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第2讲　抛体运动(基础落实课)
一、平抛运动
1.定义:以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在　　　　作用下的运动。
2.运动性质:平抛运动是加速度为g的　　　　曲线运动,其运动轨迹是　　　　。
3.研究方法——运动的合成与分解。
(1)水平方向:　　　　直线运动;
(2)竖直方向:　　　　运动。
二、平抛运动的规律
运动 分解 图示
速度 关系
位移 关系
两个 重要 推论 (1)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻,设其速度方向与水平方向的夹角为θ,位移方向与水平方向的夹角为α,则tan θ=　　　 (2)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的　　　　　　的反向延长线一定通过此时水平位移的　　　　,则x=2xOB
三、斜抛运动
1.定义:将物体以初速度v0沿　　　　　或　　　　　抛出,物体只在　　　作用下的运动。
2.运动性质
斜抛运动是加速度为g的　　　　曲线运动,运动轨迹是　　　　。
3.研究方法
斜抛运动可以分解为水平方向的　　　　　运动和竖直方向的　　　　　　运动。
4.基本规律(以斜上抛运动为例,如图所示)
(1)水平方向:v0x=　　　　　,F合x=0;
(2)竖直方向:v0y=　　　　　,F合y=mg。
微点判断
1.(鲁科必修2P54T3·改编)关于平抛运动,判断下列说法的正误:
①做平抛运动的物体不受任何外力的作用。 (　 )
②平抛运动是曲线运动,不可能是匀变速运动。 (　 )
③做平抛运动的物体在竖直方向做自由落体运动。 (　 )
④物体做平抛运动的落地时间与初速度的大小无关。 (　 )
2.(2023·全国甲卷T14B)一同学将铅球水平推出,不计空气阻力和转动的影响,铅球在平抛运动过程中加速度保持不变。 (　 )
3.做平抛运动的物体在相等时间内速度变化量相同。 (　 )
4.做平抛运动的物体在相等时间内速度大小变化相同。 (　 )
5.平抛运动速度和加速度方向之间的夹角一直减小。 (　 )
6.斜抛运动的加速度不恒定。 (　 )
7.无论是平抛运动还是斜抛运动,都是匀变速曲线运动。 (　 )
逐点清(一)　平抛运动规律及应用
1.平抛运动时间和水平射程
运动 时间 由t=知,运动时间取决于下落高度h,与初速度v0无关
水平 射程 x=v0t=v0,即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定
2.速度和位移的变化规律
速度 变化 规律 ①任一时刻的速度水平分量均等于初速度v0 ②任一相等时间间隔Δt内的速度变化量方向竖直向下,大小Δv=Δvy=gΔt
位移 变化 规律 ①任一相等时间间隔Δt内,水平位移相同,即Δx=v0Δt ②连续相等的时间间隔Δt内,竖直方向上的位移差不变,即Δy=gΔt2
[应用体验]
1.(人教版教材必修2,P19T4)在水平路面上骑摩托车的人,遇到一个壕沟,其尺寸如图所示。摩托车后轮离开地面后失去动力,可以视为平抛运动。摩托车后轮落到壕沟对面才算安全。摩托车的速度至少要多大才能越过这个壕沟 g取10 m/s2。
2.(2024·海南高考)在跨越河流表演中,一人骑车以25 m/s的速度水平冲出平台,恰好跨越长x=25 m的河流落在河对岸平台上,已知河流宽度为25 m,不计空气阻力,取g=10 m/s2,则两平台的高度差h为 (　　)
A.0.5 m　　B.5 m　　C.10 m　　D.20 m
|考|教|衔|接|
　　人教版教材中的题目是已知平抛运动的水平位移和竖直位移求解平抛运动的初速度,而2024年海南高考题是已知水平位移和水平速度求解竖直高度,两题情境相近,考查的均为平抛运动的基本规律。
3.(2024·湖北高考)如图所示,有五片荷叶伸出荷塘水面,一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内,a、b高度相同,c、d高度相同,a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动,若以最小的初速度完成跳跃,则它应跳到 (　　)
A.荷叶a B.荷叶b
C.荷叶c D.荷叶d
4.(2024·北京高考)如图所示,水平放置的排水管满口排水,管口的横截面积为S,管口离水池水面的高度为h,水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动,已知重力加速度为g,h远大于管口内径。求:
(1)水从管口到水面的运动时间t;
(2)水从管口排出时的速度大小v0;
(3)管口单位时间内流出水的体积Q。
逐点清(二)　落点有约束条件的平抛运动
类型(一)　落点在斜面上的平抛运动
[例1]　如图所示,倾角为θ的斜面体固定在水平面上,两个可视为质点的小球甲和乙分别沿水平方向抛出,两球的初速度大小相等,已知甲的抛出点为斜面体的顶点,经过一段时间两球分别落在斜面上的A、B点后不再反弹,落在斜面上的瞬间,小球乙的速度与斜面垂直。忽略空气阻力,重力加速度为g,则下列结论正确的是 (　　)
A.甲、乙两球在空中运动的时间之比为tan2θ∶1
B.甲、乙两球下落的高度之比为2tan2θ∶1
C.甲、乙两球的水平位移大小之比为tan θ∶1
D.甲、乙两球落在斜面上瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值之比为2tan2θ∶1
听课记录:
|思|维|建|模|　落点在斜面上的平抛运动处理思路
图示 方法 基本规律 运动时间
分解速度,构建速度的矢量三角形 水平vx=v0 竖直vy=gt 合速度v= 由tan θ==得t=
分解位移,构建位移的矢量三角形 水平x=v0t 竖直y=gt2 合位移x合= 由tan θ= = 得t=
类型(二)　落点在曲面上的平抛运动
[例2·落点在圆弧面上]　如图所示,半径为R的半球形碗固定于水平面上,碗口水平,O点为碗的圆心,A、B为水平直径的两个端点。将一弹性小球(可视为质点)从A点沿AB方向以初速度v1水平抛出,小球与碗内壁碰撞一次后恰好经过B点;若将该小球从离O点R处的C点以初速度v2水平抛出,小球与碗内壁碰撞一次后恰好返回C点。假设小球与碗内壁碰撞前后瞬间小球的切向速度不变,沿半径方向的速度等大反向,则v2与v1的比值为 (　　)
A.2 B.
