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第4讲　圆周运动的三类临界问题(综合融通课)
(一)水平面内圆周运动的临界问题
1.与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。
(1)如果只是摩擦力提供向心力,则最大静摩擦力Ffm=,静摩擦力的方向一定指向圆心。
(2)如果除摩擦力以外还有其他力,如绳两端连接物体随水平面转动,其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件,分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
2.与弹力有关的临界极值问题
(1)两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。
3.水平面内圆周运动临界问题的分析方法
几何 分析 目的是确定圆周运动的圆心、半径等
运动 分析 目的是确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等
受力 分析 目的是通过力的合成与分解,表示出物体做圆周运动时外界所提供的向心力
条件 分析 ①绳的临界:张力FT=0;②接触面滑动的临界:F=Ffmax;③接触面分离的临界:FN=0。 分析时一般先假设达到临界状态后,再分析结论
[考法全训]
考法1　发生相对滑动时的临界问题
1.(2024·江苏高考)陶瓷是以粘土为主要原料以及各种天然矿物经过粉碎、混炼、成型和煅烧制得的材料以及各种制品。如图所示是生产陶瓷的简化工作台,当陶瓷匀速转动时,台面上掉有陶屑,陶屑与台面间的动摩擦因数处处相同(台面够大),则 (　　)
A.离轴OO'越远的陶屑质量越大
B.离轴OO'越近的陶屑质量越小
C.只有平台边缘有陶屑
D.离轴最远的陶屑距离不会超过某一值
考法2　物体间恰好分离的临界问题
2.(多选)如图所示,三角形为一光滑圆锥体的正视图,锥面与竖直方向的夹角为θ=37°。一根长为l=1 m的细线一端系在圆锥体顶端,另一端系着一可视为质点的小球,小球在水平面内绕圆锥体的轴做匀速圆周运动,重力加速度g=10 m/s2,sin 37°=0.6,不计空气阻力,则 (　　)
A.小球受重力、支持力、拉力和向心力
B.小球可能只受拉力和重力
C.当ω0= rad/s时,小球对圆锥体的压力刚好为零
D.当ω=2 rad/s时,小球受重力、支持力和拉力作用
考法3　绳的弹力恰好有无的临界问题
3.如图甲所示,在匀速转动的水平转盘上,沿半径方向放着用轻质细线相连的质量相等的两个物体A和B,它们分居圆心两侧,与圆心距离分别为2r和3r,两物体与盘间的动摩擦因数相同,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若初始时绳子恰好拉直但没有拉力,现增大转盘角速度让转盘做匀速圆周运动,但两物体还未发生相对滑动,这一过程A与B所受摩擦力f的大小与ω2的关系图像如图乙所示,下列关系式正确的是 (　　)
A.2=3　　　　　 B.=2
C.2=5 D.=3
(二)竖直平面内圆周运动的临界问题
　　竖直平面内圆周运动两种常见的模型
轻绳模型 轻杆模型
情境 图示
弹力 特征 弹力可能向下,也可能等于零 弹力可能向下,可能向上,也可能等于零
力学 方程 mg+FT=m mg±FN=m
临界 特征 FT=0,即mg=m,得v= v=0,即F向=0, 此时FN=mg
[考法全训]
考法1　轻绳模型
　　[例1]　如图甲所示,小球用不可伸长的轻绳连接,绕定点O在竖直面内做圆周运动,小球经过最高点的速度大小为v,此时绳子拉力大小为FT,拉力FT与速度的平方v2的关系如图乙所示,图像中的数据a和b以及重力加速度g都为已知量,以下说法正确的是 (　　)
A.数据a与小球的质量有关
B.数据b与小球的质量无关
C.比值只与小球的质量有关,与圆周轨道半径无关
D.利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨道半径
听课记录:
考法2　轻杆模型
　　[例2]　(2025·北京海淀模拟)如图甲所示,轻杆一端与一小球相连,另一端连在光滑固定轴上,可在竖直平面内自由转动。现使小球在竖直平面内做圆周运动,到达某一位置开始计时,取水平向右为正方向,小球的水平分速度 vx随时间t的变化关系如图乙所示。不计空气阻力。下列说法中正确的是 (　　)
A.t1时刻小球通过最高点,图乙中S1和 S2的面积不相等
B.t2时刻小球通过最高点,图乙中S1和 S2的面积相等
C.t1时刻的杆中弹力一定大于t2时刻的杆中弹力
