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浙教版2025年八年级下册期末数学复习专题
01 运算提升训练
【考点一】二次根式的运算与化简
【题型一】二次根式的运算（10题）
1．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）计算：
（1）； （2）．
2．（24-25八年级上·广东深圳·期末）计算：
（1） （2）
3．（24-25八年级上·广东深圳·期末）计算：
（1）； （2）．
4．（24-25九年级上·河南开封·期末）计算．
（1） （2）
5．（24-25八年级上·陕西西安·期末）计算：
（1）； （2）．
6．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）计算：
（1） （2）
7．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）计算：
（1） （2）
8．（24-25八年级上·重庆·期末）计算：
（1） （2）
9．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）计算：
（1） （2）
10．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）计算
（1）； （2）．
【题型二】二次根式的化简求值（10题）
1．（22-23八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，，求的值．
2．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）先化简，再求值：，其中．
3．（23-24八年级下·全国·期末）已知，求 的值
4．（23-24八年级下·云南红河·期末）已知，求下列代数式的值；
（1）；
（2）
5．（23-24八年级下·河南许昌·期末）已知，求的值．
6．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）先化简再求值：当时，求的值．
7．（23-24八年级下·山西大同·阶段练习）已知，求的值．
8．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的：
∵．
∴．
∴，即．
∴，∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：______；
（2）计算：；
（3）若，求的值．
9．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值，他是这样解答的；
，
，
，，
．
．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
（1）_______；
（2）化简：；
（3）若，求的值．
10．（24-25八年级上·山东青岛·期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题：
已知，求的值．
他们是这样解答的：
，
，
，即，
，
．
请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题：
（1）______；
（2）化简：；
（3）若，求的值．
【考点二】一元二次方程
【题型三】一元二次方程的解法（10题）
1．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）解方程：
（1）（配方法）； （2）（公式法）．
2．（24-25九年级上·辽宁辽阳·期末）解方程：
（1） （2）
3．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）解下列一元二次方程：
（1）（用公式法） （2）（用因式分解法）
4．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）用适当的方法解下列方程．
（1） （2）．
5．（24-25九年级上·四川眉山·期末）按要求解方程：
（1）（适当的方法） （2）（用公式法）
6．（24-25九年级上·四川成都·期末）解方程
（1） （2）
7．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期末）用适当的方法解方程：
（1）； （2）．
8．（24-25九年级上·山东青岛·期末）解方程：
（1）；（配方法） （2）
9．（23-24八年级上·北京东城·期末）解方程：
（1）； （2）．
10．（24-25九年级上·江苏南通·期末）解方程：
（1）； （2）．
【题型四】一元二次方程与化简求值（8题）
1．（24-25九年级上·重庆黔江·阶段练习）先化简，再求值：，其中x满足
2．（23-24九年级下·浙江金华·开学考试）先化简，再求值：，其中x是方程的根．
3．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）先化简再求值：，其中是方程的一个根．
4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·三模）先化简，再求值：．其中是方程的根．
5．（2024·山东滨州·一模）先化简，再求值：，其中是方程．
6．（18-19九年级上·山东德州·期中）先化简，再求值：，其中a是方程的根．
7．（14-15九年级下·山东德州·阶段练习）先化简，再求值：，其中满足．
8．（2024·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中是方程的一个解．
【考点三】数据分析初步
【题型五】求平均数与加权平均数（4题）
1．（22-23八年级上·陕西榆林·阶段练习）为迎接党的二十大胜利召开，某校组织了以“学党史·迎盛会”为主题的系列活动．下面是八年级（1）班在各项活动中取得的成绩（单位：分）：
活动 知识竞赛 演讲比赛 绘画创作
得分 85 80 81
（1）求八年级（1）班三项活动成绩的平均数．
（2）若把知识竞赛、演讲比赛、绘画创作三项成绩分别按照的比例计入综合成绩，通过计算可知八年级（1）班的综合成绩为82分，求m的值．
2．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙两人测试成绩的条形统计图．
（1）分别计算甲、乙两人三项成绩之和，则 会被录用；
（2）若将甲、乙两人的三项测试成绩，分别按照扇形统计图（图2）各项所占之比进行计算，甲成绩为 分，乙成绩为 分，则 会被录用．
3．（24-25八年级上·广东河源·期末）某校对八年级学生10月份“读书量”进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）请补全两幅统计图；
（2）求本次所抽取的学生10月份“读书量”的平均数；
（3）已知该校八年级有500名学生，请你估计该校八年级学生中，10月份“读书量”为5本的学生有多少？
4．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）某校学期综合评价成绩是由平时作业、期中检测、期末考试三项成绩构成的，如果学期综合评价成绩在90分以上则评为“优秀”．如表是小明和小亮两位同学某学科的成绩．
学生 平时作业/分 期中检测/分 期末考试/分
小明 90 76 89
小亮 92 65 95
（1）若将三项成绩的平均分记为学期综合评价成绩，请计算比较两人的学期综合成绩；
（2）若将平时作业、期中检测、期末考试三项成绩按的比例来确定学期综合评价成绩，请你通过计算判断小明、小亮该学科能否被评为“优秀”．
【题型六】求中位数、众数与方差（6题）
1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）某区一中学开展“社会主义核心价值观”演讲比赛活动，八年级（1）班根据初赛成绩选出甲、乙两名选手，该班将从甲、乙两名同学中选拔一人参加学校的比赛，现对他们进行了6次测试，已知甲同学6次测试的平均成绩是8分，甲测试成绩的方差为2，乙的测试成绩（单位：分）统计如下：5，8，9，10，10，6．求乙测试成绩的方差，如果要选出一个成绩较为稳定的同学参加学校的比赛，请你判断谁参加学校的比赛更合适，并说明理由．
2．（24-25八年级上·江西宜春·期末）甲、乙两名同学参加少年科技创新选拔赛，六次比赛的成绩如下：
甲：87 93 88 93 89 90
乙：85 90 90 96 89 a
（1）若甲、乙的平均成绩相同，求a的值；
（2）已知乙的方差是，如果要选派一名发挥稳定的同学参加比赛，应该选谁？说明理由．
【答案】（1）；（2）选甲，理由见分析．
3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）射击训练班中的甲、乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）
甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9
教练根据他们的成绩制作如下尚不完整的统计表：
选手 平均数 众数 中位数 方差
