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浙教版2025年八年级下册期末必刷题型训练
题型一 与二次根式有关的规律探究问题
1．观察下列式式子的化简过程：
①；
②；
③；…
(1)请直接写出第四个等式，并猜想第n个等式；
(2)求的值．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式的应用，正确得出是解题的关键．
（1）仿照解题过程的典例所揭示的规律，将分母有理化；
（2）仿照解题过程的典例所揭示的规律，将分母有理化；
（3））由将原式化简，再进行加减运算即可．
【详解】（1）解：第四个等式为，
；
（2）∵
∴
．
2．观察下列一组等式．解答后面的问题：
；
．
(1)化简：_____，_____（n为正整数）．
(2)比较大小：_____（填“”，“”或“”）．
(3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：
__________．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的大小比较和计算．
（1）用平方差公式进行分母有理化；
（2）先分子有理化再比较；
（3）先分母有理化再计算．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：；；
（2）解：，
，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：
．
3．观察下列各式的化简过程
①
②
③
(1)写出①式的具体化简过程；
(2)从上面的式子看，你发现了什么规律？请用字母表示出来____________；
(3)利用上面的规律计算：．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)2007
【分析】本题考查分母有理化，二次根式的运算：
（1）利用分母有理化进行化简即可；
（2）根据给定的等式，写出规律即可；
（3）利用规律裂项相加，再利用平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）由题意，得：
故答案为：；
（3）原式
．
题型二 多边形内角与外角综合
4．问题情境：在探索多边形的内角与外角关系的活动中，同学们经历了观察、猜想、实验、计算、推理、验证等过程，提出了问题，请解答．
（1）若四边形的一个内角的度数是α．
①求和它相邻的外角的度数（用含α的代数式表示）；
②求其它三个内角的和（用含α的代数式表示）．
（2）若一个n边形，除了一个内角，其余内角的和为，求n的值．
深入探究：
（3）探索n边形的一个外角与和它不相邻的个内角的和之间满足的等量关系，说明理由．
【答案】（1）①，②（2）；（3），理由见解析
【分析】（1）①根据一个内角与它相邻的外角的和是进行计算即可；②四边形的内角和是进行计算即可；
（2）根据多边形的内角和的计算方法进行计算即可；
（3）表示出和它不相邻的个内角的和即可．
【详解】解：（1）①四边形的一个内角的度数是，则与它相邻的外角的度数；
②由于四边形的内角和是其中一个内角为，则其它三个内角的和为；
（2）由题意得，
，
的正整数，，
，
即这个多边形为八边形；
（3）设边形的一个外角为，它不相邻的个内角的和为，
则有，
即．
5．已知：多边形的外角和的平分线分别为BM，DN．
(1)若多边形为四边形ABCD．
①如图①，，BM与DN交于点P，求的度数；
②如图②，猜测当和满足什么数量关系时，，并证明你的猜想．
(2)如图③，若多边形是五边形ABCDG，已知，BM与DN交于点P，求的度数．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①由，可推出，由角平分线的性质可得，再由求解即可；
②连接，由可得，进而可得，，求解即可；
（2）延长交于点Q，根据五边形的内角和可得，进而可得，再根据角平分线的性质进一步推导出，求解即可．
【详解】（1）①∵，
∴在四边形ABCD中，，
，
∵多边形的外角和的平分线分别为BM，DN，
∴，
；
②当时，，
证明：如图，连接，
∵，
，
，
即，
，
，
∴；
（2）如图，延长交于点Q，
∵，，
，
∴，
∵平分，平分，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，角平分线的定义，平行线的判定和性质，能够准确找到角之间的关系是解题的关键．
6．发现：如图1，在有一个“凹角”边形 …中（为大于3的整数），．
验证：
（1）如图2，在有一个“凹角”的四边形中，证明：．
（2）如图3，有一个“凹角”的六边形中，证明；．
延伸：
（3）如图4，在有两个连续“凹角和”的四边形 ……中（为大于4的整数），．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）6．
【分析】（1）如图2，延长交于，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）如图3，延长交于，则，根据多边形的内角和和外角的性质即可得到结论；
（3）如图4，延长交于 ，延长交于 ，根据三角形的外角的性质得到，根据多边形的内角和得到 ，于是得到结论．
【详解】解：（1）如图2，延长交于，
则，，
；
（2）如图3，延长交于，
则，
，，
；
（3）如图4，延长交于，延长交于，
则，
，
而，
．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了多边形的内角和外角和等知识，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
题型三 构建三角形中位线求解
7．如图，在四边形中，是对角线的中点，是的中点，是的中点，．
【用数学的眼光观察】
（1）求的度数．
【用数学的思维思考】
（2）如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求的度数．
【用数学的语言表达】
（3）如图，在中，，点在上，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的度数．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）根据题意易证是的中位线，是的中位线，推出，进而得到，利用三角形内角和定理即可求解；
（2）根据题意易证是的中位线，是的中位线，推出，得到．同理，．由（1）可知，即可得到；
（3）取的中点，连接，同理（1）（2）得，，，，推出，易证是等边三角形，求出，由即可解答．
【详解】（1）解：是对角线的中点，是的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
，，
，
，
，
，
；
（2）是对角线的中点，是的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
，
，
同理，，
由（1）可知，
，
∵，
∴；
（3）如图，取的中点，连接，
同理（1）（2）得，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
又，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及直角三角形的判定，解题的关键在于灵活运用中位线定理.
8．阅读下面材料，完成相应的任务．
四边形的中位线我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线． 如图1，在四边形中，点M，N分别是，的中点，则就是四边形的中位线．求四边形的中位线的长度，可以通过找中点，将其转化为三角形的中位线解决． 例：如图2，在四边形中，点E，F分别是，的中点．若，，，，求的长． 解：如图2，取的中点P，连接，． 点E、F分别是，的中点， ，，，．（依据） ……
任务：
(1)上述材料中的依据是指：_______．
(2)将材料中的解题过程补充完整．
(3)如图3，在四边形中，点E，F分别是，的中点，，，，延长，交于点M，延长交于点N．求证：．
【答案】(1)三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半（或三角形的中位线定理）
(2)5
(3)见解析
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理及逆定理等知识；熟练运用相关性质定理是正确解答此题的关键．
（1）根据三角形的中位线定理即可解答；
（2）由三角形中位线定理得，，，，根据平行线的性质可得出，进而可得．再由勾股定理即可得．
（3）连接，取的中点H，连接，．根据三角形中位线定理得，，，．进而可得，．用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且．即可得结论．
【详解】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半（或三角形的中位线定理）
（2）解：如图2，取的中点P，连接，．
点E、F分别是，的中点，
，，，．（三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半）
，．
．
．
在中，由勾股定理，得．
（3）证明：如图，连接，取的中点H，连接，．
点E，F分别是，的中点，
，，，．
，．
，，，
是直角三角形，且．
．
．
9．如图1，在平面直角坐标系中，点，．平移至（点与点对应，点与点对应），连接．
(1)点的坐标为______；
(2)点，分别是，边上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．当，分别在，上运动时，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由；
(3)如图，三角形是等腰直角三角形，为线段上一点，以为直角边作等腰直角三角形，其中，试猜想，，三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)；
(2)存在最小值，的最小值为；
(3)，理由见解析．
【分析】（）根据点平移到点的方式与点平移到点的方式相同，只需要求出点平移到点的方式即可求出点的坐标；
（）连接，由中位线定理可得，，当取得最小值时，即时，的值最小，然后通过勾股定理和等面积法即可求解；
（）连接，由三角形是等腰直角三角形和三角形是等腰直角三角形得，证明，然后通过全等三角形的性质和勾股定理即可求证．
【详解】（1）解：∵点与点对应，点与点对应，点，
∴向右平移个单位，再向上平移个单位得，
∴向右平移个单位，再向上平移个单位得，
故答案为：；
（2）解：存在最小值，的最小值为，理由：
连接，过作轴于点，如图，
∵，分别为，的中点，
∴为的中位线，
∴，，
∴取得最小值时，即时，的值最小，
由（）知：，
∴当时，，
∴，
∴，
∴的最小值为；
（3）解：，，三者之间有怎样的数量关系为：，理由：
连接，如图，
∵三角形是等腰直角三角形，
∴，，
∵三角形是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形变化—平移，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
题型四 与平行四边形有关的动点问题
10．如图1，在中，，，．是线段上的动点，是射线上的动点，且．设．
(1)当在线段上时，用含的代数式表示线段的长．
(2)如图2，是的中点，以，为邻边构造．
①当点与点重合时，连结，求的长．
②当点落在的边上时，求的长．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】（1）根据勾股定理得，由已知得，再代入即可；
（2）①根据平行四边形的性质得，，进一步推出，证明四边形是平行四边形，得，继而得到，代入计算即可；
②分两种情况：当点在边上时，当点在边上时，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即线段的长为；
（2）①∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵是中点，
∴，
∴，
又∵，即，
∴四边形是平行四边形
∴，
∵与重合，，
∴，
∴，
∴；
②如图，当点在边上时，
延长至点，使，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点是中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
如图，当点在边上时，
延长至点，使，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点是中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查勾股定理，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
