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第3讲　圆周运动(基础落实课)
一、匀速圆周运动及其描述
1.匀速圆周运动
(1)特点:速度的大小不变,方向始终与半径　　　　。
(2)性质:匀速圆周运动是加速度大小不变、方向总指向　　　　的变加速曲线运动。
(3)质点做匀速圆周运动的条件:合外力大小不变,方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
2.匀速圆周运动各物理量间的关系
二、匀速圆周运动的向心力
大小 Fn=m=　　　　=m=mωv=m·4π2f2r
方向 始终沿半径方向指向圆心,时刻在改变,即向心力是一个　　　
来源 向心力可以由一个力提供,也可以由几个力的　　　　提供,还可以由一个力的分力提供
三、离心运动和近心运动
向心力的供需关系 运动状态 运动图示
F=man=m=mω2r 圆周运动
FF>man=m=mω2r 近心运动
微点判断
1.匀速圆周运动是匀变速曲线运动。 (　 )
2.(教科必修2P32T1·选摘)对于做匀速圆周运动的物体,判断下列说法的正误:
①线速度不变。 (　 )
②周期不变。 (　 )
3.物体做匀速圆周运动时,其合外力是变力。 (　 )
4.匀速圆周运动的向心加速度方向指向圆心,大小不变。 (　 )
5.(鲁科必修2P80T2·改编)对于匀速圆周运动,判断下列有关物理量之间关系描述的正误:
①角速度一定与转速成正比。 (　 )
②角速度一定与半径成反比。 (　 )
③周期一定与半径成正比。 (　 )
6.(2024·甘肃高考T8·改编)电动小车在水平面内做匀速圆周运动,判断下列说法的正误:
①小车的加速度不变。 (　 )
②小车所受的合外力一定指向圆心。 (　 )
7.(人教必修2P26T2·改编)某个走时准确的时钟,分针与时针的角速度之比为24∶1。 (　 )
8.做离心运动的物体沿半径方向远离圆心。 (　 )
逐点清(一)　三种常见的传动方式
|题|点|全|练|
1.[同轴传动](2024·黑吉辽高考)“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图,当篮球在指尖上绕轴转动时,球面上P、Q两点做圆周运动的 (　　)
A.半径相等　　　　　　 B.线速度大小相等
C.向心加速度大小相等 D.角速度大小相等
2.[皮带传动](多选)如图甲所示是中学物理实验室常用的感应起电机,它是由两个大小相等、直径约为30 cm的感应玻璃盘起电的,其中一个玻璃盘通过从动轮与手摇主动轮连接,如图乙所示。现玻璃盘以100 r/min的转速旋转,已知主动轮的半径约为8 cm,从动轮的半径约为2 cm,P和Q是玻璃盘边缘上的两点,若转动时皮带不打滑,下列说法正确的是 (　　)
A.P、Q的线速度相同
B.玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反
C.P点的线速度大小约为1.6 m/s
D.摇把的转速约为40 r/min
3.[齿轮传动](2025·广东佛山模拟)如图所示是《天工开物》中牛力齿轮的图画及其原理简化图。牛拉动横杆驱动半径为R1的大齿轮匀速率转动,大齿轮与半径为R2的中齿轮垂直咬合,中齿轮通过横轴与半径为R3的小齿轮相连,小齿轮驱动抽水桶抽水。已知牛拉横杆转一圈需要时间为t,则抽水桶的运动速率约为 (　　)
A. B.
C. D.
|精|要|点|拨|
常见的三种传动方式及特点
项目 同轴传动 皮带传动 齿轮传动
装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接,A、B两点分别是两个轮子边缘的点 两个齿轮轮齿啮合,A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
特点 角速度、周期相同 线速度大小相等 线速度大小相等
转向 相同 相同 相反
规律 线速度与半径成正比: = 向心加速度与半径成正比: = 角速度与半径成反比:= 向心加速度与半径成反比: = 角速度与半径成反比: = 向心加速度与半径成反比: =
逐点清(二)　圆周运动的动力学问题
1.向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的,可以是重力、弹力、摩擦力等各种力,也可以是几个力的合力或某个力的分力,因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
2.向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面,确定圆心的位置。
(2)分析物体的受力情况,所有的力沿半径方向的分力的合力就是向心力。
3.圆周运动动力学问题的分析思路
[考法全训]
考法1　向心力的分析
1.(2024·广东高考)如图所示,在细绳的拉动下,半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管,管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧,弹簧底端固定在管底,顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时,插销做匀速圆周运动。若v过大,插销会卡进固定的端盖,使卷轴转动停止。忽略摩擦力,弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止,v的最大值为 (　　)
A.r 　B.l 　C.r 　D.l
考法2　车辆转弯问题
2.(多选)如图所示,为保证安全,铁路拐弯处内、外轨有一定的高度差,与水平面夹角为θ,使质量为M0的火车以设计的速率v0在水平面内转弯时,内、外轨对车轮均无侧向压力,测得此时轨道对车轮的支持力大小为N0。当火车以实际速率v在此弯道上转弯时,轨道将施于车轮一个与枕木平行的侧向压力F,已知重力加速度为g,下列说法正确的是 (　　)
A.若v>v0,侧向压力F方向由内轨指向外轨
B.若v>v0,轨道对车轮的支持力大于N0