甲 8 8 0.4
乙 9 C 3.2
根据以上信息，解答下面的问题：
（1）_____；_____；_____；
（2）教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛．教练的理由是什么？
（3）若乙选手再射击第六次，命中的成绩是8环．则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会有何变化？（变大，变小或不变）并说明理由．
4．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）2024年12月9日，中央宣传部对单杏花同志授予“时代楷模”称号，她为我国铁路票务系统的完善做出了卓越贡献．春运期间，某公司为了解职工购买火车票返乡的情况，随机抽取了20名职工进行统计，并制作了如图所示的条形统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次抽查的职工中，购买票价为200元的有_______人；这20个样本数据的中位数是______元，众数是______元．
（2）若省内的票价均在200元以下，出省的票价均在200元及以上，根据样本数据，请估计该公司400名职工中需要出省的职工人数．
5．（23-24八年级下·云南红河·期末）某校开展安全教育系列活动，为提升学生急救素养，了解学生对急救知识技能的掌握情况，从该校学生中随机抽取20名学生进行了一次测试，共10道测试题，学生答对1题得1分．根据测试结果绘制出如下统计图．
（1）求抽取的20名学生测试得分的平均数、中位数、众数；
（2）若该校共有学生2400人，急救知识测试得8分及其以上达到“优秀”等级，请你估计该校达到“优秀”等级的学生人数．
6．（23-24八年级下·广西河池·期末）为响应国家推行“低碳生活，绿色出行”的号召．一年来，巴马在争创全国文明卫生县城活动中，加强环境卫生整治，取缔三轮车载客，规范车辆乱停乱放现象，提升县容县貌，倡导共享电车出行．为了解某小区使用共享电车次数的情况，某公司研究小组随机采访了该小区10名居民，得到这10名居民一周内使用共享电车的次数统计如下：
使用次数 0 5 10 16 20
人数 1 1 3 4 1
（1）这10位居民一周内使用共享电车次数的中位数是 次，众数是 次；
（2）若小明同学把数据“20”看成了“30”，那么中位数、方差和平均数中不受影响的是 ；（填“平均数”、“中位数”或“方差”）
（3）该小区有2500名居民，试估计该小区居民一周内使用共享电车的总次数．
【考点四】浙江地区期末考试真题专项训练
【题型七】二次根式的运算与化简求值（10题）
【题型八】一1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）解方程：
（1） （2）
2．（23-24八年级下·浙江·期末）解下列方程：
（1）； （2）．
3．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）用适当的方法解方程：
（1）． （2）．
4．（24-25九年级上·浙江台州·期末）解方程：
（1）； （2）．
5．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）解方程：
（1） （2）
6．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）解方程：
（1） （2）
7．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）解方程：
（1） ； （2）．
8．（23-24八年级下·浙江金华·期末）解方程：
（1）； （2）．
9．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）解方程：
（1）； （2）．
10．（23-24九年级上·浙江台州·期末）解方程：
（1） （2）．
【题型九】数据分析初步（10题）
一、单选题
1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）检测游泳池的水质，要求三次检验的 的平均值不小于，且不大于． 已知第一 次 检测值为，第二次 PH 检测值在至 之间 （包含 和），若该游泳池检测合格，则第三次检测值的范围是 （ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24八年级下·浙江金华·期末）已知一组数据，，，的方差为，则，，，的方差为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知一组数据，，，的平均数是5，则另一组数据，，，的平均数是 ．
4．（23-24八年级下·浙江台州·期末）某校欲招聘一名初中数学教师．对甲、乙、丙三名应聘者进行了专业知识、教育理论、模拟课堂等三方面的测试，他们的各项成绩（单位：分）如下表所示：
专业知识 教育理论 模拟课堂
甲 67 73 86
乙 75 65 86
丙 72 71 75
如果将每位应聘者的专业知识、教育理论、模拟课堂的成绩按的比例确定，并录用平均成绩（百分制）最高的应聘者，则被录用的是 ．
三、解答题
5．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）某校在一次演讲比赛中，甲，乙的各项得分如表．
演讲内容 语言表达 临场表现
甲 90 85 80
乙 84 83 91
（1）如果根据三项得分的平均分从高到低确定名次，那么两位同学的排名顺序怎样？
（2）若学校认为这三个项目的重要程度有所不同，而给予“演讲内容”“语言表达”“临场表现”三个项目在总分中的占比为，那么两位同学的排名顺序又怎样？
6．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）解答下列各题：
（1）用配方法解一元二次方程：．
（2）已知一组数据，，，的平均数是5，求数据，，，的平均数．
7．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）保护水资源从我做起． 学校开展“节水护水”知识竞赛，从全校1800名学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计分析，并将成绩（满分：100分）制成如下不完整的扇形统计图和条形统计图．请根据图中相关信息回答下列问题：
（1）抽样统计的学生竞赛成绩的中位数是__________；众数是__________．
（2）补全不完整的条形统计图．
（3）根据竞赛规则，98分及以上（含98分）的学生有资格进入第二轮复赛环节，请你估计全校1800名学生进入第二轮复赛环节的人数是多少？
8．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）为了调动员工的积极性，商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标，对完成目标的员工进行奖励．家电部对名员工当月的销售额进行统计和分析．
数据收集：下表为名员工当月的销售额（单位：万元）
数据整理：
销售额/万元
频数
数据分析：
平均数 众数 中位数
7.44 7.7
问题解决：
（1）填空：___________，___________；
（2）若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有___________名员工获得奖励；
（3）经理对数据分析以后，最终对一半的员工进行了奖励：员工甲找到经理说：“我这个月的销售额是万元，比平均数万元高，所以我的销售额超过一半员工，为什么我没拿到奖励？”假如你是经理，请你给出合理解释．
9．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）圆圆、方方准备代表学校参加区里的铅球比赛，体育老师对这两名同学测试了10次，获得如下测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量．
（2）求方方成绩的方差．
（3）现求得圆圆成绩的方差是（单位：平方米）．根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由．
10．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）某校体操社团共16名学生，经测量获得了这16名学生的身高（单位：cm），数据整理如下：162，164，165，165，167，168，168，169，170，170，170，171，172，172，174，175．
甲组学生的身高 162 164 165 165 169 171
乙组学生的身高 167 168 170 172 174 175
（1）求这16名学生身高的中位数和众数．
（2）从该体操社团中选六名学生参加比赛，为了使舞台呈现效果更好，往往选一组学生的身高的方差更小．请你通过计算说明应该选下列甲、乙两组中的哪一组参加比赛？
【题型十】二次根式运算与一元二次方程的解法综合（10题）
（23-24八年级下·浙江温州·期中）
（1）计算：； （2）解方程：．
2．（2024·辽宁大连·一模）