11．如图，中，，，，是中点，，动点以每秒个单位长的速度从点出发向点移动，连接并延长在交于点，点移动时间为秒．
(1)求与间的距离；
(2)为何值时，四边形为平行四边形；
(3)直接写出为何值时，．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】此题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据勾股定理，可得的长，根据面积的不同表示方法，可得答案；
（2）证明，得出，结合，可知只需时，四边形便是平行四边形，即，可得答案；
（3）分情况讨论：当第一次等于时，过点作于点，过点作于点，先证明，再证明四边形是平行四边形，即可求解；当第二次等于时，过点作交于点，过点作于点，证明四边形是平行四边形，推出，利用等腰三角形性质得出，并求解，再求，即可求解．
【详解】（1）解：在中，，，，
∴,
如图，过作于，
则由，
得，
∵，
∴与间的距离为；
（2）解：∵，
∴，，
∵是中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴只需时，四边形便是平行四边形，
∴，
∴，
∴时，四边形为平行四边形；
（3）解：如图，当第一次等于时，过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴；
如图，当第二次等于时，过点作交于点，过点作于点，
∵，
∴，四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，的值为或．
12．已知，平行四边形中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动．
(1)如图①，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
(2)如图②，在第（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积．
(3)如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止）．若，设点的运动时间为t秒，当t为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形？
【答案】(1)
(2)
(3)当为秒或8秒或秒时，以四点组成的四边形是平行四边形
【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得；
（2）过点作于点，连接，先根据平行四边形的性质得出，再根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可得的长，然后利用三角形的面积公式可得的面积，由此即可得；
（3）先求出，，，从而可得要使以四点组成的四边形是平行四边形，则需，再分四种情况：①，②，③和④，根据建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
（2）解：如图，过点作于点，连接，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）已得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
（3）解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∴要使以四点组成的四边形是平行四边形，则需，
由题意可知，点从点运动到点所需时间为秒，点从点运动到点所需时间为秒，
∴，
∵，
∴．
①当时，，
∴，
∴，
∴，符合题设，舍去；
②当时，，
∴，
∴，
∴，符合题设；
③当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，符合题设；
④当时，，
∴，
∴，
∴，符合题设；
综上，当为秒或8秒或秒时，以四点组成的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、一元一次方程的应用等知识，正确分情况讨论，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
题型五 利用平行四边形的性质与判定求解
13．在一次数学探究活动中，小明用一根木棒把四边形分割成2个部分（如图1），经测量发现，，.
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若点P为线段上的动点（点P不与点D重合），连接，过点P作交直线于点E.如图2，当点P为线段的中点时：
①连接，请写出与之间的数量关系并说明理由；
②请写出，之间的数量关系并说明理由；
③如图3，当点P在线段上时，请直接写出，，之间的数量关系________________.
【答案】(1)见解析
(2)①，理由见解析；②，理由见解析；③
【分析】（1）证明，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，即可得出结论；
（2）①连接，可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知，则是等腰直角三角形，即可得结论；
②证明，利用全等三角形性质即可得到；
③过点作交于点，首先证明，得，进而再证明是等腰直角三角形即可得到结论．
【详解】（1）证明：，，
，
．
，，
，
，
．
四边形是平行四边形；
（2）①，理由如下：
连接，如图所示：
由（1）知是等腰直角三角形，当点为线段的中点时，则，
∴，则是等腰直角三角形，
∴，
②，理由如下：
由上可知是等腰直角三角形，
∴，，
，
．
，
．
，，
，
，
．
③．
理由如下：过点作交于点，如图所示：
，，
，
，
．
四边形是平行四边形，，
．
，，
，
，，
，
，
．
在中，，则．
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查四边形综合题，涉及平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
14．如图，是等边三角形内任一点．过点作、、，分别交于点．求证：．
【答案】证明过程见详解
【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
如图所示，延长交于点，延长交于点，根据等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质得到是等边三角形，则，是等边三角形，，∴四边形是平行四边形，，四边形是平行四边形，，结合线段的和差即可求证．
【详解】证明：∵是等边三角形，
∴，
如图所示，延长交于点，延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，则，
同理，是等边三角形，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
同理，四边形是平行四边形，
∴，
∴．
15．如图，在平行四边形中，点O是对角线的中点，某数学学习小组要在上找两点E、F，使四边形为平行四边形，现在，甲、乙两个同学给出了两种不同的方案如下：
甲方案：分别取，的中点E，F；
乙方案：作于点E，于点F．
请回答下列问题：
(1)你认为甲乙两人的方案哪种得到的四边形是平行四边形 ．
(2)如果只有一种方案得到平行四边形，就对这一种进行证明；如果这两种方案得到的四边形都是平行四边形，请选择一种给出证明．
【答案】(1)甲乙两人的方案得到的四边形都是平行四边形
(2)选择甲方案，见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据题意结合平行四边形的判定和全等三角形的判定与性质即可得解；
（2）甲方案：连接，由平行四边形的性质可得，，结合题意得出，即可得解；乙方案：证明得出，结合，即可得解．
【详解】（1）解：由题意可得：甲乙两人的方案得到的四边形都是平行四边形；
（2）证明：甲方案：如图，连接，
在中，点是对角线的中点，
，，
，F分别为，的中点，
，
四边形为平行四边形；
乙方案：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
，
，，
，
∴四边形为平行四边形．
题型六 平行四边形性质与判定的应用
16．问题探究
（1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值；
问题解决
（2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由．
【答案】（1）图见解析，；（2）能，图见解析．
【分析】本题考查了作图——基本作图，平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．
（1）连接，过点作的平行线，再过点、点分别作的平行线，四条线的交点为、、、，则四边形即为所求，根据平行四边形的性质可得出的值；
（2）连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求．
【详解】解（1）如图，即为所求，
，，
四边形和四边形均是平行四边形，
，
直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等，
，，
，
；
（2）能实现这一设想，如图，连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求，
理由如下：
，，
四边形、四边形和四边形均是平行四边形，
，
直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等，
，，
，
．
17．某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
(1)操作发现：在等腰中，，分别以为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图所示，其中于点，于点，是的中点，连结和，则下列结论正确的是 （填序号即可）．
①；②；③整个图形是轴对称图形；④．
(2)数学思考：在任意中，分别以为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，是的中点，连结和，则与有怎样的数量关系？请给出证明过程；
(3)类比探究：在任意中，仍分别以为斜边，向的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，是的中点，连结和，试判断的形状．
【答案】(1)①②③④
(2)，证明见解析
(3)为等腰直角三角形
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，图形的对称性，可证①②③都正确，根据全等图形的判定和性质可证④也正确；
（2）取的中点、，连接，，，，根据三角形的中位线的性质和等腰直角三角形的性质就可以得出四边形是平行四边形，从而得出，根据其性质就可以得出结论；
（3）取、和的中点、、，连接、、、，和相交于，根据三角形的中位线的性质可以得出，由全等三角形的性质就可以得出结论．
【详解】（1）解：∵是等腰三角形，，是以为斜边的等腰直角三角形，，
∴，且，
∴，
∴，，
在中，
，
∴，
∴，
在等腰直角中，，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∵点是中点，
∴，
∴，
∴，故②正确；
如图所示，连接，
由上述证明可得，
，即对应边相等，对应角相等，
∴整个图形是轴对称图形，故③正确；
，，
，
∴，
，
四边形四点共圆，
∴，
是对称轴，
∴，
，
，故④正确，
故答案为：①②③④．
（2）解：，
理由：如图，取、的中点、，连接，，，，
，，
和是等腰直角三角形，
，，，，
，，．
是的中点，
∴，
四边形是平行四边形，
，，．
，，，
．
在和中，
，
，
；
（3）解：如图，取、和的中点、、，连接、、、，
∴，，，，
四边形是平行四边形，
，，，
和是等腰直角三角形，
，，，
，，，
即．
在和中，
，
，
，．
，
，
，
，即，
为等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、三角形的中位线的性质、直角三角形的斜边上的中线的性质、平行四边形的判定及性质及运用，解答时根据三角形的中位线的性质构造全等三角形是解答本题的关键．
18．（1）如图1，点O是等边的内心，的两边分别交于点D、E，且，若等边的边长为6，求四边形周长的最小值．
（2）为培养学生劳动实践能力，某学校计划在校东南角开辟出一块平行四边形劳动实践基地．如图2所示，劳动实践基地为，点O为其对称中心，且，点E、F分别在边上，四边形为学校划分给九年级的实践活动区域，九年级学生打算在四边形区域种植两种不同的果蔬，即在种植不同的果蔬．在点O处安装喷灌装置，且喷灌张角为，即，并修建三条小路．现要求规划的三条小路总长最小的同时，果蔬种植区域四边形的面积最大．求满足规划要求的三条小路总长的最小值，并计算同时满足四边形面积最大时学校应开辟的劳动实践基地的面积．

