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2.1 课时1 相交线
【基础堂清】
知识点1　相交线和平行线的概念及表示方法
1.下列说法正确的是 (　　)
A.若两条直线不平行,则它们必相交
B.在同一平面内,不相交的两条射线必平行
C.在同一平面内,若两条线段平行,则它们不相交
D.在同一平面内,若两条线段不相交,则它们平行
知识点2　对顶角的概念及其性质
2.下列各图中,∠1,∠2是对顶角的为 (　　)
　　
A　　　　B　　　　C　　　　D　　　
3.如图,直线AB,CD相交于点O,若∠AOC的度数增大40°,则∠BOD的度数 (　　)
A.减小40° B.不变
C.增大40° D.增大140°
4.如图,直线AB和CD相交于点O,∠AOD与∠BOC的和为198°,则∠AOD的度数为　　　　.
知识点3　补角、余角的概念及性质
5.一个角的补角的度数为138°,则这个角的余角的度数为 (　　)
A.38° B.42° C.48° D.132°
【能力日清】
6.已知一个角的余角的补角是这个角的补角的,则这个角的余角的度数是 (　　)
A.90° B.60° C.30° D.10°
7.如图,直线AB,CD相交于点O.
(1)若∠AOD比∠AOC大40°,求∠BOD的度数.
(2)若∠AOD∶∠AOC=3∶2,求∠BOD的度数.
【素养提升】
8.　如图,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC.
(1)∠AOC的对顶角为　　　　,∠AOC的邻补角为　　　　.
(2)若∠EOC=70°,求∠BOD的度数.
(3)若∠EOC∶∠EOD=3∶5,求∠BOD的度数.
参考答案
1.C　2.C　3.C　4.99°　5.C　6.B
7.解:(1)设∠AOC=x,则∠AOD=x+40°,所以x+(x+40°)=180°,所以x=70°,所以∠BOD=x=70°.
(2)设∠AOD=3x,∠AOC=2x,所以3x+2x=180°,x=36°,所以∠AOC=72°,所以∠BOD=∠AOC=72°.
8.解:(1)∠BOD;∠BOC或∠AOD.
(2)因为OA平分∠EOC,∠EOC=70°,
所以∠AOE=∠AOC=∠EOC=35°.
又因为∠AOC=∠BOD,
所以∠BOD=35°.
(3)因为∠EOC∶∠EOD=3∶5,∠EOC+∠EOD=180°,
所以∠EOC=67.5°,∠EOD=112.5°.
因为OA平分∠EOC,
所以∠AOE=∠AOC=∠EOC=33.75°.
又因为∠AOC=∠BOD,
所以∠BOD=33.75°(或33°45').2.1 课时2 垂线中角的相关计算
【基础堂清】
知识点1　垂直的概念及表示方法
1.利用三角尺或量角器判断,图中的两点所成的直线能与直线l垂直的是 (　　)
A.点M和点N B.点P和点Q
C.点M和点Q D.点N和点P
2.如图,OA⊥OB,若∠1=35°,则∠2的度数是 (　　)
A.35° B.45° C.55° D.70°
3.如图,直线AB,CD相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,则射线OE与直线AB的位置关系是　　　　.
知识点2　垂线的画法
4.　[教材P38随堂练习第1题变式]如图,分别过点P作线段MN的垂线.
【能力日清】
5.汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬,置水盆于其下,则见四邻矣.”描述的是古人利用光的反射定律改变光路的方法.为了探清一口深井的底部情况,如图,在井口放置一面平面镜可改变光路,当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC=50°时,已知∠ABE=∠FBM,要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部,则需要将平面镜EF与地面的夹角∠EBC调整为 (　　)
A.60° B.70° C.80° D.85°
6.如图,这是光的反射规律示意图,CO是入射光线,OD是反射光线,法线EO⊥AB,∠COE是入射角,∠EOD是反射角,∠COE=∠EOD.若∠AOC=2∠EOD,则∠COE的度数为　　　　.