（1）计算： （2）解方程：．
3．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）
（1）计算： （2）解方程：
4．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）
（1）计算：． （2）解方程：．
5．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）
（1）计算： （2）解方程：
6．（23-24八年级下·浙江温州·期末）
（1）计算：； （2）解方程：．
7．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）
（1）计算：； （2）解方程：．
8．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）
（1）计算：； （2）解方程：．
9．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）
（1）计算：； （2）解方程：．
10．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）
（1）解方程：； （2）化简计算：．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2025年八年级下册期末数学复习专题
01 运算提升训练
【考点一】二次根式的运算与化简
【题型一】二次根式的运算（10题）
1．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）计算：
（1）； （2）．
【答案】（1） （2）
【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式并注意运算顺序是解题关键．
（1）直接化简二次根式，负整数指数幂，化简绝对值，进而合并即可；
（2）直接化简二次根式，进而合并，再利用二次根式除法运算求出即可；
解：（1）解：
（2）解：
2．（24-25八年级上·广东深圳·期末）计算：
（1） （2）
【答案】（1）;（2）
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：
（1）先将二次根式化简为最简根式，再从左往右依次计算即可；
（2）利用二次根式的加减乘除运算法则进行计算．
解：（1）原式
（2）原式．
3．（24-25八年级上·广东深圳·期末）计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）10
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则进行计算即可．
（1）先根据二次根式性质进行化简，然后按照二次根式加减运算法则进行计算即可；
（2）根据平方差公式和二次根式混合运算法则进行计算即可．
解：（1）解：
；
（2）解：
．
4．（24-25九年级上·河南开封·期末）计算．
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查实数，二次根式的运算，解题的关键是掌握实数的混合运算，二次根式的混合运算，进行解答，即可．
（1）根据，，实数的混合运算，进行计算，即可；
（2）先计算二次根式的乘除，然后根据二次根式的加减，进行计算，即可．
解：（1）解：
．
（2）解：
．
5．（24-25八年级上·陕西西安·期末）计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查根式的运算以及幂的运算，解题的关键是掌握根式化简、平方差公式以及幂运算的规则．
（1）分别对根式和幂进行化简，再进行加减运算；
（2）利用平方差公式计算前一项，再进行乘法运算，最后合并同类项．
解：（1）
；
（2）
．
6．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）计算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】此题考查了二次根式的混合运算．
（1）利用多项式乘以多项式的法则展开再进行加减法即可；
（2）先计算括号内的减法，再计算除法，最后计算加法即可．
解：（1）解：
（2）
7．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）计算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了实数混合运算，二次根式的混合运算，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先计算乘方与开方，并求绝对值，再计算加减即可；
（2）先用完全平方公式与平方差公式计算，再合并同类二次根式即可．
解：（1）解：原式
；
（2）解：
．
8．（24-25八年级上·重庆·期末）计算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
（1）先算乘方和负整数指数幂，再算除法，最后算加减即可；
（2）先算乘除，再算加减即可．
解：（1）解：
；
（2）解：
．
9．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）计算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）．
【分析】本题考查零指数幂、绝对值以及二次根式的运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键。
（1）根据二次根式的混合运算法则进行计算；
（2）根据二次根式的混合运算法则进行计算。
解：（1）原式
（2）原式
10．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）计算
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了二次根式的混合运算；
（1）运用平方差公式及完全平方公式进行运算，再进行加减运算，即可求解；
（2）先进行零次幂、负指数幂、去绝对值运算，同时将二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算，即可求解；
掌握二次根式混合运算的步骤是解题的关键．
解：（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【题型二】二次根式的化简求值（10题）
1．（22-23八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，，求的值．
【答案】9
【分析】本题考查二次根式的化简求值，求出的值，利用完全平方公式变形求值即可．
解：，，
，．
∴．
2．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，先根据分式加、减、乘、除混合运算法则进行计算，然后再代入求值即可．
解：
，
当时，
原式．
3．（23-24八年级下·全国·期末）已知，求 的值
【答案】
【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用乘法公式进行整体代入是解题关键．
首先化简得到，，然后求出，，然后代入求解即可．
解：，
，
∴，，
．
4．（23-24八年级下·云南红河·期末）已知，求下列代数式的值；
（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，分式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
由已知条件可得：，
（1）利用平方差公式对式子进行整理，再代入相应的值运算即可；
（2）利用分式的加减法对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
解：（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
．
5．（23-24八年级下·河南许昌·期末）已知，求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．将代入式子即可得到答案．
解：，
.
6．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）先化简再求值：当时，求的值．
【答案】，
【分析】本题考查二次根式化简求值，解题的关键是掌握．
先用化简，再将时代入计算即可．
解：原式
，
当时，
原式
．
7．（23-24八年级下·山西大同·阶段练习）已知，求的值．
【答案】11
【分析】本题考查代入求值，二次根式的运算，运用完全平方公式和平方差公式计算即可．
解：
．
8．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的：
∵．
∴．
∴，即．
∴，∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：______；
（2）计算：；