C.在春运期间乘客较多,导致火车总质量大于M0,为保证安全,此时的行驶速率应该小于v0
D.该弯道的半径r=
考法3　离心运动
3.(2025·浙江杭州质检)高速离心机常用于快速沉淀或分离物质。如图所示,水平试管固定在高速离心机上,离心机的转速为n,在水平试管中有质量为m的某固体颗粒,某时刻颗粒离转轴的距离为r。已知试管中充满液体,颗粒与试管内壁不接触。下列说法正确的是 (　　)
A.颗粒运动的角速度为
B.颗粒此时受到的合外力大小必为4π2mrn2
C.离转轴越远,分离沉淀效果越好
D.此款高速离心沉淀机适用于任何颗粒,颗粒都会到试管底部沉淀
逐点清(三)　圆锥摆类问题
模型特点 一根质量不计的不可伸长的细线,上端固定,下端系一个可以视为质点的摆球,在水平面内做匀速圆周运动,细绳所掠过的路径为圆锥表面
受力特点 只受两个力,即竖直向下的重力mg和沿摆线方向的拉力FT。两个力的合力就是 摆球做圆周运动的向心力Fn,如图所示(也可以理解为拉力FT的竖直分力与摆球的重力平衡,FT的水平分力提供向心力)
运动特点 如图摆长为L,摆线与竖直方向夹角为θ,由牛顿第二定律得mgtan θ=m,而r=Lsin θ,解得T=2π=2π。由此可得: ①摆高h=Lcos θ,周期T越小,圆锥摆转得越快,θ越大; ②摆线拉力FT=,圆锥摆转得越快,摆线拉力FT越大;③摆球的加速度a=gtan θ
　　[典例]　(2024·江西高考)雪地转椅是一种游乐项目,其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图(a)、(b)所示,传动装置有一高度可调的水平圆盘,可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳,轻绳另一端B连接转椅(视为质点)。转椅运动稳定后,其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,不计空气阻力。
(1)在图(a)中,若圆盘在水平雪地上以角速度ω1匀速转动,转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1的匀速圆周运动。求AB与OB之间夹角α的正切值。
(2)将圆盘升高,如图(b)所示。圆盘匀速转动,转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2的匀速圆周运动,绳子与竖直方向的夹角为θ,绳子在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为β。求此时圆盘的角速度ω2。
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[应用体验]
1.长度为1 m的细线一端拴一质量为m=2 kg的小球(不计大小),另一端固定于O点。让小球在水平面内做匀速圆周运动,这种运动通常称为圆锥摆运动。如图所示,摆线与竖直方向的夹角α=37°,重力加速度g取10 m/s2,sin 37°=0.6,则下列说法正确的是 (　　)
A.小球运动的角速度为 rad/s
B.细线的拉力大小为16 N
C.小球运动的线速度大小为1.2 m/s
D.小球所需要的向心力大小为15 N
2.(多选)如图所示,一个内壁光滑的圆锥筒固定在地面上,圆锥筒的轴线竖直。一个小球贴着筒的内壁在水平面内做圆周运动,由于微弱的空气阻力作用,小球的运动轨迹由A轨道缓慢下降到B轨道,则在此过程中
(　　)
A.小球的向心加速度逐渐减小
B.小球运动的角速度逐渐减小
C.小球运动的线速度逐渐减小
D.小球运动的周期逐渐减小
第3讲
课前基础先行
一、1.(1)垂直　(2)圆心
二、mω2r　变力　合力
[微点判断]　1.×　2.①×　②√　3.√
4.√　5.①√　②×　③×　6.①×　②√
7.×　8.×
逐点清(一)
1.选D　根据题图可知,Q点到轴的距离大于P点到轴的距离,则Q点做圆周运动的半径大于P点做圆周运动的半径,A错误;P、Q两点同轴转动,角速度大小相等,根据v=ωr和a=ω2r分析可知,Q点的线速度和向心加速度均大于P点的,B、C错误,D正确。
2.选BC　线速度的方向沿曲线的切线方向,由题图可知,P、Q两点线速度的方向一定不同,故A错误;若主动轮顺时针转动,从动轮通过皮带的摩擦力带动转动,从动轮逆时针转动,反之亦然,故B正确;玻璃盘的直径是30 cm,转速是100 r/min,所以线速度v=ωr=2nπr=2××π× m/s≈1.6 m/s,故C正确;从动轮边缘的线速度v从=ωr从=2nπr从=2××π×0.02 m/s=π m/s,由于主动轮边缘各点的线速度与从动轮边缘各点的线速度大小相等,即v主=v从,所以主动轮的转速n主=== r/s=25 r/min,故D错误。
3.选A　大齿轮的线速度大小为v1=,由题意可知,大齿轮和中齿轮的线速度大小相等,即v2=v1=,中齿轮和小齿轮是同轴传动,具有相同的角速度,根据ω=,可知=,解得v3=,故选A。
逐点清(二)
1.选A　由题意可知,当插销刚好卡进固定端盖时,弹簧的伸长量为Δx=,根据胡克定律有F=kΔx=,插销与卷轴同轴转动,角速度相同,弹簧弹力提供插销做匀速圆周运动的向心力,则F=mlω2,对卷轴有v=rω,联立解得v=r。故选A。
2.选BD　若v>v0,重力和支持力的合力不足以提供火车做圆周运动所需的向心力,火车有做离心运动的趋势,则此时外轨对车轮轮缘施加压力,即侧向压力F方向由外轨指向内轨,此时轨道对车轮的支持力大于N0,A错误,B正确;火车以规定的速度转弯时满足Mgtan θ=M,解得v0=,可知v0与火车的质量无关,该弯道的半径r=,C错误,D正确。
3.选C　颗粒运动的角速度为ω=2πn,故A错误;由向心力公式可得Fn=mω2r=m(2πn)2r=4π2mrn2,颗粒此时受到的合外力大小未必为4π2mrn2,一般都是小于这个值,正是因为合外力提供不了所需向心力,颗粒才会沉淀,故B错误;离转轴越远,r越大,液体提供的“浮力”与颗粒在该处做匀速圆周运动所需向心力的差距越大,则分离沉淀效果越好,故C正确;只有颗粒的密度大于液体密度,颗粒才会在试管底部沉淀,如果颗粒的密度小于液体密度,颗粒会在试管管口“沉淀”,即漂浮在管口,故D错误。
