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第七单元用方程解决问题（知识梳理+拔高训练）二
知识梳理
知识点01：解形如“ax±x=b”类型的方程
根据乘法分配律和等式的性质来解，具体步骤如下：
ax±x=b
解：(a±1)x=b
x=b÷(a±1)
知识点02：解如“ax±x=b”类型的方程
根据乘法分配律和等式的性质来解，具体步骤如下：
ax±bx=c
解:(a±b)x=c
x=c÷(a±b)
知识点03：解决相遇问题
可以根据“速度和×相遇时间=路程和”这个等量关系来列方程。
速度和×相遇时间=路程和；路程和÷相遇时间=速度和；路程和÷速度和=相遇时间。
知识点04：方程法解题
就是把题中的末知量用x表示，使未知量x与已知量处于同等地位，直接参加运算。根据题意先找出等量关系，列出含有末知数的等式，再求得未知量的值的一种解题方法。
拔高训练
一、填空题（共20分）
1．（2分）社团订购了5套同样的演出服共花了1500元，其中一件上装的价格比一条裤子的2倍少30元，一件上装( )元，一条裤子( )元。
2．（2分）为响应西安市“节能减排，绿色环保”的号召，某公交公司购进了一批新能源公共汽车投入运营。原来公共汽车的数量是购进的新能源公共汽车的4倍，且原来公共汽车的数量比购进的新能源公共汽车多84辆。解：设购进的新能源公共汽车是x辆。可列方程为( )。
3．（2分）一件衣服打八折后的价钱是64元，这件衣服的原价是多少元？若假设原价是x元，则可列出的方程为( )，原价为( )元。
4．（2分）甲、乙两管同时打开，10分钟就能注满水池。现在先打开甲管，9分钟后再打开乙管，再过4分钟就注满了水池。已知甲管比乙管每分钟多注入立方米的水，那么这个水池的容积是( )立方米。
5．（2分）李叔叔和王叔叔从相距1050米的两地同时出发，相向而行，经过7分相遇。李叔叔每分钟走70米，王叔叔的速度是每分( )米。
6．（2分）淘气和笑笑从相距1500米的两地同时出发，相向而行。淘气始终以不变的速度行走，笑笑先以80米/分的速度走了5分钟后，接着又以100米/分的速度继续行走，直至两人相遇。如果从出发到两人第一次相遇经过了8分钟，那么淘气的速度为( )米/分。
7．（2分）两地相距240千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时分别从两地相对开出，经过4小时两车相遇。已知汽车的速度是拖拉机的3倍。则拖拉机的速度是( )千米/时。
8．（2分）A、B两地相距330千米，客车从A地开出，每小时行驶72千米，货车从B地开出，每小时行驶60千米。两车同时开出相向而行，( )时后相遇。
9．（2分）王娟和李丽合作录入一份2870字的稿件，王娟每分录入85个字，李丽每分录入95个字。王娟先开始录入，录入2分，然后李丽再一起录入。她们再录入几分才能录完？题中的等量关系是：( )。解：设她们再录入x分才能录完，可列方程是( )。
10．（2分）妈妈让鹏鹏去超市买一些水果，回家后妈妈问鹏鹏买了几个水果，鹏鹏说，自己买的水果除了6个不是火龙果剩下全是火龙果，除了7个不是桔子剩下全是桔子，除了8个不是梨子剩下全是梨子，除了9个不是桃子剩下全是桃子，那么鹏鹏到底买了( )个桔子。
二、判断题（共10分）
11．（2分）甲、乙两个修路队合修一条路，甲队每天修18米，乙队每天修15米，两队合修24天修完，这条路全长多少米？
列式是：18－15=3（米）
3×24=72（米） ( )