（3）若，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据小明的解答总结出规律即可；
（2）结合（1）进行分母有理化，再合并同类项即可得结果；
（3）根据小明的解答，先将分母有理化，再根据整体代入法代入，即可得出答案．
解：（1）解：由题意得，
故答案为：．
（2）解：
．
（3）解：由题意得，
∴．
∴，即．
∴，
∴．
【点拨】本题考查了分母有理化的应用，代数式求值，二次根式的运算，能求出的值和正确变形是解此题的关键．
9．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值，他是这样解答的；
，
，
，，
．
．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
（1）_______；
（2）化简：；
（3）若，求的值．
【答案】（1）；（2）12；（3）4
【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化等知识点，掌握分母有理化以及整体思想成为解题的关键．
（1）直接利用分母有理化计算即可；
（2）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可；
（3）先利用可得得到，两边平方得到，最后利用整体代入的方法计算即可．
解：（1）解：．
故答案为：．
（2）解：
．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
∴．
10．（24-25八年级上·山东青岛·期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题：
已知，求的值．
他们是这样解答的：
，
，
，即，
，
．
请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题：
（1）______；
（2）化简：；
（3）若，求的值．
【答案】（1）；（2）10；（3）6
【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化．
（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算；
（2）先分母有理化，然后合并二次根式即可；
（3）先分母有理化得到，移项后平方得到，再把原式变形为，接着利用整体代入的方法计算得到原式，然后再运用同样方法计算即可．
解：（1）解：；
故答案为：；
（2）解：原式
；
（3）解：，
，
，
，
．
【考点二】一元二次方程
【题型三】一元二次方程的解法（10题）
1．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）解方程：
（1）（配方法）； （2）（公式法）．
【答案】（1），；（2），
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．
（1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先计算出判别式的值，然后根据求根公式求方程的解．
解：（1）解：，
，
，
，
，
，
∴，；
（2）解：，
∵，
∴，
∴，
∴，．
2．（24-25九年级上·辽宁辽阳·期末）解方程：
（1） （2）
【答案】（1），；（2），
【分析】本题考查了解一元二次方程，能熟练运用公式法和因式分解法解答方程是解此题的关键．
（1）先将方程化成一般式，再用公式法求解即可；
（2）先将方程化成一般式，再用因式分解法求解即可．
解：（1）解：，
，
∵，，，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：
或，
∴，．
3．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）解下列一元二次方程：
（1）（用公式法） （2）（用因式分解法）
【答案】（1），；（2），
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用公式法，因式分解法求解一元二次方程是解题的关键．
（1）用公式法求解即可；
（2）先将方程变形为，再用因式分解法求解即可．
解：（1）解：，，，
，
，
，．
（2）解：方程变形为：
即，
或
，．
4．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）用适当的方法解下列方程．
（1） （2）．
【答案】（1），；（2），
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法是解题关键．
（1）利用配方法解一元二次方程即可得；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得．
解：（1）解：
，
（2）解：
，
5．（24-25九年级上·四川眉山·期末）按要求解方程：
（1）（适当的方法） （2）（用公式法）
【答案】（1），；（2），
【分析】此题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．
（1）利用配方法求解一元二次方程即可；
（2）利用公式法求解一元二次方程即可．
解：（1）解：
，；
（2）解：
，，
，
6．（24-25九年级上·四川成都·期末）解方程
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握解方程的方法与步骤是关键：
（1）先计算，再利用公式法解方程即可；
（2）先移项，把方程化为，再利用提公因式法分解因式，进而解方程即可．
解：（1）解：∵，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
7．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期末）用适当的方法解方程：
（1）； （2）．
【答案】（1），；（2），
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
（1）用因式分解法求解即可；
（2）移项后用因式分解法求解即可．
解：（1）解：
即：或
∴，；
（2）解：
即：或
∴，．
8．（24-25九年级上·山东青岛·期末）解方程：
（1）；（配方法） （2）
【答案】（1），；（2），
【分析】本题考查解一元二次方程因式分解法（配方法），解答此类问题的关键是根据方程的特点，选取合适的方法解方程．
（1）根据配方法可以解答此方程；
（2）根据因式分解法可以解答此方程．
解：（1）解： （配方法）
，
，
解得，，；
（2）解：
，
或，
解得，，．
9．（23-24八年级上·北京东城·期末）解方程：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键．
（1）运用公式法解答即可；
（2）运用因式分解法解答即可．
解：（1）解：，
．
．
方程有两个不等的实数根，
即．
（2）解：，
移项，得，
因式分解，得．
于是得，或，
∴
10．（24-25九年级上·江苏南通·期末）解方程：
（1）； （2）．
【答案】（1），；（2），
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）利用因式分解法解答即可；
（2）运用配方法解答即可．
解：（1）解：，
，
，
或，
，；
（2）解：，
，
，
，．
【题型四】一元二次方程与化简求值（8题）
1．（24-25九年级上·重庆黔江·阶段练习）先化简，再求值：，其中x满足
【答案】，或
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；
先根据分式加减法法则计算括号内的，再根据乘除法计算，然后根据分式的加减计算，最后解方程代入求值即可．
解：原式
.
∵，
解得，
∴原式；或原式．
2．（23-24九年级下·浙江金华·开学考试）先化简，再求值：，其中x是方程的根．
【答案】；
【分析】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解法，熟练掌握分式的运算法则以及一元二次方程的解法是解答本题的关键．
根据分式的运算法则进行化简，然后解方程求出的值，最后将的值代入原式即可求出答案．
解：原式
，
又∵可化为，得：，
∴当时，原式．
3．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）先化简再求值：，其中是方程的一个根．
【答案】
【分析】本题主要考查分式的化简求值及一元二次方程的解，熟练掌握分式的运算及一元二次方程的解是解题的关键；因此此题可先对分式进行化简，然后再利用一元二次方程的解进行求解即可
解：原式
，
把代入，
得，
∴，
∴原式．
4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·三模）先化简，再求值：．其中是方程的根．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义．先计算括号内的，再计算除法，然后根据一元二次方程解的定义可得，然后代入，即可求解．