C. D.
听课记录:
[例3·落点在抛物面上]　如图所示,在竖直平面内有一曲面,曲面满足的数学关系式为y=x2(x>0),在y轴上有一点P,坐标为(0,6 m)。从P点将一可看成质点的小球水平抛出,初速度为1 m/s。则小球第一次打在曲面上的时间为(不计空气阻力,g取10 m/s2) (　　)
A.1 s　 　B. s　 　C. s　 　D. s
听课记录:
|思|维|建|模|　平抛运动与两类曲面结合问题
(1)物体平抛后落入圆弧内时,物体平抛运动的水平位移、竖直位移与圆弧半径存在一定的数量关系。
(2)物体平抛后落入抛物面内时,物体平抛运动的水平位移、竖直位移与抛物线方程结合可以建立水平方向和竖直方向的关系方程。
逐点清(三)　平抛运动的临界问题
1.常见的“临界术语”
(1)题目中有“刚好”“恰好”“正好”“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述的过程中存在临界点。
(2)题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程中存在着极值。
2.平抛运动临界、极值问题的分析方法
(1)确定研究对象的运动性质;
(2)根据题意确定临界状态;
(3)确定临界轨迹,画出轨迹示意图;
(4)应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解。
　　[典例]　(2025·黑龙江哈尔滨模拟)如图1为一个网球场的示意图,一个网球发球机固定在底角处,可以将网球沿平行于地面的各个方向发出,发球点距地面高为1.8 m,球网高1 m。图2为对应的俯视图,其中L1=12 m,L2=9 m。按照规则,网球发出后不触网且落在对面阴影区域(包含虚线)内为有效发球。图中虚线为球场的等分线,则发球机有效发球时发出网球的最小速率为(忽略一切阻力,重力加速度g=10 m/s2) (　　)
A. m/s B.12.5 m/s
C. m/s D.20 m/s
听课记录:
　　[针对训练]
1.套圈游戏是一项趣味活动。如图,某次游戏中,一小孩从距地面高0.45 m处水平抛出半径为0.1 m的圆环(圆环面始终水平),套住了抛出时距圆环前端水平距离为1.0 m且顶端离地高度为0.25 m的竖直细圆筒。若重力加速度大小g=10 m/s2,则小孩抛出圆环的初速度可能是 (　　)
A.4.3 m/s B.5.6 m/s
C.6.5 m/s D.7.5 m/s
2.如图所示,乒乓球的发球器安装在水平桌面上,竖直转轴OO'的O'端距桌面的高度为h,发射器O'A部分长度也为h。打开开关后,可将乒乓球从A点以初速度v0水平发射出去,其中≤v0≤2,g为重力加速度。设发射出的所有乒乓球都能落到桌面上,乒乓球自身尺寸及空气阻力不计。若使该发球器绕转轴OO'在90°角的范围内来回缓慢水平转动,持续发射足够长时间后,求乒乓球第一次与桌面相碰区域的面积S。
逐点清(四)　斜抛运动
　　对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动过程,可逆向分析为平抛运动,分析完整的斜上抛运动时,还可根据下列三种对称性求解某些问题。
轨迹 对称 斜上抛运动的轨迹关于过最高点的竖直线对称
速度 对称 关于过轨迹最高点的竖直线对称的两点速度大小相等
时间 对称 关于过轨迹最高点的竖直线对称的两点,从其中一点到最高点的上升时间与从最高点到对称点的下降时间相等
[考法全训]
考法1　斜抛运动规律的理解和应用
1.(人教版教材必修2,P20 T1)在篮球比赛中,投篮的投出角度太大和太小,都会影响投篮的命中率。在某次投篮表演中,运动员在空中一个漂亮的投篮,篮球以与水平面成45°的倾角准确落入篮筐,这次跳起投篮时,投球点和篮筐正好在同一水平面上(如图),设投球点到篮筐距离为9.8 m,不考虑空气阻力,g取9.8 m/s2。
(1)篮球进筐的速度有多大
(2)篮球投出后的最高点相对篮筐的竖直高度是多少
2.(2024·山东高考)(多选)如图所示,工程队向峡谷对岸平台抛射重物,初速度v0大小为20 m/s,与水平方向的夹角为30°,抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°,重力加速度大小取10 m/s2,忽略空气阻力。重物在此运动过程中,下列说法正确的是 (　　)
A.运动时间为2 s
B.落地速度与水平方向夹角为60°
C.重物离PQ连线的最远距离为10 m
D.轨迹最高点与落点的高度差为45 m
|考|教|衔|接|
　　人教版教材中的练习题是物体做斜上抛运动,落地点与抛出点等高,2024年山东高考题也是斜上抛运动,落地点在抛出点的下方,高考题要比教材题的难度大,思维含量高,“源于教材,高于教材”是高考命题一贯坚持的原则。
考法2　三维空间内的斜抛运动
3.(多选)如图所示,某同学将离地1.25 m的网球以13 m/s的速度斜向上击出,击球点到竖直墙壁的距离为4.8 m。当网球竖直分速度为零时,击中墙壁上离地高度为8.45 m的P点。网球与墙壁碰撞后,垂直墙面的速度分量大小变为碰前的0.75倍,平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10 m/s2,网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为 (　　)
A.v=5 m/s B.v=3 m/s
C.d=3.6 m D.d=3.9 m
第2讲
课前基础先行
一、1.重力　2.匀变速　抛物线　3.(1)匀速　(2)自由落体
二、gt　　　v0t　gt2　　　(1)2tan α　(2)瞬时速度　中点
三、1.斜向上方　斜向下方　重力　2.匀变速
抛物线　3.匀速直线　匀变速直线
4.(1)v0cos θ　(2)v0sin θ
[微点判断]　1.①×　②×　③√　④√
2.√　3.√　4.×　5.√　6.×　7.√
逐点清(一)
1.解析:若摩托车恰能飞到壕沟对面,则水平方向x=v0t,竖直方向h=gt2,解得v0=5 m/s,则摩托车安全越过壕沟的速度至少要达到5 m/s。
答案:5 m/s
2.选B　人和车做平抛运动,设运动时间为t,在竖直方向上有h=gt2,在水平方向上有x=v0t,其中x=25 m、v0=25 m/s,解得h=5 m。故选B。
3.选C　青蛙做平抛运动,在水平方向上做匀速直线运动,在竖直方向上做自由落体运动,则有x=vt,h=gt2,可得v=x,因此水平位移越小、竖直高度越大,初速度越小,因此青蛙应跳到荷叶c上面。故选C。
4.解析:(1)水在空中做平抛运动,由平抛运动规律得,竖直方向h=gt2
解得水从管口到水面的运动时间t=。
(2)由平抛运动规律得,水平方向d=v0t
解得水从管口排出时的速度大小v0=d。
(3)管口单位时间内流出水的体积
Q=Sv0=Sd。
答案:(1)　(2)d　(3)Sd
逐点清(二)
[例1]　选D　由小球甲的运动可知,tan θ===,解得t=,落到斜面上瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值为tan α甲==,则tan α甲=2tan θ;由小球乙的运动可知,tan θ==,解得t'=,落到斜面上瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值为tan α乙==。甲、乙两球在空中运动的时间之比为t∶t'=2tan2θ∶1,A错误;由h=gt2可知,甲、乙两球下落的高度之比为h∶h'=t2∶t'2=4tan4θ∶1,B错误;由x=v0t可知,甲、乙两球的水平位移大小之比为x∶x'=t∶t'=2tan2θ∶1,C错误;甲、乙两球落在斜面上瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值之比为2tan2θ∶1,D正确。