12．（2分）同学们参加“喜迎十四运”绘画展览，五年级一共去了264人，五年级去的人数比四年级的1.4倍少16人，设四年级去了x人，则可列方程为。( )
13．（2分）五年级绘画兴趣小组的女生比男生多12人，且正好是男生的3倍，则五年级绘画兴趣小组有6个男生。( )
14．（2分）6＋4x等于10x。( )
15．（2分）养鸡场养母鸡400只，比公鸡的2倍少40只，公鸡x只。列式为：2x-40=400。( )
三、选择题（共10分）
16．（2分）王顺和李小军同时从两地沿一条公路面对面走来。王顺的速度是73米分，李小军的速度是88米分，经过4分钟两人相遇。相遇时李小军比王顺多走了（ ）米。
A．60 B．279 C．644
17．（2分）下面不能用方程“”来表示的是（ ）。
A．甲数是x，甲、乙两数的和是80，甲、乙两数的比是
B．
C．
18．（2分）西安距离榆林大约有562千米，一辆客车和一辆货车同时分别从这两地相对开出，经过5小时相遇。已知客车每小时行驶65千米，设货车每小时行驶x千米，下面所列方程不正确的是（ ）。
A． B． C．
19．（2分）爸爸今年29岁，小红今年3岁，再过30年，爸爸比小红大（ ）岁。
A．59 B．33 C．26
20．（2分）佳佳和青青分别从相距822米的两地同时出发，相向而行，佳佳每分走72米，青青每分走65米。他们分后相遇，下面所列方程中错误的是（ ）。
A． B． C．
四、计算题（共12分）
21．（6分）根据图意，列出方程并解答。
22．（6分）看图列方程并解答。
五、解答题（共48分）
23．（6分）快慢两辆汽车同时从甲、乙两地相向开出，已知快车每小时行驶80千米，经过5小时两车在距离中点20千米处相遇，慢车每小时行多少千米？
24．（6分）宁宁和静静共同录入183条学生信息。宁宁从前往后录，每分钟录3条，静静从后往前录，两人同时开始，36.6分钟后录完。静静每分钟录几条信息？（用方程解）
25．（6分）北京和呼和浩特相距660千米，一辆慢车从呼和浩特开出，每时行驶52千米。一辆快车从北京开出，每时行驶80千米。两车同时开出，相向而行。两车出发后几时相遇？（用方程解）
26．（6分）青藏铁路是世界上海拔最高、线路最长的高原铁路，东起青海西宁，南至西藏拉萨，全长1956千米。两列火车分别从拉萨和西宁同时出发，已知快车的速度为85千米/时，慢车的速度为78千米/时。两列火车行驶多少时相遇？（先写出等量关系，再列方程解答。）
27．（6分）“天宫课堂”第一课正式开讲，神舟十三号飞行乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在空间站中演示了微重力环境下细胞学实验、物体运动、液体表面张力等神奇现象，并讲解了实验背后的科学原理。某校组织同学们观看了全程直播后，在校内举办了课堂上讲解的相关太空科学知识竞赛，答对1道题得5分，答错1道题扣2分，未作答1道题扣1分，兰兰一共得了78分，答错的题数是答对的，还有4道题未作答，兰兰答对多少道题？答错多少道题？
28．（6分）张叔叔在乡下办了一个养鸡场，共有4800只鸡，其中母鸡只数比公鸡的2倍还多300只，张叔叔养的母鸡和公鸡各有多少只？（列方程解答）
29．（6分）学校电脑房要配置6个新鼠标和6个新键盘，一共用去682.8元。每个鼠标45元，每个键盘多少元？ （列出两种不同的方程解答）
30．（6分）六一儿童节这天，中一班的王老师买来了一袋糖果准备分给小朋友们。如果每名小朋友分4个，那么还剩10个；如果每名小朋友分5个，那么就差5个。有多少名小朋友？
参考答案
1．190 110
