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第1讲　曲线运动 运动的合成与分解(基础落实课)
一、曲线运动
1.速度的方向
质点在某一点的速度方向,沿曲线在这一点的　　　　　,如图所示。
2.运动的性质
做曲线运动的物体,速度的　　　时刻在改变,所以曲线运动一定是　　　运动。
3.运动的条件
运动学 角度 当物体的　　　　方向与速度方向不在同一条直线上时,物体做曲线运动
动力学 角度 当物体所受　　　的方向与它的速度方向不在同一直线上时,物体做曲线运动
二、运动的合成与分解
1.合运动与分运动:物体的　　　运动是合运动,物体　　　　　的几个运动是分运动。
2.运动的合成:由已知的　　　　求跟它们等效的合运动。
3.运动的分解:由已知的　　　　求跟它等效的分运动。
4.遵循的法则:位移、速度、加速度都是矢量,故它们的合成与分解都遵循　　　　　　　　　。
5.运动分解的原则:根据运动的　　　　　分解,也可采用正交分解法。
微点判断
1.速度发生变化的运动,一定是曲线运动。 (　 )
2.(鲁科必修2P42T2·改编)判断下列说法的正误:
①物体在恒力作用下不可能做曲线运动。 (　 )
②物体在变力作用下一定做曲线运动。 (　 )
③物体的速度方向与合力方向不在同一条直线上时,物体一定做曲线运动。 (　 )
④做曲线运动的物体所受合力的方向一定是变化的。 (　 )
3.(教科必修2P5T2·选摘)一质点做曲线运动,判断下列说法的正误:
①质点速度大小不可能始终不变。(　 )
②质点速度方向一定与加速度方向相同。 (　 )
4.做曲线运动的物体所受合外力的方向一定指向轨迹的凹侧。 (　 )
5.(教科必修2P10T2·选摘)关于合运动与分运动的关系,判断下列说法的正误:
①合运动的速度一定大于分运动的速度。 (　 )
②合运动的位移就是两个分运动位移的代数和。 (　 )
③合运动的时间与分运动的时间不一样。 (　 )
6.只要两个分运动为直线运动,合运动一定是直线运动。 (　 )
逐点清(一)　物体做曲线运动的条件与轨迹分析
|题|点|全|练|
1.[物体做曲线运动的条件]
(2025·重庆沙坪坝模拟)汽车在水平地面转弯时,坐在车里的小北同学发现车内挂饰向左偏离了竖直方向,如图所示。设转弯时汽车所受的合外力为F,关于本次转弯,下列图示可能正确的是 (　　)
2.[轨迹、速度与力的位置关系]
足球从A点被踢出后在空中运动的轨迹如图中虚线所示,其在图示位置所受合力F的方向可能是 (　　)
A.F1 B.F2
C.F3 D.F4
3.[速率变化与力的方向间的关系]
(2023·全国乙卷)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动,动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力,下列四幅图可能正确的是 (　　)
|精|要|点|拨|
1.合外力与轨迹、速度间的关系分析思路
2.速率变化的判断
自主空间:
逐点清(二)　运动的合成与分解的应用
细作1　合运动与分运动的关系
1.跳伞运动深受年轻人的喜爱。在水平风向的环境中,一位跳伞运动员从飞机上由静止跳下后,下列说法中正确的是 (　　)
A.风力越大,运动员下落时间越长
B.运动员下落时间与风力无关
C.风力越大,运动员落地时的竖直速度越大
D.运动员落地速度与风力无关
一点一过　合运动与分运动的关系
等时性 合运动和分运动经历的时间相等,即同时开始、同时进行、同时停止
等效性 各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果
独立性 若一个物体同时参与几个分运动,则各分运动独立进行,不受其他分运动的影响
同体性 合运动与分运动针对的是同一个物体
细作2　合运动的性质和轨迹的判断
2.(2025·山东济南模拟)一同学在桌面的白纸上从ab边向cd边匀速划一道竖直线,如图所示。在划线的过程中另一位同学水平向左加速抽动白纸,白纸上的划痕图样可能是 (　　)
一点一过　合运动的性质和轨迹的判断
(1)若合加速度不变,则为匀变速运动;若合加速度(大小或方向)变化,则为非匀变速运动。
(2)若合加速度的方向与合初速度的方向在同一直线上,则为直线运动,否则为曲线运动。
细作3　分运动的性质和规律的判断
3.(2024·江西高考)(多选)一条河流某处存在高度差,小鱼从低处向上跃出水面,冲到高处。如图所示,以小鱼跃出水面处为坐标原点,x轴沿水平方向,建立坐标系,小鱼的初速度为v0,末速度v沿x轴正方向。在此过程中,小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度vx和竖直方向分速度vy与时间t的关系,下列图像可能正确的是 (　　)
一点一过　有关运动的合成和分解的三点提醒
(1)由运动的合成与分解知识可知,合运动的位移、速度、加速度是各分运动的位移、速度、加速度的矢量和。
(2)在恒力作用下物体的匀变速曲线运动可分解为沿力的方向的匀变速直线运动和垂直于力的方向的匀速直线运动。
(3)两个相互垂直方向的分运动具有等时性,这常是处理运动分解问题的关键点。
逐点清(三)　小船渡河模型
1.合运动与分运动
2.小船渡河的两类问题、三种情境
问题 情境图示 方法解读
渡河 时间 最短 当船头方向(即v船方向)垂直河岸时,渡河时间最短,最短时间tmin=
渡河 位移 最短 如果v船>v水,当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ=v水时,合速度垂直河岸,渡河位移最短,等于河宽d
如果v船[应用体验]
类型1　小船渡河的最短时间问题
1.(多选)船在静水中速度与时间的关系如图甲所示,河水流速与到某河岸边的距离的变化关系如图乙所示,则 (　　)