7.已知∠α的两边分别与∠β的两边垂直,且∠α=20°,则∠β的度数为　　　　.
【素养提升】
8.　如图,直线AB,CD相交于点O,OM⊥AB.
(1)若∠1=∠2,求∠NOD的度数.
(2)在(1)的条件下,若∠AOD=3∠1,求∠AOC和∠MOD的度数.
参考答案
1.C　2.C
3.互相垂直
4.解:
5.B
6.30°　7.20°或160°
8.解:(1)因为OM⊥AB,
所以∠AOM=∠BOM=90°,
所以∠1+∠AOC=90°.
因为∠1=∠2,
所以∠2+∠AOC=90°,
即∠CON=90°,
所以∠NOD=180°-∠CON=180°-90°=90°.
(2)因为∠AOD=3∠1,
所以∠NOD=2∠1=90°,
解得∠1=45°,
所以∠AOC=∠AOM-∠1=90°-45°=45°,
所以∠BOD=90°-45°=45°,
所以∠MOD=∠BOD+∠BOM=45°+90°=135°.2.1 课时3 垂线的性质
【基础堂清】
知识点1　垂线的性质
1.如图,在跳远比赛中,裁判是这样测量运动员的成绩的,用一块直角三角板的一边附在起跳线上,另一边与拉直的皮尺重合,这样做的理由是 (　　)
A.两点之间线段最短
B.过两点有且只有一条直线
C.垂线段最短
D.过一点可以作无数条直线
2.如图,在三角形ABC中,∠C=90°,AC=3,P是边BC上的一动点,则AP的长不可能是 (　　)
A.2.5 B.3 C.4 D.5
知识点2　点到直线的距离
3.下列图形中,表示点P到直线l的垂线段PQ正确的是 (　　)
　　A　　　　B　　　　C　　　　D
4.如图,能表示点到直线的距离的线段共有 (　　)
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
【能力日清】
5.如图,笔直小路DE的一侧栽种有两棵小树BM,CN,小明测得AB=3 m,AC=5 m,则点A到DE的距离可能为 (　　)
A.5 m B.4 m C.3 m D.2 m
6.画图并回答:
(1)如图,点P在∠AOC的边OA上:
①过点P画OA的垂线交OC于点B;
②画点P到OC的垂线段PM.
(2)指出上述作图中哪一条线段的长度表示点P到OB边的距离.
(3)比较PM与PO的大小,并说明理由.
【素养提升】
7.　如图,火车站、码头分别位于A,B两点,直线a和b分别表示河流与铁路.
(1)从火车站到码头怎样走最近 画图并说明理由.
(2)从码头到铁路怎样走最近 画图并说明理由.
(3)从火车站到河流怎样走最近 画图并说明理由.
参考答案
1.C　2.A　3.B　4.D　5.D
6.解:(1)如下图:
(2)PM的长度是点P到BO边的距离.
(3)PM7.解:
(1)如图,沿AB走,两点之间的线段最短.
(2)如图,沿BD走,垂线段最短.
(3)如图,沿AC走,垂线段最短.2.2 课时1 同位角
【基础堂清】
知识点1　同位角
1.下列图形中,∠1与∠2是同位角的是 (　　)
　A　　　　B　　　　C　　　　　D
2.如图,互为同位角的是 (　　)
A.∠1和∠2
B.∠3和∠4
C.∠2和∠4
D.∠1和∠4
知识点2　两条直线平行的条件1
3.如图,将木条a,b与c钉在一起,∠1=70°,∠2=50°.要使木条a与b平行,木条a旋转的度数至少是 (　　)
A.10° B.20° C.50° D.70°
4.如图,已知∠1=∠2,则说明a∥b的理由是　　　　.
5.如图,直线a,b被直线l所截,已知∠1=40°,试求∠2的同位角的度数.