解：

．
∵是方程的根，
∴，
∴原式．
5．（2024·山东滨州·一模）先化简，再求值：，其中是方程．
【答案】，
【分析】本题考查了分式化简求值，因式分解法解一元二次方程，先通分合并括号内，得，再运算除法，化简得，再结合，解出，然后代入，即可作答．
解：（1）
，
∵，
∴解得：（舍去），
∴把代入得：原式．
6．（18-19九年级上·山东德州·期中）先化简，再求值：，其中a是方程的根．
【答案】，5
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程的解．先把除法变形为乘法，再计算，然后根据一元二次方程的解的定义，可得，然后代入化简后的结果，即可求解．
解：
，
∵a是方程的根，
∴，
∴，
∴原式．
7．（14-15九年级下·山东德州·阶段练习）先化简，再求值：，其中满足．
【答案】．
【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程，解题的关键掌握分式的混合运算顺序和运算法则及解一元二次方程的方法．先根据分式混合运算法则将原式进行化简，再解一元二次方程求的值，代入进行计算即可．
解：原式
，
，
，
，
，
，
当时，原式．
8．（2024·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中是方程的一个解．
【答案】，
【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练的化简分式并整体代入进行计算是解本题的关键．先计算括号内的分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，得到化简的结果，再整体代入计算即可．
解：
；
∵，
∴，其中，
∴原式．
【考点三】数据分析初步
【题型五】求平均数与加权平均数（4题）
1．（22-23八年级上·陕西榆林·阶段练习）为迎接党的二十大胜利召开，某校组织了以“学党史·迎盛会”为主题的系列活动．下面是八年级（1）班在各项活动中取得的成绩（单位：分）：
活动 知识竞赛 演讲比赛 绘画创作
得分 85 80 81
（1）求八年级（1）班三项活动成绩的平均数．
（2）若把知识竞赛、演讲比赛、绘画创作三项成绩分别按照的比例计入综合成绩，通过计算可知八年级（1）班的综合成绩为82分，求m的值．
【答案】（1）；（2）3
【分析】（1）按照平均数的求法，将三项成绩相加，然后再除以3即可．
（2）按照加权平均数的求法列出关于m的方程，然后解得m的值．
解：（1）三项成绩的平均数为，
（2）根据题意，得，
解得
【点拨】本题考查了平均数、加权平均数等知识点，解题的关键是正确运用平均数、加权平均数的算法．
2．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期末）某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙两人测试成绩的条形统计图．
（1）分别计算甲、乙两人三项成绩之和，则 会被录用；
（2）若将甲、乙两人的三项测试成绩，分别按照扇形统计图（图2）各项所占之比进行计算，甲成绩为 分，乙成绩为 分，则 会被录用．
【答案】（1）甲；（2）7，8，乙
【分析】此题考查了数据的描述与加权平均数的应用能力，关键是能根据统计图获得实际问题中的信息，并能通过求解加权平均数对问题进行分析．
（1）分别把甲、乙二人的三项成绩相加并比较即可；
（2）分别计算出甲、乙二人的三项成绩的加权平均数并比较即可．
解：（1）解：由题意得，甲三项成绩之和为：（分），
乙三项成绩之和为：（分），
∵，
∴会录用甲．
故答案为：甲；
（2）由题意得，甲三项成绩之加权平均数为：
（分），
乙三项成绩之加权平均数为：
（分），
∵，
∴乙被录用．
故答案为：7，8，乙．
3．（24-25八年级上·广东河源·期末）某校对八年级学生10月份“读书量”进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）请补全两幅统计图；
（2）求本次所抽取的学生10月份“读书量”的平均数；
（3）已知该校八年级有500名学生，请你估计该校八年级学生中，10月份“读书量”为5本的学生有多少？
【答案】（1）见分析；（2）本次所抽取的学生10月份“读书量”的平均数为本；（3）该校八年级500名学生中，10月份“读书量”为5本的学生大约有75人．
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，加权平均数以及样本估计总体，掌握条形统计图、扇形统计图中的数量关系以及加权平均数的计算方法是正确解答的关键．
（1）从两个统计图可知，样本中读书量是1本的学生有4人，占被调查人数的，由频率=频数总数即可求出样本容量，进而求出样本中读书量为3本的学生人数，补全条形统计图，求出样本中读书量为5本的学生占调查人数的百分比即可补全扇形统计图；
（2）根据加权平均数的计算方法进行计算即可；
（3）样本估计总体，用样本中读书量为5本的学生所占的百分比估计总体中读书量为5本的学生所占的百分比，再根据频率=频数总数进行计算即可．
解：（1）解：人，样本中读书量为3本的学生人数为人，
样本中读书量为5本的学生人数占被调查人数的百分比为，
补全的条形统计图、扇形统计图如图所示：
（2）解：本，
答：本次所抽取的学生10月份“读书量”的平均数为本；
（3）解人，
答：该校八年级500名学生中，10月份“读书量”为5本的学生大约有75人．
4．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）某校学期综合评价成绩是由平时作业、期中检测、期末考试三项成绩构成的，如果学期综合评价成绩在90分以上则评为“优秀”．如表是小明和小亮两位同学某学科的成绩．
学生 平时作业/分 期中检测/分 期末考试/分
小明 90 76 89
小亮 92 65 95
（1）若将三项成绩的平均分记为学期综合评价成绩，请计算比较两人的学期综合成绩；
（2）若将平时作业、期中检测、期末考试三项成绩按的比例来确定学期综合评价成绩，请你通过计算判断小明、小亮该学科能否被评为“优秀”．
【答案】（1）小明的学期综合评价成绩为比小亮的学期综合评价成绩好；（2）小明和小亮该学科不能被评为“优秀”
【分析】本题考查算术平均数与加权平均数，掌握平均数和加权平均数的求法是解题的关键．
（1）根据平均数的定义，将三个成绩之和除以3即可求解；
（2）根据加权平均数的定义即可求解．
解：（1）解：（分），
∴小明的学期综合评价成绩为85分；
（分），
∴小亮的学期综合评价成绩为84分；
∴小明的学期综合评价成绩为比小亮的学期综合评价成绩好；
（2）解：由题意，
∴小明在期末考试中的成绩是85.3分，
，
∴小亮在期末考试中的成绩是85.4分，
∵学期综合评价成绩在90分以上则评为“优秀”，
∴小明和小亮该学科不能被评为“优秀”．
【题型六】求中位数、众数与方差（6题）
1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）某区一中学开展“社会主义核心价值观”演讲比赛活动，八年级（1）班根据初赛成绩选出甲、乙两名选手，该班将从甲、乙两名同学中选拔一人参加学校的比赛，现对他们进行了6次测试，已知甲同学6次测试的平均成绩是8分，甲测试成绩的方差为2，乙的测试成绩（单位：分）统计如下：5，8，9，10，10，6．求乙测试成绩的方差，如果要选出一个成绩较为稳定的同学参加学校的比赛，请你判断谁参加学校的比赛更合适，并说明理由．
【答案】甲参加；理由见分析
【分析】本题主要考查平均数，方差的计算，掌握方差的计算方法，运用方差作决策是解题的关键．
根据题意，算出乙的平均分和方差，再与甲的平均分，方差进行比较，即可求解．
解：乙的平均成绩是（分），
乙测试成绩的方差，
∵ ，
∴两人的平均数相同，但甲的方差比乙小，甲比乙更稳定，
∴甲参加学校的比赛更合适．
2．（24-25八年级上·江西宜春·期末）甲、乙两名同学参加少年科技创新选拔赛，六次比赛的成绩如下：
甲：87 93 88 93 89 90
乙：85 90 90 96 89 a
（1）若甲、乙的平均成绩相同，求a的值；
（2）已知乙的方差是，如果要选派一名发挥稳定的同学参加比赛，应该选谁？说明理由．
【答案】（1）；（2）选甲，理由见分析．
【分析】此题考查根据平均数求一组数据中的未知数据，求数据的方差并依据方差做决定，熟练求解方差是解题的关键．
（1）求出甲的成绩总和得到乙的成绩总和，减去其他成绩即可得到a；
（2）求出甲的平均数，计算出方差，根据甲、乙的方差大小即可做出选择．
解：（1）解：∵甲、乙的平均成绩相同，
∴甲、乙的总成绩相同，
∴；
（2）解：选甲，理由如下：
甲的平均数，
甲的方差，
∵，
∴甲发挥稳定，应该选甲．
3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）射击训练班中的甲、乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环）
甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9
教练根据他们的成绩制作如下尚不完整的统计表：
选手 平均数 众数 中位数 方差