【答案】（1）；（2）
【分析】（1）连接，．先证明，得出，，则四边形的周长，当最小时，四边形 周长最小，求出此时的即可解答；
（2）分别以、所在直线为对称轴，作点关于的对称点为，关于的对称点为，连接，交于点，交于点，连接、、、、、，得出周长的最小值是，再利用平行四边形的判定与性质求得的面积．
【详解】解：（1）连接，，如图，
点是等边的内心，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，，
四边形的周长，
，
当时，最小，四边形周长最小，此时，
四边形的周长的最小值；
（2）分别以、所在直线为对称轴，作点关于的对称点为，关于的对称点为，连接，交于点，交于点，连接、、、、、，如图，

则，．
两点之间线段最短，
，
周长，
周长的最小值是，
、关于对称，、关于对称，
，，，，，
．
，
，
，
过点作，
，，
．
即、、和的最小值为，
此时，
的面积为，
当的面积最小时，四边形的面积最大，
在中，，上的高（定角定高模型），
当时，的面积最小，且最小值为，
四边形的面积最大值，
当，时，，得四边形为平行四边形，
此时平行四边形的面积四边形的面积．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，利用轴对称的性质添加辅助线是解题的关键．
题型七 与平行四边形有关的折叠问题
19．综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接．

(1)【观察发现】如图1，若，，，则___________，___________．
(2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形．
【答案】(1)，
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质和直角三角形的性质结合勾股定理求得，由折叠知，由折叠的性质可得，再由平行四边形的性质求得，据此即可求解．
（2）根据折叠的性质先证，再证即可证明四边形为平行四边形．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
由折叠知，
由折叠知，
∵，
∴，
∴，
由折叠知，
∴，
故答案为：，；
（2）证明：由折叠知，，．
，
，
，
，
，
∵，
∴，，
，
，
，
，点在延长线上，
，
，
．
，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形折叠问题，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾股定理．熟练掌握平行四边形的性质与判定和折叠性质是解题的关键．
20．已知：如图，的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)将沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点，分别交，于点，．
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）连接，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析
【分析】（1）由平行四边形性质证明，那么，再根据对边平行即可求证；
（2）（i）延长，交于点T，由平行得到，再根据折叠的性质以及平行四边形的性质证明，即可证明；
（ii）过点作，交于点， 证明四边形是平行四边形即可．
【详解】（1）证明：∵在中，，
∴，
又∵，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）证明：（i）由（1）得，
延长，交于点T，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由折叠知：，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（ii）过点作，交于点，如图所示：
∴，
∵折叠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是把握折叠的不变性．
21．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为．
(1)如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为平行四边形．
(2)如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长．
(3)改变点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形；
（2）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证利是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答．
（3）分和两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）证明：由折叠的性质可得：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：如图，延长交于点H，
由折叠的性质可得：，
，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形是平行四边形，，，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
（3）解：①当时，延长交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
在中，，
∴；
②当时，如图，设与交于点，作，
∴，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上：或．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握折叠的性质，平行四边形的性质，是解题的关键．
题型八 与特殊平行四边形有关的折叠问题
22．四边形是一张平行四边形纸片，将纸片沿着折叠，使点落在直线上的点处，点的对应点为，和相交于点．
(1)如图1，当平行四边形是矩形时：
①连接，求证：四边形为菱形：
②如图2，若，当点与点重合时，______；
(2)如图3，当平行四边形满足，，且为的中点，求此时的长度．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
【分析】（1）①根据折叠的性质得到，易证，得到，结合，得到，由平行线的性质得到，进而得到，推出，根据折叠的性质得到，即可证明结论；②如图，过点E作于点H，连接交于点O，证明四边形是矩形，设，则，求出，，证明是等边三角形，推出，利用三角形内角和定理结合等腰三角形的性质求出，再根据四边形为菱形，求出，即可解答；
（2）连接，分别过点作，垂足分别为，证明，推出三点共线，再证明，证明是等腰三角形，求出，，，，，，进而求出，，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）①折叠的性质得到，
∴，
∴，
由折叠的性质得，
∴，即，
∵使点落在直线上的点处，平行四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
由折叠的性质得，
∴，
∴四边形为菱形；
②如图，过点E作于点H，连接交于点O，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，，
设，则，
∵点与点重合，
∴，
由①知四边形为菱形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∵点与点重合，
∴；
（2）解：连接，分别过点作，垂足分别为，
折叠的性质得到，
∴，
∴，
∵三点共线，
∴三点共线，
由折叠的性质得，
∴，即，
∵点落在直线上的点处，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了四边形的综合问题，涉及平行四边形的性质，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角矮星的判定与性质等知识，综合运用以上知识点是解题的关键.
23．人教版数学八年级下册教材的数学活动-----折纸，引起许多同学的兴趣．我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学的奥秘．
(1)如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；以为折痕再一次折叠纸片，使点A落在折痕上的点N处，把纸片展平；连接．观察图1中和，猜想这三个角的关系，并说明理由；
(2)如图2，M为矩形纸片的边上的一点，连结，在上取一点P，折叠纸片，使B，P重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B、P分别落在上，展平纸片得到折痕l ， 折痕l与交于点O， 点B、P的对应点分别为G、N，连接．证明：；
(3)如图3，矩形纸片中，， 点P是边上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E，F，要使折痕始终与边有交点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)，见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，作出正确辅助线是解题的关键．
（1）利用折叠的性质，可得是等边三角形，即可得到，即可证明；
（2）连接，证明，可得，即可求得，即可解答；
（3）当F、D重合时，的值最小，当E、B重合时，的值最大，利用折叠的性质和勾股定理即可解答．
【详解】（1）解：
理由如下：
由折叠可知：直线是线段的垂直平分线，
，
对折至，折痕为，
，，
，
是等边三角形，
，
∴，
∵四边形为矩形，
，
，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵四边形是矩形，是折痕，
，
∴，
由折叠的性质可知，，，
在和中，
，
，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
（3）解： 如图，当F、D重合时，的值最小，
根据折叠的性质知：，
在中，，
则，
此时的最小值为；
如图，当E、B重合时，的值最大，
根据折叠的性质知：，即的最大值为4．
综上，．
24．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
(1)【活动一】在矩形中，现将纸片折叠，使点与点重合，折痕为，如果，，求的长．
(2)【活动二】如图，在矩形中，点从边的中点出发，沿着匀速运动，速度为每秒个单位长度，到达点后停止运动，点是上的点，，设的面积为，点运动的时间为秒，与的函数关系如图所示．
图中 ， ，图中 ．
点在运动过程中，将矩形沿所在直线折叠，当 时，折叠后顶点的对应点落在矩形的一边上．
【答案】(1)
(2)，，；秒或秒或秒
【分析】（1）由折叠的性质得，设，则，在中，由勾股定理得：，即，解出的值即可求解；
（2）从图看出：点从到，面积逐渐增大，点从到，面积不变，故再从图看出：，，再计算即可；
分三种情况：在上，且在左方，或在上，且在右方，或在上，再运用勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：在矩形中，现将纸片折叠，使点与点重合，折痕为，
，，，，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
即；
（2）解：从图看出：点从到，面积逐渐增大，点从到，面积不变，
故再从图看出：，，
，
故答案为：，，；
如图，过作交于点，
由翻折得，，
，，
，
在中，，
，
；
如图：
由翻折得，
，
，
，
，
当点从运动到图为止时，，
在中，，
，
；
如图：
由翻折得，
，
，
，
，
，
由翻折得，
，
，
，
综上所述，的值为秒或秒或秒，
故答案为：秒或秒或秒．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
25．【问题提出】
（）如图①，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接，，，．若恰好垂直于于点，则的长为______；
【问题解决】
（）如图②，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．
①求的度数；
②为提高绿化面积，想让步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的？若存在，求面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（）；（）①；②存在，的面积存在最小值为
【分析】（）先证明垂直平分线，即得，，进而得，得到，再根据折叠的性质可得，，，即得，，可得，即得到，即可求解；
（）①过点作于，过点作于，可得，可证，可得，即得，进而根据即可求解；②过点作于，设，则，，利用勾股定理可得，即得，当最小时，面积最小， 可知当时，的面积最小，求出的最小值即可求解．
【详解】解：（）∵四边形是正方形，
∴，，
即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴垂直平分线，
∴，，
∴，
∴，
由折叠可得，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（）①如图②，过点作于，过点作于，
∵，
∴，
∵在菱形中，是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②存在，理由如下：
过点作于，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
当最小时，面积最小，
∴当时，的面积最小，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
题型九 求特殊四边形在坐标系中的坐标
26．如图1，在平面直角坐标系中有矩形，点，将矩形沿折叠，使得点落在点处，边交轴于点，．
(1)求点E的坐标；
(2)如图2，在直线以及轴上是否分别存在点，，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由；
(3)点 P为y轴上一动点，作直线交直线于点，是否存在点使得为等腰三角形？如果存在，请求出的度数；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，周长的最小值为8
(3)存在，或
【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，折叠的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
（1）由矩形的性质和折叠的性质可得，，可得，由直角三角形的性质可求解；
（2）过点作轴的对称点，过点作的对称点，连接交轴于点，与交于，即的周长最小值为，由直角三角形的性质可求，的长，可求点，点坐标，即可求解；
（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．
【详解】（1）解：点，
，
四边形是矩形，
，，
，
由折叠可知：，
，
设，则，
根据勾股定理可得，
即，
解得（负值舍去），
点的坐标；
（2）解：如图2，过点作轴的对称点，过点作的对称点，连接交轴于点，与交于，
，，
的周长为，则点四点共线时最小值为，
由（1）可得，
点，点关于轴对称，点，点关于对称，
，，
点，点，
，
的周长最小值为8；
（3）解：存在点使得△为等腰三角形，
若，如图3，
，，
，
，
若时，如图4，
，
，
；
若，如图5，
，
，
此时点与点重合，
不存在这样的点．
综上所述：的度数为或．
27．定义：角内部的一点P到角两边的距离分别为m、n（），将m与n的比值叫做点P关于这个角的“距离比”，记作k，其中；若“距离比”，则称点P为这个角的“平衡点”．
(1)下列四边形对角线的交点一定是这个四边形内角的“平衡点”的是______（填序号）：
①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形
(2)在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，对角线相交于点P，，，垂足分别为M、N：
①如图，点C在第二象限，且坐标为，求点P关于的“距离比”k的值；
②若点P为的“平衡点”，且点B的纵坐标为7，求点C的坐标．
【答案】(1)③④
(2)①；②或
【分析】（1）利用平行四边形，矩形，菱形，正方形以及角平分线的判定求解即可；
（2）①利用平行四边形的性质得出，利用三角形中线的性质得出，然后利用三角形面积公式可求，即可求点P关于的“距离比”k的值；
②利用“平衡点”的定义可知，进而得出，结合平行线的性质可得，利用等角对等边可得，从而得出平行四边形是菱形，得出C的纵坐标是7，设，利用两点间距离公式列出x的方程，然后求解即可．
【详解】（1）解：根据“平衡点”的定义知：，即，
∴点P在这个角的平分线上，
而平行四边形、矩形的对角线不一定平分一组对角，只有菱形和正方形的对角线平分每一组对角，
∴菱形和正方形对角线的交点一定是菱形内角的“平衡点”
故选：③④；
（2）解：①∵，，
∴，，
∵四边形是平行四边形，对角线相交于点P，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即点P关于的“距离比”k的值；
②∵点P为的“平衡点”，
∴，
又，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∴，
∵，B的纵坐标是7，
∴C的纵坐标是7，
设C的横坐标为x，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴点C的坐标为或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，正方形的性质，菱形的判定与性质，角平分线的判定，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
28．如图，正方形的边，在坐标轴上，点的坐标为．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向点运动；点从点同时出发，以相同的速度沿轴的正方向运动，规定点到达点时，点也停止运动．连连接，过点作的垂线，与过点平行于轴的直线相交于点．与轴交于点，连接．设点运动的时间为．
(1)求证：；
(2)求的度数，并写出点的坐标；
(3)当为何值时，△为等腰三角形？
(4)探索的周长是否随时间的变化而变化，若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．
【答案】(1)详见解析
(2)，点坐标为
(3)当为0秒或4秒或秒时，为等腰三角形
(4)不变，定值为8
【分析】（1）由正方形的性质可得，，然后利用可得；
（2）由（2）得到，从而可以求出的度数和点的坐标；
（3）由于，故图1是以正方形为背景的一个基本图形，容易得到．由于△底边不定，故分三种情况讨论，借助于三角形全等及勾股定理进行求解，然后结合条件进行取舍，最终确定符合要求的值；
（4）由（3）已证的结论很容易得到周长等于，从而解决问题．
【详解】（1）证明：如图1，
由题可得：，
．
四边形是正方形，
，．
，
．
．
，，
．
在和△中，
，
．
（2）解：由（1）知，
，．
，，
．
，
．
点坐标为；