A.船渡河的最短时间50 s
B.要使船以最短时间渡河,船在行驶过程中,船头必须始终与河岸垂直
C.船以最短时间渡河,船在河水中航行的轨迹是一条直线
D.船以最短时间渡河,船在河水中的最大速度是5 m/s
类型2　小船渡河的最短位移问题
2.(2025·青海西宁模拟)(多选)在某次救援演习中,一冲锋舟匀速横渡一条两岸平直、水流速度不变的河流。当冲锋舟船头垂直河岸航行时,恰能到达正对岸下游x处。若冲锋舟船头保持与河岸成θ角(锐角)向上游航行时,则恰能到达正对岸。渡河时冲锋舟在静水中的速度大小不变。下列说法正确的是 (　　)
A.河的宽度为
B.冲锋舟船头垂直河岸航行时,渡河过程的位移大小为x
C.冲锋舟在静水中的速度与水的流速之比为1∶cos θ
D.冲锋舟在静水中的速度与水的流速之比为1∶sin θ
类型3　水流速度大于船在静水中速度的渡河问题
3.(2025·河北模拟)如图所示,在一次救援中,某河道水流速度大小恒为v,A处的下游C处有个半径为5L0的漩涡,其与河岸相切于B点,AB两点距离为12L0。若救援人员驾驶冲锋舟把被困群众从河岸的A处沿直线避开漩涡送到对岸,冲锋舟在静水中速度的最小值为 (　　)
A.v B.v
C.v D.v
逐点清(四)　关联速度分解模型
1.关联速度分解模型
类型 模型特点 解题原则
绳连 接的 物体 绳子不可伸长,即绳子的长度保持不变。两端点的速度方向通常不在绳子所在的直线上 将物体的实际速度(合速度)分解为垂直于绳子和平行于绳子两个分量,平行于绳子方向的分速度大小相等
杆连 接的 物体 杆不可伸长或压缩,即杆的长度保持不变。两端点的速度方向通常不在杆所在的直线上 将物体的实际速度(合速度)分解为垂直于杆和平行于杆两个分量,平行于杆方向的分速度大小相等
接触 模型 物体与另一个物体接触,接触点的速度需要分解 将接触点的实际速度(合速度)分解为沿接触面和垂直于接触面两个分量,垂直于接触面方向的分速度大小相等
转动 模型 物体绕某个点转动,需要考虑角速度和线速度的关系 将物体的实际速度(合速度)分解为沿转动方向和垂直于转动方向两个分量,沿转动方向的分速度大小相等
2.常见模型图示
[应用体验]
类型1　绳端速度分解模型
1.(多选)如图所示,人在岸上拉船,已知船的质量为m,水的阻力恒为f,当轻绳与水平面的夹角为θ时,人的速度为v,人的拉力为F(不计滑轮与绳之间的摩擦),则以下说法正确的是 (　　)
A.船的速度为
B.船的速度为vcos θ
C.船的加速度为
D.船的加速度为
类型2　杆端速度分解模型
2.(2025·贵州贵阳模拟)火灾逃生的首要原则是离开火灾现场,如图所示是火警设计的一种让当事人快捷逃离现场的救援方案:用一根不变形的轻杆MN支撑在楼面平台AB上,N端在水平地面上向右以v0匀速运动,被救助的人员紧抱在M端随轻杆一起向平台B端靠近,平台高为h。当CN=2h时,被救人员向B点运动的速率是 (　　)
A.v0　　B.v0　　C.v0　　D.v0
类型3　接触面速度分解模型
3.(2025·山东枣庄高三检测)如图所示,直杆一端可绕固定轴O无摩擦转动,另一端始终靠在物块B上,B的表面光滑,控制物块B使其由静止开始水平向左做a=0.4 m/s2的匀加速直线运动,在t=2 s时,直杆与竖直面的夹角θ=37°,端点A的速度为(sin 37°=0.6) (　　)
A.1.2 m/s B.1.0 m/s
C.0.64 m/s D.0.8 m/s
第1讲
课前基础先行
一、1.切线方向　2.方向　变速　3.加速度　合力
二、1.实际　同时参与　2.分运动　3.合运动　4.矢量运算法则　5.实际效果
[微点判断]　1.×　2.①×　②×　③√
④×　3.①×　②×　4.√　5.①×　②×
③×　6.×
逐点清(一)
1.选B　根据题图中车内的挂饰向左偏离了竖直方向,可知汽车正在向右转弯,由于汽车做曲线运动,故合力F指向轨迹的内侧,可知图B符合要求。
2.选B　足球的轨迹不对称说明足球受到空气阻力,足球在题图示位置时,受到竖直向下的重力和水平向左的空气阻力,合力方向偏向左下方,可能如题图中F2的方向。故选B。
3.选D　小车做曲线运动,所受合力指向曲线的凹侧,A、B错误;小车动能一直增加,则小车速率一直增大,合力与运动方向夹角为锐角,C错误,D正确。
逐点清(二)
1.选B　运动员同时参与了竖直和水平两个方向的分运动,两个分运动同时发生,相互独立,则水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动,即下落时间不变,落地时竖直速度也不变,A、C错误,B正确;水平风力越大,水平方向的加速度越大,对应落地时的水平速度也越大,则落地时的合速度越大,D错误。
2.选A　根据题意可知,笔尖相对白纸参与水平向右的匀加速运动和水平向外的匀速运动,所以轨迹向右弯曲。故选A。
3.选AD　由于小鱼在运动过程中只受重力作用,则小鱼在水平方向上做匀速直线运动,即vx为一定量,则有x=vxt,A可能正确,C错误;小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动,则有y=vy0t-gt2,vy=vy0-gt,且vy最终减为0,B错误,D可能正确。
逐点清(三)
1.选BD　当船头与河岸垂直时,渡河时间最短,最短时间为t== s=100 s,故A错误,B正确;船在沿河岸方向上做变速运动,在垂直于河岸方向上做匀速直线运动,两运动的合运动是曲线,故C错误;船以最短时间渡河,即船头与河岸垂直,船在河水中的最大速度是vm= m/s =5 m/s,故D正确。
2.选AC　冲锋舟船头保持与河岸成θ角(锐角)向上游航行时,则恰能到达正对岸,则=,当冲锋舟船头垂直河岸航行时,恰能到达正对岸下游x处,则x=v水t,d=v静t,联立解得d=,故A、C正确,D错误;冲锋舟船头垂直河岸航行时,渡河过程的位移大小s==x,故B错误。
3.