[例2]　选B　小球从A点以初速度v1向右平抛,反弹后经过B点,由对称性知小球与
碗内壁的碰撞点应在碗的最低点,由平抛运动的规律有R=v1t1,R=g,解得v1=;小球从C点以初速度v2向右平抛,要使小球能反弹回C点,小球必须垂直打在圆弧上,如图所示,设碰撞点为D,连接OD,即为平抛轨迹过D点的切线,过D点作DE⊥AB于E,则O为小球平抛水平位移的中点,有ED=g,CO=OE=v2t2,在Rt△ODE中,有(ED)2+(OE)2=R2,解得v2=,可得=,故选B。
[例3]　选A　设小球经过时间t打在曲面上M点,M点坐标为(x1,y1),小球水平抛出后做平抛运动,在水平方向上有x1=v0t,在竖直方向上有6 m-y1=gt2,又小球打在曲面上,则满足数学关系式y1=,代入数据解得t=1 s,故A正确,B、C、D错误。
逐点清(三)
[典例]　选A　当发球机有效发球且发出网球的速率最小时,球应恰好到达有效区域的边缘且刚好不触网,如图所示,网球从A点发出后落在C点。网球从A点发出后,在竖直方向做自由落体运动,有H=g,解得tAC== s=0.6 s,若网球恰好不触网,则有H-h=g,解得tAB== s=0.4 s,网球在水平方向上做匀速直线运动,即xAB∶xAC=tAB∶tAC=2∶3,因△CMB与△CNA为相似三角形,则有xAB∶xAC=xNM∶xNC=2∶3,因L1=12 m、L2=9 m,可得xNC=L1×=9 m,xAC== m,则发球机有效发球时发出网球的最小速率为vmin== m/s。故选A。
[针对训练]
1.选B　根据h1-h2=gt2,解得t== s=0.2 s,则平抛运动的最大初速度v1== m/s=6.0 m/s,最小初速度v2== m/s=5.0 m/s,则5.0 m/s2.解析:乒乓球做平抛运动,在竖直方向有h=gt2
解得乒乓球做平抛运动的时间t=
当初速度最大时,水平位移xmax=vmaxt=2×=4h,当初速度最小时,水平位移xmin=vmint=×=2h,所以对应的四分之一圆环(乒乓球第一次与桌面相碰区域)的小圆半径r1=3h,大圆半径r2=5h,则持续发射足够长时间后,乒乓球第一次与桌面相碰区域的面积S=×π[(5h)2-(3h)2]=4πh2。
答案:4πh2
逐点清(四)
1.解析:(1)设篮球出手和进筐的速度大小分别为v0和v,由题意可知v=v0
设篮球从出手到落入篮筐所用的时间为t,在竖直方向篮球只受重力,做竖直上抛运动,有-v0sin 45°=v0sin 45°-gt;篮球在水平方向的分运动为匀速运动,有x=v0tcos 45°
联立解得v=9.8 m/s。
(2)篮球投出后的最高点相对篮筐的竖直高度h==2.45 m。
答案:(1)9.8 m/s　(2)2.45 m
2.选BD　将初速度分解为沿PQ方向的分速度v1和垂直PQ的分速度v2,则有v1=v0cos 60°=10 m/s,v2=v0sin 60°=10 m/s,将重力加速度分解为沿PQ方向的分加速度a1和垂直PQ的分加速度a2,则有a1=gsin 30°=5 m/s2,a2=gcos 30°=5 m/s2,在垂直PQ方向,根据对称性可得重物运动时间为t=2·=4 s,重物离PQ连线的最远距离为dmax==10 m,故A、C错误;重物落地时竖直分速度大小vy=-v0sin 30°+gt=30 m/s,则落地速度与水平方向夹角的正切值为tan θ===,可得θ=60°,故B正确;从抛出点到最高点所用时间为t1==1 s,则从最高点到落点所用时间为t2=t-t1=3 s,轨迹最高点与落点的高度差为h=g=45 m,故D正确。
3.选BD　设网球飞出时的速度大小为v0,竖直方向有=2g(H-h),代入数据得v0竖直= m/s=12 m/s,则v0水平= m/s=5 m/s,击球点到P点的水平距离x水平=v0水平t=v0水平·=6 m,根据几何关系可得打在墙面上时,垂直墙面的速度分量v0水平⊥=v0水平·=4 m/s,平行墙面的速度分量v0水平∥=v0水平·=3 m/s,反弹后,垂直墙面的速度分量v水平⊥=0.75·v0水平⊥=3 m/s,则反弹后的网球速度大小为v==3 m/s,网球落到地面的时间t'= = s=1.3 s,着地点到墙壁的距离d=v水平⊥t'=3.9 m,故B、D正确,A、C错误。
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抛体运动(基础落实课)
第 2 讲
1
课前基础先行
课时跟踪检测
2
逐点清(一)　平抛运动规律及应用
CONTENTS
目录
4
逐点清(三)　平抛运动的临界问题
6
3
逐点清(二)　落点有约束条件的平抛运动
5
逐点清(四)　斜抛运动
课前基础先行
一、平抛运动
1.定义:以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在_____作用下的运动。
2.运动性质:平抛运动是加速度为g的________曲线运动，其运动轨迹是__________。
3.研究方法——运动的合成与分解。
(1)水平方向:______直线运动；
(2)竖直方向:__________运动。
重力
匀变速
抛物线
匀速
自由落体
二、平抛运动的规律
运动分解图示
速度关系
位移 关系
两个 重要 推论 (1)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为α，则 tan θ=______
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的___________的反向延长线一定通过此时水平位移的_______，则x=2xOB
2tan α
瞬时速度
中点
续表
三、斜抛运动
1.定义:将物体以初速度v0沿__________或__________抛出，物体只在_____作用下的运动。
2.运动性质
斜抛运动是加速度为g的_______曲线运动，运动轨迹是________。
3.研究方法
斜抛运动可以分解为水平方向的___________运动和竖直方向的_____________运动。
斜向上方
斜向下方
重力
匀变速
抛物线
匀速直线
匀变速直线
4.基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示)
(1)水平方向:v0x=________，F合x=0；
(2)竖直方向:v0y=________，F合y=mg。
v0cos θ
v0sin θ
1.(鲁科必修2P54T3·改编)关于平抛运动，判断下列说法的正误:
①做平抛运动的物体不受任何外力的作用。 ( )
②平抛运动是曲线运动，不可能是匀变速运动。 ( )
③做平抛运动的物体在竖直方向做自由落体运动。 ( )
④物体做平抛运动的落地时间与初速度的大小无关。 ( )
微点判断
×
×
√
√
2.(2023·全国甲卷T14B)一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程中加速度保持不变。 ( )
3.做平抛运动的物体在相等时间内速度变化量相同。 ( )
4.做平抛运动的物体在相等时间内速度大小变化相同。 ( )
5.平抛运动速度和加速度方向之间的夹角一直减小。 ( )
6.斜抛运动的加速度不恒定。 ( )
7.无论是平抛运动还是斜抛运动，都是匀变速曲线运动。 ( )
√
√
×
√
×
√
逐点清(一)　平抛运动规律及应用
课
堂
1.平抛运动时间和水平射程