（3）解：①若，则，
②若，
则．
．
．
在△和△中，
，
．
．
点与点重合．
点与点重合．
点，
．
此时．
③若，
在和中，
，
∴．
．
，
．
．
，
．
延长到点，使得，连接，如图2所示．
在和中，
，
．
，．
，，
．
．
．
在和中，
，
．
．
．
．
．
解得：，
综上所述，当为0秒或4秒或秒时，△为等腰三角形．
（4）解：由（3）知，
．
周长是定值，该定值为8．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识，考查了分类讨论的思想，考查了利用基本活动经验解决问题的能力，综合性非常强．熟悉正方形与一个度数为的角组成的基本图形（其中角的顶点与正方形的一个顶点重合，角的两边与正方形的两边分别相交）是解决本题的关键．
29．如图，在平面直角坐标系中，多边形的顶点坐标分别是，，，，，．
(1)若以A，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为______；
(2)、分别是直线和上的点，若以A，，、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为_______；
(3)若直线经过点，且将多边形分割成面积相等的两部分，则直线的函数表达式为______．
【答案】(1)或或
(2)或或
(3)
【分析】（1）分四边形、、是平行四边形三种情况分别根据平行四边形的定义求解即可；
（2）设，分①当是平行四边形的边时，②当是平行四边形的对角线时，两种情况：分别求解即可；
（3）如图：延长交x轴于点F；连接；连接，且相交于点N．把将多边形分割两个矩形，过两个矩形的对角线的交点的直线把多边形分割成面积相等的两部分．而M点正是矩形的中心，求得矩形的中心N的坐标，设,然后利用待定系数法求k,b即可．
【详解】（1）解：①如图所示，当四边形是平行四边形时，点F的横坐标为，纵坐标为4，即；
②如图所示，当四边形是平行四边形时，点F的横坐标为0，纵坐标为4，即；
③如图所示，当四边形是平行四边形时，点F的横坐标为0，纵坐标为，即．
故答案为：或或．
（2）解：∵P、Q分别是直线和上的点，
∴设，
①当是平行四边形的边时，
∵，
∴，
∴,
∴或，
∵或,
∴或，
∴点P的坐标为或；
②当是平行四边形的对角线时，
∵，
∴,
∴,
∴,解得，
∴点P的坐标为．
故答案为：或或．
（3）解：如图，延长交x轴于点F；连接；连接，且相交于点N．
∵，
∴四边形是矩形，
∴点是的中点，
∴点M为矩形的中心，所以直线l把矩形分成面积相等的两部分．
又∵．
∴四边形是矩形，点是矩形的中心，
∴过点的直线把矩形分成面积相等的两部分．
∴直线即为所求的直线l.
设直线l的函数表达式为,则，解得，
∴所求直线l的函数表达式为．
故答案为．
【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了平行四边形的性质、矩形的性质、一次函数的性质、待定系数法求函数的解析式等知识点，掌握平行四边形的性质、矩形的性质是解题的关键．
题型十 四边形综合
30．情景呈现： 小明同学在研究平行四边形对角线的长度与边长的联系．
（I）提出问题：当平行四边形的形状发生变化，对角线的长度与边长是否存在等量关系？
（II）探究问题：首先通过举例计算特殊的平行四边形对角线长度：
①正方形的边长为，则______；
②矩形中，，，则_______；
③在菱形中，，，则_______；
再通过几何图形一般化具体分析找规律：
④如图1，在正方形中，，则　　；（请用含a的代数式表示）
⑤如图3，在矩形中，，，则　　．（请用含a、b的代数式表示）
（III）猜想并证明：
如图4，在中，，，大胆猜想与、的数量关系为_____，如何用已学的数学知识证明呢？小明通过询问人工智能了解到有两种方法可以解决：第一是采用几何法，利用勾股定理证明；第二是建立平面直角坐标系，数形结合解决．请选择其中一种方法写出证明过程．
（IV）解决问题：如图4，在中，，，，将线段绕点旋转，在旋转的过程中，当时，请直接写出此时线段的长．
【答案】（II）①64；②50；③100；④，⑤； （III），证明见解析，（IV）或．
【分析】（II）利用正方形、矩形、菱形的性质结合勾股定理求解即可．
根据菱形的性质，得，，根据勾股定理得，变形得，整理得．
（III）方法一：过点A作于，过点D作交延长线于，利用平行四边形的性质，矩形判定和性质，勾股定理证明即可．方法二：如图，四边形为平行四边形，以点为原点，以边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据两点之间的距离公式计算即可．
（IV）根据题意，得到，证明，再根据前面的结论得，求出得到，旋转时，当时，当对应点在点上方和下方时两种情况计算，构造直角三角形求解即可．
【详解】（II）解：①如图①，
∵正方形的边长为，，
∴，，
∴；
②如图③∵矩形中，
∴，，，
∴，，
∴；
③如图②，∵在菱形中，，，
∴，，
根据勾股定理得，
∴，
∴，
④如图①，
∵正方形的边长为，，，
∴，
∴；
⑤如图③∵矩形中，
∴，，，，
∴，
∴；
（III）结论：，理由如下：
方法一：采用几何法：
如图，过点A作于，过点D作交延长线于，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴
设，则，，
∵，，
∴
同理可得：，
∴．
方法二：如图，四边形为平行四边形，以点为原点，以边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，
由平行四边形性质，点C的坐标为：
∴，，，
∴
（IV）解：∵在中，，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据前面的结论得，
∴，
∴，
∴，（不合题意舍去），
∴，
点B绕点O旋转，当对应点在点上方时，设点B的对应点为，
∴，
过点D作于点H，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴；
当对应点在点下方时，设点B的对应点为，
同理可得：
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，矩形的性质与判定，菱形的性质，平行四边形的性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
31．已知：如图，在矩形中，，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若，的面积为S．
(1)如图1，当四边形是正方形时，求x的值；
(2)如图2，当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式；
(3)当x= 时，的面积S最大：当 时，的面积S最小；
(4)在的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长： ．
【答案】(1)
(2)
(3)；
(4)
【分析】本题考查四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、一次函数的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
（1）只要证明即可解决问题；
（2）如图， 连接， 作于，然后证明 ，可得由此即可解决问题；
（3）①如图中，当点与重合时，的值最小，的面积最大，在中，运用勾股定理求出x值即可；
②如图中， 当点在上时，的值最大，的面积最小；
（4）如图中， 在的面积由最大变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段，点运动的路线长的长．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴， ，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：如图2， 连接， 作于， 则，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵矩形中，，
∴，
∴， 即，
∴，
∴，
∵，，
，
∴与的函数关系式；
（3）解：①如图中，当点与重合时，的值最小，的面积最大，
在中，，
∴的最大值，
②如图中，当点在上时，的值最大，的面积最小，
此时易证，
∵，
，
；
故答案为：；；
（4）解：如图中， 在的面积由最大变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段，即点运动的路线长的长，即，
故答案为：．
32．问题解决：如图，在矩形中，点分别在边上，，于点．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由．
(3)如图，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)是等腰三角形，理由见解析；
(3)．
【分析】（）证明，得到，即可求证；
（）证明可得，进而得，即可求解；
（）延长到点，使，连接，作，可证，得到，，进而得是等边三角形，得到，即得，再利用勾股定理求出，进而即可求出的长；
本题考查了矩形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形是正方形；
（2）解：是等腰三角形．
理由：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形；
（3）解：延长到点，使，连接，作，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
题型十一 中点四边形
33．下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接，， ，分别为，的中点， ______ 分别为，的中点， ． 同理： ， 四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切，并具有一系列重要性质．例如有周长公式：瓦里尼翁平行四边形的周长等于原四边形两条对角线的长度之和．
任务：
(1)上述证明过程中的横线上填的内容是：______．
(2)如图2，根据周长公式有：瓦里尼翁平行四边形的周长等于两条对角线与的长度之和．请你通过几何推理证明这一结论．
(3)已知四边形的对角线与夹角为．请用刻度尺、三角板等工具，画出四边形的对角线、及瓦里尼翁平行四边形，并求的度数．
【答案】(1)（三角形的中位线定理）
(2)见解析
(3)的度数为或
【分析】（1）根据三角形的中位线定理、两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得；
（2）根据三角形的中位线定理可得，，由此即可得；
（3）根据题意画出图形（见解析），先根据三角形的中位线定理可得，，再根据平行线的性质求解即可得．
【详解】（1）证明：如图2，连接，
分别为的中点，
．（三角形的中位线定理）
分别为的中点，
．
，
同理：，
四边形是平行四边形．
故答案为：（三角形的中位线定理）．
（2）证明：分别为的中点，
∴．
分别为的中点，
∴．
∴，
同理：，
∴瓦里尼翁平行四边形的周长为：
．
（3）解：由题意，画出图形如下：
①如图1，当时，
分别为的中点，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
∴；
②如图2，当时，则，
分别为的中点，
∴，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
∴；
综上，瓦里尼翁平行四边形中的度数为或．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、平行线的性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．
34．如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H得四边形EFGH．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形．
(2)当四边形ABCD分别是菱形、矩形、正方形时，相应的平行四边形EFGH一定是“菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：
四边形ABCD 菱形 矩形 正方形
平行四边形EFGH
【答案】(1)见解析
(2)矩形，菱形，正方形
【分析】（1）连接BD，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，可得EH和FG为中位线，根据中位线的性质即可求证．
（2）由（1），根据矩形，菱形，正方形的判定即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接BD，
∵E、H分别是AB、AD中点，
∴EH//BD，EH＝BD，
同理FG//BD，FG＝BD，
∴EH//FG，且EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）连接AC，BD，如图所示：
当四边形ABCD是菱形时，
∴AC⊥BD，
∵FG//BD，EH//FG，
∴EH⊥EF，
∴平行四边形EFGH是矩形，
当四边形ABCD是矩形时，
AC=BD，则EH=EF，
∴平行四边形ABCD是菱形，
当四边形ABCD是正方形时，AC=BD且AC⊥BD，则EH=EF且EH⊥EF，
∴平行四边形EFGH是正方形，
故答案为：矩形，菱形，正方形．
【点睛】本题考查了中点四边形、平行四边形的判定、三角形的中位线的性质，菱形的判定，矩形的判定及正方形的判定，熟练掌握其各判定定理是解题的关键．
35．四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形．
（1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的：
①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形；
②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形．
（2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明．
【答案】（1）①菱；②矩；（2）菱形，菱形见解析
【分析】（1）①连接AC、BD，根据三角形中位线定理证明四边形EFGH都是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明；
②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明；
（2）分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD，证明，得到AC=DB，根据（1）①证明即可．
【详解】（1）解：（1）①连接AC、BD，
∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，
∴EH∥BD，FG∥BD，
∴EH∥FG，
同理EF∥HG，
∴四边形EFGH都是平行四边形，
∵对角线AC=BD，
∴EH=EF，
∴四边形ABCD的中点四边形是菱形；
②当对角线AC⊥BD时，EF⊥EH，
∴四边形ABCD的中点四边形是矩形；
故答案为：菱；矩；
（2）四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形．理由如下：
分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD，
∵，∴是等边三角形，∴，，
∵，∴，∴，，
在和中，
，
∴，∴，
∴四边形ABCD的对角线相等，中点四边形EFGH是菱形．
【点睛】本题考查的是矩形、菱形的判定、中点四边形的定义，掌握中点四边形的概念、矩形的判定定理、菱形的判定定理是解题的关键．
题型十二 十字架模型
36．如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，点M、N、P、Q分别是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由；
(3)如图3，点F、R分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为3，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)四边形为正方形，理由见解析
(3)
【分析】（1）由正方形的性质及直角三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出结论；
（2）由三角形中位线定理可得出，，由平行四边形的判定可得出四边形为平行四边形，证出，，则可得出结论；
（3）延长交于S，由勾股定理求出的长，设，则，由勾股定理可得出，解得，则可得出答案．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：四边形为正方形，
理由如下：，N为的中点，
为的中位线，
，，
同理可得，，，，，，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
四边形为菱形，
，，
，
，
，
四边形为正方形．
（3）解：延长交于点S，
由对称性可知，，，，
，
，
设，则，
在中，，
，
，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题．
37．综合与实践
数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，已知，求证：． 甲小组同学的证明思路如下： 由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得． 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下： 由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得．
完成任务：
（1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”）
【发现问题】
同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究．
【迁移探究】
（2）在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．甲小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立．
①在图2中，已知，求证：；
②在图3中，若，则的度数为多少
【拓展应用】
（3）如图4，在正方形中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长．
【答案】（1）；（2）①见解析；②；（3）或
【分析】（1）先证明，结合，可知根据即可证明；
（2）①作于点H，先证明，然后根据即可证明即可证明结论成立；
②于点L，同理可证，从而，然后利用直角三角形两锐角互余和三角形外角的性质即可求解；
（3）①当N、F在边上时，作于点G，作于点H，则四边形和四边形都是矩形，同理可证，求出，设，则，利用勾股定理求出x的值，进而可求出的长．当N、F在的延长线上时，同理可求出的长
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：；
（2）①作于点H，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②作于点L，

