，求值；
（2）若n为正整数，且，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查幂的乘方以及积的乘方，
（1）根据幂的乘方法则进行计算即可；
（2）根据幂的乘方、积的乘方进行计算即可．
解：（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴
．
【题型四】整式的乘法8题）
1．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）计算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了单项式与单项式的乘除法计算，积的乘方计算，完全平方公式和多项式乘以多项式等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式和单项式除以单项式即可得到答案；
（2）先根据完全平方公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案．
解：（1）解；
；
（2）解：
．
2．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）计算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了多项式除以单项式，多项式乘多项式，多项式乘单项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用多项式除以单项式法则计算，即可作答．
（2）先运用多项式乘多项式，多项式乘单项式展开，再合并同类项，即可作答．
解：（1）解：
；
（2）解：
．
3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算与化简：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式混合运算顺序和运算法则．
（1）先计算乘方，再计算乘法即可；
（2）先利用单项式乘多项式、单项式除以单项式法则计算，再计算减法即可．
解：（1）解：
；
（2）解：
．
4．（24-25七年级下·福建三明·期中）利用整式乘法公式计算：
（1） （2）
【答案】（1）9600；（2）1
【分析】本题考查了乘法公式，解题的关键是对所求的算式合理的进行变形，再利用乘法公式简便计算．
（1）运用平方差公式即可简便计算；
（2）将变形为，根据平方差公式即可简便计算．
解：（1）解：
（2）解：
5．（24-25七年级下·江苏南京·期中）计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查整式的混合运算．
（1）根据幂的乘方和积的乘方可以解答本题；
（2）根据平方差公式、完全平方公式可以解答本题．
解：（1）解：
；
（2）解：
．
6．（24-25七年级下·山东济南·期中）计算：
（1）． （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了乘法公式的综合应用，掌握完全平方公式与平方差公式是解题的关键；
（1）分别用完全平方公式与平方差公式展开，再合并同类项即可；
（2）先用平方差公式，再用完全平方公式展开即可．
解：（1）解：
；
（2）解：
．
7．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）化简：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，单项式乘以多项式的计算和乘法公式，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案；
（2）先把原式变形为，再利用乘法公式求解即可．
解：（1）解：
；
（2）解：
．
8．（24-25七年级下·山东青岛·期中）计算
（1） （2）
（3） （4）利用乘法公式计算：
（5）利用乘法公式计算：
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
【分析】本题考查整式的乘法，熟练掌握相关运算法则，乘法公式，是解题的关键：
（1）根据幂的乘方和单项式乘以单项式的法则进行计算即可；
（2）进行完全平方公式和去括号运算，再合并同类项即可；
（3）利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可；
（4）利用平方差公式进行简算即可；
（5）先用平方差公式进行计算，再利用完全平方公式进行计算即可．
解：（1）解：原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式；
（5）原式．
【题型五】整式的乘法化简求值（8题）
1．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案．
解：
，
当，时，原式．
2．（24-25七年级下·安徽淮北·期中）先化简，再求值：其中．
【答案】，
【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式法则、合并同类项法则化简，然后把x、y的值代入计算即可．
解：
原式
，
把代入上式得：
原式
．
3．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案．
解：
，
当，时，原式
．
4．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）已知的展开式中不含项，且常数项是．
（1）求，的值．
（2）求的值．
【答案】（1），；（2）
【分析】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据多项式乘以多项式的法则展开合并同类项后，不含项，且常数项是，据此进行解答即可；
（2）按照多项式乘以多项式的法则展开，合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可．
解：（1）解：
，
不含项，常数项是，
，，
，；
（2）原式
，
当，时，
原式
．
5．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）2；（2）1
【分析】此题考查整式的化简求值，掌握完全平方公式是解决问题的关键．
（1）先去括号，再整体代入即可求出答案；
（2）先将变形为，再整体代入，即可求出答案．
解：（1）解：，，
，
，
，
；
（2）解：，，
．
6．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值：
（1），其中．
（2）已知，求代数式的值．
【答案】（1），；（2），
【分析】本题考查了整式化简求值；熟练掌握运算法则是解题的关键.
（1）按平方差公式及多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，代值计算，即可求解；
（2）按平方差公式及多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，整体代值计算，即可求解.