D.在小球做一次完整圆周运动的过程中,杆中弹力可能两次为零
听课记录:
(三)斜面上圆周运动的临界问题
　　在斜面上做圆周运动的物体,因所受的控制因素不同,常见类型有:摩擦力控制、杆控制、绳控制。与竖直面内的圆周运动类似,斜面上的圆周运动通常也是分析物体在最高点和最低点的受力情况,只是在受力分析时,一般需要进行立体图到平面图的转化,这是解斜面上圆周运动问题的难点。
考法1　静摩擦力控制下的斜面圆周运动
[例1]　(2025·天津模拟)如图所示,光滑斜面上固定一个圆形转盘,转盘上表面平整,圆心为O,转盘可绕垂直斜面的轴O转动。转盘上放置一个小滑块P,转盘绕O匀速转动,P总是相对转盘静止,下列判断正确的是 (　　)
A.P在任意位置的向心力均相同
B.P在最左端点和最右端点受到转盘的摩擦力大小相等、方向相反
C.P受到的摩擦力至少有一个位置指向圆心,最多有两个位置
D.P在最高点和最低点受到转盘的摩擦力大小可能相等
听课记录:
考法2　轻绳控制下的斜面圆周运动
　　[例2]　如图所示,一倾角为θ=30°的斜劈静置于粗糙水平面上,斜劈上表面光滑,一轻绳的一端固定在斜面上的O点,另一端系一小球。在图示位置垂直于绳给小球一初速度,使小球恰好能在斜面上做圆周运动。已知O点到小球球心的距离为l,重力加速度为g,整个过程中斜劈静止,下列说法正确的是 (　　)
A.小球在顶端时,速度大小为
B.小球在底端时,速度大小为
C.小球运动过程中,地面对斜劈的摩擦力大小不变
D.小球运动过程中,地面对斜劈的支持力等于小球和斜劈的重力之和
听课记录:
第4讲
(一)　1.选D　与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动,静摩擦力提供向心力,当静摩擦力为最大静摩擦力时,根据牛顿第二定律可得μmg=mω2r,解得r=,因与台面相对静止的陶屑的角速度相同,可知能与台面相对静止的陶屑离轴OO'的距离与陶屑质量无关,只要在台面上不发生相对滑动的位置都有陶屑,故A、B、C错误;离轴最远的陶屑受到的静摩擦力为最大静摩擦力,由上述分析可知最大的运动半径为R=,μ与ω均一定,故R为定值,即离轴最远的陶屑距离不会超过某一值R,故D正确。
2.选BC　向心力是效果力,不是小球实际受到的力;对小球受力分析,小球受重力、细线的拉力,小球可能受圆锥体的支持力,也可能不受圆锥体的支持力;转速较小时, 小球紧贴圆锥面,则FTcos θ+FNsin θ=mg,FTsin θ-FNcos θ=mω2lsin θ,随着角速度的增加,FT增大,FN减小,当角速度达到ω0时支持力为零,支持力恰好为零时有mgtan θ=mlsin θ,解得ω0= rad/s,A错误,B、C正确。因 2 rad/s> rad/s,所以当ω=2 rad/s时,小球已经离开斜面,小球只受重力、拉力的作用,D错误。
3.选D　因为物体A和B分居圆心两侧,与圆心距离分别为2r和3r,绳子出现拉力之前,两个物体都只受静摩擦力的作用,与ω2成正比,由于B物体到圆心的距离大,故B物体先达到最大静摩擦力,之后摩擦力大小不变为μmg=m·3r,角速度达到ω1后绳子出现拉力,在角速度为ω2时,设绳子拉力为T,对B有T+μmg=m·3r,对A有T=m·2r,解得=3,故选D。
(二)　[例1]　选D　由题图乙可知当v2=a时,绳子的拉力为零,此时小球的重力提供向心力,则有mg=m,解得v2=gr,即a=gr,A错误;当v2=2a时,对小球进行受力分析,则有mg+b=m,解得b=mg,与小球的质量有关,B错误;根据以上分析可知=,C错误;由题图乙可知,当v2=a时,则有mg=m,解得r=,当v2=2a时,则有mg+b=m,解得m=,D正确。
[例2]　选D　因在最高点和最低点两侧小球的水平分速度具有对称性,又小球在最高点时的水平分速度小于在最低点时的水平分速度,在水平直径最左端和最右端时的水平分速度为零,故由题图可知,t1时刻小球通过最高点,面积S1表示的是从最低点运动到水平直径最左端位置的过程中通过的水平位移,其大小等于轨道半径,S2表示的是从水平直径最左端位置运动到最高点的过程中通过的水平位移,其大小也等于轨道半径,A、B错误;若t1时刻轻杆对小球没有弹力作用,则t2时刻的杆中弹力不可能为0,C错误;若存在某点高于圆心、低于最高点,恰好重力的分力提供匀速圆周运动的向心力,则杆中的弹力为零,并存在关于过圆心竖直方向对称的位置弹力也为零,故在小球做一次完整圆周动的过程中,杆中弹力可能两次为零,D正确。
(三)　[例1]　选C　滑块P做匀速圆周运动,向心力大小相等,方向时刻改变,故A错误;