【能力日清】
6.如图,已知直线a,b被直线c,d所截,直线a,c,d相交于点O,在图中的∠1~∠9这9个角中,同位角共有多少对 请你全部写出来.
7.如图,已知直线AB,CD被直线EF所截,H为CD与EF的交点,GH⊥CD于点H,∠1=60°,∠2=30°,AB与CD平行吗 为什么
【素养提升】
8.　如图,已知直线EF与AB交于点M,与CD交于点O,OG平分∠DOF,若∠COM=120°,∠EMB=∠COF.
(1)求∠FOG的度数.
(2)写出与∠FOG互为同位角的角.
(3)求∠AMO的度数.
参考答案
1.A　2.D　3.B　
4.同位角相等,两直线平行
5.解:如图,因为∠1=40°,
所以∠3=∠1=40°,
所以∠4=180°-∠1=140°.
故∠2的同位角的度数为140°.
6.解:同位角共有5对.
分别是∠1和∠5,∠2和∠3,∠3和∠7,∠4和∠6,∠4和∠9.
7.解:因为GH⊥CD(已知),
所以∠CHG=90°(垂直定义).
又因为∠2=30°(已知),
所以∠3=60°,
所以∠4=60°(对顶角相等).
又因为∠1=60°(已知),
所以∠1=∠4,
所以AB∥CD(同位角相等,两直线平行).
8.解:(1)因为∠COM=120°,所以∠DOF=120°.
因为OG平分∠DOF,
所以∠FOG=60°.
(2)与∠FOG互为同位角的角是∠BMF.
(3)因为∠COM=120°,
所以∠COF=60°.
因为∠EMB=∠COF,
所以∠EMB=30°,
所以∠AMO=30°.2.2 课时2 平行线相关基本事实
【基础堂清】
知识点1　平行线的画法
1.如图,这是利用三角尺和直尺画平行线的一种方法,能说明BC∥EF的条件是 (　　)
A.∠CAB=∠EDF
B.∠ACB=∠DFE
C.∠ABC=∠DEF
D.∠BCD=∠EFD
2.　[教材P47习题2.2第2题变式]如图,在网格纸中,有两条线段AB,BC.利用网格纸完成以下操作:
(1)过点A作BC的平行线.
(2)过点C作AB的平行线,与(1)中的平行线交于点D.
3.如图,经过直线l外一点A画l的平行线,能画出 (　　)
A.0条 B.1条
C.2条 D.无数条
知识点2　平行线公理及推论
4.下列说法中不正确的有 (　　)
①过任意一点P可作已知直线l的一条平行线;②同一平面内的两条不相交的直线是平行线;③过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行;④平行于同一直线的两条直线平行.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【能力日清】
5.已知直线l,在同一平面内,甲、乙、丙得到如下结论,下列判断正确的是 (　　)
甲:与直线l垂直的直线有且只有一条.
乙:经过一点,有且只有一条直线与直线l平行.
丙:若两条直线a,b都与直线l平行,则直线a,b平行.
A.甲对乙错 B.甲错乙对
C.甲对丙错 D.乙错丙对
6.如图,已知CD∥EF,∠A=∠CFE.试说明AB∥CD.
【素养提升】
7.　作图:
(1)如图1,M是直线AB外一点,过点M的直线MN与AB交于点N,过点M作直线CD,使CD∥AB.
(2)如图2,P是∠ABC的边BA上的一点,作直线EF经过点P且与直线BC平行.
(3)如图3,点A,B分别在直线l1,l2上,过点A作到l2的垂线段AM,过点B作直线l3∥l1.
参考答案
1.B
2.解:(1)如图,AE即所求.
(2)如图,CD即所求.
3.B　4.B　5.D
6.解:因为∠A=∠CFE,所以AB∥EF.因为CD∥EF,所以AB∥CD.