解：（1）解：原式
，
当时，
原式
；
（2）解：原式
，
，
，
原式
．
7．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值：
（1），其中．
（2）已知，求代数式的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了整式的化简求值；
（1）先进行完全平方运算和多项式乘法，再合并同类项，最后代入求值，即可解答；
（2）先将变形为，再化简代数式，代入即可求解．
解：（1）解：
（2）解：∵，
∴，
∴
8．（22-23八年级下·山东滨州·期中）先化简，再求值：
（1），其中．
（2）设，．求，的值
【答案】（1），；（2），
【分析】（1）先利用整式乘法展开，再合并，得到原式，然后把的值代入后利用二次根式的乘法法则计算即可；
（2）先利用二次根式的加减法计算出，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算．
解：（1）解：原式，
当时，
原式；
（2）解：，，
，
．
【点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，多项式乘多项式，平方差公式，完全平方公式，利用二次根式的性质化简等知识点，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．
【考点三】因式分解
【题型六】因式分解（8题）
1．（24-25八年级上·山东东营·期中）因式分解：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
（1）先提取，然后利用平方差公式分解因式即可；
（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
解：（1）解：
；
（2）解：
．
2．（24-25八年级上·河南新乡·期中）因式分解
（1）； （2）＋8＋16．
【答案】（1）；（2）
【分析】此题考查因式分解的方法，
（1）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式；
（2）根据完全平方公式和平方差公式分解因式．
解：（1）解：
；
（2）解：816
．
3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）因式分解：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查因式分解．
（1）先提公因式再利用完全平方公式因式分解即可得到答案；
（2）先提公因式再利用平方差公式因式分解即可得到答案．
解：（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）因式分解
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了因式分解法，灵活运用提取公因式法和公式法进行因式分解成为解题的关键．
（1）先凑出公因式、然后运用取公因式法因式分解即可；
（2）先运用平方差公式因式分解，再运用完全平方公式分解即可．
解：（1）解：
．
（2）解：
．
5．（24-25八年级上·河南南阳·期中）因式分解：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查整式乘法及因式分解，灵活运用提公因式法及公式法因式分解是解决问题的关键．
（1）先提公因式，再由平方差公式因式分解即可得到答案；
（2）先由单项式乘以多项式展开，再由完全平方差公式直接因式分解即可得到答案．
解：（1）解：
；
（2）解：
．
6．（24-25八年级上·山东威海·期中）因式分解：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
（1）先利用提公因式，再利用因式分解法继续分解即可解答；
（2）利用平方差公式进行分解，即可解答；
解：（1）解：
；
（2）解：
．
7．（24-25八年级上·山东威海·期中）因式分解：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提取公因式法、公式法、换元法、十字相乘法等）是解题关键．
（1）利用平方差公式因式分解即可得；
（2）先提取公因式6，再利用平方差公式因式分解即可得．
解：（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
8．（24-25八年级上·山东泰安·期中）把下列各式因式分解：
（1）； （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式即可进行因式分解；
（2）利用平方差公式即可进行因式分解．
本题考查因式分解，涉及提公因式、完全平方公式、平方差公式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
解：（1）解：
；
（2）解：
．
【题型七】因式分解与化简求值（6题）
1．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）先因式分解，再计算求值：，．
【答案】，6
【分析】本题考查因式分解求值，直接提取公式因式分解，再代入求解即可得到答案．
解：
，
把，代入得，
原式．
2．（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）先因式分解，再求值∶已知，其中．
【答案】；1280
【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键．先提取公因式a，再用完全平方公式分解因式计算即可．
解：
．
当时，
原式
．
3．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）先因式分解，再计算求值：，其中，．
【答案】，
【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解，代数式求值．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解，代数式求值是解题的关键．
综合提公因式和公式法进行因式分解即可，然后代值求解即可．
解：
，
将，代入得，．
4．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）先因式分解，再计算求值：，其中；
【答案】；
【分析】本题主要考查了因式分解，先将原式运用提公因式法分解后，再代入求值即可
解：
；
把代入得，原式．
5．（21-22八年级下·广东深圳·期中）分解因式：
（1）；
（2）先因式分解，再计算求值：，其中．
【答案】（1）；（2）；-8
【分析】（1）先提公因式，再用因式分解即可．
（2）先因式分解，再求值即可．
解：（1）
；
（2）
当时，原式=
．
【点拨】本题考查因式分解及整式混合运算，选择正确的分解方法是求解本题的关键．