【分析】根据题意，这道题的等量关系是：一件上装的价钱＋一条裤子的价钱＝一套演出服的总价，根据这个等量关系，列方程解答。
【解答】解：设一条裤子x元。
2x－30＋x＝1500÷5
3x－30＝300
3x－30＋30＝300＋30
3x＝330
x＝110
1500÷5－110
＝300－110
＝190（元）
【点评】本题考查列方程解应用题，解题关键是找出题目中的等量关系：一件上装的价钱＋一条裤子的价钱＝一套演出服的总价，列方程解答。
2．4x－x＝84
【分析】根据题意，设购进的新能源公共汽车是x辆，原来公共汽车的数量是购进的新能源公共汽车的4倍，则原来公共汽车的数量是4x辆，原来公共汽车的数量比购进的新能源公共汽车多84辆，即原来公共汽车的数量－购进的新能源公共汽车数量＝84辆，列方程：4x－x＝84，据此解答。
【解答】根据分析可知，为响应西安市“节能减排，绿色环保”的号召，某公交公司购进了一批新能源公共汽车投入运营。原来公共汽车的数量是购进的新能源公共汽车的4倍，且原来公共汽车的数量比购进的新能源公共汽车多84辆。解：设购进的新能源公共汽车是x辆。可列方程为4x－x＝84。
【点评】根据原来公共汽车的数量与购进新能源公共汽车数量之间的关系，设出未知数，找出相关的量，列方程即可。
3． 80
【分析】打八折就是按原价的 ，设原价是x元，则八折后是x，据此列方程解答即可。
【解答】一件衣服打八折后的价钱是64元，这件衣服的原价是多少元？若假设原价是x元，则可列出的方程为，方程两边同时除以，得原价为80元。
【点评】此题考查了列方程解决实际问题，明确打几折就是原价的十分之几。
4．8.4
【分析】前后两种方式的注水都是将水池注满，那么甲乙10分钟的注水体积＝9分钟的甲注水体积＋4分钟甲乙的注水体积。设乙管每分钟注水为x立方米，甲管每分钟的注水为（x＋0.28）立方米。甲乙10分钟的注水体积是10×（x＋x＋0.28），9分钟的甲注水体积和4分钟甲乙的注水体积是9（x＋0.28）＋4×（x＋x＋0.28）。
【解答】设乙管每分钟注水为x立方米，甲管每分钟的注水为（x＋0.28）立方米。
10×（x＋x＋0.28）＝9（x＋0.28）＋4×（x＋x＋0.28）
10×（2x＋0.28）＝9x＋9×0.28＋4×（2x＋0.28）
10×2x＋10×0.28＝9x＋2.52＋4×2x＋4×0.28
20x＋2.8＝9x＋8x＋2.52＋1.12
20x＋2.8＝17x＋3.64
20x－17x ＝3.64－2.8
3x＝0.84
x＝0.84÷3
x＝0.28
则甲管每分钟的注水：0.28＋0.28＝0.56（立方米）
池水的体积：10×（0.28＋0.56）
＝10×0.84
＝8.4（立方米）
则这个水池的容积是8.4立方米。
【点评】明确水池的容积不变，是解题的关键。
5．80
【分析】（总路程－李叔叔7分钟行驶的路程）÷7＝王叔叔每分钟行驶的路程，即王叔叔的速度。
【解答】（1050－70×7）÷7
＝（1050－490）÷7
＝560÷7
＝80（米/分）
【点评】本题是行程中的相遇问题，速度和×相遇时间＝总路程，掌握此数量关系是解决此类问题的关键。
6．100
【分析】由题可知：淘气走的路程＋笑笑的路程＝两地的路程，设淘气的速度为x米/分，根据等量关系列方程解答即可。
【解答】解：设淘气的速度为x米/分。
8x＋80×5＋100×（8－5）＝1500
8x＋400＋300＝1500
8x＝800
x＝100
【点评】本题主要考查列方程解决行程问题，解题的关键是灵活运用相遇公式。
7．15