P在左端点和右端点,由静摩擦力和重力沿斜面向下的分力mgsin θ的合力提供向心力,沿斜面方向受力分析如图所示,由于半径相等,角速度相等,向心力大小相等、方向相反,则摩擦力大小相等,方向并不相反,故B错误;在最低点静摩擦力指向圆心,在最高点可能指向圆心,P受到的摩擦力至少有一个位置指向圆心,最多有两个位置,故C正确;设转盘转动的角速度为ω,滑块的质量为m,转动半径为r,在最低点时,有f1-mgsin θ=mrω2,得f1=mgsin θ+mrω2,假设在最高点时摩擦力大小和在最低点相等,若方向沿斜面向下有f1+mgsin θ=2mgsin θ+mrω2>mrω2,不成立,若方向沿斜面向上,则摩擦力与重力沿斜面向下的分力mgsin θ的合力沿斜面向上,故也不成立,可知在最高点和最低点受到转盘的摩擦力大小不可能相等,故D错误。
[例2]　选B　小球在顶端时,绳的拉力FT与重力沿斜面向下的分力的合力提供小球做圆周运动所需的向心力,有FT+mgsin θ=m,可知绳的拉力越小,小球的速度越小,当绳的拉力为零时,小球恰好在斜面上做圆周运动,在顶端时的速度为vmin==,A错误;小球由顶端向底端运动时,只有重力对小球做功,根据动能定理有mg·2lsin θ=mv2-m,代入数据可得v=,B正确;小球在斜面上受重力、支持力和绳的拉力作用做变速圆周运动,其所受重力与斜面的支持力大小和方向均保持不变,绳的拉力大小和方向均不断变化,根据牛顿第三定律,以斜劈为研究对象,斜劈在小球恒定的压力、绳不断变化的拉力、地面的支持力、摩擦力和自身的重力作用下保持平衡,绳的拉力不断变化,故其在水平和竖直方向上的分量也在不断变化,根据斜劈的平衡条件可知,它受到的水平方向上的摩擦力大小是变化的,地面对斜劈支持力的大小不一定等于小球和斜劈重力之和,C、D错误。
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圆周运动的三类临界问题
(综合融通课)
第 4 讲
1
(一)水平面内圆周运动的临界问题
2
(二)竖直平面内圆周运动的临界问题
CONTENTS
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4
课时跟踪检测
3
(三)斜面上圆周运动的临界问题
(一)水平面内圆周运动
的临界问题
1.与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。
(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm=，静摩擦力的方向一定指向圆心。
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
2.与弹力有关的临界极值问题
(1)两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。
3.水平面内圆周运动临界问题的分析方法
几何分析 目的是确定圆周运动的圆心、半径等
运动分析 目的是确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等
受力分析 目的是通过力的合成与分解，表示出物体做圆周运动时外界所提供的向心力
条件分析 ①绳的临界:张力FT=0；②接触面滑动的临界:F=Ffmax； ③接触面分离的临界:FN=0。
分析时一般先假设达到临界状态后，再分析结论
考法1　发生相对滑动时的临界问题
1.(2024·江苏高考)陶瓷是以粘土为主要原料以及各种天然矿物经过粉碎、混炼、成型和煅烧制得的材料以及各种制品。如图所示是生产陶瓷的简化工作台，当陶瓷匀速转动时，台面上掉有陶屑，陶屑与台面间的动摩擦因数处处相同(台面够大)，则(　　)
考法全训
A.离轴OO'越远的陶屑质量越大
B.离轴OO'越近的陶屑质量越小
C.只有平台边缘有陶屑
D.离轴最远的陶屑距离不会超过某一值
√
解析:与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力为最大静摩擦力时，根据牛顿第二定律可得μmg=mω2r，解得r=，因与台面相对静止的陶屑的角速度相同，可知能与台面相对静止的陶屑离轴OO'的距离与陶屑质量无关，只要在台面上不发生相对滑动的位置都有陶屑，故A、B、C错误；离轴最远的陶屑受到的静摩擦力为最大静摩擦力，由上述分析可知最大的运动半径为R=，μ与ω均一定，故R为定值，即离轴最远的陶屑距离不会超过某一值R，故D正确。
考法2　物体间恰好分离的临界问题
2.(多选)如图所示，三角形为一光滑圆锥体的正视图，锥面与竖直方向的夹角为θ=37°。一根长为l=1 m的细线一端系在圆锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕圆锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g=10 m/s2，sin 37°=0.6，不计空气阻力，则(　　)