逐点清(三)
[典例]　解析:(1)对转椅受力分析,转椅在水平面内受摩擦力、轻绳拉力,两者合力提供其做圆周运动所需向心力,如图所示。设转椅的质量为m,则转椅所需的向心力Fn1=mr1
转椅受到的摩擦力f1=μmg
根据几何关系有tan α=
联立解得tan α=。
(2)转椅在题图(b)情况下所需的向心力Fn2=mr2
转椅受到的摩擦力f2=μN2
根据几何关系有tan β=
竖直方向上由平衡条件有N2+Tcos θ=mg
水平面上有f2=Tsin θsin β
联立解得ω2=。
答案:(1)　(2)
[应用体验]
1.选D　细线的拉力大小为FT==25 N,故B错误;根据牛顿第二定律有mgtan 37°=mω2Lsin 37°,解得ω= rad/s,故A错误;小球运动的线速度大小为v=ωLsin 37°= m/s,故C错误;向心力大小为Fn=mgtan 37°=15 N,故D正确。
2.选CD　以小球为研究对象,对小球受力分析,如图所示。由牛顿第二定律得F==ma==mrω2,可知向心力F大小不变,向心加速度大小a=不变,故A错误;角速度ω=,由于轨道半径减小,则角速度变大,故B错误;线速度v=,由于轨道半径减小,线速度减小,故C正确;周期T=,角速度增大,则周期减小,故D正确。
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圆周运动(基础落实课)
第 3 讲
1
课前基础先行
2
逐点清(一)　三种常见的传动方式
CONTENTS
目录
4
逐点清(三)　圆锥摆类问题
5
课时跟踪检测
3
逐点清(二)　圆周运动的动力学问题
课前基础先行
一、匀速圆周运动及其描述
1.匀速圆周运动
(1)特点:速度的大小不变，方向始终与半径_____。
(2)性质:匀速圆周运动是加速度大小不变、方向总指向______的变加速曲线运动。
(3)质点做匀速圆周运动的条件:合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
垂直
圆心
2.匀速圆周运动各物理量间的关系
二、匀速圆周运动的向心力
大小 Fn=m=______=m=mωv=m·4π2f2r
方向 始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个_____
来源 向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的_____提供，还可以由一个力的分力提供
mω2r
变力
合力
三、离心运动和近心运动
向心力的供需关系 运动状态 运动图示
F=man=m=mω2r 圆周运动
FF>man=m=mω2r 近心运动
1.匀速圆周运动是匀变速曲线运动。 ( )
2.(教科必修2P32T1·选摘)对于做匀速圆周运动的物体，判断下列说法的正误:
①线速度不变。 ( )
②周期不变。 ( )
3.物体做匀速圆周运动时，其合外力是变力。 ( )
4.匀速圆周运动的向心加速度方向指向圆心，大小不变。 ( )
微点判断
×
×
√
√
√
5.(鲁科必修2P80T2·改编)对于匀速圆周运动，判断下列有关物理量之间关系描述的正误:
①角速度一定与转速成正比。 ( )
②角速度一定与半径成反比。 ( )
③周期一定与半径成正比。 ( )
√
×
×
6.(2024·甘肃高考T8·改编)电动小车在水平面内做匀速圆周运动，判断下列说法的正误:
①小车的加速度不变。 ( )
②小车所受的合外力一定指向圆心。 ( )
7.(人教必修2P26T2·改编)某个走时准确的时钟，分针与时针的角速度之比为24∶1。 ( )
8.做离心运动的物体沿半径方向远离圆心。 ( )
×
√
×
×
逐点清(一)　三种常见的
传动方式
课
堂
√
题点全练
1.[同轴传动](2024·黑吉辽高考)“指尖转球”是花式
篮球表演中常见的技巧。如图，当篮球在指尖上绕轴转动
时，球面上P、Q两点做圆周运动的 (　　)
A.半径相等　　 B.线速度大小相等
C.向心加速度大小相等 D.角速度大小相等
解析:根据题图可知，Q点到轴的距离大于P点到轴的距离，则Q点做圆周运动的半径大于P点做圆周运动的半径，A错误；P、Q两点同轴转动，角速度大小相等，根据v=ωr和a=ω2r分析可知，Q点的线速度和向心加速度均大于P点的，B、C错误，D正确。
2.[皮带传动](多选)如图甲所示是中学
物理实验室常用的感应起电机，它是由两
个大小相等、直径约为30 cm的感应玻璃盘
起电的，其中一个玻璃盘通过从动轮与手
摇主动轮连接，如图乙所示。现玻璃盘以100 r/min的转速旋转，已知主动轮的半径约为8 cm，从动轮的半径约为2 cm，P和Q是玻璃盘边缘上的两点，若转动时皮带不打滑，下列说法正确的是 (　　)
A.P、Q的线速度相同
B.玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反
C.P点的线速度大小约为1.6 m/s
D.摇把的转速约为40 r/min
√
√
解析:线速度的方向沿曲线的切线方向，由题图可知，P、Q两点线速度的方向一定不同，故A错误；若主动轮顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动转动，从动轮逆时针转动，反之亦然，故B正确；玻璃盘的直径是30 cm，转速是100 r/min，所以线速度v=ωr=2nπr
=2××π× m/s≈1.6 m/s，故C正确；从动轮边缘的线速度v从= ωr从=2nπr从=2××π×0.02 m/s=π m/s，由于主动轮边缘各点的线速度与从动轮边缘各点的线速度大小相等，即v主=v从，所以主动轮的转速n主=== r/s=25 r/min，故D错误。
3.[齿轮传动](2025·广东佛山模拟)如图所示是《天工开物》中牛力齿轮的图画及其原理简化图。牛拉动横杆驱动半径为R1的大齿轮匀速率转动，大齿轮与半径为R2的中齿轮垂直咬合，中齿轮通过横轴与半径为R3的小齿轮相连，小齿轮驱动抽水桶抽水。已知牛拉横杆转一圈需要时间为t，则抽水桶的运动速率约为 (　　)