运动 时间 由t=知，运动时间取决于下落高度h，与初速度v0无关
水平 射程 x=v0t=v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定
2.速度和位移的变化规律
速度 变化 规律 ①任一时刻的速度水平分量均等于初速度v0
②任一相等时间间隔Δt内的速度变化量方向
竖直向下,大小Δv=Δvy=gΔt
位移 变化 规律 ①任一相等时间间隔Δt内,水平位移相同,即Δx=v0Δt
②连续相等的时间间隔Δt内,竖直方向上的位移差不变,即Δy=gΔt2
应用体验
1.(人教版教材必修2，P19T4)在水平路面上骑摩托车的人，遇到一个壕沟，其尺寸如图所示。摩托车后轮离开地面后失去动力，可以视为平抛运动。摩托车后轮落到壕沟对面才算安全。摩托车的速度至少要多大才能越过这个壕沟 g取10 m/s2。
答案:5 m/s
解析:若摩托车恰能飞到壕沟对面，则水平方向x=v0t，竖直方向h=gt2，解得v0=5 m/s，则摩托车安全越过壕沟的速度至少要达到5 m/s。
2.(2024·海南高考)在跨越河流表演中，
一人骑车以25 m/s的速度水平冲出平台，恰
好跨越长x=25 m的河流落在河对岸平台上，
已知河流宽度为25 m，不计空气阻力，
取g=10 m/s2，则两平台的高度差h为 (　　)
A.0.5 m B.5 m
C.10 m D.20 m
√
解析:人和车做平抛运动，设运动时间为t，在竖直方向上有h=gt2，在水平方向上有x=v0t，其中x=25 m、v0=25 m/s，解得h= 5 m。故选B。
人教版教材中的题目是已知平抛运动的水平位移和竖直位移求解平抛运动的初速度，而2024年海南高考题是已知水平位移和水平速度求解竖直高度，两题情境相近，考查的均为平抛运动的基本规律。
考教衔接
3.(2024·湖北高考)如图所示，有五
片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处
荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、
c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度
相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到 (　　)
A.荷叶a B.荷叶b
C.荷叶c D.荷叶d
√
解析:青蛙做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，则有x=vt，h=gt2，可得v=x，因此水平位移越小、竖直高度越大，初速度越小，因此青蛙应跳到荷叶c上面。故选C。
4.(2024·北京高考)如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求:
(1)水从管口到水面的运动时间t；
答案:
解析:水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向h=gt2
解得水从管口到水面的运动时间t=。
(2)水从管口排出时的速度大小v0；
答案:d　
解析:由平抛运动规律得，水平方向d=v0t
解得水从管口排出时的速度大小v0=d。
(3)管口单位时间内流出水的体积Q。
答案:Sd
解析:管口单位时间内流出水的体积
Q=Sv0=Sd。
逐点清(二)　落点有约束条件的平抛运动
课
堂
类型(一)　落点在斜面上的平抛运动
[例1]　如图所示，倾角为θ的斜面体固
定在水平面上，两个可视为质点的小球甲
和乙分别沿水平方向抛出，两球的初速度大
小相等，已知甲的抛出点为斜面体的顶点，
经过一段时间两球分别落在斜面上的A、B点后不再反弹，落在斜面上的瞬间，小球乙的速度与斜面垂直。忽略空气阻力，重力加速度为g，则下列结论正确的是(　　)
A.甲、乙两球在空中运动的时间之比为tan2θ∶1
B.甲、乙两球下落的高度之比为2tan2θ∶1
C.甲、乙两球的水平位移大小之比为tan θ∶1
D.甲、乙两球落在斜面上瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值之比为2tan2θ∶1
√
[解析]　由小球甲的运动可知，tan θ===，解得t=，落到斜面上瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值为tan α甲==，则tan α甲=2tan θ；由小球乙的运动可知，tan θ
==，解得t'=，落到斜面上瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值为tan α乙==。甲、乙两球在空中运动的时间之比为t∶t'=2tan2θ∶1，A错误；
由h=gt2可知，甲、乙两球下落的高度之比为h∶h'=t2∶t'2=
4tan4θ∶1，B错误；由x=v0t可知，甲、乙两球的水平位移大小之比为x∶x'=t∶t'=2tan2θ∶1，C错误；甲、乙两球落在斜面上瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值之比为2tan2θ∶1，D正确。
落点在斜面上的平抛运动处理思路
思维建模
图示 方法 基本规律 运动时间
分解速度，构建速度的矢量三角形 水平vx=v0 竖直vy=gt 合速度v= 由tan θ==得t=
分解位移，构建位移的矢量三角形 水平x=v0t 竖直y=gt2 合位移x合= 由tan θ=
=
得t=
续表
类型(二)　落点在曲面上的平抛运动
[例2·落点在圆弧面上]　如图所示，半径
为R的半球形碗固定于水平面上，碗口水平，
O点为碗的圆心，A、B为水平直径的两个端
点。将一弹性小球(可视为质点)从A点沿AB方
向以初速度v1水平抛出，小球与碗内壁碰撞一次后恰好经过B点；若将该小球从离O点R处的C点以初速度v2水平抛出，小球与碗内壁碰撞一次后恰好返回C点。假设小球与碗内壁碰撞前后瞬间小球的切向速度不变，沿半径方向的速度等大反向，则v2与v1的比值为(　　)
A.2 B.
C. D.
[解析]　小球从A点以初速度v1向右平抛，反弹后经过B点，由对称性知小球与碗内壁的碰撞点应在碗的最低点，由平抛运动的规律有R=v1t1，R=g，解得v1=；小球从C点以初速度v2向右平抛，要使小球能反弹回C点，小球必须垂直打在圆弧上，
√
如图所示，设碰撞点为D，连接OD，即为平抛轨迹过D点的切线，过D点作DE⊥AB于E，则O为小球平抛水平位移的中点，有ED=g，CO=OE=v2t2，在Rt△ODE中，有(ED)2+(OE)2=R2，解得v2=，可得=，故选B。
[例3·落点在抛物面上]　如图所示，在竖直
平面内有一曲面，曲面满足的数学关系式为y=
x2(x>0)，在y轴上有一点P，坐标为(0，6 m)。
从P点将一可看成质点的小球水平抛出，初速度
为1 m/s。则小球第一次打在曲面上的时间为(不
计空气阻力，g取10 m/s2) (　　)
A.1 s　 　 B. s　 　 C. s　 　 D. s
√
[解析]　设小球经过时间t打在曲面上M点，M点坐标为(x1，y1)，小球水平抛出后做平抛运动，在水平方向上有x1=v0t，在竖直方向上有6 m-y1=gt2，又小球打在曲面上，则满足数学关系式y1=，代入数据解得t=1 s，故A正确，B、C、D错误。
平抛运动与两类曲面结合问题
(1)物体平抛后落入圆弧内时，物体平抛运动的水平位移、竖直位移与圆弧半径存在一定的数量关系。
(2)物体平抛后落入抛物面内时，物体平抛运动的水平位移、竖直位移与抛物线方程结合可以建立水平方向和竖直方向的关系方程。

思维建模
逐点清(三)　平抛运动的
临界问题
课
堂