选A　当冲锋舟在静水中的速度与其在河流中的速度v合垂直时,冲锋舟在静水中的速度v舟最小,则sin θ=,利用几何关系可知tan=,联立可得v舟=v,故选A。
逐点清(四)
1.选AD　船运动的速度是沿绳子收缩方向的速度和绕定滑轮的摆动速度的合速度,如图甲所示,根据平行四边形定则有v=v船cos θ,船的速度为v船=,故A正确,B错误;对小船受力分析,如图乙所示,则有Fcos θ-f=ma,因此船的加速度大小为a=,故C错误,D正确。
2.选C　设此时轻杆与水平方向的夹角为θ,将N端的速度v0进行分解,如图所示,
则人的速度等于v0沿杆的分量,即v人=v0cos θ,根据几何关系可得cos θ==,解得v人=v0。故选C。
3.选B　在t=2 s时B的速度v0=at=0.8 m/s,根据速度的分解规律有v0=vAcos θ,解得vA=1.0 m/s,故选B。
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曲线运动 运动的合成与分解(基础落实课)
第 1 讲
1
课前基础先行
课时跟踪检测
2
逐点清(一)　物体做曲线运动的条件
与轨迹分析
CONTENTS
目录
4
逐点清(三)　小船渡河模型
6
3
逐点清(二)　运动的合成与分解的应用
5
逐点清(四)　关联速度分解模型
课前基础先行
一、曲线运动
1.速度的方向
质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的_________，如图所示。
切线方向
2.运动的性质
做曲线运动的物体，速度的_____时刻在改变，所以曲线运动一定是_____运动。
方向
变速
3.运动的条件
运动学 角度 当物体的_________方向与速度方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动
动力学 角度 当物体所受_____的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动
加速度
合力
二、运动的合成与分解
1.合运动与分运动:物体的__________运动是合运动，物体__________的几个运动是分运动。
2.运动的合成:由已知的________求跟它们等效的合运动。
3.运动的分解:由已知的________求跟它等效的分运动。
实际
同时参与
分运动
合运动
4.遵循的法则:位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循______________。
5.运动分解的原则:根据运动的_________分解，也可采用正交分解法。
矢量运算法则
实际效果
1.速度发生变化的运动，一定是曲线运动。 ( )
2.(鲁科必修2P42T2·改编)判断下列说法的正误:
①物体在恒力作用下不可能做曲线运动。 ( )
②物体在变力作用下一定做曲线运动。 ( )
③物体的速度方向与合力方向不在同一条直线上时，物体一定做曲线运动。 ( )
④做曲线运动的物体所受合力的方向一定是变化的。 ( )
微点判断
×
×
×
√
×
3.(教科必修2P5T2·选摘)一质点做曲线运动，判断下列说法的正误:
①质点速度大小不可能始终不变。 ( )
②质点速度方向一定与加速度方向相同。 ( )
4.做曲线运动的物体所受合外力的方向一定指向轨迹的凹侧。 ( )
×
×
√
5.(教科必修2P10T2·选摘)关于合运动与分运动的关系，判断下列说法的正误:
①合运动的速度一定大于分运动的速度。 ( )
②合运动的位移就是两个分运动位移的代数和。 ( )
③合运动的时间与分运动的时间不一样。 ( )
6.只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。 ( )
×
×
×
×
逐点清(一)　物体做曲线运动的条件与轨迹分析
课
堂
题点全练
1.[物体做曲线运动的条件](2025·重庆沙坪坝模拟)汽车在水平地面转弯时，坐在车里的小北同学发现车内挂饰向左偏离了竖直方向，如图所示。设转弯时汽车所受的合外力为F，关于本次转弯，下列图示可能正确的是 (　　)
√
解析:根据题图中车内的挂饰向左偏离了竖直方向，可知汽车正在向右转弯，由于汽车做曲线运动，故合力F指向轨迹的内侧，可知图B符合要求。
2.[轨迹、速度与力的位置关系]足球从A点被踢出后在空中运动的轨迹如图中虚线所示，其在图示位置所受合力F的方向可能是 (　　)
A.F1 B.F2
C.F3 D.F4
√
解析:足球的轨迹不对称说明足球受到空气阻力，足球在题图示位置时，受到竖直向下的重力和水平向左的空气阻力，合力方向偏向左下方，可能如题图中F2的方向。故选B。
3.[速率变化与力的方向间的关系](2023·全国乙卷)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是 (　　)
√
解析:小车做曲线运动，所受合力指向曲线的凹侧，A、B错误；小车动能一直增加，则小车速率一直增大，合力与运动方向夹角为锐角，C错误，D正确。
1.合外力与轨迹、速度间的关系分析思路
精要点拨
2.速率变化的判断
逐点清(二)　运动的合成与分解的应用
课
堂
1.跳伞运动深受年轻人的喜爱。在水平风向的环境中，一位跳伞运动员从飞机上由静止跳下后，下列说法中正确的是 (　　)
A.风力越大，运动员下落时间越长
B.运动员下落时间与风力无关
C.风力越大，运动员落地时的竖直速度越大
D.运动员落地速度与风力无关
细作1　合运动与分运动的关系
√
解析:运动员同时参与了竖直和水平两个方向的分运动，两个分运动同时发生，相互独立，则水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动，即下落时间不变，落地时竖直速度也不变，A、C错误，B正确；水平风力越大，水平方向的加速度越大，对应落地时的水平速度也越大，则落地时的合速度越大，D错误。
一点一过　合运动与分运动的关系
等时性 合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止
等效性 各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果
独立性 若一个物体同时参与几个分运动，则各分运动独立进行，不受其他分运动的影响
同体性 合运动与分运动针对的是同一个物体
2.(2025·山东济南模拟)一同学在桌面的白纸上从ab边向cd边匀速划一道竖直线，如图所示。在划线的过程中另一位同学水平向左加速抽动白纸，白纸上的划痕图样可能是 (　　)
细作2　合运动的性质和轨迹的判断