同理可证四边形是矩形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：①当N、F在边上时，如图，，作于点G，作于点H，则四边形和四边形都是矩形，

同理可证，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴
∵，
∴，
∴．
设，则，
∵，
∴，
∴（负值舍去），
∴．
②当N、F在的延长线上时，如图，
同理可得：，，
∴．
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，以及三角形外角的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
题型十三 半角模型
38．（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【答案】（1），理由见解析；（2）成立，理由见解析
【分析】（1）典型的“夹半角模型”，延长到使得，先证，再证，最后根据边的关系即可证明；
（2）图形变式题可以参考第一问的思路，延长到使得，先证
，再证，最后根据边的关系即可证明；
【详解】解：（1）
证明：延长到，使得
连接
∵四边形是正方形
∴，
又∵
∴
∴，
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴
（2）
证明：延长到，使得
连接
∵，
∴
又∵，
∴
∴，
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确的根据“夹半角模型”作出辅助线是解题的关键．
39．已知正方形，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、于点M、N，于点H．
（1）如图①，当时，可以通过证明，得到与的数量关系，这个数量关系是___________；
（2）如图②，当时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？说明理由；
（3）如图③，已知中，，于点H，，，求的长．
【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）
【分析】（1）由“SAS”可证Rt△ABM≌Rt△ADN，从而可证∠BAM＝∠MAH＝22.5°，由AAS可证Rt△ABM≌Rt△AHM，即可得AB＝AH；
（2）延长CB至E，使BE＝DN，由Rt△AEB≌Rt△AND得AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，从而可证△AEM≌△ANM，根据全等三角形对应边上的高相等即可得AB＝AH；
（3）分别沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分别延长BM和DN交于点C，可证四边形ABCD是正方形，设AH＝x，在Rt△MCN中，由勾股定理列方程即可得答案．
【详解】解：（1）∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，
在Rt△ABM和Rt△ADN中，
∴Rt△ABM≌Rt△ADN（SAS），
∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN，
∵∠MAN＝45°，
∴∠BAM＋∠DAN＝45°，
∴∠BAM＝∠DAN＝22.5°，
∵∠MAN＝45°，AM＝AN，AH⊥MN，
∴∠MAH＝∠NAH＝22.5°，
∴∠BAM＝∠MAH，
在Rt△ABM和Rt△AHM中，
∴Rt△ABM≌Rt△AHM（AAS），
∴AB＝AH，
故答案为：AB＝AH；
（2）AB＝AH成立，理由如下：
延长CB至E，使BE＝DN，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，
在Rt△AEB和Rt△AND中，
∴Rt△AEB≌Rt△AND（SAS），
∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，
∵∠DAN＋∠BAM＝45°，
∴∠EAB＋∠BAM＝45°，
∴∠EAM＝45°，
∴∠EAM＝∠NAM＝45°，
在△AEM和△ANM中，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∵AB，AH是△AEM和△ANM对应边上的高，
∴AB＝AH．
（3）分别沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分别延长BM和DN交于点C，如图：
∵沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，
∴AB＝AH＝AD，∠BAD＝2∠MAN＝90°，∠B＝∠AHM＝90°＝∠AHN＝∠D，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AH＝AB＝BC＝CD＝AD．
由折叠可得BM＝MH＝3，NH＝DN＝7，
设AH＝AB＝BC＝CD＝x，
在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2＋NC2，
∴，
解得或（舍去），
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形性质及应用，勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
题型十四 与特殊平行四边形有关的动点问题
40．如图，在菱形中，，点P在对角线上（不与点B，D重合)，点E、F分别在边，上，且．
（1)如图1，若，求证：．
（2)如图2，点P在线段上运动时，设．
①若四边形的面积为，求x的值．
②探究x与y的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）①6或2；②
【分析】（1）若AP⊥BD，则AP为等腰△BAD的中线，PE为△DBC的中位线即可通过等量代换求证．
（2）①用含x的式子表示出四边形PFCE面积，根据题意建立方程求解即可．
②构造辅助线，利用勾股定理即可找到y与x的数量关系．
【详解】解：（1）证明：由题意得：AB=AD，AP⊥BD，
∴AP为等腰△BAD的中线，即点P为BD的中点，
又∵PE∥BC，
∴点E为DC的中点，PE为△DBC的中位线，
∴PE=BC=DC＝EC=DE，
又∵PE∥BC，PF∥DC，
∴四边形FPEC为平行四边形，
∴PF=EC，
而DE=EC，
∴DE=PF；
（2）①过点作于点，如图所示：
，，，为对角线，
，，
，则，，
在中，，
，
四边形的面积为，
，
解得：，，
或2；
②过点作于点，过点作于点，如图3，
由①可知，，
在中，，
，
在中，，，，
，
在中，，，，
由勾股定理可得：，
，即：，
与的数量关系为：．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练四边形的综合性质，结合一元二次方程以及勾股定理等知识点，理清题意，合理添加辅助线，构造直角三角形是解题关键．
41．如图，在平行四边形中，，，，点为中点，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．
(1)当在上运动时，用含的式子表示出线段的长 ；
(2)当点落在平行四边形的某边中点上时，求的值（用含t的代数式表示）；
(3)作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和平行四边形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了几何中的动点问题，涉及平行四边形的性质、轴对称，勾股定理等知识点，根据题意画出几何图是解题关键．
（1）根据即可求解；
（2）分两种情况，分别构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．
（3）根据题意画出满足条件的两种情况，即可求解；
【详解】（1）解：∵点E为中点，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：当点Q落在的中点时，如图所示作，延长，作，交点为K．
∵，，
∴，
当点Q落在的中点时，如图所示作，延长，作，交点为F．
∵，可得，
∴
∵，，
∴
，
∴，
综上：的值为或
（3）解：∵，，，
∴，
当点在线段上运动时，点与点重合，如图所示：
若点落在上，
∵点E、点F关于直线对称，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴此时，
故当时，满足题意；
当点与点重合时，
，
解得：，
综上所述：或．
42．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为．
(1)当为何值时，四边形是矩形；
(2)当为何值时，四边形是菱形；
(3)分别求出（2）中菱形的周长和面积．
【答案】(1)
(2)
(3)周长为，面积为
【分析】（1）由矩形的性质可得，据此可建立一元一次方程，解方程即可求出答案；
（2）由菱形的性质可得，据此可建立一元一次方程，解方程即可求出答案；
（3）先利用的值求出的长，然后根据和即可求出菱形的周长和面积．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
，
即：，
解得：，
答：当时，四边形是矩形；
（2）解：∵，，
∴四边形是平行四边形；
四边形是菱形，
，
即：，
解得：，
答：当时，四边形是菱形；
（3）解：当时，，
菱形的周长为：，
菱形的面积为：．
【点睛】本题主要考查了（特殊）平行四边形的动点问题，矩形的性质，菱形的性质，解一元一次方程，代数式求值，多边形的周长，利用菱形的性质求面积等知识点，利用各种图形的性质建立方程解决问题是解题的关键．
题型十五 与特殊平行四边形有关的最值问题
43．如图①．已知是等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在和上，连接，．

(1)试猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论；
(2)将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于，小于或等于），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；
(3)若，在（2）的旋转过程中，
①当为最大值时，则___________．
②当为最小值时，则___________．
【答案】(1)，证明见解析
(2)成立，证明见解析
(3)①；②
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质可以得出，进而得出结论；
（2）如图2，连接，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质可以得出，进而得出结论；
（3）①如图③，当旋转角为时，，此时的值最大．②利用三角形的三边关系确定的最小值，此时如图③中，，，共线．
【详解】（1）解：结论：．
理由：如图1，延长交于．
是等腰直角三角形，，点是的中点，
，，
．
四边形是正方形，
．
在和中，
，
，
；
（2）（1）中的结论仍然成立，，．理由如下：
如图②，连接，延长交于，交于．

在中，为斜边中点，
，，
．
四边形为正方形，
，且，
，
．
在和中，
，
，
，，
，
，
．
（3）①如图③，当旋转角为时，，此时的值最大．
，
．
．
在中，由勾股定理，得
，
．
故答案为：；
②如图④中，连接．