【分析】先用总路程除以相遇时间，求出两车的速度和，汽车的速度是拖拉机速度的3倍，那么两车的速度和就是拖拉机速度的3＋1＝4倍，用速度和除以4即可求出拖拉机的速度。
【解答】240÷4÷（3＋1）
＝60÷4
＝15（千米/时）
【点评】解决本题先根据速度和＝路程÷相遇时间，求出两车的速度和，再根据和倍公式：两数和÷倍数和＝较小数，求出拖拉机的速度。
8．2.5
【分析】已知A、B两地相距330千米．一辆客车每小时行驶72千米，一辆货车每小时行60千米，根据相遇问题中：相遇时间＝路程÷速度和，进行解答即可。
【解答】330÷（72＋60）
＝330÷132
＝2.5（小时）
【点评】本题主要考查了学生对相遇时间＝路程÷速度和这一数量关系的掌握。
9． 王娟每分钟录入的字数×2＋王娟和李丽一起录入的时间×（王娟每分钟录入的字数＋李丽每分钟录入的字数）＝总字数 85×2＋（85＋95）x＝2870
【分析】由于王娟先录入2分钟，2分钟之后李丽一起录入，可以用王娟每分钟录入的字数×2＋王娟和李丽一起录入的时间×（王娟每分钟录入的字数＋李丽每分钟录入的字数）＝总字数，由于再录入x分钟录完，据此即可列方程。
【解答】由分析可知：
等量关系是：王娟每分钟录入的字数×2＋王娟和李丽一起录入的时间×（王娟每分钟录入的字数＋李丽每分钟录入的字数）＝总字数。
列方程为：85×2＋（85＋95）x＝2870
【点评】本题主要考查列简易方程，关键是找准等量关系。
10．3
【分析】总共有火龙果、桔子、梨子、桃子这几种水果，设火龙果、桔子、梨子、桃子的数量分别是a、b、c、d个，根据题目的条件列方程求解。
【解答】解：设火龙果、桔子、梨子、桃子的数量分别是a、b、c、d个；
四个式子相加，得到， ；
（个）
所以鹏鹏到底买了3个桔子。
【点评】在列方程组求解应用题的时候，也要合理地设未知数，并准确找出题目中的等量关系。
11．错误
【解答】（18+15）×24
=33×24
=792（米）
故答案为错误.
12．√
【分析】根据题目可知，五年级去的人数比四年级的1.4倍少16人，则五年级去的人数＝四年级去的人数×1.4－16；把x和五年级的人数代入等式，即可列式。
【解答】根据分析可知，1.4x－16＝264
故答案为：√。
【点评】本题主要考查列方程，准确找到等量的关系。
13．√
【分析】由题，设五年级绘画兴趣小组有男生x个，则女生的人数为3x个，根据女生的人数－男生的人数＝12，据此列方程解答；进而判断对错。
【解答】解：设五年级绘画兴趣小组有男生x个，则女生的人数为3x个。
3x－x＝12
2x＝12
x＝6
故答案为：√
【点评】本题主要考查列方程解决实际问题，解题的关键是找出题中的数量关系。
14．×
【分析】根据乘法分配律可知：6x＋4x＝10x；但本题中6是整数，4x是4个x相加，6＋4x就是算式的得数；由此判断即可。
【解答】6＋4x是数和字母相加，它本身就是这个算式的得数，6x＋4x的得数才是10x，所以本题解答错误。
故答案为：×
【点评】灵活掌握乘法分配律，是解答此题的关键。
15．√
16．A
【分析】根据“速度差×相遇时间＝路程差”代入数据解答即可。
【解答】
（米
故答案为：A
【点评】解答本题也可以根据“速度×时间＝路程”分别求出王顺和李小军行走的路程，然后再作差即可。
17．A
【分析】A．根据题意，可知甲数是x，则乙数为，再根据甲、乙两数的和是80列出方程即可；
B．根据线段图，可知每一小段表示，则x＋＝80；
C．根据题图，可知梯形和三角形等高，用2x÷15＝即可求出它们的高，再根据两个三角形的面积和等于80cm2列方程即可。
【解答】A．根据题意可列方程为＋x＝80；