1.常见的“临界术语”
(1)题目中有“刚好”“恰好”“正好”“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在临界点。
(2)题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值。
2.平抛运动临界、极值问题的分析方法
(1)确定研究对象的运动性质；
(2)根据题意确定临界状态；
(3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图；
(4)应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解。
[典例]　(2025·黑龙江哈尔滨模拟)如图1为一个网球场的示意图，一个网球发球机固定在底角处，可以将网球沿平行于地面的各个方向发出，发球点距地面高为1.8 m，球网高1 m。图2为对应的俯视图，其中L1=12 m，L2=9 m。按照规则，网球发出后不触网且落在对面阴影区域(包含虚线)内为有效发球。图中虚线为球场的等分线，则发球机有效发球时发出网球的最小速率为(忽略一切阻力，重力加速度g=10 m/s2) (　　)
A. m/s B.12.5 m/s
C. m/s D.20 m/s
[解析]　当发球机有效发球且发出网球的速率最小时，球应恰好到达有效区域的边缘且刚好不触网，如图所示，网球从A点发出后落在C点。
√
网球从A点发出后，在竖直方向做自由落体运动，有H=g，解得tAC=
= s=0.6 s，若网球恰好不触网，则有H-h=g，解得tAB=
= s=0.4 s，网球在水平方向上做匀速直线运动，即xAB∶xAC=
tAB∶tAC=2∶3，因△CMB与△CNA为相似三角形，则有xAB∶xAC=xNM∶xNC
=2∶3，因L1=12 m、L2=9 m，可得xNC=L1×=9 m，xAC==
m，则发球机有效发球时发出网球的最小速率为vmin== m/s。故选A。
1.套圈游戏是一项趣味活动。如图，某次游戏中，一小孩从距地面高0.45 m处水平抛出半径为0.1 m的圆环(圆环面始终水平)，套住了抛出时距圆环前端水平距离为1.0 m且顶端离地高度为0.25 m的竖直细圆筒。若重力加速度大小g=10 m/s2，则小孩抛出圆环的初速度可能是 (　　)
A.4.3 m/s B.5.6 m/s
C.6.5 m/s D.7.5 m/s
√
针对训练
解析:根据h1-h2=gt2，解得t== s=0.2 s，则平抛运动的最大初速度v1== m/s=6.0 m/s，最小初速度v2== m/s=5.0 m/s，则5.0 m/s2.如图所示，乒乓球的发球器安装在
水平桌面上，竖直转轴OO'的O'端距桌面
的高度为h，发射器O'A部分长度也为h。
打开开关后，可将乒乓球从A点以初速度v0水平发射出去，其中≤v0≤2，g为重力加速度。设发射出的所有乒乓球都能落到桌面上，乒乓球自身尺寸及空气阻力不计。若使该发球器绕转轴OO'在90°角的范围内来回缓慢水平转动，持续发射足够长时间后，求乒乓球第一次与桌面相碰区域的面积S。
答案:4πh2
解析:乒乓球做平抛运动，在竖直方向有h=gt2
解得乒乓球做平抛运动的时间t=
当初速度最大时，水平位移xmax=vmaxt=2×=4h，当初速度
最小时，水平位移xmin=vmint=×=2h，所以对应的四分之一圆环(乒乓球第一次与桌面相碰区域)的小圆半径r1=3h，大圆半径r2=5h，则持续发射足够长时间后，乒乓球第一次与桌面相碰区域的面积S=×π=4πh2。
逐点清(四)　斜抛运动
课
堂
轨迹对称 斜上抛运动的轨迹关于过最高点的竖直线对称
速度对称 关于过轨迹最高点的竖直线对称的两点速度大小相等
时间对称 关于过轨迹最高点的竖直线对称的两点，从其中一点到最高点的上升时间与从最高点到对称点的下降时间相等
对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动过程，可逆向分析为平抛运动，分析完整的斜上抛运动时，还可根据下列三种对称性求解某些问题。
考法1　斜抛运动规律的理解和应用
1.(人教版教材必修2，P20 T1)在篮球比赛中，
投篮的投出角度太大和太小，都会影响投篮的命中
率。在某次投篮表演中，运动员在空中一个漂亮的
投篮，篮球以与水平面成45°的倾角准确落入篮筐，
这次跳起投篮时，投球点和篮筐正好在同一水平面上(如图)，设投球点到篮筐距离为9.8 m，不考虑空气阻力，g取9.8 m/s2。
考法全训
(1)篮球进筐的速度有多大
答案:9.8 m/s　
解析:设篮球出手和进筐的速度大小分别为v0和v，由题意可知v=v0
设篮球从出手到落入篮筐所用的时间为t，在竖直方向篮球只受重力，做竖直上抛运动，有-v0sin 45°=v0sin 45°-gt；篮球在水平方向的分运动为匀速运动，有x=v0tcos 45°
联立解得v=9.8 m/s。
(2)篮球投出后的最高点相对篮筐的竖直高度是多少
答案:2.45 m
解析:篮球投出后的最高点相对篮筐的竖直高度h==2.45 m。
2.(2024·山东高考)(多选)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取 10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是 (　　)
A.运动时间为2 s
B.落地速度与水平方向夹角为60°
C.重物离PQ连线的最远距离为10 m
D.轨迹最高点与落点的高度差为45 m
√
√
解析:将初速度分解为沿PQ方向的分速度v1和垂直PQ的分速度v2，则有v1=v0cos 60°=10 m/s，v2=v0sin 60°=10 m/s，将重力加速度分解为沿PQ方向的分加速度a1和垂直PQ的分加速度a2，则有a1= gsin 30°=5 m/s2，a2=gcos 30°=5 m/s2，在垂直PQ方向，根据对称性可得重物运动时间为t=2·=4 s，重物离PQ连线的最远距离为dmax==10 m，故A、C错误；
重物落地时竖直分速度大小vy=-v0sin 30°+gt=30 m/s，则落地速度与水平方向夹角的正切值为tan θ===，可得θ=60°，故B正确；从抛出点到最高点所用时间为t1==1 s，则从最高点到落点所用时间为t2=t-t1=3 s，轨迹最高点与落点的高度差为h=g= 45 m，故D正确。
人教版教材中的练习题是物体做斜上抛运动，落地点与抛出点等高，2024年山东高考题也是斜上抛运动，落地点在抛出点的下方，高考题要比教材题的难度大，思维含量高，“源于教材，高于教材”是高考命题一贯坚持的原则。
考教衔接
考法2　三维空间内的斜抛运动
3.(多选)如图所示，某同学将离地1.25 m的网球以13 m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离为4.8 m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45 m的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面的速度分量大小变为碰前的0.75倍，平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10 m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为(　　)
A.v=5 m/s B.v=3 m/s
C.d=3.6 m D.d=3.9 m
√
√
解析:设网球飞出时的速度大小为v0，竖直方向有=2g(H-h)，代入数据得v0竖直= m/s=12 m/s，则v0水平=