A.　 B.　
C.　 D.
解析:大齿轮的线速度大小为v1=，由题意可知，大齿轮和中齿轮的线速度大小相等，即v2=v1=，中齿轮和小齿轮是同轴传动，具有相同的角速度，根据ω=，可知=，解得v3=，故选A。
√
常见的三种传动方式及特点
精要点拨
项目 同轴传动 皮带传动 齿轮传动
装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
特点 角速度、周期相同 线速度大小相等 线速度大小相等
转向 相同 相同 相反
规律 线速度与半径成正比:= 向心加速度与半径成正比:= 角速度与半径成反比:= 向心加速度与半径成反比:= 角速度与半径成反比:=
向心加速度与半径成反比:=
续表
逐点清(二)　圆周运动的
动力学问题
课
堂
1.向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。
2.向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。
(2)分析物体的受力情况，所有的力沿半径方向的分力的合力就是向心力。
3.圆周运动动力学问题的分析思路
考法1　向心力的分析
1.(2024·广东高考)如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为(　　)
考法全训
A.r B.l
C.r D.l
√
解析:由题意可知，当插销刚好卡进固定端盖时，弹簧的伸长量为Δx=，根据胡克定律有F=kΔx=，插销与卷轴同轴转动，角速度相同，弹簧弹力提供插销做匀速圆周运动的向心力，则F=mlω2，对卷轴有v=rω，联立解得v=r。故选A。
考法2　车辆转弯问题
2.(多选)如图所示，为保证安全，铁路
拐弯处内、外轨有一定的高度差，与水平
面夹角为θ，使质量为M0的火车以设计的
速率v0在水平面内转弯时，内、外轨对车
轮均无侧向压力，测得此时轨道对车轮的支持力大小为N0。当火车以实际速率v在此弯道上转弯时，轨道将施于车轮一个与枕木平行的侧向压力F，已知重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A.若v>v0，侧向压力F方向由内轨指向外轨
B.若v>v0，轨道对车轮的支持力大于N0
C.在春运期间乘客较多，导致火车总质量大于M0，为保证安全，此时的行驶速率应该小于v0
D.该弯道的半径r=
√
√
解析:若v>v0，重力和支持力的合力不足以提供火车做圆周运动所需的向心力，火车有做离心运动的趋势，则此时外轨对车轮轮缘施加压力，即侧向压力F方向由外轨指向内轨，此时轨道对车轮的支持力大于N0，A错误，B正确；火车以规定的速度转弯时满足Mgtan θ=M，解得v0=，可知v0与火车的质量无关，该弯道的半径r=，C错误，D正确。
考法3　离心运动
3.(2025·浙江杭州质检)高速离心机常用于快速沉淀或分离物质。如图所示，水平试管固定在高速离心机上，离心机的转速为n，在水平试管中有质量为m的某固体颗粒，某时刻颗粒离转轴的距离为r。已知试管中充满液体，颗粒与试管内壁不接触。下列说法正确的是(　　)
A.颗粒运动的角速度为
B.颗粒此时受到的合外力大小必为4π2mrn2
C.离转轴越远，分离沉淀效果越好
D.此款高速离心沉淀机适用于任何颗粒，颗粒都会到试管底部沉淀
√
解析:颗粒运动的角速度为ω=2πn，故A错误；由向心力公式可得Fn=mω2r=m(2πn)2r=4π2mrn2，颗粒此时受到的合外力大小未必为4π2mrn2，一般都是小于这个值，正是因为合外力提供不了所需向心力，颗粒才会沉淀，故B错误；离转轴越远，r越大，液体提供的“浮力”与颗粒在该处做匀速圆周运动所需向心力的差距越大，则分离沉淀效果越好，故C正确；只有颗粒的密度大于液体密度，颗粒才会在试管底部沉淀，如果颗粒的密度小于液体密度，颗粒会在试管管口“沉淀”，即漂浮在管口，故D错误。
逐点清(三)　圆锥摆类问题
课
堂
1.模型特点:一根质量不计的不可伸长的细线，上端固定，下端系一个可以视为质点的摆球，在水平面内做匀速圆周运动，细绳所掠过的路径为圆锥表面。
2.受力特点:只受两个力，即竖直向下的重力mg和沿摆线方向的拉力FT。两个力的合力就是摆球做圆周运动的向心力Fn，如图所示(也可以理解为拉力FT的竖直分力与摆球的重力平衡，FT的水平分力提供向心力)。
3.运动特点:如图摆长为L，摆线与竖直方向夹角为θ，由牛顿第二定律得mgtan θ=m，而r=Lsin θ，解得T=2π=2π。由此可得:
①摆高h=Lcos θ，周期T越小，圆锥摆转得越快，θ越大；②摆线拉力FT=，圆锥摆转得越快，摆线拉力FT越大；③摆球的加速度a=gtan θ。
[典例]　(2024·江西高考)雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图(a)、(b)所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅(视为质点)。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计空气阻力。
(1)在图(a)中，若圆盘在水平雪地上以角速度ω1匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1的匀速圆周运动。求AB与OB之间夹角α的正切值。
[答案]　　
[解析]　对转椅受力分析，转椅在水平面内受摩擦力、轻绳拉力，两者合力提供其做圆周运动所需向心力，如图所示。设转椅的质量为m，则转椅所需的向心力Fn1=mr1
转椅受到的摩擦力f1=μmg
根据几何关系有tan α=
联立解得tan α=。
(2)将圆盘升高，如图(b)所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为β。求此时圆盘的角速度ω2。
[答案]　
[解析]　转椅在题图(b)情况下所需的向心力Fn2=mr2
转椅受到的摩擦力f2=μN2
根据几何关系有tan β=
竖直方向上由平衡条件有N2+Tcos θ=mg
水平面上有f2=Tsin θsin β
联立解得ω2=。