6．（21-22八年级下·广东佛山·阶段练习）已知，先因式分解，再求值：．
【答案】；
【分析】先将公共因式提出来，然后利用完全平方公式求解即可．
解：
当，时，
原式．
【点拨】本题考查因式分解的应用、完全平方公式，解题的关键是提出公共因式．
【考点三】分式
【题型八】分式的运算（8题）
1．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）3；（2）
【分析】本题主要考查了分式的加减运算、分式的混合运算法则等知识点，灵活运用分式的运算法则成为解题的关键．
（1）直接利用同分母分式加减运算法则计算即可；
（2）直接运用分式的四则混合运算法则计算即可．
解：（1）解：
．
（2）解：
．
2．（24-25八年级上·山东泰安·期末）计算
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．
（1）先把除法变为乘法，并且因式分解，然后即可求解；
（2）先把括号内的分式通分，将除法转化为乘法，然后再按照分式的混合运算法则计算．
解：（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
3．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是关键．
（1）先将两个分式整理成同分母分式，再按照同分母分式相加减即可；
（2）先整理括号内的分式，再将除号变乘号，根据分式的乘法运算法则运算即可．
解：（1）解：
；
（2）解：
．
4．（24-25八年级上·重庆南川·期末）计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】此题考查了分式的混合运算．
（1）先计算分式的加法，再计算分式的除法即可；
（2）先计算括号内分式的减法，再计算分式除法，最后计算分式加法即可．
解：（1）解：
（2）
5．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）（）化简：；
（）化简：．
【答案】（）；（）
【分析】（）根据分式的性质和运算法则计算即可；
（）根据分式的性质和运算法则计算即可；
本题考查了分式的混合运算，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键．
解：（）原式
；
（）原式
．
6．（24-25八年级上·广东广州·期末）已知
（1）化简；
（2）当，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了分式混合运算和约分，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．
（1）根据分式混合运算法则进行计算即可；
（2）把已知条件中的两个幂的底数都换成2，从而把用表示出来，最后把（1）中化简后的式子中的换成，进行计算并约分即可；
解：（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，
∴
．
7．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了分式的混合运算．
（1）先通分并利用同分母分式的减法法则计算，再因式分解，约分得到最简结果即可；
（2）将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
解：（1）解：
；
（2）解：
．
8．（24-25八年级下·重庆·期中）分式化简：
（1）1 （2）
【答案】（1）；（2）．
【分析】本题考查了分式的混合运算，平方差公式，完全平方公式等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）先算括号内的，再算分式的乘法即可；
（2）先算括号内的，再把除法变成乘法计算即可．
解：（1）解：
；
（2）解：
．
【题型九】分式的化简求值（8题）
1．先化简，再求值：，其中
【答案】，
【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可．
解：
，
当时，原式．
2．先化简，再求值：，其中
【答案】，
【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．根据分式的除法法则、减法法则把原式化简，把a的值代入计算得到答案．
解：原式
，
当时，原式
3．已知．
（1）化简A；
（2）若，求A的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
（1）根据分式的减法法则、乘法法则把A化简；
（2）把代入化简后的式子计算，得到答案．
解：（1）解：
；
（2）解：当时，原式．
4．先化简，再求值：，其中从中选取一个合适的数代入求值．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，先利用分式的性质和运算法则进行化简，再根据分式有意义的条件确定的值，最后把的值代入化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的运算法则和分式有意义的条件是解题的关键．
解：原式
，
∵且且，
∴且且，
∴，
∴原式．
5．先化简，，其中m为满足的整数，请选出一个合适的数作为m的值代入求值．
【答案】，当时，原式，当时，原式．
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先把括号内通分，再把分子、分母分解因式约分化简，然后从中取一个使分式有意义的数代入计算即可．
解：
，
∵，，
∴且，
又∵m为满足的整数，
∴或1，
当时，原式，
当时，原式．
6．先化简，再求值：，且的值满足
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握运算法则与运算顺序，并正确计算是解题的关键；先计算括号里的减法，再计算除法，最后整体代入求值即可．
解：原式
；
因为，
所以，
原式．
7．（1）化简：．
（2）是否存在整数，使得（1）式中的结果是整数？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，
【分析】本题考查分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
（1）先计算括号里的，再计算除法即可；
（2）根据 为整数， 为整数，且分式要有意义求解即可．
解：（1）原式
（2）存在，
若 为整数， 为整数，
可得 或 ．
又当 时，原分式有意义； 当 时，原分式无意义，
存在整数 ，使得 （1）式中的结果也是整数，此时 ．
8．小红在解决“先化简，再求值：，其中”这个问题时，把“”错抄成了“”，但她的计算结果也是正确的，请你通过计算解释这是怎么回事？
【答案】，2025
【分析】本题考查的是分式的化简求值，平方根的含义，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