如图②中，在中，，，
，
的最小值为1，此时如图④中，，，共线，
在中，．
故答案为：．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
44．如图，四边形是边长为的正方形，为线段上一动点，，垂足为．
（1）如图，连接交于点，若，求的长；
（2）如图，点在的延长线上，点在上运动时，满足，
①连接，，判断，的数量关系并说明理由；
②如图，若为的中点，直接写出的最小值为 ．
【答案】（1）；（2）DG=BF，证明见解析；（3）
【分析】（1）如图1，过点作于点，先根据正方形性质和三角形内角和定理得出：，，设，则，运用勾股定理即可求出答案；
（2）①如图2，过点作于点，设，则，运用勾股定理即可证得结论；
②如图3，取、的中点、，延长至，使，延长至，使，连接，，过点作，延长交于，先证得，再证得四边形是平行四边形，得出当、、三点共线时，最小，故当、、三点共线时，最小，即最小，再运用勾股定理计算即可．
【详解】解：（1）如图1，过点作于点，
四边形是边长为2的正方形，
，，，
，
，
，
，
，即，
，
又，，
，，
，，
设，则，
由勾股定理得，
又，
，
，即，
，
中，，
由勾股定理得：；
（2）①，理由如下：
如图2，过点作于点，
，
，，
，
，
，
，
设，则，，
，
四边形是边长为2的正方形，点在的延长线上，
，
在和中，，
分别由勾股定理得：
，，
，
；
②如图3，取、的中点、，延长至，使，延长至，使，连接，，过点作，延长交于，
，为中点，
，
、分别是、的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，，
，
当、、三点共线时，最小，
当、、三点共线时，最小，
即最小，
此时，，，
，
，，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形性质，勾股定理，平移的运用，平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是正确利用直角三角形斜边上中线等于斜边一半和平移，将求的最小值转化为两点之间线段最短来解决，属于中考常考题型．
45．如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足．
(1)求点A的坐标；
(2)取中点M，连接，与关于所在直线对称，连接并延长，交x轴于点P．
①求的长；
②如图2，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足，连接．请你求出线段长度的最大值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）由．可得，，即可求解；
（2）①证明，得到，可得，即可求解；②取的中点，连接，．当点、、三点共线时，的长度最大，进而求解．
【详解】（1）解：．
，，
解得，，
点的坐标为；
（2）①与关于所在直线对称，
，，，
如图，连接，
，
，，
设，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
点为的中点，
，
∴；
②取的中点，连接，．
，点是的中点，
．
，
，
，
由中点坐标可知：点的坐标为，
，
，
，
当点、、三点共线时，的长度最大，
则的最大值，
，，
，
的最大值．
故答案为：．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行四边形的判定，解决本题的关键是得到四边形是平行四边形．
题型十六 反比例函数与几何综合
46．如图，为等边三角形，边长为8，过点的直线交于点，交于点，且点在反比例函数的图象上，
(1)求直线的解析式；
(2)记的面积为，的面积为，试判断和的大小关系， 并说明理由．
【答案】(1)；
(2)，理由见解析
【分析】本题是反比例函数综合题，涉及到直角三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的面积等有关知识，综合性较强．
（1）设，，，求得，由点在反比例函数的图象上，求得，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求得，，据此即可证明结论成立．
【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵为等边三角形，边长为8，点的坐标为，，
设，，，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴将E点代入反比例函数，解得，（舍），
；
设直线的解析式为，将C和E点代入解析式得，
解得，
解得：；
（2）解：比较与的面积大小，可转化为比较与的面积大小，
∴，
，
∴，
∴．
47．如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于两点．过点作轴的垂线，垂足为，连接、，并延长，与直线相交于点．在第一象限找点，使以为顶点的四边形为平行四边形，反比例函数，经过点．
(1)求的面积．
(2)在反比例函数的图象上找点，使是直角三角形，求出符合要求的点的坐标．
(3)如图，在反比例函数的图象上有一点，轴于点，轴于点，分别交反比例函数的图象于两点，求的面积．
【答案】(1)15
(2)、、、
(3)或
【分析】（1）先求出，由，解得，，再由即可求解；
（2）先根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，，①当为平行四边形的对角线时，此时为平行四边形，则，求得经过点N的反比例函数的表达式为，设，当，联立，可求，当，则，得到，解得：或（舍），则；②当为平行四边形的对角线时，此时为平行四边形，此时也为矩形，此时，同上可求反比例函数的表达式为，当，联立，解得，则，当时，此时点与点N重合，则，综上所述，点D的坐标为：、、、；
（3）设点，，当点E在上时，由题意可得，，因此，
所以，，，故；当点E在上时，同理可得．
【详解】（1）解：把代入得，，
∴，
把代入得，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
由，解得或，
∴，，
∴；
（2）解：设直线的解析式为，把代入得，，
∴，
∴直线的解析式为，
把代入得，，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，，即，
设，
①当为平行四边形的对角线时，此时为平行四边形，
有，
解得，
∴，
代入得，
∴反比例函数的表达式为，设，如图，
当，联立，
解得，
∴，
当，则，
∴，
解得：或（舍），
∴；
②当为平行四边形的对角线时，此时为平行四边形，此时也为矩形，
有，
解得，
∴，
同上可求反比例函数的表达式为，如图，
当，联立，
解得，
∴，
当时，此时点与点N重合，
∴，
综上所述，点D的坐标为：、、、；
（3）解：如图，
设点，
∵轴于点，轴于点，分别交反比例函数的图象于两点，
∴，
当点E在上时，由题意可得，，
∴，
∵，
，，
∴；
当点E在上时，同理可得，
综上所述，的面积为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合，待定系数法求函数解析式，反比例函数图像与一次函数图像的交点问题，平行四边形的存在性问题，直角三角形的存在性问题，勾股定理，以及反比例函数k的几何意义等，难度很大，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
48．如图1，将矩形纸片放置在如图所示的平面直角坐标系内，点与坐标原点重合，点的坐标为，折叠纸片使点落在轴上的点处，折痕为，过点作轴的平行线交于点，连接．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)如图2，当点与点重合时，求点的坐标；
(3)如图3，在(2)的条件下，点是线段上一动点，点是线段上一动点，过点的反比例函数的图象与线段相交于点，连接，，，，当四边形的周长最小时，求点，点的坐标．
【答案】(1)详见解析
(2)
(3)点的坐标为，点的坐标为
【分析】（1）由题意得出，推出，由折叠的性质得出，，从而得出，推出四边形是平行四边形，结合，即可得证；
（2）由折叠可得，由勾股定理可得，推出，设，则，，再由勾股定理计算即可得解；
（3）由(2)得坐标为，设点坐标为，根据反比例函数的性质得出坐标为，作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，则，，连结，，得出，，四边形的周长，推出当四点共线时四边形的周长最小，待定系数法求出直线的解析式为：，即可得解．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，且轴
折叠纸片使点落在轴上点处，折痕为，
，，
∴
四边形是平行四边形
又
四边形为菱形．
（2）解：点与点重合，
设，则，，
在中，，即，
解得，
点的坐标为；
（3）解：由(2)得坐标为，
设点坐标为，
点都在反比例函数的图象上，
，，
即：，
解得，
坐标为，
作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，则，，
连结，
，，
四边形的周长，
当四点共线时四边形的周长最小，
设直线的解析式为，把，，代入，得
，
解得，
直线的解析式为：，
令，即，得，
点的坐标为，点的坐标为．
【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、菱形的判定定理、勾股定理、反比例函数的图象与性质、一次函数的应用、坐标与图形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
49．如图，过原点的直线交双曲线于点和点，点的坐标为，点是双曲线上异于点的动点，且点在第一象限，作直线交双曲线于点．连接，，，．

(1)以下是小明同学探究四边形是平行四边形的过程，请你补充完整：
∵双曲线关于原点成中心对称，且过原点的直线与双曲线交于点和点，
∴___________．
同理．
∴四边形是平行四边形．
(2)问题探究：
①是否可能为矩形？请说明理由．
②是否可能为菱形？请说明理由．
(3)当的面积为18时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)①可能，见解析，②不可能，见解析
(3)或
【分析】（1）根据中心对称的性质和平行四边形的判定即可解答；
（2）若亦即时，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可作出判断；由于点，都在第一象限，则，即与不可能互相垂直，则平行四边形不可能为菱形；
（3）根据平行四边形的性质可得，设，然后分点在下方和点落在上方两种情况，结合图形，根据得出关于a的方程，解方程即可求解．
【详解】（1）∵双曲线关于原点成中心对称，且过原点的直线与双曲线交于点和点，
∴．
同理．
∴四边形是平行四边形，
故答案为：．
（2）①平行四边形有可能为矩形，
理由如下：
若亦即时，根据对角线相等的平行四边形是矩形，
可得平行四边形为矩形．
②平行四边形不可能为菱形．
因为点，都在第一象限，则，即与不可能互相垂直，
则平行四边形不可能为菱形；
（3）∵在双曲线上，
∴．
设（）．
过点，C分别作轴的垂线，交轴于点，．
∵轴，点在反比例函数的图象上，
∴．
同理可得，．
∵平行四边形的面积为18，
∴．
①当点在下方时，如图．

∵，
∴．
∵，，
∴．
化简得，解得，（舍去）
∴，此时．
②当点落在上方时，如图．

∵，
∴．
∵，，
∴．
化简得．
解得，（舍去）．
∴，此时．
综上所述，或．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质、特殊平行四边形的判定和性质，熟练掌握上述知识，掌握求解的方法是解题的关键．
题型十七 与反比例函数有关的最值问题
50．如图1，在平面直角坐标系中，点，过函数图象上一点作轴的平行线交直线于点，且．

(1)①求的长度（用含有的代数式表示）；
②求的值，并写出的解析式；
(2)过函数图象上任意一点，作轴的平行线交直线于点，是否总有成立？请说明理由；
(3)如图2，若是函数图象上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，分别过点作的垂线交轴于点，问是否存在点，使得矩形的周长取得最小值？若存在，请求出此时点的坐标及矩形的周长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①；②，解析式为：
(2)成立，理由见详解
(3)存在点P，且为，此时周长最小值为4
【分析】（1）用a的代数式表示出、，根据求出的值，然后利用待定系数法求出的值即可；
（2）设，则，根据两点间距离公式求出的长即可；
（3）设直线交轴于点，连接，，结合（2）可知，当且仅当、、三点共线时，矩形的周长取到最小值．
【详解】（1）解：①∵轴，
∴，
∴时，，
∴，
②∵，
∴，
解得：，
∴，
将点A代入得：，
∴解析式为：；
（2）解：成立，
设，则，
，
∴
而，
∴
．
（3）解：存在点P，使得矩形的周长取得最小值，
设直线交轴于点，连接，，由（2）得，，
∵矩形的周长，
，
当且仅当、、三点共线时，矩形的周长取到最小值，
∴，将代入得，
∴此时，点的坐标为．
【点睛】本题考查了反比例函数综合题，涉及两点间距离公式、垂线段最短、存在性问题，综合性很强，要灵活处理，同时注意从多角度解题．
51．【思路点拨】：如图1，点是点关于直线的对称点，分别过点，作轴，轴的垂线，垂足为，，连结，，．可以利用轴对称图形的性质证明，从而由点的坐标可求点的坐标．
【应用拓展】：如图2，若点横坐标为，且在函数的图象上．

(1)求点关于直线的对称点的坐标．
(2)若点的坐标为，点是直线．上的任意一点，连结，，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别过点，作轴，轴的垂线，垂足为，，连结，，．设交直线于点，作轴于点，由轴对称的性质得，，则，根据等腰直角三角形的判定和性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，，求得点的坐标，即可求解；
（2）连结，交直线于点，连结，此时为最小值，分别过点，作轴的垂线，垂足为，，过点作的垂线，垂足为．根据矩形的判定可得四边形是矩形，推得，，根据勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）解：（1）分别过点，作轴，轴的垂线，垂足为，，连结，，．
设交直线于点．作轴于点，如图1：

∵点，关于直线对称，
∴直线是线段的中垂线，
∴，，
∴，
∵点在直线上，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵点的横坐标为，且点在函数的图象上，
故将代入，解得：，
∴点坐标为，
∴，．
∴点坐标为．
（2）解：如图2，连结，交直线于点，连结，此时为最小值，分别过点，作轴的垂线，垂足为，，过点作的垂线，垂足为．