甲 8 8 0.4
乙 9 C 3.2
根据以上信息，解答下面的问题：
（1）_____；_____；_____；
（2）教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛．教练的理由是什么？
（3）若乙选手再射击第六次，命中的成绩是8环．则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会有何变化？（变大，变小或不变）并说明理由．
【答案】（1）8，8，9；（2）见分析；（3）变小，理由见分析
【分析】本题主要考查了求方差，中位数，平均数，众数，方差与稳定性之间的关系，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据中位数，平均数，众数的定义求解即可；
（2）二人平均成绩相同，但是甲的方差更小，即成绩更稳定；
（3）根据方差计算公式求出选手乙再射击第6次后，6次成绩的方程即可得到答案．
解：（1）解：由题可得，；
甲的成绩7，8，8，8，9中，8出现的次数最多，故众数；
而乙的成绩5，7，9，9，10中，中位数；
故答案为：8，8，9；
（2）解：教练选择甲参加射击比赛的理由是两人的平均成绩相同，而甲的成绩的方差小，即甲的成绩较稳定，
答：甲的成绩较稳定．
（3）解：由题可得，选手乙这6次射击成绩5，9，7，10，9，8的方差，
，
选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会变小．
4．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）2024年12月9日，中央宣传部对单杏花同志授予“时代楷模”称号，她为我国铁路票务系统的完善做出了卓越贡献．春运期间，某公司为了解职工购买火车票返乡的情况，随机抽取了20名职工进行统计，并制作了如图所示的条形统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次抽查的职工中，购买票价为200元的有_______人；这20个样本数据的中位数是______元，众数是______元．
（2）若省内的票价均在200元以下，出省的票价均在200元及以上，根据样本数据，请估计该公司400名职工中需要出省的职工人数．
【答案】（1），，；（2）估计该公司400名职工中需要出省的职工人数是人
【分析】本题考查了条形统计图，样本估计总体，求中位数和众数；数形结合是解题的关键；
（1）根据统计图求得购买票价为200元的人数，进而根据中位数和众数的定义，即可求解；
（2）根据乘以票价均在200元及以上的占比，即可求解．
解：（1）解：根据统计图可得购买票价为200元的有人；
元的人数最多，故众数是
第个和个数据是，中位数是
故答案为：，，．
（2）解：
答：估计该公司400名职工中需要出省的职工人数是人．
5．（23-24八年级下·云南红河·期末）某校开展安全教育系列活动，为提升学生急救素养，了解学生对急救知识技能的掌握情况，从该校学生中随机抽取20名学生进行了一次测试，共10道测试题，学生答对1题得1分．根据测试结果绘制出如下统计图．
（1）求抽取的20名学生测试得分的平均数、中位数、众数；
（2）若该校共有学生2400人，急救知识测试得8分及其以上达到“优秀”等级，请你估计该校达到“优秀”等级的学生人数．
【答案】（1），，；（2）估计该校达到“优秀”等级的学生人数为人
【分析】本题考查了条形统计图，样本估计总体，平均数，中位数，众数熟练掌握平均数，中位数，众数的求法是解题的关键．
（1）根据平均数，中位数，众数的求法，即可求解；
（2）利用样本中测试得8分及其以上的比例乘以即可．
解：（1）解：由条形图可知，第10和第11个数据都是7分，
∴中位数为；
平均数为：；
这组数据中7分出现的次数最多，则众数为．
（2）解：（人）
答：估计该校达到“优秀”等级的学生人数为人．
6．（23-24八年级下·广西河池·期末）为响应国家推行“低碳生活，绿色出行”的号召．一年来，巴马在争创全国文明卫生县城活动中，加强环境卫生整治，取缔三轮车载客，规范车辆乱停乱放现象，提升县容县貌，倡导共享电车出行．为了解某小区使用共享电车次数的情况，某公司研究小组随机采访了该小区10名居民，得到这10名居民一周内使用共享电车的次数统计如下：
使用次数 0 5 10 16 20
人数 1 1 3 4 1
（1）这10位居民一周内使用共享电车次数的中位数是 次，众数是 次；
（2）若小明同学把数据“20”看成了“30”，那么中位数、方差和平均数中不受影响的是 ；（填“平均数”、“中位数”或“方差”）
（3）该小区有2500名居民，试估计该小区居民一周内使用共享电车的总次数．
【答案】（1）13，16；（2）中位数；（3）估计该小区居民一周内使用共享电车的总次数为29750次．
【分析】本题考查的是平均数、众数、中位数的求法和性质，方差的性质，样本估计总体，牢记各个数的定义是关键．
（1）根据众数、中位数分别求解可得；
（2）由中位数不受极端值影响可得答案；
（3）先求出平均数，用总人数乘以样本中居民的平均使用次数即可得．
解：（1）解：这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是（次），
众数为16次，
故答案为：13，16；
（2）解：把数据“20”看成了“30”，
那么中位数，方差和平均数中不受影响的是中位数和众数，
故答案为：中位数；
（3）解：∵样本的平均数为：，
∴估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数为次．
【考点四】浙江地区期末考试真题专项训练
【题型七】二次根式的运算与化简求值（10题）
【题型八】一1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）解方程：
（1） （2）
【答案】（1）或；（2）或
【分析】本题考查了解一元二次方程，配方法，因式分解法，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）用配方法解方程即可；
（2）因式分解法解方程即可．
解：（1）解：，
∴，
∴，
∴，
解得或．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得：或．
2．（23-24八年级下·浙江·期末）解下列方程：
（1）； （2）．
【答案】（1），；（2），
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的各种解法是解题的关键．
（1）根据一元二次方程的特点，用因式分解法求解即可；
（2）根据一元二次方程的特点，用配方法求解即可．
解：（1）解：，
分解因式，得：，
或，
解得：，；
（2）解：，
移项，得：，
配方，得：，
即，
两边开平方，得：，
，．
3．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）用适当的方法解方程：
（1）． （2）．
【答案】（1），；（2），
【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
解：（1）解：将方程左边因式分解，得，
则或
解得，
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，．
4．（24-25九年级上·浙江台州·期末）解方程：
（1）； （2）．
【答案】（1），；（2），．
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法．
（）将原方程整理为，利用因式分解法求解即可；
（）将原方程整理为一般形式，然后利用公式法求解即可．
解：（1）解：，
，
或，
∴，；
（2）解：，
，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．
5．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）解方程：
（1） （2）
【答案】（1），；（2），
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练地掌握各种解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用因式分解法求出方程的解即可；
（2）根据公式法解方程即可．
解：（1）解：
解得：，；
（2）
解：，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，．
6．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）解方程：
（1） （2）
【答案】（1），；（2），
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）利用配方法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
解：（1）解：，
，
，
，．
（2）解：，
，
，
，．
7．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）解方程：