解析:根据题意可知，笔尖相对白纸参与水平向右的匀加速运动和水平向外的匀速运动，所以轨迹向右弯曲。故选A。
√
一点一过　合运动的性质和轨迹的判断
(1)若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度(大小或方向)变化，则为非匀变速运动。
(2)若合加速度的方向与合初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否则为曲线运动。
3.(2024·江西高考)(多选)一条河流某处存
在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高
处。如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，
x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为
v0，末速度v沿x轴正方向。在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度vx和竖直方向分速度vy与时间t的关系，下列图像可能正确的是 (　　)
细作3　分运动的性质和规律的判断
解析:由于小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平方向上做匀速直线运动，即vx为一定量，则有x=vxt，A可能正确，C错误；小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动，则有y=vy0t-gt2，vy=vy0-gt，且vy最终减为0，B错误，D可能正确。
√
√
一点一过　有关运动的合成和分解的三点提醒
(1)由运动的合成与分解知识可知，合运动的位移、速度、加速度是各分运动的位移、速度、加速度的矢量和。
(2)在恒力作用下物体的匀变速曲线运动可分解为沿力的方向的匀变速直线运动和垂直于力的方向的匀速直线运动。
(3)两个相互垂直方向的分运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关键点。
逐点清(三)　小船渡河模型
课
堂
1.合运动与分运动
2.小船渡河的两类问题、三种情境
问题 情境图示 方法解读
渡河 时间 最短 当船头方向(即v船方向)垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin=
渡河 位移 最短 如果v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ=v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船续表
类型1　小船渡河的最短时间问题
1.(多选)船在静水中速度与时间的关系如图甲所示，河水流速与到某河岸边的距离的变化关系如图乙所示，则(　　)
应用体验
A.船渡河的最短时间50 s
B.要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直
C.船以最短时间渡河，船在河水中航行的轨迹是一条直线
D.船以最短时间渡河，船在河水中的最大速度是5 m/s
√
√
解析:当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间为t== s=100 s，故A错误，B正确；船在沿河岸方向上做变速运动，在垂直于河岸方向上做匀速直线运动，两运动的合运动是曲线，故C错误；船以最短时间渡河，即船头与河岸垂直，船在河水中的最大速度是vm= m/s =5 m/s，故D正确。
类型2　小船渡河的最短位移问题
2.(2025·青海西宁模拟)(多选)在某次救援演习中，一冲锋舟匀速横渡一条两岸平直、水流速度不变的河流。当冲锋舟船头垂直河岸航行时，恰能到达正对岸下游x处。若冲锋舟船头保持与河岸成θ角(锐角)向上游航行时，则恰能到达正对岸。渡河时冲锋舟在静水中的速度大小不变。下列说法正确的是(　　)
A.河的宽度为
B.冲锋舟船头垂直河岸航行时，渡河过程的位移大小为x
C.冲锋舟在静水中的速度与水的流速之比为1∶cos θ
D.冲锋舟在静水中的速度与水的流速之比为1∶sin θ
√
√
解析:冲锋舟船头保持与河岸成θ角(锐角)向上游航行时，则恰能到达正对岸，则=，当冲锋舟船头垂直河岸航行时，恰能到达正对岸下游x处，则x=v水t，d=v静t，联立解得d=，故A、C正确，D错误；冲锋舟船头垂直河岸航行时，渡河过程的位移大小s==x，故B错误。
类型3　水流速度大于船在静水中速度的渡河问题
3.(2025·河北模拟)如图所示，在一次救援中，某河道水流速度大小恒为v，A处的下游C处有个半径为5L0的漩涡，其与河岸相切于B点，AB两点距离为12L0。若救援人员驾驶冲锋舟把被困群众从河岸的A处沿直线避开漩涡送到对岸，冲锋舟在静水中速度的最小值为(　　)
A.v B.v
C.v D.v
√
解析:当冲锋舟在静水中的速度与其在河流中的速度v合垂直时，冲锋舟在静水中的速度v舟最小，则sin θ=，利用几何关系可知tan=，联立可得v舟=v，故选A。
逐点清(四)　关联速度分解模型
课
堂
1.关联速度分解模型
类型 模型特点 解题原则
绳连接 的物体 绳子不可伸长，即绳子的长度保持不变。两端点的速度方向通常不在绳子所在的直线上 将物体的实际速度(合速度)分解为垂直于绳子和平行于绳子两个分量，平行于绳子方向的分速度大小相等
杆连接 的物体 杆不可伸长或压缩，即杆的长度保持不变。两端点的速度方向通常不在杆所在的直线上 将物体的实际速度(合速度)分解为垂直于杆和平行于杆两个分量，平行于杆方向的分速度大小相等
接触 模型 物体与另一个物体接触，接触点的速度需要分解 将接触点的实际速度(合速度)分解为沿接触面和垂直于接触面两个分量，垂直于接触面方向的分速度大小相等
转动 模型 物体绕某个点转动，需要考虑角速度和线速度的关系 将物体的实际速度(合速度)分解为沿转动方向和垂直于转动方向两个分量，沿转动方向的分速度大小相等
续表
2.常见模型图示
类型1　绳端速度分解模型
1.(多选)如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水平面的夹角为θ时，人的速度为v，人的拉力为F(不计滑轮与绳之间的摩擦)，则以下说法正确的是(　　)
应用体验
A.船的速度为　　
B.船的速度为vcos θ
C.船的加速度为
D.船的加速度为
√
√