∵由（1）知点坐标为，
∴，．
∵点的坐标为，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是矩形．
∴，，
∴．
即的最小值为．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及轴对称的性质是解题的关键．
52．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，已知反比例函数的图像经过点，过点A作轴于点B，且的面积为．
(1)__________，__________；
(2)若直线与反比例函数的图像交于两点，求不等式的解；
(3)过原点O的直线l与反比例函数的图像交于P、Q两点，试根据图像直接写出线段长度的最小值．
【答案】(1)1，
(2)或
(3)
【分析】（1）先求出，再根据三角形面积公式求出m的值，进而求出k的值即可；
（2）先求出直线与反比例函数的交点坐标，再在坐标系中画出对应的函数图像，利用函数图像求解即可；
（3）由对称性可知，，设利用勾股定理得到，证明，得到，即可得到线段长度的最小值为．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1，；
（2）解：由（1）得反比例函数解析式为，
联立解得或
反比例函数与一次函数在坐标系中的函数图像如下所示，由函数图像可知当或时，反比例函数图像在一次函数图像上方，
∴不等式的解即为或；
（3）解：由对称性可知，
∴，
设
∴，
∵，
∴，
∴，
∴线段长度的最小值为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，配方法的应用，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
53．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点．
(1)中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2025年八年级下册期末必刷题型训练
题型一 与二次根式有关的规律探究问题
1．观察下列式式子的化简过程：
①；
②；
③；…
(1)请直接写出第四个等式，并猜想第n个等式；
(2)求的值．
2．观察下列一组等式．解答后面的问题：
；
．
(1)化简：_____，_____（n为正整数）．
(2)比较大小：_____（填“”，“”或“”）．
(3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：
__________．
3．观察下列各式的化简过程
①
②
③
(1)写出①式的具体化简过程；
(2)从上面的式子看，你发现了什么规律？请用字母表示出来____________；
(3)利用上面的规律计算：．
题型二 多边形内角与外角综合
4．问题情境：在探索多边形的内角与外角关系的活动中，同学们经历了观察、猜想、实验、计算、推理、验证等过程，提出了问题，请解答．
（1）若四边形的一个内角的度数是α．
①求和它相邻的外角的度数（用含α的代数式表示）；
②求其它三个内角的和（用含α的代数式表示）．
（2）若一个n边形，除了一个内角，其余内角的和为，求n的值．
深入探究：
（3）探索n边形的一个外角与和它不相邻的个内角的和之间满足的等量关系，说明理由．
5．已知：多边形的外角和的平分线分别为BM，DN．
(1)若多边形为四边形ABCD．
①如图①，，BM与DN交于点P，求的度数；
②如图②，猜测当和满足什么数量关系时，，并证明你的猜想．
(2)如图③，若多边形是五边形ABCDG，已知，BM与DN交于点P，求的度数．
6．发现：如图1，在有一个“凹角”边形 …中（为大于3的整数），．
验证：
（1）如图2，在有一个“凹角”的四边形中，证明：．
（2）如图3，有一个“凹角”的六边形中，证明；．
延伸：
（3）如图4，在有两个连续“凹角和”的四边形 ……中（为大于4的整数），．
题型三 构建三角形中位线求解
7．如图，在四边形中，是对角线的中点，是的中点，是的中点，．
【用数学的眼光观察】
（1）求的度数．
【用数学的思维思考】
（2）如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求的度数．
【用数学的语言表达】
（3）如图，在中，，点在上，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的度数．
8．阅读下面材料，完成相应的任务．
四边形的中位线我们学习过三角形的中位线，类似的，把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线． 如图1，在四边形中，点M，N分别是，的中点，则就是四边形的中位线．求四边形的中位线的长度，可以通过找中点，将其转化为三角形的中位线解决． 例：如图2，在四边形中，点E，F分别是，的中点．若，，，，求的长． 解：如图2，取的中点P，连接，． 点E、F分别是，的中点， ，，，．（依据） ……
任务：
(1)上述材料中的依据是指：_______．
(2)将材料中的解题过程补充完整．
(3)如图3，在四边形中，点E，F分别是，的中点，，，，延长，交于点M，延长交于点N．求证：．
9．如图1，在平面直角坐标系中，点，．平移至（点与点对应，点与点对应），连接．
(1)点的坐标为______；
(2)点，分别是，边上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．当，分别在，上运动时，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由；
(3)如图，三角形是等腰直角三角形，为线段上一点，以为直角边作等腰直角三角形，其中，试猜想，，三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
题型四 与平行四边形有关的动点问题
10．如图1，在中，，，．是线段上的动点，是射线上的动点，且．设．
(1)当在线段上时，用含的代数式表示线段的长．
(2)如图2，是的中点，以，为邻边构造．
①当点与点重合时，连结，求的长．
②当点落在的边上时，求的长．
11．如图，中，，，，是中点，，动点以每秒个单位长的速度从点出发向点移动，连接并延长在交于点，点移动时间为秒．
(1)求与间的距离；
(2)为何值时，四边形为平行四边形；
(3)直接写出为何值时，．
12．已知，平行四边形中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动．
(1)如图①，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
(2)如图②，在第（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积．
(3)如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止）．若，设点的运动时间为t秒，当t为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形？
题型五 利用平行四边形的性质与判定求解
13．在一次数学探究活动中，小明用一根木棒把四边形分割成2个部分（如图1），经测量发现，，.
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若点P为线段上的动点（点P不与点D重合），连接，过点P作交直线于点E.如图2，当点P为线段的中点时：
①连接，请写出与之间的数量关系并说明理由；
②请写出，之间的数量关系并说明理由；
③如图3，当点P在线段上时，请直接写出，，之间的数量关系________________.
14．如图，是等边三角形内任一点．过点作、、，分别交于点．求证：．
15．如图，在平行四边形中，点O是对角线的中点，某数学学习小组要在上找两点E、F，使四边形为平行四边形，现在，甲、乙两个同学给出了两种不同的方案如下：
甲方案：分别取，的中点E，F；
乙方案：作于点E，于点F．
请回答下列问题：
(1)你认为甲乙两人的方案哪种得到的四边形是平行四边形 ．
(2)如果只有一种方案得到平行四边形，就对这一种进行证明；如果这两种方案得到的四边形都是平行四边形，请选择一种给出证明．
题型六 平行四边形性质与判定的应用
16．问题探究
（1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值；
问题解决
（2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由．
17．某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
(1)操作发现：在等腰中，，分别以为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图所示，其中于点，于点，是的中点，连结和，则下列结论正确的是 （填序号即可）．
①；②；③整个图形是轴对称图形；④．
(2)数学思考：在任意中，分别以为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，是的中点，连结和，则与有怎样的数量关系？请给出证明过程；
(3)类比探究：在任意中，仍分别以为斜边，向的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，是的中点，连结和，试判断的形状．
18．（1）如图1，点O是等边的内心，的两边分别交于点D、E，且，若等边的边长为6，求四边形周长的最小值．
（2）为培养学生劳动实践能力，某学校计划在校东南角开辟出一块平行四边形劳动实践基地．如图2所示，劳动实践基地为，点O为其对称中心，且，点E、F分别在边上，四边形为学校划分给九年级的实践活动区域，九年级学生打算在四边形区域种植两种不同的果蔬，即在种植不同的果蔬．在点O处安装喷灌装置，且喷灌张角为，即，并修建三条小路．现要求规划的三条小路总长最小的同时，果蔬种植区域四边形的面积最大．求满足规划要求的三条小路总长的最小值，并计算同时满足四边形面积最大时学校应开辟的劳动实践基地的面积．

题型七 与平行四边形有关的折叠问题
19．综合实践课上，老师让同学们开展了的折纸活动，是边上的一动点，是边上的一动点，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，连接．