1.长度为1 m的细线一端拴一质量为m=2 kg的小球(不计大小)，另一端固定于O点。让小球在水平面内做匀速圆周运动，这种运动通常称为圆锥摆运动。如图所示，摆线与竖直方向的夹角α=37°，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6，则下列说法正确的是 (　　)
应用体验
A.小球运动的角速度为 rad/s
B.细线的拉力大小为16 N
C.小球运动的线速度大小为1.2 m/s
D.小球所需要的向心力大小为15 N
√
解析:细线的拉力大小为FT==25 N，故B错误；根据牛顿第二定律有mgtan 37°=mω2Lsin 37°，解得ω= rad/s，故A错误；小球运动的线速度大小为v=ωLsin 37°= m/s，故C错误；向心力大小为Fn=mgtan 37°=15 N，故D正确。
2.(多选)如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒固定在地面上，圆锥筒的轴线竖直。一个小球贴着筒的内壁在水平面内做圆周运动，由于微弱的空气阻力作用，小球的运动轨迹由A轨道缓慢下降到B轨道，则在此过程中 (　　)
A.小球的向心加速度逐渐减小
B.小球运动的角速度逐渐减小
C.小球运动的线速度逐渐减小
D.小球运动的周期逐渐减小
√
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解析:以小球为研究对象，对小球受力分析，如图所
示。由牛顿第二定律得F==ma==mrω2，可知向心
力F大小不变，向心加速度大小a=不变，故A错误；
角速度ω=，由于轨道半径减小，则角速度变大，故B错误；
线速度v=，由于轨道半径减小，线速度减小，故C正确；周期T=，角速度增大，则周期减小，故D正确。
课时跟踪检测
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(说明:标★的为推荐讲评题目)
一、单项选择题
1.(2025·河南开封模拟)如图甲所示，面点师制作蛋糕时，蛋糕坯放在旋转的转台上，其简化图如图乙所示，转台以某一恒定角速度绕竖直转轴OO'转动，A、B两点到转轴的距离不同，用ω、v、T、a分别表示角速度、线速度大小、周期、向心加速度大小。下列关系正确的是(　　)
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A.ωA>ωB B.aA>aB
C.vA解析:由题图可知，A、B两点同轴转动，角速度相等，即ωA=ωB，根据T=，可得TA=TB，故A、D错误；根据a=ω2r，可知aA>aB，故B正确；根据v=ωr，可知vA>vB，故C错误。
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2.(2025·广东潮州模拟)如图甲所示，陀螺是深受小朋友喜爱的玩具之一。玩耍时，由细绳的一端开始将细绳紧紧缠绕在陀螺侧面，将陀螺竖直放置在地面上，用力水平拉动细绳另一端，使陀螺由静止开始加速转动，俯视图如图乙所示。若陀螺的半径为R，在地面上稳定转动时，其角速度至少要达到ω，缠绕在陀螺上的细绳长为l，拉动细绳时，细绳在陀螺侧面不打滑。将细绳的运动视为匀加速直线运动，为使陀螺稳定转动，细绳的加速度至少为 (　　)
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A. B.
C. D.
解析:根据v2=2al，v=ωR，联立解得a=，故选B。
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3.(2025·江西南昌一模)网络上有人演示快速转动的红酒在倒立的红酒杯中不会洒落的“绝活”，引发大家的惊叹。为了说明这一原理，小明演示了小球在倒置红酒杯杯壁内做快速圆周运动，同样也不会掉下来。如图，A球在上，B球在下，A、B两小球在静止的红酒杯内不同的水平面上做匀速圆周运动，A、B两小球完全相同且可视为质点，红酒杯杯壁的倾角不变，不计一切摩擦。下列说法正确的是 (　　)
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A.A球做圆周运动的向心力大小大于B球做圆周运动的向心力大小
B.A球的线速度大小大于B球的线速度大小
C.A球的角速度大小大于B球的角速度大小
D.A球做圆周运动的周期小于B球做圆周运动的周期
解析:由于杯壁的倾角不变，A、B两小球所受合力大小相等，合力提供向心力，向心力大小相等，故 A错误；根据Fn=m=mω2r=mr，由于rA>rB，所以vA>vB，ωA<ωB，TA>TB，故B正确，C、D错误。
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4.(2025·广东深圳模拟)一卷帘窗由帘布和底杆组成，帘布和轻质塑料拉珠套在半径不同的共轴轻质定滑轮上，定滑轮固定在窗户顶端，侧视结构简图如图所示。已知拉珠所在滑轮半径为r1，帘布所在滑轮半径为r2。现用手向下缓慢匀速拉动拉珠，帘布上升，拉珠、帘布均与滑轮无相对滑动，不计一切阻力，下列说法正确的是(　　)
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A.帘布上升的速度大于拉珠向下运动的速度
B.帘布上升的速度等于拉珠向下运动的速度
C.帘布上升的速度与拉珠向下运动的速度之比为
D.卷帘窗被上拉的过程，手做的功等于帘布和底杆的机械能增加量
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解析:拉珠和帘布对应的滑轮属于同轴转动，它们的角速度相等，根据v=ωr，帘布上升的速度小于拉珠向下运动的速度，且速度之比为，故A、B、C错误；卷帘窗被上拉过程，手做的功转化为帘布和底杆的机械能，即手做的功等于帘布和底杆的机械能增加量，故D正确。