m/s=5 m/s，击球点到P点的水平距离x水平=v0水平t=v0水平·
=6 m，根据几何关系可得打在墙面上时，垂直墙面的速度分量
v0水平⊥=v0水平·=4 m/s，平行墙面的速度分量v0水平∥=v0水平·
=3 m/s，
反弹后，垂直墙面的速度分量v水平⊥=0.75·v0水平⊥=3 m/s，则反弹后的网球速度大小为v==3 m/s，网球落到地面的时间t'= = s=1.3 s，着地点到墙壁的距离d=v水平⊥t'=3.9 m，故B、D正确，A、C错误。
课时跟踪检测
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(说明:标★的为推荐讲评题目)
一、单项选择题
1.(2025·甘肃白银模拟)如图，杂技演员站在距
离竖直挡板处朝挡板水平抛出一个弹性小球，小球
经挡板反弹后恰好落入演员身后距离演员处地面上
的孔中。已知小球离手时距离地面的高度为h，重力加速度为g，不计空气阻力，小球与挡板碰撞过程无机械能损失，即小球碰撞挡板前后的瞬间，竖直方向的速度不变，水平方向的速度大小不变、方向相反，则小球离手时的速度大小为(　　)
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A.sB.s C.s D.s
解析:由于小球与挡板碰撞过程无机械能损失，碰撞前后小球的速度大小不变，若没有挡板，根据对称性可知，小球做平抛运动，水平位移为x=s，根据平抛运动规律，有x=s=v0t，h=gt2，解得小球离手时的速度大小为v0=s，故选C。
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2.(2025·山东潍坊高三联考)如图所示，倾角
为30°的斜面固定在水平地面上，一可视为质点
的小球从斜面底端斜向上抛出，速度方向与斜面
夹角为30°，落到斜面上的位置距地面高度h=10 m，重力加速度大小取g=10 m/s2，不计空气阻力，则小球的初速度v0大小为 (　　)
A.20 m/s B.20 m/s
C.10 m/s D.10 m/s
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解析:将初速度和重力加速度都沿着斜面方向和垂直斜面方向分解，设垂直斜面方向的分初速度大小为v1，垂直斜面方向的分加速度大小为a1，沿着斜面方向的分初速度大小为v2，沿着斜面方向的分加速度大小为a2，根据几何关系可得v1=v0sin 30°，v2=v0cos 30°，a1=gcos 30°，a2=gsin 30°，设小球运动时间为t，垂直斜面方向有t=，沿着斜面方向有v2t-a2t2=，联立解得v0=10 m/s，故选D。
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3.羽毛球是深受大众喜爱的体育运动之一。如图所示是羽毛球从左往右飞行的轨迹图，图中A、B为同一轨迹上等高的两点，P为该轨迹的最高点，则羽毛球在该轨迹上运动时 (　　)
A.在A、B两点的速度大小相等
B.整个飞行过程中经过P点时的速度最小
C.在AP段的飞行时间小于在PB段的飞行时间
D.在AP上升阶段，羽毛球加速度的竖直分量小于重力加速度
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解析:由题图可知，运动轨迹不对称，即羽毛球在运动过程中受到重力和阻力的共同作用，阻力做负功，机械能减小，所以羽毛球在A点的速度大于在B点的速度，故A错误；在P点时，重力和阻力的合力与速度方向成钝角，速度将减小，故P点不是速度最小位置，故B错误；在竖直方向上，AP段的平均加速度大于PB段的平均加速度，位移大小相等，所以在AP段的飞行时间小于在PB段的飞行时间，故C正确；羽毛球加速度的竖直分量由重力和阻力的竖直分力的合力决定，在AP上升阶段，阻力的竖直分力向下，所以加速度的竖直分量大于重力加速度，故D错误。
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4.(2025年1月·八省联考云南卷)如图所示，“套圈”活动中，某同学将相同套环分两次从同一位置水平抛出，分别套中Ⅰ、Ⅱ号物品。若套环可近似视为质点，不计空气阻力，则 (　　)
A.套中Ⅰ号物品，套环被抛出的速度较大
B.套中Ⅰ号物品，重力对套环做功较小
C.套中Ⅱ号物品，套环飞行时间较长
D.套中Ⅱ号物品，套环动能变化量较小
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解析:根据平抛运动规律，套环水平方向和竖直方向的位移公式为x=v0t，h=gt2，可得v0=x；套中Ⅰ号物品时，套环水平位移x较小、下落高度h较大，可知套环被抛出的速度较小，A错误；根据重力做功表达式W=mgh可知，套中Ⅰ号物品时，套环下落高度h较大，重力对套环做功较大，B错误；根据平抛运动规律，竖直方向做自由落体运动，则h=gt2可得t=，套中Ⅱ号物品时，套环下落高度h较小，套环飞行时间较短，C错误；套中物品过程中由动能定理得mgh=ΔEk，套中Ⅱ号物品时，套环下落高度h较小，重力做功较小，可知套环动能变化量较小，D正确。故选D。
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5.如图甲所示是一种投弹式干粉消防车。如图乙，从消防车出弹口到高楼的水平距离为x，在同一位置消防车先后向高层建筑发射2枚灭火弹，且灭火弹均恰好垂直射入建筑玻璃窗，假设发射初速度大小均为v0，v0与水平方向夹角分别为θ1、θ2，击中点离出弹口高度分别为h1、h2，灭火弹在空中飞行时间分别为t1、t2。灭火弹可视为质点，两运动轨迹在同一竖直面内，且不计空气阻力，重力加速度为g。则下列说法正确的是 (　　)
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A.高度之比=
B.时间之比=
C.两枚灭火弹的发射角满足θ1+θ2=90°
D.水平距离与两枚灭火弹飞行时间满足x=2gt1t2
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解析:两灭火弹在竖直方向的初速度分别为vy1=v0sin θ1，vy2=v0sin θ2，根据=2gh，可得=，根据vy=gt，可得=，故A、B错误；两灭火弹在水平方向有x=v0cos θ1·，x=v0cos θ2·，可得sin 2θ1=sin 2θ2=sin(180°-2θ2)，结合数学关系可得θ1+θ2=90°，故C正确；水平方向有=v0cos θ1，竖直方向有gt2=v0sin θ2，又由θ1+θ2=90°得sin θ2=cos θ1，可得x=gt1t2，故D错误。
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二、多项选择题
6.如图所示，球网位于球台的中间位置，球台的左、右边界分别记为MN、PQ，边界MN中点a正上方h处为b点。某次运动员将球从b点垂直于MN水平向右击出，恰好经过网上边沿的c点后落在球台上d点，不计空气阻力。已知网高为h，MN、PQ之间的距离为2L，重力加速度为g。以下说法正确的是(　　)
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A.球被击出时的初速度大小为
B.球的落点d与击出点b之间的水平距离为L
C.球在落点d处的速度方向与水平方向夹角的正切值为
D.若只限定在b点水平击出，球的初速度只有不大于2L，才会落在对方台面上