解：
，
∵当时，原式；
当时，原式，
∴她的计算结果也是正确的．
【题型十】解分式方程（6题）
1．（24-25八年级上·云南昭通·期末）解下列分式方程：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查解分式方程：
（1）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可；
（2）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可；
解：（1）解：去分母，得：
解得：；
检验：当时，，
∴原分式方程的解为；
（2）解：去分母，得：
解得：；
检验：当时，，
∴原分式方程的解为．
2．（24-25八年级上·山东淄博·期末）解方程：
（1）， （2）．
【答案】（1）无解；（2）
【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
（）按照解分式方程的步骤解答即可；
（）按照解分式方程的步骤解答即可；
解：（1）解：方程两边乘以，得，
解得，
检验：当时，，
∴是方程的增根，
∴原方程无解；
（2）解：方程两边乘以，得，
解得，
检验：当时，，
∴是原方程的解．
3．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）解方程：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：（1）解：，
方程两边同乘以，得
，
解这个整式方程，得
，
经检验，是原分式方程的解；
（2）解：
方程两边同乘以，得
，
解这个整式方程，得
，
经检验，是原分式方程的解
4．（24-25八年级上·全国·期末）解方程：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）无解
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
（1）先去分母，将分式方程转化为整式方程求解，解方程后进行检验即可；
（2）先去分母，将分式方程转化为整式方程求解，解方程后进行检验即可．
解：（1）解：，
去分母，方程两边乘以，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：，
经检验，是原分式方程的解，
；
（2）解：，
，
去分母，方程两边乘以，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：，
经检验，是原分式方程的增根，
故原分式方程无解．
5．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）解下列方程：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）无解
【分析】本题主要考查了解分式方程，
（1）先去分母，变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
（2）先去分母，变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
解：（1）解：
去分母得：
去括号得：
移项合并同类项：
化系数为1：，
经检验，是原分式方程的解，
故原分式方程的解为：
（2）解：
去分母得：
去括号得：
移项合并同类项：，
化系数为1：，
经检验，当时，，
则原方分式方程的解无解．
6．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）已知关于x的分式方程．
（1）当时，求这个分式方程的解；
（2）若此分式方程无解，求m的值．
【答案】（1）；（2）或
【分析】本题考查解分式方程，分式方程无解问题：
（1）把代入分式方程，去分母将方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可；
（2）将分式方程化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行讨论求解即可．
解：（1）把代入分式方程得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴原分式方程的解为；
（2）分式方程变形得
去分母得：，即，
若，即时，此方程无解，即分式方程无解；
若，即时，∵分式方程无解，
分母为0得：，即，
把代入整式方程得：，
综上所述，或．
【考点四】浙江地区期末考试真题专项训练
【题型十一】解二元一次方程组（8题）
1．（23-24七年级下·浙江金华·期末）解方程组：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
解：（1）解：
由②得：③
把③代入①得，，
解得，，
把代入③得，，
∴方程组的解为；
（2）解：方程组整理得，，
①+②得，，
解得，，
把代入①得，，
则方程组的解为．
2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）解下列方程组：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组是解题的关键．
（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）先将方程组化简，然后利用加减消元法解二元一次方程组即可．
解：（1）解：，
①②，得，
解得，
把代入②，得，
所以方程组的解是；
（2）解：，
方程组可化为，
②，得③，
①③，得，
解得，
把代入②，得，
所以原方程组的解是．
3．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）解方程组：
【答案】
【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组，根据所给方程特点，选择合适的消元方法是解题的关键．
利用加减消元法求解．
解：，
，得，
即，
，得，
即，
联立，
解得．
4．（22-23七年级下·浙江绍兴·期中）解下列二元一次方程组：
（1） （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用代入消元法求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可．
解：（1）解：，
把代入，得：，
，
，
把代入，得：，
所以，原方程组的解是；
（2）解：，
把，得：，
，得：，
把代入，得：，
所以，原方程组的解是；
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键．
5．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）解方程组：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）加减消元法求解即可；