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5.(2025·重庆模拟)某射击游戏道具如图(a)所示，将圆形转筒十等分后间隔排列五片弧形薄板，其余位置留空，俯视图如图(b)所示。已知转筒直径d=1 m，角速度ω=8π rad/s，一同学用玩具手枪瞄准中轴线随机打出一枪，弹丸可认为做水平匀速直线运动且速度v1=20 m/s，弹丸穿过薄板后速度会减半，忽略空气阻力和弹丸穿过薄板所需时间，下列说法正确的是 (　　)
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A.薄板上各点线速度相同
B.薄板上一定会留下一个弹孔
C.若增大角速度，薄板上至少会留下一个弹孔
D.若减小角速度，薄板上至少会留下一个弹孔
解析:根据v=rω可知，薄板上各点线速度大小相等，方向不同，故A错误。若弹丸穿过空隙进入转筒，则弹丸在转筒中运动的时间t1==0.05 s，这段时间内转筒转过的角度θ1=ωt1=0.4π，又弹丸射入时正对面是薄板，每个薄板和空隙所对的圆心角为0.2π，可知弹丸会穿过薄板离开转筒；
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若弹丸穿过薄板进入转筒，则弹丸在转筒中运动的时间t2==0.1 s，这段时间内转筒转过的角度θ2=ωt2=0.8π，又弹丸射入时正对面是空隙，每个薄板和空隙所对的圆心角为0.2π，可知弹丸穿过空隙离开转筒；综上所述，薄板上一定会留下一个弹孔，故B正确。无论是增大角速度还是减小角速度，弹丸都有可能两次经过空隙，在薄板上可能不留下弹孔，故C、D错误。
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6.(2024·江苏高考)如图所示，细绳穿过竖直的管子拴住一个小球，让小球在A高度处的水平面内做匀速圆周运动，现用力将细绳缓慢下拉，使小球在B高度处的水平面内做匀速圆周运动，不计一切摩擦，则 (　　)
A.线速度vA> vB
B.角速度ωA>ωB
C.向心加速度aA< aB
D.向心力FA>FB
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解析:设管外细绳与竖直方向夹角为θ，管外细绳的长度为l，小球所在水平面距离顶点的竖直高度为h，对小球分析有F向=mgtan θ=mω2lsin θ
=m=ma，解得v=，ω=，a=gtan θ。由于v=，小球从A处到达B处，l减小，θ增大，则无法判断vA、vB的关系，故A错误；由于ω=，其中cos θ=，联立得ω=，由题意可知，小球从A处到达B处，h减小，则ωA<ωB，故B错误；由于F向=mgtan θ，a=gtan θ，角度θ变大，小球所受向心力变大，即FA2
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二、多项选择题
7.(2025·广东深圳期中)如图所示，杂技演员进行表演时，可以悬空靠在以角速度ω匀速转动的圆筒内壁上而不掉下来。设圆筒半径为r，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则该演员(　　)
A.受到4个力的作用
B.所需的向心力由弹力提供
C.角速度越大，人受到的摩擦力越大
D.圆筒的角速度ω≥
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解析:杂技演员受到重力、筒壁的弹力和静摩擦力共3个力作用，A错误；由于杂技演员在圆筒内壁上不掉下来，竖直方向根据平衡条件有mg=Ff，筒壁的弹力提供向心力，水平方向有F=mω2r，角速度越大，人受到的摩擦力不变，弹力变大，B正确，C错误；要想不下滑，最大静摩擦力需要大于等于重力，所以μF≥mg，F=mω2r，解得ω≥，D正确。
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8.(2025·山东泰安模拟)进入冬季后，北方的冰雪运动吸引了许多南方游客。如图为雪地转转游戏，人乘坐雪圈(人和雪圈总质量为50 kg，大小忽略不计)绕轴以2 rad/s的角速度在水平雪地上匀速转动，已知水平杆长为2 m，离地高为2 m，绳长为4 m，
且绳与水平杆垂直。则雪圈(含人) (　　)
A.所受的合外力不变
B.所受绳子的拉力指向圆周运动的圆心
C.线速度大小为8 m/s
D.所需向心力大小为800 N
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解析:雪圈(含人)做匀速圆周运动，合外力一直指向圆心，方向时刻发生变化，因而合外力在不断变化，故A错误；绳子的拉力沿绳并指向绳收缩的方向，并不是指向圆周运动的圆心，故B错误；根据几何关系可知，雪圈(含人)做匀速圆周运动的半径为r= m=4 m，可知线速度大小为v=ωr=8 m/s，向心力大小为Fn=mω2r=800 N，故C、D正确。
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三、计算题
9.(11分)一粗糙的圆锥体可绕其轴线做圆周
运动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的
夹角为θ=53°。现于锥面上放一个石块，石块
与锥面间的动摩擦因数μ=0.8，石块与圆锥体顶点O的距离L=3 m，石块的质量为m=20 kg，石块可看作质点。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g=10 m/s2，sin 53°=0.8，cos 53°=0.6。求:
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(1)若圆锥体与石块均静止，石块受到锥面的摩擦力大小；(5分)
答案:120 N　
解析:若圆锥体与石块均静止，石块的受力分析如图1所示，因μmgsin θ>mgcos θ
故石块受到锥面的摩擦力大小
Ff=mgcos θ=120 N。
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(2)若石块随圆锥体一起以角速度ω=0.2 rad/s绕轴线做匀速圆周运动，石块受到的摩擦力的大小。(6分)
答案:121.536 N