7.解:如图.2.2 课时3 内错角、同旁内角
【基础堂清】
知识点1　内错角、同旁内角
1.下列图形中,∠1与∠2是内错角的是 (　　)
　A　　　　B　　　　　C　　　　D
2.如图,∠1的同旁内角共有 (　　)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
知识点2　两条直线平行的条件2,3
3.如图,回答下列问题:
(1)若∠2=∠3,则　　　　∥　　　　,理由是　　　　.
(2)若∠3=∠4,则　　　　∥　　　　,理由是　　　　.
(3)若∠1+∠2=180°,则　　　　∥　　　　,理由是　　　　.
(4)当∠1与∠4满足条件　　　　时,m∥n,理由是　　　　.
4.　(开放性问题)如图,E是AD延长线上一点,如果添加一个条件,使BC∥AD,那么可添加的条件为　　　　.(添加一个符合题意的条件即可)
【能力日清】
5.　[教材P46随堂练习第1题变式]如图,若直线a,b被直线c所截,在所构成的八个角中,指出下列两角之间的关系:
(1)∠1和∠2是　　　　.
(2)∠5和∠7是　　　　.
(3)∠1和∠5是　　　　.
(4)∠5和∠3是　　　　.
(5)∠5和∠4是　　　　.
(6)∠8和∠4是　　　　.
6.如图,这是一个由4条线段构成的“鱼”形图案,其中∠1=62°,∠2=62°,∠3=118°,找出图中的平行线,并说明理由.
【素养提升】
7.生活中,经过薄凸透镜光心的光线,其传播方向不变.如图,光线AB从空气中射入薄凸透镜,再经过凸透镜的光心,射入到空气中,形成光线CD,已知∠1=∠2,∠3=∠4,试说明:AB∥CD.
参考答案
1.A　2.C
3.(1)m　n　同位角相等,两直线平行
(2)a　b　内错角相等,两直线平行
(3)a　b　同旁内角互补,两直线平行
(4)∠1+∠4=180°　同旁内角互补,两直线平行
4.∠C=∠CDE
5.(1)邻补角
(2)对顶角
(3)同位角
(4)内错角
(5)同旁内角
(6)同位角
6.解:AB∥CD,AC∥BD.
理由:因为∠1=62°,∠2=62°,
所以∠1=∠2,所以AC∥BD.
因为∠1=62°,∠3=118°,
所以∠1+∠3=180°,
所以AB∥CD.
7.解:因为∠1=∠2,
所以∠EBC=∠NCB.
因为∠3=∠4,
所以∠EBC+∠3=∠NCB+∠4,
即∠ABC=∠DCB,
所以AB∥CD.2.2 课时4 尺规作图——作已知直线的平行线
【基础堂清】
1.如图,这是小明利用尺规完成“过直线外一点P作已知直线l的平行线”的作图,根据作图痕迹,可以直接判定两直线平行的依据是 (　　)
A.同位角相等,两直线平行
B.内错角相等,两直线平行
C.同旁内角互补,两直线平行
D.平行于同一直线的两直线平行
2.如图,点C在∠AOB的OB边上,用尺规作出了CN∥OA,作图痕迹中,FG是 (　　)
A.以点C为圆心,OD的长为半径的弧
B.以点C为圆心,DM的长为半径的弧
C.以点E为圆心,OD的长为半径的弧
D.以点E为圆心,DM的长为半径的弧
【能力日清】
3.如图,这是一条河,C是河边AB外一点,过点C要修一条与河平行的绿化带CD,请用尺规作出正确的图形(不写做法,保留作图痕迹).
4.如图,已知∠AOB和OB上的一点P.
(1)求作直线MN,使直线MN过点P且MN∥OA.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)写出一对相等的同位角和一对互补的同旁内角.
5.如图,在四边形ABCD中,P为边AD上一点,请用尺规作图法,在边BC上求作一点Q,使得点P到AB的距离与点Q到AB的距离相等.(不写作法,保留作图痕迹)
【素养提升】
6.用直尺和圆规作图,不写作法,保留作图痕迹.一辆货车由点A出发沿山路送货,在点B和点C两次转弯后,保持与出发时相同的方向,且点C到终点D的距离与点B到点C的距离相等,请根据所给条件,确定点D的位置.