（2）代入消元法求解即可．
解：（1）解：，
得，，解得，
将代入①得，
∴方程组的解为；
（2）解：，即，
将①代入②得，，解得，
将代入①得，，
∴方程组的解为．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组．解题的关键在于正确的运算．
6．（21-22七年级下·黑龙江大庆·期末）解下列方程组
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用代入消元法求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可．
解：（1）解：，
把①代入②，得，
解得：，
把代入①，得，
所以原方程组的解是；
（2）方程组整理得：，
①②，得，
解得：，
把代入①，得，
所以原方程组的解是．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，解二元一次方程组的方法有代入法和加减法．
7．（23-24七年级下·浙江台州·期末）解二元一次方程组时，两位同学的部分解答过程如下：
圆圆：由②，得③（依据：____________） 把③代入①，得 芳芳：把①代入②，得2（__________）．
（1）补全上述空白部分内容；
（2）请选择一种你喜欢的方法完成解答．
【答案】（1）等式的性质1，；（2），过程见分析
【分析】本题考查了解二元一次方程组；
（1）根据等式的性质和整体代入法解答即可；
（2）选择利用整体代入法求出方程组的解即可．
解：（1）解：圆圆：由②，得③（依据：等式的性质1）；
芳芳：把①代入②，得；
故答案为：等式的性质1；；
（2）
把①代入②，得，
解得，
把代入①得：，
解得，
所以原方程组的解为
8．（2019·河北邢台·一模）李宁准备完成题目：“解二元一次方程组”发现系数“”印刷不清楚．
（1）他把“”猜成，请你解二元一次方程组；
（2）张老师说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果，是一对相反数”通计算说明原题中“”是几？
【答案】（1）；（2）
【分析】得出，求出，把代入求出即可；
把代入求出，再求出，最后求出答案即可．
解：（1）解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
所以方程组的解是：；
（2）设“”为，
、是一对相反数，
把代入得：，
解得：，
即，
所以方程组的解是，
代入得：，
解得：，
即原题中“”是．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，也考查了二元一次方程组的解，能得出关于的方程是解的关键．
【题型十二】整式的运算与化简求值（8题）
1．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）计算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了实数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方，再计算加减即可；
（2）先利用完全平方公式去括号，计算多项式除以单项式，再合并即可得出答案．
解：（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
2．（23-24七年级下·浙江金华·期末）计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键．
（1）先计算幂的乘方，同底数幂的乘法，最后算加减即可；
（2）根据多项式除以单项式的运算法则即可求解．
解：（1）解：
；
（2）解：
．
3．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了实数的混合运算、单项式乘多项式、多项式乘多项式，掌握以上知识是解答本题的关键．
（1）先化简各式，再进行加减计算即可；
（2）先算多项式乘多项式、单项式乘单项式、去括号，再合并同类项即可．
解：（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
．
4．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）计算：
（1）
（2）（用简便方法）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂，平方差公式的应用，熟练掌握相关知识是关键．
（1）由零指数幂与负整数指数幂的意义即可完成计算；
（2）把表示成，利用平方差公式即可求解．
解：（1）解：；
（2）解：
．
5．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）（1）计算：．
（2）当时，求代数式的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了整式的化简求值，
（1）根据多项式乘以多项式继续计算即可求解；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
解：（1）
；
（2）
；
当时，原式
6．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，现有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为米的正方形．
（1）求绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）；
（2）若，，绿化成本为100元/平方米，则完成绿化共需要多少元？
【答案】（1）平方米；（2）3900元
【分析】（1）用代数式表示出长方形和正方形的面积，求差即可；
（2）将a，b的值代入（1）中结论可求出绿化的面积，乘以单价即可求出总费用．
解：（1）解：长方形地块的面积为：，
中间预留部分的面积为：，
，
因此绿化的面积S为平方米；
（2）解：由题意知，（平方米），
（元），
因此完成绿化共需要3900元．
【点拨】本题考查列代数式、代数式求值的应用，解题的关键是用代数式表示出绿化的面积．
7．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）设a为常数且，若，求a的值．
【答案】（1）12；（2）；（3）
【分析】本题考查完全平方公式的运用，解题的关键是牢记，熟练运用整体代入思想．
（1）利用完全平方公式将变形为，即可求解；
（2）先通分，再整体代入计算，即可求解．
（3）先将展开后整体代入计算，即可求解．
解：（1）解：；
（2）；
（3）由题意，得，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以．
8．（23-24七年级下·浙江·期末）对于实数a，b，定义新运算“*”，规定如下：．
例如：．
（1）若，求的值．
（2）若，求的值．
（3）若，，求的值．