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解析:当圆锥体与石块一起以角速度ω=0.2 rad/s绕轴线做匀速圆周运动时，石块的受力分析如图2所示，
竖直方向有Ff'cos θ+FN'sin θ-mg=0
水平方向有Ff'sin θ-FN'cos θ=mω2Lsin θ
解得Ff'=121.536 N。
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10.(12分)(2025·辽宁营口模拟)一种可测量转动
角速度的简易装置如图所示。“V”形光滑支架固定
在水平底座上，可随底座绕中轴线OO'旋转，支架
两杆与水平面间夹角均为53°，两杆的杆长均为2L。
一原长为L的轻弹簧套在AB杆上，弹簧一端固定于杆的上端A点，另一端与一套在杆上的小球(可视为质点)拴接，支架静止时弹簧的长度为1.5L。现让小球随支架匀速转动，已知小球的质量为m，重力加速度为g，sin 53°=0.8。
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(1)求轻弹簧的劲度系数；(3分)
答案:　
解析:静止时弹簧伸长了L，对小球由平衡条件可得kL=
mgsin 53°，解得k=。
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(2)求弹簧恰好为原长时，支架转动的角速度；(4分)
答案:　
解析:轻弹簧恰好为原长时，小球只受重力和杆的支持力，由几何关系可知小球转动半径r=Lcos 53°
竖直方向Ncos 53°=mg
水平方向Nsin 53°=mrω2，
解得ω=。
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(3)若支架转动的角速度为，求此时弹簧的长度。(5分)
答案:0.5L
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解析:若支架转动的角速度为>ω=，弹簧压缩，设形变量为Δx，则有
N'cos 53°=mg+kΔxsin 53°
N'sin 53°+kΔxcos 53°=mr'ω'2
其中r'=[2L-(L-Δx)]cos 53°
解得Δx=0.5L
弹簧的长度为x=L-0.5L=0.5L。
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4　　　　　　　　　　　　课时跟踪检测(二十一)　圆周运动
一、单项选择题
1.(2025·河南开封模拟)如图甲所示,面点师制作蛋糕时,蛋糕坯放在旋转的转台上,其简化图如图乙所示,转台以某一恒定角速度绕竖直转轴OO'转动,A、B两点到转轴的距离不同,用ω、v、T、a分别表示角速度、线速度大小、周期、向心加速度大小。下列关系正确的是 (　　)
A.ωA>ωB B.aA>aB
C.vA2.(2025·广东潮州模拟)如图甲所示,陀螺是深受小朋友喜爱的玩具之一。玩耍时,由细绳的一端开始将细绳紧紧缠绕在陀螺侧面,将陀螺竖直放置在地面上,用力水平拉动细绳另一端,使陀螺由静止开始加速转动,俯视图如图乙所示。若陀螺的半径为R,在地面上稳定转动时,其角速度至少要达到ω,缠绕在陀螺上的细绳长为l,拉动细绳时,细绳在陀螺侧面不打滑。将细绳的运动视为匀加速直线运动,为使陀螺稳定转动,细绳的加速度至少为 (　　)
A.　　B.　　C.　　D.
3.(2025·江西南昌一模)网络上有人演示快速转动的红酒在倒立的红酒杯中不会洒落的“绝活”,引发大家的惊叹。为了说明这一原理,小明演示了小球在倒置红酒杯杯壁内做快速圆周运动,同样也不会掉下来。如图,A球在上,B球在下,A、B两小球在静止的红酒杯内不同的水平面上做匀速圆周运动,A、B两小球完全相同且可视为质点,红酒杯杯壁的倾角不变,不计一切摩擦。下列说法正确的是 (　　)
A.A球做圆周运动的向心力大小大于B球做圆周运动的向心力大小
B.A球的线速度大小大于B球的线速度大小
C.A球的角速度大小大于B球的角速度大小
D.A球做圆周运动的周期小于B球做圆周运动的周期
4.(2025·广东深圳模拟)一卷帘窗由帘布和底杆组成,帘布和轻质塑料拉珠套在半径不同的共轴轻质定滑轮上,定滑轮固定在窗户顶端,侧视结构简图如图所示。已知拉珠所在滑轮半径为r1,帘布所在滑轮半径为r2。现用手向下缓慢匀速拉动拉珠,帘布上升,拉珠、帘布均与滑轮无相对滑动,不计一切阻力,下列说法正确的是 (　　)
A.帘布上升的速度大于拉珠向下运动的速度
B.帘布上升的速度等于拉珠向下运动的速度
C.帘布上升的速度与拉珠向下运动的速度之比为
D.卷帘窗被上拉的过程,手做的功等于帘布和底杆的机械能增加量
5.(2025·重庆模拟)某射击游戏道具如图(a)所示,将圆形转筒十等分后间隔排列五片弧形薄板,其余位置留空,俯视图如图(b)所示。已知转筒直径d=1 m,角速度ω=8π rad/s,一同学用玩具手枪瞄准中轴线随机打出一枪,弹丸可认为做水平匀速直线运动且速度v1=20 m/s,弹丸穿过薄板后速度会减半,忽略空气阻力和弹丸穿过薄板所需时间,下列说法正确的是 (　　)
A.薄板上各点线速度相同
B.薄板上一定会留下一个弹孔
C.若增大角速度,薄板上至少会留下一个弹孔
D.若减小角速度,薄板上至少会留下一个弹孔
6.(2024·江苏高考)如图所示,细绳穿过竖直的管子拴住一个小球,让小球在A高度处的水平面内做匀速圆周运动,现用力将细绳缓慢下拉,使小球在B高度处的水平面内做匀速圆周运动,不计一切摩擦,则 (　　)
A.线速度vA> vB　　　 B.角速度ωA>ωB
C.向心加速度aA< aB D.向心力FA>FB
二、多项选择题
7.(2025·广东深圳期中)如图所示,杂技演员进行表演时,可以悬空靠在以角速度ω匀速转动的圆筒内壁上而不掉下来。设圆筒半径为r,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则该演员 (　　)
A.受到4个力的作用
B.所需的向心力由弹力提供
C.角速度越大,人受到的摩擦力越大
D.圆筒的角速度ω≥