解析:船运动的速度是沿绳子收缩方向的速度和绕定滑轮的摆动速度的合速度，如图甲所示，根据平行四边形定则有v=v船cos θ，船的速度为v船=，故A正确，B错误；对小船受力分析，如图乙所示，则有Fcos θ-f=ma，因此船的加速度大小为a=，故C错误，D正确。
类型2　杆端速度分解模型
2.(2025·贵州贵阳模拟)火灾逃生
的首要原则是离开火灾现场，如图所示
是火警设计的一种让当事人快捷逃离现
场的救援方案:用一根不变形的轻杆MN
支撑在楼面平台AB上，N端在水平地面上向右以v0匀速运动，被救助的人员紧抱在M端随轻杆一起向平台B端靠近，平台高为h。当CN=2h时，被救人员向B点运动的速率是(　　)
A.v0 B.v0 C.v0 D.v0
解析:设此时轻杆与水平方向的
夹角为θ，将N端的速度v0进行分解，
如图所示，则人的速度等于v0沿杆的
分量，即v人=v0cos θ，根据几何关系
可得cos θ==，解得v人=v0。故选C。
√
类型3　接触面速度分解模型
3.(2025·山东枣庄高三检测)如图所示，直
杆一端可绕固定轴O无摩擦转动，另一端始终靠
在物块B上，B的表面光滑，控制物块B使其由静
止开始水平向左做a=0.4 m/s2的匀加速直线运动，
在t=2 s时，直杆与竖直面的夹角θ=37°，端点A的速度为(sin 37°=0.6)
(　　)
A.1.2 m/s B.1.0 m/s
C.0.64 m/s D.0.8 m/s
√
解析:在t=2 s时B的速度v0=at=0.8 m/s，根据速度的分解规律有v0=vAcos θ，解得vA=1.0 m/s，故选B。
课时跟踪检测
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(说明:标★的为推荐讲评题目)
一、单项选择题
1.下列说法正确的是(　　)
A.在恒力作用下，物体可能做曲线运动
B.在变力作用下，物体不可能做曲线运动
C.做曲线运动的物体，其运动状态可能不改变
D.物体做曲线运动时，其加速度与速度的方向可能一致
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解析:物体做曲线运动的条件是合外力与速度不共线，力可以是恒力也可以是变力，故A正确，B错误；做曲线运动的物体，速度方向时刻发生变化，所以其运动状态一定改变，故C错误；物体做曲线运动的条件是加速度与速度不共线，故D错误。
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2.(2025·云南昆明模拟)香蕉球是一项令人惊叹的足球技术，足球能在空中绕过防守人员进入球门。如图所示曲线是足球某段时间内运动轨迹的俯视图，图中所示时刻空气对足球的作用力的水平分力可能沿 (　　)
A.a方向 B.b方向
C.c方向 D.d方向
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解析:根据曲线运动的规律，合力方向总是指向轨迹内侧，可知题图所示时刻空气对足球的作用力的水平分力可能沿a方向。故选A。
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3.(2025·长沙高三检测)如图所示，乒乓球从斜面滚下后，以某一速度在水平的桌面上做直线运动。在与乒乓球路径垂直的方向上放一个直径略大于乒乓球的纸筒。当乒乓球经过纸筒正前方时，用吸管对着球横向吹气。下列说法正确的是 (　　)
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A.乒乓球仍沿着直线运动
B.乒乓球将偏离原来的运动路径，但不进入纸筒
C.乒乓球一定能进入纸筒
D.只有用力吹气，乒乓球才能进入纸筒
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解析:当乒乓球经过纸筒正前方时，对着乒乓球横向吹气，乒乓球所受合力的方向与速度方向不在同一条直线上，乒乓球做曲线运动，故乒乓球会偏离原来的运动路径；乒乓球会获得一个横向的速度，此速度与乒乓球原来的速度合成一个沿纸面内斜向左下方的合速度，因此乒乓球将向纸面内左下方运动，但不进入纸筒，故A、C、D错误，B正确。
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4.(2025·石家庄模拟)放在地面上的鱼缸中的鱼在静止水中吐出的气泡沿竖直方向加速上浮，若鱼在匀速向右平移的缸中吐出气泡，则从如图所示的角度观察，气泡轨迹应为 (　　)
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解析:若鱼在匀速向右平移的缸中吐出气泡，由题意可知，气泡水平向右匀速运动的同时还竖直向上加速运动，则气泡的合运动为曲线运动，结合曲线运动的加速度方向位于轨迹的凹侧，则从题图所示的角度观察，气泡轨迹应为B图。
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5.(2025·云南玉溪模拟)在同一位置同时朝着上、下、左、右四个方向抛出四个小球，小球的初速度大小均相等。不考虑空气阻力，则经过一段时间后(小球均未落地)，四个小球的位置可能为 (　　)
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解析:四个小球加速度均相同，假设在该位置还静止释放一个小球，则抛出的四个小球均相对静止释放的小球做匀速直线运动，经过相同时间，四个小球相对中间小球的距离应该相等。故选A。
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6.(2023·江苏高考)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验:一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是 (　　)
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解析:罐子在空中水平向右做匀加速运动，以罐子为参考系，漏出的沙子在水平方向向左做匀加速运动，在竖直方向向下做匀加速运动，合加速度指向左下方，故沙子向左下方做匀加速直线运动。
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7.(2025·河北衡水模拟)如图，离地
高度为h的激光灯正以大小为ω的角速度
在竖直面内转动，当光束转到图示位置时，
光束与竖直方向夹角为θ，此时光束打在地
面上的光点的移动速度大小为 (　　)
A.hωtan θ B.