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解析:设球被击出时的初速度大小为v0，球被击出后做平抛运动，恰好经过网上边沿的c点，设所用时间为t，则有h=gt2，L=v0t，解得v0=，设球从被击出到落在球台上的时间为t1，落点与击出点之间的水平距离为l，则有h=g，l=v0t1，解得l=L，故A、B正确；球在竖直方向做自由落体运动，设在落点d处竖直方向的速度为vy，在落点d处速度方向与水平方向的夹角为θ，则有vy=gt1，tan θ=，解得tan θ=，故C错误；
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若保持击球高度不变，且垂直MN击球，当球恰好不出界时，则平抛运动的初速度为v==2L，但若只限定在b点水平击出，则水平位移的最大值应该是a点与P或Q的连线长度，大于2L，因此最大初速度应该大于v，而平抛运动的最小初速度为vmin=v0=，球的初速度只有在最小初速度和最大初速度之间才会落在对方台面上，故D错误。
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7.(2025·重庆高三模拟)在篮球比赛中某同学以斜向上的速度将篮球抛出，与篮板撞击后落入篮筐，可得到此次篮球运动轨迹的简易图如图所示。若此次投篮中，篮球的初速度大小为v1，与竖直方向夹角为θ，篮球抛出后恰好垂直打在篮筐上方然后被反向弹回并且从篮筐正中央落下。已知脱手点与撞击点的竖直距离为H，撞击点与篮筐的竖直距离为h，忽略空气阻力，不计篮球与篮板碰撞的时间，则 (　　)
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A.篮球从脱手到进入篮筐的过程中水平方向动量守恒
B.篮球垂直打在篮板前一瞬间速度大小为v1sin θ
C.篮球从脱手到进入篮筐过程所经历的时间为+
D.篮球反向弹回到进入篮筐过程中满足L=v1sin θ
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解析:从脱手到与篮板碰撞前篮球水平方向的动量向右，与篮板碰撞后篮球水平方向的动量向左，所以篮球从脱手到进入篮筐的过程中水平方向动量不守恒，故A错误；篮球抛出后恰好垂直打在篮筐上方，从脱手到与篮板碰撞前，篮球水平方向做匀速直线运动，则篮球垂直打在篮板前一瞬间速度大小为v=vx=v1sin θ，故B正确；
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篮球从脱手到与篮板碰撞前过程，竖直方向根据逆向思维有H=g，解得t1=，与篮板碰撞后到进入篮筐过程，竖直方向有h=g，解得t2=，则篮球从脱手到进入篮筐过程所经历的时间为t=t1+t2
=+，故C正确；由篮球的运动轨迹可知，篮球与篮板碰撞后的水平速度小于碰撞前的水平速度，则篮球反向弹回到进入篮筐过程中满足L=vx't22
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三、计算题
8.(10分)(2023·新课标卷)将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出，抛出速度的最小值为多少 (不计石子在空中飞行时所受的空气阻力，重力加速度大小为g)
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答案:
解析:石子做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，则有2gh=，
可得落到水面上时的竖直速度vy=，
由题意可知，≤tan θ，
即v0≥，石子抛出速度的最小值为。
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9.(11分)(2025·河南郑州模拟)篮筐
的统一标准距地面高度为H= 3.05 m。
在标准篮球场地的某次比赛中，某同学
在某位置跳起投篮，该同学将球出手的
瞬时速度大小v=4 m/s，方向与水平
方向夹角为60°，篮球到达篮筐中心时，
速度与水平方向夹角为45°，如图所示。将篮球看成质点，忽略空气阻力，取重力加速度g=10 m/s2。求:
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(1)篮球从出手到最高点所用的时间；(3分)
答案:0.6 s　
解析:如图所示，篮球抛出后
竖直方向上做竖直上抛运动
根据vsin 60°=gt1，
解得t1=0.6 s。
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(2)篮球抛出点与篮筐中心的水平距离x；(4分)
答案: m　
解析:以竖直向下为正方向，竖直方向上有
vy'=-vy+gt，vy'=vx=vcos 60°
水平方向上做匀速直线运动，有x=vcos 60°·t
解得x= m。
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(3)篮球抛出点离地面的高度h。(4分)
答案:1.85 m
解析:以竖直向上为正方向，竖直方向上有
-=-2gh'
解得h'=1.2 m
h=H-h'=1.85 m。
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4　　　　　　　　　　　　　课时跟踪检测(二十)　抛体运动
一、单项选择题
1.(2025·甘肃白银模拟)如图,杂技演员站在距离竖直挡板处朝挡板水平抛出一个弹性小球,小球经挡板反弹后恰好落入演员身后距离演员处地面上的孔中。已知小球离手时距离地面的高度为h,重力加速度为g,不计空气阻力,小球与挡板碰撞过程无机械能损失,即小球碰撞挡板前后的瞬间,竖直方向的速度不变,水平方向的速度大小不变、方向相反,则小球离手时的速度大小为 (　　)
A.s　　B.s　　C.s　　D.s
2.(2025·山东潍坊高三联考)如图所示,倾角为30°的斜面固定在水平地面上,一可视为质点的小球从斜面底端斜向上抛出,速度方向与斜面夹角为30°,落到斜面上的位置距地面高度h=10 m,重力加速度大小取g=10 m/s2,不计空气阻力,则小球的初速度v0大小为 (　　)
A.20 m/s B.20 m/s
C.10 m/s D.10 m/s
3.羽毛球是深受大众喜爱的体育运动之一。如图所示是羽毛球从左往右飞行的轨迹图,图中A、B为同一轨迹上等高的两点,P为该轨迹的最高点,则羽毛球在该轨迹上运动时 (　　)
A.在A、B两点的速度大小相等
B.整个飞行过程中经过P点时的速度最小
C.在AP段的飞行时间小于在PB段的飞行时间
D.在AP上升阶段,羽毛球加速度的竖直分量小于重力加速度
4.(2025年1月·八省联考云南卷)如图所示,“套圈”活动中,某同学将相同套环分两次从同一位置水平抛出,分别套中Ⅰ、Ⅱ号物品。若套环可近似视为质点,不计空气阻力,则 (　　)
A.套中Ⅰ号物品,套环被抛出的速度较大
B.套中Ⅰ号物品,重力对套环做功较小
C.套中Ⅱ号物品,套环飞行时间较长
D.套中Ⅱ号物品,套环动能变化量较小
5.如图甲所示是一种投弹式干粉消防车。如图乙,从消防车出弹口到高楼的水平距离为x,在同一位置消防车先后向高层建筑发射2枚灭火弹,且灭火弹均恰好垂直射入建筑玻璃窗,假设发射初速度大小均为v0,v0与水平方向夹角分别为θ1、θ2,击中点离出弹口高度分别为h1、h2,灭火弹在空中飞行时间分别为t1、t2。灭火弹可视为质点,两运动轨迹在同一竖直面内,且不计空气阻力,重力加速度为g。则下列说法正确的是 (　　)
A.高度之比=