【答案】（1）20；（2）6；（3）3或
【分析】此题主要考查了整式的混合运算，读懂题意，理解新定义运算的运算规定，掌握完全平方公式、平方差公式及变形是解决本题的关键．
（1）先按给出的新定义运算，再整体代入求值；
（2）先按给出的新定义运算，再整体代入求值；
（3）先按给出的新定义运算，再根据已知，利用完全平方公式及变形求出的值，最后代入计算．
解：（1）解：
．
当时，
原式；
（2）
．
，
即．
原式
；
（3）
．
，，
，即．
．
．
．
或．
当，时，
原式；
当，时，
原式．
【题型十三】因式分解（4题）
1．（24-25八年级上·浙江·期末）因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
（1）提出公因式，即可解题；
（2）提出公因式，再连续运用平方差公式进行分解，即可解题．
解：（1）解：原式．
（2）解：原式
．
2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）因式分解：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查的是因式分解，掌握因式分解的方法与步骤是解本题的关键；
（1）先添负号，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
解：（1）解：
；
（2）解：
；
3．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）因式分解：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）先提公因式，再利用平方差公式因式分解，即可解题；
（2）直接利用完全平方公式因式分解，即可解题；
解：（1）解：，
；
（2）解：．
4．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）分解因式：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）提取公因式即可得出答案；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可得出答案．
解：（1）解：
；
（2）解：
．
5．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）因式分解：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）根据平方差公式直接解题即可；
（2）先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解即可求解．
解：（1）解：原式；
（2）解：原式，
．
6．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）将下列各式因式分解：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解是解题的关键．
（1）根据平方差公式，即得答案；
（2）先提取公因式5，再根据完全平方公式因式分解即可．
解：（1）解：；
（2）解：．
【题型十四】分式的运算与化简求值（6题）
1．（22-23七年级下·浙江·期末）设．
（1）化简；
（2）若为整数，求整数的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据分式混合运算的法则把原式进行化简即可；
（2）根据分式有意义的条件及为整数解答即可．
解：（1）解：
；
（2）解：为整数，且为整数，
或，
，
又，即，
．
【点拨】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
2．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）先化简，再求值：，其中满足．
【答案】，3
【分析】先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，再算乘法，最后把代入求出即可．
解：
，
∵满足，
∴，
∴原式
【点拨】本题考查了分式的混合运算的应用，主要考查学生的化简能力和计算能力，用了整体代入思想．
3．（2023·山东菏泽·一模）先化简，再求值，其中．
【答案】，
【分析】根据分式的性质，分式的混合运算法则，代入求值的方法即可求解．
解：
，
当时，
原式得
【点拨】本题主要考查分式的性质，分式的混合运算，掌握分式的性质，乘法公式与分式的化简，代入求值的知识是解题的关键．
4．（23-24八年级上·浙江台州·期末）先化简，再求值： ，请你从中选取适当的数代入求值．
【答案】，
【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则进行计算，再代入一个使分式有意义的的值，进行求值即可．掌握分式的混合运算法则，正确的计算，是解题的关键．
解：原式
，
∵，
∴，
∴当时，原式
5．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）已知分式，请在分式①；②中选择一个，并选择一种运算，使它们的运算结果为整式．
①我选择 （填序号）；
②列式并计算．
【答案】（1）；（2）①②，②x（答案不唯一）
【分析】（1）根据分式的运算进行化简，然后再代值求解即可；
（2）根据分式的运算可进行求解．
解：（1）原式
；
∴把代入，得原式；
（2）我选择 ② （答案不唯一）
∴列式：
．
若我选择 ①
∴列式：
．
【点拨】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键．
6．（22-23七年级下·浙江金华·期末）阅读以下内容，完成问题．
解： ① ② ③ ④

（1）小明的计算步骤中，从哪一步开始出现错误？______（填写序号）
（2）小明从第①步的运算结果到第②步的运算是否正确？______（填“是”或“否”）若不正确，错误的原因是____________．
（3）请你帮小明写出此题完整正确的解答过程．
【答案】（1）①；（2）否；去括号时，字母y的符号没有变号；（3）见分析
【分析】（1）观察可知小明在第①步的时候先计算了减法，没有先计算除法，由此即可得到答案；
（2）观察可知在计算的时候，去括号时，字母y的符号没有变号，由此即可得到答案；
（3）根据分式的混合计算法则求解即可．
解：（1）解：由题意得，在第①步的时候，小明先计算了减法，没有先计算除法，
∴小明的计算步骤中，从第①步开始出现错误，
故答案为：①；
（2）解：小明从第①步的运算结果到第②步的运算不正确，因为在计算的时候，去括号时，字母y的符号没有变号，
故答案为：否；去括号时，字母y的符号没有变号；
（3）解：
．
【点拨】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【题型十五】解分式方程（6题）
1．（23-24八年级上·浙江台州·期末）解分式方程：.