C. D.
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解析:光点的实际运动水平向右，设光束打在地面上的光点的移动速度为v，将速度v分解为垂直于光束的速度v1和沿光束的速度v2，如图所示，则v1=vcos θ，激光灯以ω的角速度在竖直面内转动，则v1=ω，联立解得v=，故B正确，A、C、D错误。
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8.如图所示，质量为m的木块a放置在倾角为α的固定斜面上，通过一根不可伸长的细线绕过固定在斜面上的轻滑轮与质量为m、套在杆上的小球b相连，小球以速率v向左匀速运动，不计空气阻力和一切摩擦力，重力加速度为g。当细线与水平杆的夹角为β时 (　　)
A.木块a的速度大小为v
B.木块a的速度大小为
C.细线的拉力大于mgsin α
D.细线的拉力小于mgsin α
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解析:将小球b的速度分解为沿绳方向的分速度v1和垂直于绳方向的分速度v2，木块a的速度大小等于v1=vcos β，故A、B错误；小球b向左运动过程中，β逐渐减小，则木块a的速度逐渐增大，即木块a做加速运动，细线的拉力大于mgsin α，故C正确，D错误。
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二、多项选择题
9.如图所示，小船(视为质点)从岸边A点开始渡河，河两岸平行，河的宽度为150 m，水流速度大小为3 m/s，船在静水中的速度大小为 4 m/s，则(　　)
A.船不可能到达正对岸B点
B.船的最短过河时间为37.5 s
C.船要以最短路程过河，船头必须指向正对岸
D.船以最短路程过河时的速率为 m/s
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解析:由于船在静水中的速度大于水流的速度，当速度满足如图所示关系时，船垂直河岸过河，可以到达正对岸B点，为以最短路程过河，船头方向与v相对方向相同，过河时的速率为v== m/s，故A、C错误，D正确；船头垂直河岸过河时，时间最短，则有tmin==37.5 s，故B正确。
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10.如图甲所示，竖直圆筒内壁光滑、半径为R，在侧壁同一竖直线上有A、B两小孔相距h，将一小球从上部A孔沿筒内壁水平射入筒中，小球紧贴筒内壁运动，并恰好能到达下部小孔B，所用时间为t1，到达下部小孔B时的速度大小为vB。如图乙所示，用光滑细钢丝绕成的螺距相同的柱形螺线管，横截面半径也为R，竖直固定，钢丝上下两端C、D恰好在同一竖直线上，相距h，一小铜环穿在钢丝上从上端C无初速度下滑到达底端D，所用时间为t2，到达D端时的速度大小为vD。二者相比较，下列结论正确的是 (　　)
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A.t1=t2 　　B.t1C.vB=vD 　　D.vB>vD
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解析:题图甲中小球在筒内受重力和水平指向圆筒竖直中心轴的筒壁的弹力，贴着筒壁做螺旋线运动，可视为水平面内的匀速圆周运动与竖直方向上做自由落体运动的合运动，由竖直方向上做自由落体运动，可求得小球由A运动到B的时间为t1=；题图乙中小铜环沿钢丝运动，受重力和垂直钢丝斜向上方的弹力，可等效为小环沿光滑斜面下滑，
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如图所示，则小环由C运动到D的时间为t2=，其中a=gsin αh，故t1vD，C错误，D正确。
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三、计算题
11.(12分)在一光滑的水平面上建立xOy平面坐标系，一质点在水平面上从坐标原点开始运动，沿x方向和y方向的x t图像和vy t图像分别如图甲、乙所示，求:
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(1)运动后4 s内质点的最大速度；(4分)
答案:2 m/s　
解析:由题图可知，质点沿x轴正方向做匀速直线运动，速度大小为vx==2 m/s，在运动后4 s内，沿y轴方向运动的最大速度为vym= -4 m/s，则运动后4 s内质点的最大速度为vm==2 m/s。
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(2)4 s末质点离坐标原点的距离。(8分)
答案:8 m
解析:0~2 s内质点沿y轴正方向做匀加速直线运动，2~4 s内先沿y轴正方向做匀减速直线运动，再沿y轴负方向做初速度为零的匀加速直线运动，此时加速度大小为ay==3 m/s2
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则质点沿y轴正方向做匀减速运动的时间
t2== s
则运动后的4 s内沿y轴方向的位移
y=×2×m-×4×m=0
因此4 s末质点离坐标原点的距离等于沿x轴方向的位移，由题图甲可知，4 s末质点离坐标原点的距离s=x1=8 m。