参考答案
1.B　2.D
3.解:如图,过点C作AB的平行线CD,直线CD即所求.
4.解:(1)如图,MN即所求.
(2)因为OA∥MN,
所以∠AOB=∠MPB,∠AOP+∠MPO=180°,
所以相等的同位角为∠AOB和∠MPB,互补的同旁内角为∠AOP和∠MPO.
5.解:如图,点Q即所求.
6.解:如图,点D即所求.2.3 课时1 平行线的性质
【基础堂清】
知识点1　两直线平行,同位角相等
1.如图,a∥b,∠1=115°,则∠2的度数是 (　　)
A.45° B.55° C.65° D.85°
知识点2　两直线平行,内错角相等
2.如图,直线AD∥BC,若∠1=42°,∠BAC=78°,则∠2的度数为 (　　)
A.42° B.50° C.60° D.68°
3.如图,直线a∥b,直线c分别交a,b于点A,C,∠BAC的平分线交直线b于点D,若∠1=50°,则∠2的度数是　　　　.
知识点3　两直线平行,同旁内角互补
4.下列图形中,根据AB∥CD,能得到∠1=∠2的是 (　　)
　　 　A　　　　　　　　　B　　
　　
　C　　　　　　　　　D　　
5.如图,AD∥BC,∠B=30°,DB平分∠ADE,则∠DEB=　　　　°.
【能力日清】
6.如图,直线AB∥CD,∠GEB的平分线EF交CD于点F,∠1=60°,则∠2的度数为 (　　)
A.130° B.140°
C.150° D.160°
7.如图,AD∥BC,∠C=30°,∠ADB∶∠BDC=1∶2,则∠DBC的度数是 (　　)
A.30° B.36°
C.45° D.50°
8.如图,直线AB∥CD,∠C=44°,∠E为直角,则∠1的度数是 (　　)
A.132° B.134°
C.136° D.138°
9.如图,a∥b,小华把三角板的直角顶点放在直线b上.若∠1=40°,则∠2的度数为　　　　.
10.　[数学与地理融合]如图,这是地球截面图,其中AB,EF分别表示南回归线和北回归线,CD表示赤道,点P表示甲市的位置.现已知地球南回归线的纬度是南纬23°26'(∠BOD=23°26'),甲市的纬度是北纬37°32'(∠POD=37°32'),而冬至正午时,太阳光直射南回归线(光线MB的延长线经过地心O),则甲市冬至正午时,太阳光线与地面水平线PQ的夹角α的度数是　　　　.
11.如图,AC∥BD,AE∥BF,∠A与∠B相等吗 并说明理由.
12.如图,∠ABC=180°-∠A,EF∥BD,∠1+∠2=96°,DO⊥AD交EF于点O.求∠BDO的度数.
【素养提升】
13.　已知DB∥FG∥EC,A是FG上一点,AP平分∠BAC.
(1)如图1,当FG在两条直线之间时,∠B=60°,∠C=36°,求∠PAG的大小.
(2)如图1,当FG在两条直线之间时,若∠B=α,∠C=β,α>β且都为锐角,求∠PAG的大小.(用含有α,β的式子表示)
(3)如图2,当FG在最右侧时,若∠B=α,∠C=β,α>β且都为锐角,直接用含α,β的式子表示∠PAG.
参考答案
1.C　2.C　3.80°　4.B　5.120
6.C　7.D　8.B　9.130°　10.29°2'
11.解:∠A与∠B相等.
理由:因为AC∥BD,AE∥BF,
所以∠A=∠DOE,∠DOE=∠B,
所以∠A=∠B.
12.解:因为∠ABC=180°-∠A,即∠ABC+∠A=180°,
所以AD∥BC,
所以∠1=∠3.
因为EF∥BD,
所以∠2=∠3,
所以∠1=∠2.