【答案】
【分析】此题主要考查分式方程的解法，根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验，进行计算即可得到答案．
解：
方程两边乘以得：
，
经检验，时，，
原方程的解为．
2．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）解方程（组）：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）无解
【分析】（1）利用代入消元法进行求解即可；
（2）根据分式方程的解法进行求解即可．
解：（1），
将①代入②得： ，
解得，
将代入①得：，
∴原方程组的解为；
（2），
两边同时乘得：，
移项并合并同类项得： ，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是增根，原方程的无解．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组和解分式方程，熟练掌握二元一次方程组的解法和分式方程的解法是解题的关键，记住解分式方程需检验．
3．（22-23八年级上·浙江台州·期末）（1）解方程：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）无解；（2），
【分析】本题考查分式的化简求值，解分式方程，
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值；
熟练掌握运算法则及分式方程的解法是解题的关键．
解：（1）在方程两边同乘以，得：
，
解得：，
检验：把代入，得：，
∴是原方程增根，
∴分式方程无解；
（2）
，
当时，原式．
4．（21-22七年级下·浙江丽水·期末）
（1）解方程组； （2）解方程:．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）运用加减消元解出x，再代入原方程解出y即可；
（2）去分母进，化为整式方程求解，求出x后进行检验即可．
解：，
得：
，
解得：，
把代入中得：
，
解得：，
原方程组的解为：；
（2），
去分母，得：
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根．
【点拨】本题考查加减消元法与解分式方程，熟记解方程的方法是关键．
5．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）解答下列各题：
（1）解分式方程∶ ．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2），
【分析】（1）先去分母，将分式方程化为整式方程，再求解，最后检验即可；
（2）先根据整式混合运算的运算顺序和运算法则进行化简，再将a的值代入进行计算即可．
解：（1）解：去分母，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
经检验，当时，，
∴是原分式方程的解．
（2）解：原式
，
当时，原式．
【点拨】本题主要考查了解分式方程和整式的化简求值，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，以及熟练掌握多项式乘以多项式运算法则和平方差公式．
6．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知a，b均为不等于0的实数，我们定义新运算“※”：．例如：．
（1）验证新运算“※”是否满足乘法交换律？若满足，请写出推导过程；若不满足，请举反例说明．
（2）计算：．
（3）当时，若，尝试求出x的值．
【答案】（1）满足，推导过程见分析；（2）；（3）
【分析】本题主要考查了异分母分式加减法，新定义下的实数运算，解分式方程等知识点，弄清题中的新定义是解题的关键．
（1）根据定义的新运算“※”，计算出和，即可得出结论；
（2）根据定义的新运算“※”，直接列式计算即可得出答案；
（3）根据定义的新运算“※”，得出关于的分式方程，解之并检验即可．
解：（1）解：新运算“※”满足乘法交换律，理由如下：
，
，
；
（2）解：
；
（3）解：，
当时，，
即：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
的值为．
【题型十六】二元一次方程组、整式的乘除、因式分解、分式综合（8题）
1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）解方程：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】本题考查解二元一次方程组，解分式方程．
（1）运用加减消元法求解即可．
（2）将分式方程去分母后转化为整式方程，求解并检验即可．
解：（1）解：
，得，
解得：，
把代入②，得，
解得：，
∴方程组的解为；
（2）解：
方程两边同乘，得，
解得：，
检验：时，，
∴是原分式方程的解．
2．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）解答下列各题：
（1）解分式方程：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2）；
【分析】本题考查了解分式方程、多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的法则及合并同类项的法则的运用，解题的关键是掌握相关的运算法则．