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12.(12分)如图所示，以岸边O点为原点
建立空间直角坐标系，x轴沿河岸方向、y轴
沿垂直河岸方向、z轴竖直向上。水速恒为
vx=5 m/s，方向沿x轴正方向。t=0时刻开始，
某船保持船头始终朝向y轴正方向运动至江心，船在y轴方向上的初速度为零，加速度为a1=4 m/s2，船在x轴方向上的速度始终与水速相同。在t=5 s时，船员相对船体以vz=10 m/s的速度将一个小石块垂直向上抛出，忽略空气阻力，重力加速度取g=10 m/s2。求:
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(1)t=5 s时船的位置坐标(x1，y1，z1)；(5分)
答案:(25 m，50 m，0)　
解析:船沿x轴方向做匀速运动，
则x1=vxt，解得x1=25 m
沿y轴方向做初速度为零的匀加速运动，则y1=a1t2，解得y1=50 m
t=5 s时船的位置坐标为(25 m，50 m，0)。
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(2)石块到达最高点时的位置坐标(x2，y2，z2)。(7分)
答案: (30 m，70 m，5 m)
解析:石块扔出瞬间，vy=a1t=20 m/s
石块到达最高点的时间t'==1 s
此时x轴方向的位移x2=vx(t+t')=30 m
y轴方向的位移y2=y1+vyt'=70 m
z轴方向的位移z2=gt'2=5 m
石块到达最高点时的位置坐标(30 m，70 m，5 m)。
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4课时跟踪检测(十九)　曲线运动 运动的合成与分解
一、单项选择题
1.下列说法正确的是 (　　)
A.在恒力作用下,物体可能做曲线运动
B.在变力作用下,物体不可能做曲线运动
C.做曲线运动的物体,其运动状态可能不改变
D.物体做曲线运动时,其加速度与速度的方向可能一致
2.(2025·云南昆明模拟)香蕉球是一项令人惊叹的足球技术,足球能在空中绕过防守人员进入球门。如图所示曲线是足球某段时间内运动轨迹的俯视图,图中所示时刻空气对足球的作用力的水平分力可能沿 (　　)
A.a方向 B.b方向
C.c方向 D.d方向
3.(2025·长沙高三检测)如图所示,乒乓球从斜面滚下后,以某一速度在水平的桌面上做直线运动。在与乒乓球路径垂直的方向上放一个直径略大于乒乓球的纸筒。当乒乓球经过纸筒正前方时,用吸管对着球横向吹气。下列说法正确的是 (　　)
A.乒乓球仍沿着直线运动
B.乒乓球将偏离原来的运动路径,但不进入纸筒
C.乒乓球一定能进入纸筒
D.只有用力吹气,乒乓球才能进入纸筒
4.(2025·石家庄模拟)放在地面上的鱼缸中的鱼在静止水中吐出的气泡沿竖直方向加速上浮,若鱼在匀速向右平移的缸中吐出气泡,则从如图所示的角度观察,气泡轨迹应为 (　　)
5.(2025·云南玉溪模拟)在同一位置同时朝着上、下、左、右四个方向抛出四个小球,小球的初速度大小均相等。不考虑空气阻力,则经过一段时间后(小球均未落地),四个小球的位置可能为 (　　)
6.(2023·江苏高考)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验:一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动,沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力,则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是 (　　)
7.(2025·河北衡水模拟)如图,离地高度为h的激光灯正以大小为ω的角速度在竖直面内转动,当光束转到图示位置时,光束与竖直方向夹角为θ,此时光束打在地面上的光点的移动速度大小为 (　　)
A.hωtan θ B.
C. D.
8.如图所示,质量为m的木块a放置在倾角为α的固定斜面上,通过一根不可伸长的细线绕过固定在斜面上的轻滑轮与质量为m、套在杆上的小球b相连,小球以速率v向左匀速运动,不计空气阻力和一切摩擦力,重力加速度为g。当细线与水平杆的夹角为β时 (　　)
A.木块a的速度大小为v
B.木块a的速度大小为
C.细线的拉力大于mgsin α
D.细线的拉力小于mgsin α
二、多项选择题
9.如图所示,小船(视为质点)从岸边A点开始渡河,河两岸平行,河的宽度为150 m,水流速度大小为3 m/s,船在静水中的速度大小为4 m/s,则 (　　)
A.船不可能到达正对岸B点
B.船的最短过河时间为37.5 s
C.船要以最短路程过河,船头必须指向正对岸
D.船以最短路程过河时的速率为 m/s
10.如图甲所示,竖直圆筒内壁光滑、半径为R,在侧壁同一竖直线上有A、B两小孔相距h,将一小球从上部A孔沿筒内壁水平射入筒中,小球紧贴筒内壁运动,并恰好能到达下部小孔B,所用时间为t1,到达下部小孔B时的速度大小为vB。如图乙所示,用光滑细钢丝绕成的螺距相同的柱形螺线管,横截面半径也为R,竖直固定,钢丝上下两端C、D恰好在同一竖直线上,相距h,一小铜环穿在钢丝上从上端C无初速度下滑到达底端D,所用时间为t2,到达D端时的速度大小为vD。二者相比较,下列结论正确的是 (　　)