因为∠1+∠2=96°,
所以2∠1=96°,解得∠1=48°.
又因为DO⊥AD,
所以∠ADO=90°,
所以∠BDO=90°-∠1=42°.
13.解:(1)因为DB∥FG,
所以∠B=∠BAG=60°.
因为FG∥EC,
所以∠CAG=∠C=36°,
所以∠BAC=∠BAG+∠CAG=60°+36°=96°.
因为AP平分∠BAC,
所以∠CAP=∠BAC=48°,
所以∠PAG=∠CAP-∠CAG=12°.
(2)因为DB∥FG,
所以∠B=∠BAG=α.
因为FG∥EC,
所以∠CAG=∠C=β,
所以∠BAC=∠BAG+∠CAG=α+β.
因为AP平分∠BAC,
所以∠CAP=∠BAC=,
所以∠PAG=∠CAP-∠CAG=.
(3)∠PAG=.　提示:因为DB∥FG,
所以∠B=∠BAG=α.
因为FG∥EC,
所以∠CAG=∠C=β,
所以∠BAC=∠BAG-∠CAG=α-β.
因为AP平分∠BAC,
所以∠CAP=∠BAC=,
所以∠PAG=∠CAP+∠CAG=+β=.2.3 课时2 平行线的性质与判定综合
【基础堂清】
1.如图,直线a,b被直线c,d所截,若∠1=∠2,∠3=125°,则∠4的度数为 (　　)
A.55° B.60° C.70° D.75°
2.如图,在下列条件中,能判定AD∥BC的是 (　　)
A.∠BAC=∠ACD
B.∠DCB+∠ABC=180°
C.∠ABD=∠BDC
D.∠DAC=∠BCA
3.　[教材P52随堂练习第1题变式]如图,∠1=70°,要使AB∥CD,则需具备的另一个条件是 (　　)
A.∠2=70° B.∠2=100°
C.∠2=110° D.∠3=110°
4.如图,若∠1+∠2=180°,∠3=75°,则∠4的度数为 (　　)
A.75° B.105° C.85° D.115°
5.如图,∠1=∠2,∠A=60°,则∠ADC=　　　　.
【能力日清】
6.如图,AB∥DE,∠ABC=70°,∠CDE=140°,则∠BCD的度数为 (　　)
A.20°
B.30°
C.40°
D.70°
7.如图,∠A=∠C,∠1与∠2互补,试说明:AB∥DC.
8.如图,EF∥AD,∠1=∠2.试说明:∠DGA+∠BAC=180°.
解:因为EF∥AD(已知),
所以∠2=　　　　(两直线平行,同位角相等).
又因为∠1=∠2(已知),
所以∠1=　　　　(等量代换),
所以AB∥　　　　(　　),
所以∠DGA+∠BAC=180°(　　).
9.如图,如果∠1=∠2,∠C=∠D,那么∠A=∠F吗 为什么
10.探究:如图1,直线AB,BC,AC两两相交,交点分别为A,B,C,点D在线段AB上,过点D作DE∥BC交AC于点E,过点E作EF∥AB交BC于点F,若∠ABC=50°,求∠DEF的度数.
请将下面的解答过程补充完整,并填空.
解:因为DE∥BC,
所以∠DEF=　　　　(　　　　　　　　　　).
因为EF∥AB,
所以　　　　=∠ABC(　),
所以∠DEF=∠ABC.(等量代换)
因为∠ABC=50°,
所以∠DEF=　　　　　.
应用:如图2,直线AB,BC,AC两两相交,交点分别为A,B,C,点D在线段AB的延长线上,过点D作DE∥BC交AC于点E,过点E作EF∥AB交BC于点F,若∠ABC=65°,则∠DEF=　　　　　.
【素养提升】
11.　已知∠1=∠2,EG平分∠AEC.
(1)如图1,∠MAE=45°,∠FEG=15°,∠NCE=75°.试判断EF与CD的位置关系,并说明理由.