B．根据线段图可列方程为＋x＝80；
C．5×÷2＋x＝80，可化简为＋x＝80。
故答案为：A
【点评】本题综合性较强，读懂题意和题图是解答本题的关键。
18．C
【分析】根据题意，两车的速度和×相遇时间＝总路程，客车行驶的路程＋货车行驶的路程＝总路程。据此逐项分析方程是否符合题意。
【解答】A．，符合等量关系式“客车行驶的路程＋货车行驶的路程＝总路程”，方程正确；
B．符合等量关系式“速度和＝总路程÷相遇时间”，方程正确；
C．不符合题中的等量关系，方程错误；
所以设货车每小时行驶x千米，方程中不正确的是。
故答案为：C
【点评】本题考查相遇问题。掌握相遇问题中的等量关系是解题的关键。
19．C
【分析】不管过去多少年，两人的年龄差不变，据此用爸爸今年的年龄减去小红今年的年龄，即可求出他们的年龄差。
【解答】29－3＝26（岁）
爸爸今年29岁，小红今年3岁，再过30年，爸爸比小红大26岁。
故答案为：C
【点评】本题需明确不管过去多少年，两人的年龄差不变。
20．A
【分析】速度×时间＝路程，根据佳佳速度×相遇时间＋青青速度×相遇时间＝总路程，佳佳和青青速度和×相遇时间＝总路程，即可列出方程，据此分析。
【解答】A．，佳佳速度×相遇时间－青青速度×相遇时间＝两人路程差，方程错误；
B．，用到的等量关系：佳佳速度×相遇时间＋青青速度×相遇时间＝总路程，方程正确；
C．，用到的等量关系：佳佳和青青速度和×相遇时间＝总路程，方程正确。
方程中错误的是。
故答案为：A
21．4时
【分析】甲、乙两车x时后相遇，甲车速度是40千米/时，x时行驶40x千米；乙车速度是45千米/时，x时行驶45x千米，甲行驶的距离＋乙行驶的距离＝甲、乙两地的距离，列方程：40x＋45x＝340，解方程，即可解答。
【解答】40x＋45x＝340
解：85x＝340
x＝340÷85
x＝4
22．见详解
【分析】由图知：男生有x人，女生人数是男生的3倍，则女生有3x人，男生女生共48人，据此列出方程，解此方程可得男生女生各自的人数。
【解答】
解：
女生有：（人）
男生有12人，女生有36人。
23．72千米
【分析】经过5小时在距离中点20千米处相遇，说明两车相遇时的路程差是2个20千米，根据路程差÷相遇时间＝速度差，求出快车和慢车的速度差，然后用快车的速度减去速度差，就可以求出慢车平均每小时行多少千米。
【解答】80－20×2÷5
＝80－8
＝72（千米）
答：慢车平均每小时行72千米。
【点评】解答本题关键是灵活利用路程差、速度差和相遇时间三个量之间的关系解决问题，也可借助等量关系式列方程解答。
24．2条
【分析】根据题意，设静静每分钟录x条信息，根据工作效率和×工作时间＝工作总量，静静和宁宁每分钟工作效率和为（3＋x）条，再用她们的工作效率和乘她们完成录入的时间36.6分钟，等于需要共同录入的学生信息数，据此可列出方程为：（3＋x）×36.6＝183，解方程即可。
【解答】解：设静静每分钟录x条信息。
（3＋x）×36.6＝183
（3＋x）×36.6÷36.6＝183÷36.6
3＋x＝5
3＋x－3＝5－3
x＝2
答：静静每分钟录入2条信息。
【点评】解答此题的关键是根据题干找到本题的等量关系，再根据等量关系列出方程求解即可。
25．5时
【分析】
已知慢车和快车的速度以及两地的距离，根据相遇问题的公式可得出等量关系：速度和×相遇时间＝相遇路程，据此列出方程，并求解。
【解答】
解：设两车出发后时相遇。
（52＋80）＝660
132＝660
132÷132＝660÷132
＝5
答：两车出发后5时相遇。
26．12时