A.t1=t2　　　 B.t1C.vB=vD D.vB>vD
三、计算题
11.(12分)在一光滑的水平面上建立xOy平面坐标系,一质点在水平面上从坐标原点开始运动,沿x方向和y方向的x t图像和vy t图像分别如图甲、乙所示,求:
(1)运动后4 s内质点的最大速度;(4分)
(2)4 s末质点离坐标原点的距离。(8分)
12.(12分)如图所示,以岸边O点为原点建立空间直角坐标系,x轴沿河岸方向、y轴沿垂直河岸方向、z轴竖直向上。水速恒为vx=5 m/s,方向沿x轴正方向。t=0时刻开始,某船保持船头始终朝向y轴正方向运动至江心,船在y轴方向上的初速度为零,加速度为a1=4 m/s2,船在x轴方向上的速度始终与水速相同。在t=5 s时,船员相对船体以vz=10 m/s的速度将一个小石块垂直向上抛出,忽略空气阻力,重力加速度取g=10 m/s2。求:
(1)t=5 s时船的位置坐标(x1,y1,z1);(5分)
(2)石块到达最高点时的位置坐标(x2,y2,z2)。(7分)
课时跟踪检测(十九)
1.选A　物体做曲线运动的条件是合外力与速度不共线,力可以是恒力也可以是变力,故A正确,B错误;做曲线运动的物体,速度方向时刻发生变化,所以其运动状态一定改变,故C错误;物体做曲线运动的条件是加速度与速度不共线,故D错误。
2.选A　根据曲线运动的规律,合力方向总是指向轨迹内侧,可知题图所示时刻空气对足球的作用力的水平分力可能沿a方向。故选A。
3.选B　当乒乓球经过纸筒正前方时,对着乒乓球横向吹气,乒乓球所受合力的方向与速度方向不在同一条直线上,乒乓球做曲线运动,故乒乓球会偏离原来的运动路径;乒乓球会获得一个横向的速度,此速度与乒乓球原来的速度合成一个沿纸面内斜向左下方的合速度,因此乒乓球将向纸面内左下方运动,但不进入纸筒,故A、C、D错误,B正确。
4.选B　若鱼在匀速向右平移的缸中吐出气泡,由题意可知,气泡水平向右匀速运动的同时还竖直向上加速运动,则气泡的合运动为曲线运动,结合曲线运动的加速度方向位于轨迹的凹侧,则从题图所示的角度观察,气泡轨迹应为B图。
5.选A　四个小球加速度均相同,假设在该位置还静止释放一个小球,则抛出的四个小球均相对静止释放的小球做匀速直线运动,经过相同时间,四个小球相对中间小球的距离应该相等。故选A。
6.选D　罐子在空中水平向右做匀加速运动,以罐子为参考系,漏出的沙子在水平方向向左做匀加速运动,在竖直方向向下做匀加速运动,合加速度指向左下方,故沙子向左下方做匀加速直线运动。
7.选B　光点的实际运动水平向右,设光束打在地面上的光点的移动速度为v,将速度v分解为垂直于光束的速度v1和沿光束的速度v2,如图所示,则v1=vcos θ,激光灯以ω的角速度在竖直面内转动,则v1=ω,联立解得v=,故B正确,A、C、D错误。
8.选C　
将小球b的速度分解为沿绳方向的分速度v1和垂直于绳方向的分速度v2,木块a的速度大小等于v1=vcos β,故A、B错误;小球b向左运动过程中,β逐渐减小,则木块a的速度逐渐增大,即木块a做加速运动,细线的拉力大于mgsin α,故C正确,D错误。
9.选BD　由于船在静水中的速度大于水流的速度,当速度满足如图所示关系时,船垂直
河岸过河,可以到达正对岸B点,为以最短路程过河,船头方向与v相对方向相同,过河时的速率为v== m/s,故A、C错误,D正确;船头垂直河岸过河时,时间最短,则有tmin==37.5 s,故B正确。
10.选BD　题图甲中小球在筒内受重力和水平指向圆筒竖直中心轴的筒壁的弹力,贴着筒壁做螺旋线运动,可视为水平面内的匀速圆周运动与竖直方向上做自由落体运动的合运动,由竖直方向上做自由落体运动,可求得小球由A运动到B的时间为t1=;题图乙中小铜环沿钢丝运动,受重力和垂直钢丝斜向上方的弹力,可等效为小环沿光滑斜面下滑,
如图所示,则小环由C运动到D的时间为t2=,其中a=gsin αh,故t1vD,C错误,D正确。
11.解析:(1)由题图可知,质点沿x轴正方向做匀速直线运动,速度大小为vx==2 m/s,在运动后4 s内,沿y轴方向运动的最大速度为vym=-4 m/s,则运动后4 s内质点的最大速度为vm==2 m/s。
(2)0~2 s内质点沿y轴正方向做匀加速直线运动,2~4 s内先沿y轴正方向做匀减速直线运动,再沿y轴负方向做初速度为零的匀加速直线运动,此时加速度大小为ay==3 m/s2
则质点沿y轴正方向做匀减速运动的时间
t2== s
则运动后的4 s内沿y轴方向的位移
y=×2×m-×4×m=0
因此4 s末质点离坐标原点的距离等于沿x轴方向的位移,由题图甲可知,4 s末质点离坐标原点的距离s=x1=8 m。
答案:(1)2 m/s　(2)8 m
12.解析:(1)船沿x轴方向做匀速运动,
则x1=vxt,解得x1=25 m
沿y轴方向做初速度为零的匀加速运动,则y1=a1t2,解得y1=50 m
t=5 s时船的位置坐标为(25 m,50 m,0)。
(2)石块扔出瞬间,vy=a1t=20 m/s
石块到达最高点的时间t'==1 s
此时x轴方向的位移x2=vx(t+t')=30 m
y轴方向的位移y2=y1+vyt'=70 m
z轴方向的位移z2=gt'2=5 m
石块到达最高点时的位置坐标(30 m,70 m,5 m)。
答案:(1)(25 m,50 m,0)
(2)(30 m,70 m,5 m)
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