(2)如图2,∠MAE=140°,∠FEG=30°,当AB∥CD时,求∠NCE的度数.
(3)如图2,试写出∠MAE,∠FEG,∠NCE之间满足什么数量关系时,AB∥CD,并说明理由.
参考答案
1.A　2.D　3.C　4.B　5.120°　6.B
7.解:因为∠1与∠2互补(已知),
所以AD∥BC (同旁内角互补,两直线平行),
所以∠ADC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补).
又因为∠C=∠A(已知),
所以∠ADC+∠A=180°(等量代换),
所以AB∥DC (同旁内角互补,两直线平行).
8.∠3　∠3　DG　内错角相等,两直线平行　两直线平行,同旁内角互补
9.解:∠A=∠F.理由如下:
因为∠1=∠2(已知),∠2=∠3(对顶角相等),
所以∠1=∠3(等量代换),
所以BD∥CE(同位角相等,两直线平行),
所以∠4=∠C(两直线平行,同位角相等).
又因为∠C=∠D(已知),
所以∠4=∠D(等量代换),
所以FD∥AC(内错角相等,两直线平行),
所以∠A=∠F(两直线平行,内错角相等).
10.解:探究:因为DE∥BC,
所以∠DEF=　∠EFC　(　两直线平行,内错角相等　).
因为EF∥AB,
所以　∠EFC　=∠ABC(　两直线平行,同位角相等　),
所以∠DEF=∠ABC(等量代换).
因为∠ABC=50°,
所以∠DEF=　50°　.
应用:115°.
11.解:(1)EF∥CD.
理由如下:
因为∠1=∠2,所以AB∥EF,
所以∠AEF=∠MAE.
又∵∠MAE=45°,∠FEG=15°,
所以∠AEG=60°.
因为EG平分∠AEC,
所以∠CEG=∠AEG=60°,
所以∠CEF=∠CEG+∠FEG=75°.
因为∠NCE=75°,
所以∠NCE=∠CEF,所以EF∥CD.
(2)因为∠1=∠2,所以AB∥EF,
所以∠FEA+∠MAE=180°.
因为∠MAE=140°,所以∠FEA=40°.
因为∠FEG=30°,所以∠AEG=70°.
因为EG平分∠AEC,所以∠CEG=∠AEG=70°,所以∠FEC=100°.
因为AB∥CD,所以EF∥CD,
所以∠NCE+∠FEC=180°,所以∠NCE=80°.
(3)当∠MAE=2∠FEG+∠NCE时,AB∥CD.
理由如下:
由(2)可知,∠AEG=180°-∠MAE+∠FEG,∠FEC=∠FEG+∠GEC,∠AEG=∠GEC,∠FEC+∠NCE=180°,
所以(180°-∠MAE+∠FEG)+(∠FEG+∠NCE)=180°,
整理得∠MAE=2∠FEG+∠NCE.
故当∠MAE,∠FEG,∠NCE之间满足数量关系∠MAE=2∠FEG+∠NCE时,AB∥CD.2.3 课时3 运用平行线求角度
【基础堂清】
知识点1　运用平行线的性质求角度
1.如图,∠1=∠B,∠2=25°,则∠D的度数为 (　　)
A.25° B.30° C.45° D.50°
2.如图,EF∥ON,OE平分∠MON,∠FEO=28°,则∠MFE=　　　　.
3.　端午节“赛龙舟,吃粽子”是中华民族的传统习俗,小青将图1中参与龙舟比赛的某条龙舟的侧面示意图简化成图2,若a∥b∥c,∠1=132°,求∠2+2∠3的度数.
知识点2　作平行线求角度
4.电动曲臂式高空作业车在高空作业时只需一个人就可操作机器连续完成升降、前进、后退、转向等动作,极大地减少了操作人员的数量,降低了劳动强度.如图,这是工作中的电动曲臂式高空作业车示意图,其中AB∥CD∥EF,BC∥DE.若∠ABC=50°,则∠DEF的度数为 (　　)
A.110° B.130° C.140° D.160°
5.如图,这是路灯维护工程车的工作示意图,工作篮底部与支撑平台平行.若∠1=30°,则∠2+∠3的度数为　　　　°.