B.时间之比=
C.两枚灭火弹的发射角满足θ1+θ2=90°
D.水平距离与两枚灭火弹飞行时间满足x=2gt1t2
二、多项选择题
6.如图所示,球网位于球台的中间位置,球台的左、右边界分别记为MN、PQ,边界MN中点a正上方h处为b点。某次运动员将球从b点垂直于MN水平向右击出,恰好经过网上边沿的c点后落在球台上d点,不计空气阻力。已知网高为h,MN、PQ之间的距离为2L,重力加速度为g。以下说法正确的是 (　　)
A.球被击出时的初速度大小为
B.球的落点d与击出点b之间的水平距离为L
C.球在落点d处的速度方向与水平方向夹角的正切值为
D.若只限定在b点水平击出,球的初速度只有不大于2L,才会落在对方台面上
7.(2025·重庆高三模拟)在篮球比赛中某同学以斜向上的速度将篮球抛出,与篮板撞击后落入篮筐,可得到此次篮球运动轨迹的简易图如图所示。若此次投篮中,篮球的初速度大小为v1,与竖直方向夹角为θ,篮球抛出后恰好垂直打在篮筐上方然后被反向弹回并且从篮筐正中央落下。已知脱手点与撞击点的竖直距离为H,撞击点与篮筐的竖直距离为h,忽略空气阻力,不计篮球与篮板碰撞的时间,则 (　　)
A.篮球从脱手到进入篮筐的过程中水平方向动量守恒
B.篮球垂直打在篮板前一瞬间速度大小为v1sin θ
C.篮球从脱手到进入篮筐过程所经历的时间为+
D.篮球反向弹回到进入篮筐过程中满足L=v1sin θ
三、计算题
8.(10分)(2023·新课标卷)将扁平的石子向水面快速抛出,石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方,俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果,石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”,一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出,抛出速度的最小值为多少 (不计石子在空中飞行时所受的空气阻力,重力加速度大小为g)
9.(11分)(2025·河南郑州模拟)篮筐的统一标准距地面高度为H=3.05 m。在标准篮球场地的某次比赛中,某同学在某位置跳起投篮,该同学将球出手的瞬时速度大小v=4 m/s,方向与水平方向夹角为60°,篮球到达篮筐中心时,速度与水平方向夹角为45°,如图所示。将篮球看成质点,忽略空气阻力,取重力加速度g=10 m/s2。求:
(1)篮球从出手到最高点所用的时间;(3分)
(2)篮球抛出点与篮筐中心的水平距离x;(4分)
(3)篮球抛出点离地面的高度h。(4分)
课时跟踪检测(二十)
1.选C　由于小球与挡板碰撞过程无机械能损失,碰撞前后小球的速度大小不变,若没有挡板,根据对称性可知,小球做平抛运动,水平位移为x=s,根据平抛运动规律,有x=s=v0t,h=gt2,解得小球离手时的速度大小为v0=s,故选C。
2.选D　将初速度和重力加速度都沿着斜面方向和垂直斜面方向分解,设垂直斜面方向的分初速度大小为v1,垂直斜面方向的分加速度大小为a1,沿着斜面方向的分初速度大小为v2,沿着斜面方向的分加速度大小为a2,根据几何关系可得v1=v0sin 30°,v2=v0cos 30°,a1=gcos 30°,a2=gsin 30°,设小球运动时间为t,垂直斜面方向有t=,沿着斜面方向有v2t-a2t2=,联立解得v0=10 m/s,故选D。
3.选C　由题图可知,运动轨迹不对称,即羽毛球在运动过程中受到重力和阻力的共同作用,阻力做负功,机械能减小,所以羽毛球在A点的速度大于在B点的速度,故A错误;在P点时,重力和阻力的合力与速度方向成钝角,速度将减小,故P点不是速度最小位置,故B错误;在竖直方向上,AP段的平均加速度大于PB段的平均加速度,位移大小相等,所以在AP段的飞行时间小于在PB段的飞行时间,故C正确;羽毛球加速度的竖直分量由重力和阻力的竖直分力的合力决定,在AP上升阶段,阻力的竖直分力向下,所以加速度的竖直分量大于重力加速度,故D错误。
4.选D　根据平抛运动规律,套环水平方向和竖直方向的位移公式为x=v0t,h=gt2,可得v0=x;套中Ⅰ号物品时,套环水平位移x较小、下落高度h较大,可知套环被抛出的速度较小,A错误;根据重力做功表达式W=mgh可知,套中Ⅰ号物品时,套环下落高度h较大,重力对套环做功较大,B错误;根据平抛运动规律,竖直方向做自由落体运动,则h=gt2可得t=,套中Ⅱ号物品时,套环下落高度h较小,套环飞行时间较短,C错误;套中物品过程中由动能定理得mgh=ΔEk,套中Ⅱ号物品时,套环下落高度h较小,重力做功较小,可知套环动能变化量较小,D正确。故选D。
5.选C　两灭火弹在竖直方向的初速度分别为vy1=v0sin θ1,vy2=v0sin θ2,根据=2gh,可得=,根据vy=gt,可得=,故A、B错误;两灭火弹在水平方向有x=v0cos θ1·,x=v0cos θ2·,可得sin 2θ1=sin 2θ2=sin(180°-2θ2),结合数学关系可得θ1+θ2=90°,故C正确;水平方向有=v0cos θ1,竖直方向有gt2=v0sin θ2,又由θ1+θ2=90°得sin θ2=cos θ1,可得x=gt1t2,故D错误。
6.选AB　设球被击出时的初速度大小为v0,球被击出后做平抛运动,恰好经过网上边沿的c点,设所用时间为t,则有h=gt2,L=v0t,解得v0=,设球从被击出到落在球台上的时间为t1,落点与击出点之间的水平距离为l,则有h=g,l=v0t1,解得l=L,故A、B正确;球在竖直方向做自由落体运动,设在落点d处竖直方向的速度为vy,在落点d处速度方向与水平方向的夹角为θ,则有vy=gt1,tan θ=,解得tan θ=,故C错误;若保持击球高度不变,且垂直MN击球,当球恰好不出界时,则平抛运动的初速度为v==2L,但若只限定在b点水平击出,则水平位移的最大值应该是a点与P或Q的连线长度,大于2L,因此最大初速度应该大于v,而平抛运动的最小初速度为vmin=v0=,球的初速度只有在最小初速度和最大初速度之间才会落在对方台面上,故D错误。
7.选BC　从脱手到与篮板碰撞前篮球水平方向的动量向右,与篮板碰撞后篮球水平方向的动量向左,所以篮球从脱手到进入篮筐的过程中水平方向动量不守恒,故A错误;篮球抛出后恰好垂直打在篮筐上方,从脱手到与篮板碰撞前,篮球水平方向做匀速直线运动,则篮球垂直打在篮板前一瞬间速度大小为v=vx=v1sin θ,故B正确;篮球从脱手到与篮板碰撞前过程,竖直方向根据逆向思维有H=g,解得t1=,与篮板碰撞后到进入篮筐过程,竖直方向有h=g,解得t2=,则篮球从脱手到进入篮筐过程所经历的时间为t=t1+t2=+,故C正确;由篮球的运动轨迹可知,篮球与篮板碰撞后的水平速度小于碰撞前的水平速度,则篮球反向弹回到进入篮筐过程中满足L=vx't28.解析:石子做平抛运动,竖直方向做自由落体运动,则有2gh=,
可得落到水面上时的竖直速度vy=,
由题意可知,≤tan θ,
即v0≥,石子抛出速度的最小值为。
答案:
9.解析:(1)如图所示,篮球抛出后竖直方向上做竖直上抛运动
根据vsin 60°=gt1,解得t1=0.6 s。
(2)以竖直向下为正方向,竖直方向上有
vy'=-vy+gt,vy'=vx=vcos 60°
水平方向上做匀速直线运动,有x=vcos 60°·t
解得x= m。
(3)以竖直向上为正方向,竖直方向上有
-=-2gh'
解得h'=1.2 m
h=H-h'=1.85 m。
答案:(1)0.6 s　(2) m　(3)1.85 m
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