（1）先去分母，等号两边同时乘，在去括号移项，求出，最后检验即可．
（2）先利用多项式和多项式相乘，单项式和单项式相乘，再合并同类项，最后将代入原式即可求出结果．
解：（1）解：对分式方程去分母，等号两边同时乘，
得：，
解得：，
经检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
（2）解：原式：，
，
，
当时，原式，
故答案为；．
3．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）
（1）化简：； （2）解方程组：．
【答案】（）；（）．
【分析】（）先变成同分母分式相加减，再进行计算即可；
（）方程组利用加减消元法求解即可；
本题考查了分式的加减和解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握运算法则和解二元一次方程组的方法及步骤．
解：（）原式
；
（）
得：，解得：，
把代入得：，解得：，
∴方程组的解为．
4．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）先化简，再求值：
（1），其中．
（2），其中，．
【答案】（1）；；（2）；
【分析】本题考查了整式的化简求值，分式的化简求值，正确运算是解题的关键．
（1）分别利用多项式乘多项式法则展开，再合并同类项，最后代值即可求解；
（2）按照运算顺序先算减法，再算除法，把值代入化简后的式子中即可求解．
解：（1）解：
；
当时，原式；
（2）解：
；
当，时，原式．
5．（23-24七年级下·浙江金华·期末）解下列方程（组）：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查解二元一次方程以及分式方程，掌握解方程的方法是解题的关键．
（1）利用加减消元法求解可得；
（2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
解：（1）解：，
①②，得：，
解得：，
将代入①，得：，
解得：，
则方程组的解为；
（2）解：，
，
，
，
；
经检验是方程的解．
6．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）（1）计算：；
（2）计算：；
（3）先化简：，再从，，0这5个数中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】（1）4；（2）；（3），时，；或时
【分析】本题考查零指数幂、负整数指数幂的运算、整式的混合运算及分式的化简求值，熟知相关运算法则是正确解决本题的关键．
（1）按乘方、零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算即可；
（2）先算单项式乘多项式再算除法即可；
（3）先算括号内的再算除法，最后选择一个使分式有意义的数代入求值即可．
解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
∵，且，
∴时，；或时，．
7．（23-24七年级下·浙江金华·期末）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）先化简代数式，若是满足的整数，从中选一个恰当的的值代入求出代数式的值．
【答案】（1）；；（2）；当时，原式或当时，原式．（选其中一个作答即可）
【分析】本题考查了整式的化简求值，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先根据完全平方公式、平方差公式、多项式与单项式的乘法计算，然后去括号合并同类项，最后把代入求值即可；
（2）先把括号内通分，根据完全平方公式和平方差公式化简第二项，再进行除法计算，化简后取一个使分式有意义的数代入计算即可．
解：（1）原式
，即
原式
（2）原式
是满足的整数
，，0
当，时，分式无意义
当时，原式或当时，原式．（选其中一个作答即可）
8．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）解方程及方程组
（1）解方程：；
（2）解方程组：；
（3）若，解方程组：；
（4）因式分解：．
【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）
【分析】本题考查解分式方程、解二元一次方程组、因式分解，熟练掌握分式方程的解法、二元一次方程组的解法、因式分解的概念是解答本题的关键．
（1）将分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，再进行检验即可．
（2）先将方程组化简为：，再利用加减消元法求解即可．
（3）根据题意可得，则，进而可得方程组为①，②，③，④，利用加减消元法分别求解即可．
（4）令，则可变形为．
解：（1）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为一得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
（2）解：
方程组化简为：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
∴方程组的解为：．
（3）解：
，
，
，
，
即，
，
∴①，②，③，④，
解方程组①得：，解方程组②得：，解方程组③得：，解方程组④得：，
∵，
∴方程组的解为或．
（4）解：
令，
则
．

展开更多......

收起↑