6.如图,某煤气公司安装煤气管道,他们从点A处铺设到点B处时,由于有一个人工湖挡住了去路,需要改变方向经过点C,再拐到点D,然后沿与AB平行的DE方向继续铺设.如果∠ABC=135°,∠BCD=65°,那么∠CDE的度数应为多少
【能力日清】
7.如图,直线m∥n,将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线n上,则∠1+∠2等于 (　　)
A.30° B.40° C.45° D.60°
8.如图,∠1=∠2,∠B=30°,则∠3=　　　　.
9.如图,∠1=∠2=40°,MN平分∠EMB,求∠3的度数.
10.如图,AM∥BN,∠A=64°,P是射线AM上一动点(与点A不重合).BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN,分别交射线AM于点C,D.
(1)∠ABN的度数是　　　,∠CBD的度数是　　　　.
(2)请说明∠APB=2∠ADB.
(3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时,求∠ABC的度数.
【素养提升】
11.　我们已经学过了对顶角、邻补角、同位角等,知道了它们的特征.现在若有两个角,它们不是同一个顶点,但这两角的两边相互平行,我们就把满足这个条件的两个角称作“平行角”.如图1,已知AB∥CD,AD∥BC,因此∠B和∠D是“平行角”.
(1)如图1,说明:∠B=∠D.
(2)如图2,延长DC到点E,可知∠A和∠BCE也是“平行角”,但它们的数量关系是　　　　　.
(3)如图3,DE平分∠ADC,BF平分∠ABC,请说明图中的∠1和∠2是“平行角”.
参考答案
1.A　2.56°
3.解:如图,因为a∥b∥c,
所以∠1+∠2=180°,∠2=∠4,
所以∠4=∠2=180°-132°=48°.
因为∠3=∠4,
所以∠3=48°,
所以∠2+2∠3=48°+2×48°=144°.
4.B　5.210
6.解:如图,过点C作CM∥DE.
因为AB∥DE,
所以AB∥CM,
所以∠BCM=∠ABC=135°.
因为∠BCD=65°,
所以∠DCM=∠BCM-∠BCD=70°.
因为CM∥DE,
所以∠CDE+∠DCM=180°,
所以∠CDE=110°.
7.C　8.30°
9.解:因为∠2=∠MEN,∠1=∠2=40°,
所以∠1=∠MEN,所以AB∥CD,
所以∠3+∠BMN=180°.
因为MN平分∠EMB,
所以∠BMN=×(180°-40°)=70°,
所以∠3=180°-∠BMN=110°.
10.解:(1)116°;58°.
(2)因为AM∥BN,
所以∠APB=∠PBN,∠ADB=∠DBN.
又因为∠PBD=∠DBN,
所以∠APB=2∠DBN,
所以∠APB=2∠ADB.
(3)因为AM∥BN,
所以∠ACB=∠CBN.
又因为∠ACB=∠ABD,
所以∠CBN=∠ABD,
所以∠CBN-∠CBD=∠ABD-∠CBD,
所以∠DBN=∠ABC.
又因为∠CBD=58°,∠ABN=116°,
所以∠ABC=29°.
11.解:(1)因为AB∥CD,
所以∠A+∠D=180°.
因为AD∥BC,
所以∠A+∠B=180°,
所以∠B=∠D.
(2)∠A+∠BCE=180°.
(3)因为AB∥CD,
所以EB∥DF,∠1=∠AED.
因为DE平分∠ADC,BF平分∠ABC,
由(1)知∠ADC=∠ABC,
所以2∠1=2∠2,
所以∠1=∠2,
所以∠2=∠AED,
所以ED∥BF,
所以∠1和∠2是“平行角”.

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