8.(2025·山东泰安模拟)进入冬季后,北方的冰雪运动吸引了许多南方游客。如图为雪地转转游戏,人乘坐雪圈(人和雪圈总质量为50 kg,大小忽略不计)绕轴以2 rad/s的角速度在水平雪地上匀速转动,已知水平杆长为2 m,离地高为2 m,绳长为4 m,且绳与水平杆垂直。则雪圈(含人) (　　)
A.所受的合外力不变
B.所受绳子的拉力指向圆周运动的圆心
C.线速度大小为8 m/s
D.所需向心力大小为800 N
三、计算题
9.(11分)一粗糙的圆锥体可绕其轴线做圆周运动,其轴线沿竖直方向,母线与轴线之间的夹角为θ=53°。现于锥面上放一个石块,石块与锥面间的动摩擦因数μ=0.8,石块与圆锥体顶点O的距离L=3 m,石块的质量为m=20 kg,石块可看作质点。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,取重力加速度g=10 m/s2,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6。求:
(1)若圆锥体与石块均静止,石块受到锥面的摩擦力大小;(5分)
(2)若石块随圆锥体一起以角速度ω=0.2 rad/s绕轴线做匀速圆周运动,石块受到的摩擦力的大小。(6分)
10.(12分)(2025·辽宁营口模拟)一种可测量转动角速度的简易装置如图所示。“V”形光滑支架固定在水平底座上,可随底座绕中轴线OO'旋转,支架两杆与水平面间夹角均为53°,两杆的杆长均为2L。一原长为L的轻弹簧套在AB杆上,弹簧一端固定于杆的上端A点,另一端与一套在杆上的小球(可视为质点)拴接,支架静止时弹簧的长度为1.5L。现让小球随支架匀速转动,已知小球的质量为m,重力加速度为g,sin 53°=0.8。
(1)求轻弹簧的劲度系数;(3分)
(2)求弹簧恰好为原长时,支架转动的角速度;(4分)
(3)若支架转动的角速度为,求此时弹簧的长度。(5分)
课时跟踪检测(二十一)
1.选B　由题图可知,A、B两点同轴转动,角速度相等,即ωA=ωB,根据T=,可得TA=TB,故A、D错误;根据a=ω2r,可知aA>aB,故B正确;根据v=ωr,可知vA>vB,故C错误。
2.选B　根据v2=2al,v=ωR,联立解得a=,故选B。
3.选B　由于杯壁的倾角不变,A、B两小球所受合力大小相等,合力提供向心力,向心力大小相等,故 A错误;根据Fn=m=mω2r=mr,由于rA>rB,所以vA>vB,ωA<ωB,TA>TB,故B正确,C、D错误。
4.选D　拉珠和帘布对应的滑轮属于同轴转动,它们的角速度相等,根据v=ωr,帘布上升的速度小于拉珠向下运动的速度,且速度之比为,故A、B、C错误;卷帘窗被上拉过程,手做的功转化为帘布和底杆的机械能,即手做的功等于帘布和底杆的机械能增加量,故D正确。
5.选B　根据v=rω可知,薄板上各点线速度大小相等,方向不同,故A错误。若弹丸穿过空隙进入转筒,则弹丸在转筒中运动的时间t1==0.05 s,这段时间内转筒转过的角度θ1=ωt1=0.4π,又弹丸射入时正对面是薄板,每个薄板和空隙所对的圆心角为0.2π,可知弹丸会穿过薄板离开转筒;若弹丸穿过薄板进入转筒,则弹丸在转筒中运动的时间t2==0.1 s,这段时间内转筒转过的角度θ2=ωt2=0.8π,又弹丸射入时正对面是空隙,每个薄板和空隙所对的圆心角为0.2π,可知弹丸穿过空隙离开转筒;综上所述,薄板上一定会留下一个弹孔,故B正确。无论是增大角速度还是减小角速度,弹丸都有可能两次经过空隙,在薄板上可能不留下弹孔,故C、D错误。
6.选C　设管外细绳与竖直方向夹角为θ,管外细绳的长度为l,小球所在水平面距离顶点的竖直高度为h,对小球分析有F向=mgtan θ=mω2lsin θ=m=ma,解得v=,ω=,a=gtan θ。由于v=,小球从A处到达B处,l减小,θ增大,则无法判断vA、vB的关系,故A错误;由于ω=,其中cos θ=,联立得ω=,由题意可知,小球从A处到达B处,h减小,则ωA<ωB,故B错误;由于F向=mgtan θ,a=gtan θ,角度θ变大,小球所受向心力变大,即FA7.选BD　杂技演员受到重力、筒壁的弹力和静摩擦力共3个力作用,A错误;由于杂技演员在圆筒内壁上不掉下来,竖直方向根据平衡条件有mg=Ff,筒壁的弹力提供向心力,水平方向有F=mω2r,角速度越大,人受到的摩擦力不变,弹力变大,B正确,C错误;要想不下滑,最大静摩擦力需要大于等于重力,所以μF≥mg,F=mω2r,解得ω≥,D正确。
8.选CD　雪圈(含人)做匀速圆周运动,合外力一直指向圆心,方向时刻发生变化,因而合外力在不断变化,故A错误;绳子的拉力沿绳并指向绳收缩的方向,并不是指向圆周运动的圆心,故B错误;根据几何关系可知,雪圈(含人)做匀速圆周运动的半径为r= m=4 m,可知线速度大小为v=ωr=8 m/s,向心力大小为Fn=mω2r=800 N,故C、D正确。9.解析:(1)
若圆锥体与石块均静止,石块的受力分析如图1所示,因μmgsin θ>mgcos θ
故石块受到锥面的摩擦力大小
Ff=mgcos θ=120 N。
(2)
当圆锥体与石块一起以角速度ω=0.2 rad/s绕轴线做匀速圆周运动时,石块的受力分析如图2所示,
竖直方向有Ff'cos θ+FN'sin θ-mg=0
水平方向有Ff'sin θ-FN'cos θ=mω2Lsin θ
解得Ff'=121.536 N。
答案:(1)120 N　(2)121.536 N
10.解析:(1)静止时弹簧伸长了L,对小球由平衡条件可得
kL=mgsin 53°,解得k=。
(2)轻弹簧恰好为原长时,小球只受重力和杆的支持力,由几何关系可知小球转动半径r=Lcos 53°
竖直方向Ncos 53°=mg
水平方向Nsin 53°=mrω2,
解得ω=。
(3)若支架转动的角速度为>ω=,弹簧压缩,设形变量为Δx,则有
N'cos 53°=mg+kΔxsin 53°
N'sin 53°+kΔxcos 53°=mr'ω'2
其中r'=[2L-(L-Δx)]cos 53°
解得Δx=0.5L
弹簧的长度为x=L-0.5L=0.5L。
答案:(1)　(2)　(3)0.5L
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