(1)【观察发现】如图1，若，，，则___________，___________．
(2)【操作探究】如图2，当点落在的延长线上时，求证：四边形为平行四边形．
20．已知：如图，的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)将沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点，分别交，于点，．
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）连接，求证：．
21．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为．
(1)如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为平行四边形．
(2)如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长．
(3)改变点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，求的长度．
题型八 与特殊平行四边形有关的折叠问题
22．四边形是一张平行四边形纸片，将纸片沿着折叠，使点落在直线上的点处，点的对应点为，和相交于点．
(1)如图1，当平行四边形是矩形时：
①连接，求证：四边形为菱形：
②如图2，若，当点与点重合时，______；
(2)如图3，当平行四边形满足，，且为的中点，求此时的长度．
23．人教版数学八年级下册教材的数学活动-----折纸，引起许多同学的兴趣．我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学的奥秘．
(1)如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；以为折痕再一次折叠纸片，使点A落在折痕上的点N处，把纸片展平；连接．观察图1中和，猜想这三个角的关系，并说明理由；
(2)如图2，M为矩形纸片的边上的一点，连结，在上取一点P，折叠纸片，使B，P重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B、P分别落在上，展平纸片得到折痕l ， 折痕l与交于点O， 点B、P的对应点分别为G、N，连接．证明：；
(3)如图3，矩形纸片中，， 点P是边上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E，F，要使折痕始终与边有交点，直接写出的取值范围．
24．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
(1)【活动一】在矩形中，现将纸片折叠，使点与点重合，折痕为，如果，，求的长．
(2)【活动二】如图，在矩形中，点从边的中点出发，沿着匀速运动，速度为每秒个单位长度，到达点后停止运动，点是上的点，，设的面积为，点运动的时间为秒，与的函数关系如图所示．
图中 ， ，图中 ．
点在运动过程中，将矩形沿所在直线折叠，当 时，折叠后顶点的对应点落在矩形的一边上．
25．【问题提出】
（）如图①，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接，，，．若恰好垂直于于点，则的长为______；
【问题解决】
（）如图②，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．
①求的度数；
②为提高绿化面积，想让步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的？若存在，求面积的最小值；若不存在，请说明理由．
题型九 求特殊四边形在坐标系中的坐标
26．如图1，在平面直角坐标系中有矩形，点，将矩形沿折叠，使得点落在点处，边交轴于点，．
(1)求点E的坐标；
(2)如图2，在直线以及轴上是否分别存在点，，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由；
(3)点 P为y轴上一动点，作直线交直线于点，是否存在点使得为等腰三角形？如果存在，请求出的度数；如果不存在，请说明理由．
27．定义：角内部的一点P到角两边的距离分别为m、n（），将m与n的比值叫做点P关于这个角的“距离比”，记作k，其中；若“距离比”，则称点P为这个角的“平衡点”．
(1)下列四边形对角线的交点一定是这个四边形内角的“平衡点”的是______（填序号）：
①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形
(2)在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，对角线相交于点P，，，垂足分别为M、N：
①如图，点C在第二象限，且坐标为，求点P关于的“距离比”k的值；
②若点P为的“平衡点”，且点B的纵坐标为7，求点C的坐标．
28．如图，正方形的边，在坐标轴上，点的坐标为．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向点运动；点从点同时出发，以相同的速度沿轴的正方向运动，规定点到达点时，点也停止运动．连连接，过点作的垂线，与过点平行于轴的直线相交于点．与轴交于点，连接．设点运动的时间为．
(1)求证：；
(2)求的度数，并写出点的坐标；
(3)当为何值时，△为等腰三角形？
(4)探索的周长是否随时间的变化而变化，若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．
29．如图，在平面直角坐标系中，多边形的顶点坐标分别是，，，，，．
(1)若以A，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为______；
(2)、分别是直线和上的点，若以A，，、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为_______；
(3)若直线经过点，且将多边形分割成面积相等的两部分，则直线的函数表达式为______．
题型十 四边形综合
30．情景呈现： 小明同学在研究平行四边形对角线的长度与边长的联系．
（I）提出问题：当平行四边形的形状发生变化，对角线的长度与边长是否存在等量关系？
（II）探究问题：首先通过举例计算特殊的平行四边形对角线长度：
①正方形的边长为，则______；
②矩形中，，，则_______；
③在菱形中，，，则_______；
再通过几何图形一般化具体分析找规律：
④如图1，在正方形中，，则　　；（请用含a的代数式表示）
⑤如图3，在矩形中，，，则　　．（请用含a、b的代数式表示）
（III）猜想并证明：
如图4，在中，，，大胆猜想与、的数量关系为_____，如何用已学的数学知识证明呢？小明通过询问人工智能了解到有两种方法可以解决：第一是采用几何法，利用勾股定理证明；第二是建立平面直角坐标系，数形结合解决．请选择其中一种方法写出证明过程．
（IV）解决问题：如图4，在中，，，，将线段绕点旋转，在旋转的过程中，当时，请直接写出此时线段的长．
31．已知：如图，在矩形中，，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若，的面积为S．
(1)如图1，当四边形是正方形时，求x的值；
(2)如图2，当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式；
(3)当x= 时，的面积S最大：当 时，的面积S最小；
(4)在的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长： ．
32．问题解决：如图，在矩形中，点分别在边上，，于点．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)延长到点，使得，连接，判断的形状，并说明理由．
(3)如图，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，，，，求的长．
题型十一 中点四边形
33．下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形．此结论可借助图1证明如下： 证明：如图2，连接，， ，分别为，的中点， ______ 分别为，的中点， ． 同理： ， 四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切，并具有一系列重要性质．例如有周长公式：瓦里尼翁平行四边形的周长等于原四边形两条对角线的长度之和．
任务：
(1)上述证明过程中的横线上填的内容是：______．
(2)如图2，根据周长公式有：瓦里尼翁平行四边形的周长等于两条对角线与的长度之和．请你通过几何推理证明这一结论．
(3)已知四边形的对角线与夹角为．请用刻度尺、三角板等工具，画出四边形的对角线、及瓦里尼翁平行四边形，并求的度数．
34．如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H得四边形EFGH．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形．
(2)当四边形ABCD分别是菱形、矩形、正方形时，相应的平行四边形EFGH一定是“菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：
四边形ABCD 菱形 矩形 正方形
平行四边形EFGH
35．四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形．
（1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的：
①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为__________形；
②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是__________形．
（2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明．
题型十二 十字架模型
36．如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，点M、N、P、Q分别是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由；
(3)如图3，点F、R分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为3，求线段的长．
37．综合与实践
数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，已知，求证：． 甲小组同学的证明思路如下： 由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得． 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下： 由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得．
完成任务：
（1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”）
【发现问题】
同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究．
【迁移探究】
（2）在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．甲小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立．
①在图2中，已知，求证：；
②在图3中，若，则的度数为多少
【拓展应用】
（3）如图4，在正方形中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长．
题型十三 半角模型
38．（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
39．已知正方形，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、于点M、N，于点H．
（1）如图①，当时，可以通过证明，得到与的数量关系，这个数量关系是___________；
（2）如图②，当时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？说明理由；
（3）如图③，已知中，，于点H，，，求的长．
题型十四 与特殊平行四边形有关的动点问题
40．如图，在菱形中，，点P在对角线上（不与点B，D重合)，点E、F分别在边，上，且．
（1)如图1，若，求证：．
（2)如图2，点P在线段上运动时，设．
①若四边形的面积为，求x的值．
②探究x与y的数量关系．
41．如图，在平行四边形中，，，，点为中点，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．
(1)当在上运动时，用含的式子表示出线段的长 ；
(2)当点落在平行四边形的某边中点上时，求的值（用含t的代数式表示）；
(3)作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和平行四边形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围．
42．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为．
(1)当为何值时，四边形是矩形；
(2)当为何值时，四边形是菱形；
(3)分别求出（2）中菱形的周长和面积．
题型十五 与特殊平行四边形有关的最值问题
43．如图①．已知是等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在和上，连接，．

(1)试猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论；
(2)将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于，小于或等于），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；
(3)若，在（2）的旋转过程中，
①当为最大值时，则___________．
②当为最小值时，则___________．
44．如图，四边形是边长为的正方形，为线段上一动点，，垂足为．
（1）如图，连接交于点，若，求的长；
（2）如图，点在的延长线上，点在上运动时，满足，
①连接，，判断，的数量关系并说明理由；
②如图，若为的中点，直接写出的最小值为 ．
45．如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足．
(1)求点A的坐标；
(2)取中点M，连接，与关于所在直线对称，连接并延长，交x轴于点P．
①求的长；
②如图2，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足，连接．请你求出线段长度的最大值．
题型十六 反比例函数与几何综合
46．如图，为等边三角形，边长为8，过点的直线交于点，交于点，且点在反比例函数的图象上，
(1)求直线的解析式；
(2)记的面积为，的面积为，试判断和的大小关系， 并说明理由．
47．如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于两点．过点作轴的垂线，垂足为，连接、，并延长，与直线相交于点．在第一象限找点，使以为顶点的四边形为平行四边形，反比例函数，经过点．
(1)求的面积．
(2)在反比例函数的图象上找点，使是直角三角形，求出符合要求的点的坐标．
(3)如图，在反比例函数的图象上有一点，轴于点，轴于点，分别交反比例函数的图象于两点，求的面积．
48．如图1，将矩形纸片放置在如图所示的平面直角坐标系内，点与坐标原点重合，点的坐标为，折叠纸片使点落在轴上的点处，折痕为，过点作轴的平行线交于点，连接．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)如图2，当点与点重合时，求点的坐标；
(3)如图3，在(2)的条件下，点是线段上一动点，点是线段上一动点，过点的反比例函数的图象与线段相交于点，连接，，，，当四边形的周长最小时，求点，点的坐标．
49．如图，过原点的直线交双曲线于点和点，点的坐标为，点是双曲线上异于点的动点，且点在第一象限，作直线交双曲线于点．连接，，，．

(1)以下是小明同学探究四边形是平行四边形的过程，请你补充完整：
∵双曲线关于原点成中心对称，且过原点的直线与双曲线交于点和点，
∴___________．
同理．
∴四边形是平行四边形．
(2)问题探究：
①是否可能为矩形？请说明理由．
②是否可能为菱形？请说明理由．
(3)当的面积为18时，求点的坐标．
题型十七 与反比例函数有关的最值问题
50．如图1，在平面直角坐标系中，点，过函数图象上一点作轴的平行线交直线于点，且．

(1)①求的长度（用含有的代数式表示）；
②求的值，并写出的解析式；
(2)过函数图象上任意一点，作轴的平行线交直线于点，是否总有成立？请说明理由；
(3)如图2，若是函数图象上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，分别过点作的垂线交轴于点，问是否存在点，使得矩形的周长取得最小值？若存在，请求出此时点的坐标及矩形的周长；若不存在，请说明理由．
51．【思路点拨】：如图1，点是点关于直线的对称点，分别过点，作轴，轴的垂线，垂足为，，连结，，．可以利用轴对称图形的性质证明，从而由点的坐标可求点的坐标．
【应用拓展】：如图2，若点横坐标为，且在函数的图象上．

(1)求点关于直线的对称点的坐标．
(2)若点的坐标为，点是直线．上的任意一点，连结，，求的最小值．
52．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，已知反比例函数的图像经过点，过点A作轴于点B，且的面积为．
(1)__________，__________；
(2)若直线与反比例函数的图像交于两点，求不等式的解；
(3)过原点O的直线l与反比例函数的图像交于P、Q两点，试根据图像直接写出线段长度的最小值．
53．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集；
(3)设为线段上的一个动点（不与重合），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积最大时，求点的坐标，并求出面积的最大值．
题型十八 与反比例函数有关的存在性问题
54．如图，直线l经过点，且与双曲线交于点，过点作x轴的平行线分别交曲线和于M，N两点．
(1)求m的值及直线l的表达式；
(2)是否存在实数p，使得？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．
55．如图，四边形是矩形，，，反比例函数的图象过点．

(1)求的值．
(2)点为反比例图象上的一点，作直线，轴，当四边形是正方形时，求点的坐标．
(3)点为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点，使得以、、、为顶点组成的平行四边形面积为14？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
56．如图1，正方形中，，．过点作轴于点，过点作轴的垂线交过点的反比例函数的图象于点，交轴于点．
(1)求证：；
(2)求反比例函数的表达式及点的坐标；
(3)如图2，过点作直线，点是直线上的一点，在平面内是否存在点，使得以点四个点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由．
57．如图1，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象经过矩形的顶点，顶点分别在轴，轴的正半轴上，点为线段上的一个动点，点在直线上一点，点在反比例图象上．
(1)求反比例函数表达式．
(2)如图1，若点为对角线的中点时，且四边形是平行四边形，求长．
(3)在坐标平面内，是否存在点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
58．如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求△AOB的面积；
(3)在坐标轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？直接写出点P的坐标．
题型十九 画反比例函数图象
59．已知一块矩形草坪的两边长分别是2米与3米，现在要把这个矩形按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形的一边加长a米，另一边长加长b米，可得a与b之间的函数关系式．某班“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下，请补充完整：
(1)类比反比例函数可知，函数的自变量x的取值范围是 　 　，这个函数值y的取值范围是 ．
(2)“数学兴趣小组”进一步思考函数的图象和性质，请根据函数的图象，画出函数的图象，并直接写出方程有2个实数根时，a的取值范围．
(3)过点作一条直线与函数的图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．
60．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：
x … 0 2 3 …
y … m 0 n 2 …
(1)函数的自变量x的取值范围是______；
(2)下表列出了y与x的几组对应值，请写出m，n的值： ______， ______；
(3)在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．
(4)结合函数的图象，解决问题：
①方程的解为：______
②当函数值时，x的取值范围是：______
61．如图，在并联电路中，电源电压为，根据“并联电路分流不分压”的原理得到：．已知为定值电阻，当R变时，路电流也会发生变化，且干路电流与R之间满足如下关系：．
(1)【问题理解】
定值电阻的阻值为________Ω．
(2)【数学活动】
根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数来探究函数的图象与性质．
①列表：下表列出与R的几组对应值，请写出m的值：________；
R … 3 4 5 6 …
… 2 1.5 1.2 1 …
… 3 m 2.2 2 …
②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来．
(3)【数学思考】
观察图象发现：函数的图象是由的图象向________平移________个单位而得到．
(4)【数学应用】
若关于x的方程在实数范围内恰好有两个解，直接写出k的值．

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