（1） ； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．
（1）先移项，再用因式分解法求解即可；
（2）用公式法求解即可．
解：（1）解：，
，
，
或，
解得：．
（2）解：，
，
，
∴，
∴．
8．（23-24八年级下·浙江金华·期末）解方程：
（1）； （2）．
【答案】（1），；（2），．
【分析】（）利用因式分解法解答即可求解；
（）利用因式分解法解答即可求解；
本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
解：（1）解：∵，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
∴，．
9．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）解方程：
（1）； （2）．
【答案】（1），；（2），
【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
（1）利用公式法求解即可；
（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
解：（1）解：∵，，，
∴，
则，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
则，
∴或，
解得，．
10．（23-24九年级上·浙江台州·期末）解方程：
（1） （2）．
【答案】（1），；（2），．
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）根据因式分解法求解即可；
（2）用因式分解法解方程即可．
解：（1）解：，
或，
∴，；
（2）解：，
∴或，
∴，．
【题型九】数据分析初步（10题）
一、单选题
1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）检测游泳池的水质，要求三次检验的 的平均值不小于，且不大于． 已知第一 次 检测值为，第二次 PH 检测值在至 之间 （包含 和），若该游泳池检测合格，则第三次检测值的范围是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据算术平均数的定义，不等式组的应用，并结合三次检验的的平均值不小于，且不大于，可得，从而得出答案．
解：根据题意知，
解得：；
故选：A．
2．（23-24八年级下·浙江金华·期末）已知一组数据，，，的方差为，则，，，的方差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了确定一组数据的方差，根据方差的意义：方差反映的是一组数据的波动大小，方差越大，波动越大，反之波动越小，据此即可获得答案，理解方差的意义是解题的关键．
解：∵数据，，，的方差为，
又∵数据，，，与数据，，，的波动大小一样，
∴数据，，，的方差为，
故选：．
二、填空题
3．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知一组数据，，，的平均数是5，则另一组数据，，，的平均数是 ．
【答案】20
【分析】根据算术平均数的定义，先求得，然后再根据公式计算，，，的平均数，将整体代入进去即可求解．
本题考查了算术平均数的计算，熟练掌握算术平均数的计算公式是解题的关键．
解：∵数据，，，的平均数是5，
∴，
∴一组数据，，，的平均数为：
．
故答案为：20．
4．（23-24八年级下·浙江台州·期末）某校欲招聘一名初中数学教师．对甲、乙、丙三名应聘者进行了专业知识、教育理论、模拟课堂等三方面的测试，他们的各项成绩（单位：分）如下表所示：
专业知识 教育理论 模拟课堂
甲 67 73 86
乙 75 65 86
丙 72 71 75
如果将每位应聘者的专业知识、教育理论、模拟课堂的成绩按的比例确定，并录用平均成绩（百分制）最高的应聘者，则被录用的是 ．
【答案】乙
【分析】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的加权平均数．根据表格中的数据和加权平均数的计算方法，可以分别求出甲、乙、丙的成绩，然后比较大小即可．
解：由题意可得，
甲的成绩为：
乙的成绩为：
丙的成绩为：
∵，
∴乙将被录取，
故答案为：乙．
三、解答题
5．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）某校在一次演讲比赛中，甲，乙的各项得分如表．
演讲内容 语言表达 临场表现
甲 90 85 80
乙 84 83 91
（1）如果根据三项得分的平均分从高到低确定名次，那么两位同学的排名顺序怎样？
（2）若学校认为这三个项目的重要程度有所不同，而给予“演讲内容”“语言表达”“临场表现”三个项目在总分中的占比为，那么两位同学的排名顺序又怎样？
【答案】（1）根据三项得分的平均数从高到低确定名次，乙第一，甲第二；（2）两个的排名顺序发生变化，甲第一，乙第二
【分析】本题考查算术平均数、加权平均数的意义及计算方法，体会“权”在求平均数时的作用．
（1）根据算术平均数的计算方法计算甲、乙的平均数，通过比较得出得出结论．
（2）利用加权平均数的计算方法分别计算甲、乙的总评成绩，比较做出判断即可．
解：（1）解：甲的算术平均数：，
乙的算术平均数：．
因此第一名是乙，第二名是甲，
答：根据三项得分的平均数从高到低确定名次，乙第一，甲第二．
（2）解：甲班的总评成绩：，
乙班的总评成绩：，
，
∴甲高于乙，
答：两个的排名顺序发生变化，甲第一，乙第二．
6．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）解答下列各题：
（1）用配方法解一元二次方程：．
（2）已知一组数据，，，的平均数是5，求数据，，，的平均数．
【答案】（1），；（2），，，的平均数是20
【分析】（1）先将常数移项到右边，再根据配方法求解即可；
（2）先根据平均数的定义求得，从而即可得解．
解：（1）解：，
，
，
，
∴，
∴，．
（2）解：∵数据，，，的平均数是5，
∴，
∴数据，，，的平均数为
．
【点拨】本题主要考查了配方法解一元二次方程及求算术平均数，熟练掌握算术平均数公式和配方法是解题的关键．
7．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）保护水资源从我做起． 学校开展“节水护水”知识竞赛，从全校1800名学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计分析，并将成绩（满分：100分）制成如下不完整的扇形统计图和条形统计图．请根据图中相关信息回答下列问题：
（1）抽样统计的学生竞赛成绩的中位数是__________；众数是__________．
（2）补全不完整的条形统计图．
（3）根据竞赛规则，98分及以上（含98分）的学生有资格进入第二轮复赛环节，请你估计全校1800名学生进入第二轮复赛环节的人数是多少？
【答案】（1）96，98；（2）见分析；（3）810人
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
（1）由92分人数及其所占的百分比可得被调查的总人数，依据中位数和众数的定义求解即可；
（2）用总人数乘以94分所占的百分比即可求出94分人数，补全不完整的条形统计图；
（3）总人数乘以样本中98分及以上人数所占比例即可．
解：（1）解：该校抽取的学生一共有（人），
在这次抽取的学生中，成绩的中位数是（分）；
98出现的次数最多，
∴众数是98，
故答案为：96，98；
（2）解：其中得94分的学生有（人）；
补全不完整的条形统计图：
（3）解：（人）
所以估计全校1800名学生进入第二轮复赛环节的人数是810人．
8．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）为了调动员工的积极性，商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标，对完成目标的员工进行奖励．家电部对名员工当月的销售额进行统计和分析．
数据收集：下表为名员工当月的销售额（单位：万元）
数据整理：
销售额/万元
频数
数据分析：
平均数 众数 中位数
7.44 7.7
问题解决：
（1）填空：___________，___________；
（2）若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有___________名员工获得奖励；
（3）经理对数据分析以后，最终对一半的员工进行了奖励：员工甲找到经理说：“我这个月的销售额是万元，比平均数万元高，所以我的销售额超过一半员工，为什么我没拿到奖励？”假如你是经理，请你给出合理解释．
【答案】（1），；（2）；（3）员工甲不能拿到奖励
【分析】（1）根据所给数据及众数的定义求解；
（2）根据频数分布表求解；
（3）利用中位数进行决策．
解：（1）解：，
∵个数据中，出现了次，是出现次数最多的，
∴众数，
故答案为：，；
（2）解：月销售额不低于万元的有：（人），
故答案为：；
（3）解：名员工的销售额的中位数为万元，
名员工的销售额有一半的人，即人超过万元，