【分析】
根据题意，先设两列火车行驶x时相遇，结合相遇公式：速度和×相遇时间＝路程可知，用快车的速度加上慢车的速度之和，再乘上x就等于全长。据此列式为：（85＋78）x＝1956，求出x即可。
【解答】
根据题意可知，等量关系式为：（快车速度＋慢车速度）×相遇时间＝全长。
解：设两列火车行驶x时相遇。
（85＋78）x＝1956
163x＝1956
163x÷163＝1956÷163
x＝12
答：两列火车行驶12时相遇。
27．答对：18道；答错：4道
【分析】因为答错的题数是答对的，设答错2x道题目，答对9x道题目。那么答对题数×5－答错题数×2－未作答题数×1＝总得分，即9x×5－2x×2－1×4＝78，解方程得出x值，进而解答。
【解答】解：设答错2x道题目，答对9x道题目。
9x×5－2x×2－1×4＝78
45x－4x－4＝78
41x＝82
x＝2
答对题数：2×9＝18（道）
答错题数：2×2＝4（道）
答：兰兰答对18道题，答错4道题。
【点评】解答本题的关键是设未知数，列方程解答。
28．公鸡：1500只；母鸡：3300只
【分析】设张叔叔养的公鸡有x只，母鸡只数比公鸡的2倍还多300只，即母鸡的只数是（2x＋300）只；母鸡只数＋公鸡只数＝4800只，列方程：x＋（2x＋300）＝4800，解方程，即可解答。
【解答】解：设张叔叔养的公鸡有x只，则母鸡有（2x＋300）只。
x＋（2x＋300）＝4800
x＋2x＋300＝4800
3x＝4800－300
3x＝4500
x＝4500÷3
x＝1500
母鸡：1500×2＋300
＝3000＋300
＝3300（只）
答：公鸡有1500只，母鸡有3300只。
【点评】本题考查方程的实际应用，根据公鸡只数、母鸡只数和总只数之间的关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。
29．68.8元
【分析】（1）根据“单价×数量＝总价”，可列等量关系式：鼠标的数量×鼠标的单价＋键盘的数量×键盘的单价＝总价，设每个键盘x元，据此列方程解答。
（2）根据“单价和×数量＝总价”，可列等量关系式：（键盘的单价＋鼠标的单价）×数量＝总价，设每个键盘x元，据此列方程解答。
【解答】（1）解：设每个键盘x元
45×6＋6x＝682.8
270＋6x＝682.8
270＋6x－270＝682.8－270
6x＝412.8
6x÷6＝412.8÷6
x＝68.8
答：每个键盘68.8元。
（2）解：设每个键盘x元
（45＋x）×6＝682.8
（45＋x）×6＝682.8
（45＋x）×6÷6＝682.8÷6
45＋x＝113.8
45＋x－45＝113.8－45
x＝68.8
答：每个键盘68.8元。
【点评】此题主要考查了列方程解应用题，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键。
30．15名
【分析】设有x名小朋友。如果每名小朋友分4个，还剩10个，则x名小朋友一共分了4x个，加上剩下的10个，可得这袋糖果一共有（4x＋10）个；如果每名小朋友分5个，一共分了5x个，再减去差的5个，可知这袋糖果一共有（5x－5）个。糖果的总个数不变，据此列出方程：4x＋10＝5x－5，根据等式的性质解出方程即可。
【解答】解：设有x名小朋友。
4x＋10＝5x－5
10＝5x－5－4x
10＝x－5
10＋5＝x
x＝15
答：有15名小朋友。
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