公司对一半的员工进行了奖励，说明销售额在万元及以上的人才能获得，而员工甲的销售额是万元，低于万元，
员工甲不能拿到奖励
【点拨】本题考查频数分布表，中位数，利用中位数做决策等，解题的关键是掌握中位数的求法及意义．
9．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）圆圆、方方准备代表学校参加区里的铅球比赛，体育老师对这两名同学测试了10次，获得如下测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量．
（2）求方方成绩的方差．
（3）现求得圆圆成绩的方差是（单位：平方米）．根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由．
【答案】（1）应选择平均数，圆圆、方方的平均数分别是8米，8米；（2）；（3）圆圆同学的成绩较好．
【分析】本题考查平均数、方差，折线统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，会计算一组数据的平均数和方差．
（1）要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，根据平均数的定义计算出两人的平均数即可；
（2）根据方差的计算方法计算即可；
（3）由（1）可知两人的平均数相同，由方差可知小聪的成绩波动较小，所以方差较小，成绩相对稳定．
解：（1）解：要评价每位同学成绩的平均水平，选择平均数即可，
圆圆成绩的平均数：（米），
方方成绩的平均数：（米），
答：应选择平均数，圆圆、方方的平均数分别是8米，8米；
（2）解：方方成绩的方差为：（平方米）；
（3）解：，
∴圆圆同学的成绩较好，
理由：由（1）可知两人的平均数相同，因为圆圆成绩的方差小于方方成绩的方差，成绩相对稳定．故圆圆同学的成绩较好．
10．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）某校体操社团共16名学生，经测量获得了这16名学生的身高（单位：cm），数据整理如下：162，164，165，165，167，168，168，169，170，170，170，171，172，172，174，175．
甲组学生的身高 162 164 165 165 169 171
乙组学生的身高 167 168 170 172 174 175
（1）求这16名学生身高的中位数和众数．
（2）从该体操社团中选六名学生参加比赛，为了使舞台呈现效果更好，往往选一组学生的身高的方差更小．请你通过计算说明应该选下列甲、乙两组中的哪一组参加比赛？
【答案】（1），170；（2）选乙组参加比赛
【分析】本题考查了中位数、众数、方差，熟记方差的计算公式和方差的意义是解此题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）分别计算出两组同学的身高的方差，进行比较即可得出答案．
解：（1）解：∵从小到大排列后中间的两个数为：169，170，
∴中位数为：，
∵在这组数据中出现次数最多的是170，
∴众数为170．
（2）解：甲组的平均数为，
方差为；
乙组的平均数为，
方差为；
∵，
∴选乙组参加比赛．
【题型十】二次根式运算与一元二次方程的解法综合（10题）
（23-24八年级下·浙江温州·期中）
（1）计算：； （2）解方程：．
【答案】（1）；（2），
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程；
（1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
解：（1）计算：
（2）解方程：．
或
，
2．（2024·辽宁大连·一模）
（1）计算： （2）解方程：．
【答案】（1）；（2），
【分析】本题考查了二次根式运算，解一元二次方程知识点．熟练掌握二次根式运算法则和开方知识解方程是解题的关键．
（1）根据二次根式的运算法则进行运算；
（2）通过移项，合并同类项，运用开方知识解方程．
解：
（１）原式
（2）
移项：
合并同类项：
配方：
开平方：或
解得：，
3．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）
（1）计算： （2）解方程：
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查的是解一元二次方程、二次根式的加减法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤、二次根式的加减法法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质把二次根式化简，合并同类二次根式即可；
（2）利用因式分解法解出一元二次方程．
解：（1）
（2）
解：
解得：
4．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）
（1）计算：． （2）解方程：．
【答案】（1）4；（2）
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算和解一元二次方程-因式分解法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
（1）先算零指数幂，二次根式的化简，二次根式的乘法，再算加减即可．
（2）方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
解：（1）
；
（2）
方程移项得：
分解因式得：，
解得：．
5．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）
（1）计算： （2）解方程：
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了实数的混合运算与解一元二次方程；
（1）先化简二次根式，根据零指数幂进行计算即可求解；
（2）先化为一般形式，然后根据配方法解即可求解．
解：（1）
；
（2），
整理得，
∴，
∴，
∴，
解得：．
6．（23-24八年级下·浙江温州·期末）
（1）计算：； （2）解方程：．
【答案】（1）；（2）或
【分析】本题考查二次根式的混合运算和解一元二次方程，
（1）先运算二次根式的乘法并化为最简二次根式，然后合并解题即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
解：（1）
（2）
或
7．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）
（1）计算：； （2）解方程：．
【答案】（1）；（2），
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简，因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用二次根式的性质进行化简，计算二次根式的乘法，最后合并同类二次根式即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
解：（1）解：；
（2）解：，
，
，
∴或，
解得，，．
8．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）
（1）计算：； （2）解方程：．
【答案】（1）；（2），．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、解一元二次方程，熟练掌握运算方法是解此题的关键．
（1）先计算二次根式的乘法，再将二次根式化简，最后计算减法即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可．
解：（1）
．
（2），
，
，
，
∴原方程的根是，．
9．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）
（1）计算：； （2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了二次和根式的混合运算，解一元二次方程；
（1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
解：（1）
；
（2）
∴
∴
解得：
10．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）
（1）解方程：； （2）化简计算：．
【答案】（1），；（2）
【分析】本题考查了解一元二次方程、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则、正确运算是解题的关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程，提取公因式，变形为，则或，求解即可；
（2）先化简二次根式、计算二次根式的乘法，再计算乘法，最后计算二次根式的加减即可．
解：（1）
提取公因式得：，即，
∴或，
解得：，；
（2）
．

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