A.小球受重力、支持力、拉力和向心力
B.小球可能只受拉力和重力
C.当ω0= rad/s时，小球对圆锥体的压力刚好为零
D.当ω=2 rad/s时，小球受重力、支持力和拉力作用
√
√
解析:向心力是效果力，不是小球实际受到的力；对小球受力分析，小球受重力、细线的拉力，小球可能受圆锥体的支持力，也可能不受圆锥体的支持力；转速较小时， 小球紧贴圆锥面，则FTcos θ+FNsin θ
=mg，FTsin θ-FNcos θ=mω2lsin θ，随着角速度的增加，FT增大，FN减小，当角速度达到ω0时支持力为零，支持力恰好为零时有mgtan θ
=mlsin θ，解得ω0= rad/s，A错误，B、C正确。因 2 rad/s> rad/s，所以当ω=2 rad/s时，小球已经离开斜面，小球只受重力、拉力的作用，D错误。
考法3　绳的弹力恰好有无的临界问题
3.如图甲所示，在匀速转动的水平转盘上，沿半径方向放着用轻质细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为2r和3r，两物体与盘间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若初始时绳子恰好拉直但没有拉力，现增大转盘角速度让转盘做匀速圆周运动，但两物体还未发生相对滑动，这一过程A与B所受摩擦力f的大小与ω2的关系图像如图乙所示，下列关系式正确的是(　　)
A.2=3　　 B.=2
C.2=5 D.=3
√
解析:因为物体A和B分居圆心两侧，与圆心距离分别为2r和3r，绳子出现拉力之前，两个物体都只受静摩擦力的作用，与ω2成正比，由于B物体到圆心的距离大，故B物体先达到最大静摩擦力，之后摩擦力大小不变为μmg=m·3r，角速度达到ω1后绳子出现拉力，在角速度为ω2时，设绳子拉力为T，对B有T+μmg=m·3r，对A有T=m·2r，解得=3，故选D。
(二)竖直平面内圆周运动的临界问题
竖直平面内圆周运动两种常见的模型
轻绳模型 轻杆模型
情境 图示
弹力 特征 弹力可能向下，也可能等于零 弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
力学方程
临界特征 v=0，即F向=0，此时FN=mg
考法1　轻绳模型
[例1]　如图甲所示，小球用
不可伸长的轻绳连接，绕定点O在
竖直面内做圆周运动，小球经过最
高点的速度大小为v，此时绳子拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v2的关系如图乙所示，图像中的数据a和b以及重力加速度g都为已知量，以下说法正确的是(　　)
考法全训
A.数据a与小球的质量有关
B.数据b与小球的质量无关
C.比值只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关
D.利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨道半径
√
[解析]　由题图乙可知当v2=a时，绳子的拉力为零，此时小球的重力提供向心力，则有mg=m，解得v2=gr，即a=gr，A错误；当v2=2a时，对小球进行受力分析，则有mg+b=m，解得b=mg，与小球的质量有关，B错误；根据以上分析可知=，C错误；由题图乙可知，当v2=a时，则有mg=m，解得r=，当v2=2a时，则有mg+b=m，解得m=，D正确。
考法2　轻杆模型
[例2]　(2025·北京海淀模拟)如图甲所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动。现使小球在竖直平面内做圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度 vx随时间t的变化关系如图乙所示。不计空气阻力。下列说法中正确的是(　　)
A.t1时刻小球通过最高点，图乙中S1和 S2的面积不相等
B.t2时刻小球通过最高点，图乙中S1和 S2的面积相等
C.t1时刻的杆中弹力一定大于t2时刻的杆中弹力
D.在小球做一次完整圆周运动的过程中，杆中弹力可能两次为零
[解析]　因在最高点和最低点两侧小球的水平分速度具有对称性，又小球在最高点时的水平分速度小于在最低点时的水平分速度，在水平直径最左端和最右端时的水平分速度为零，故由题图可知，
√
t1时刻小球通过最高点，面积S1表示的是从最低点运动到水平直径最左端位置的过程中通过的水平位移，其大小等于轨道半径，S2表示的是从水平直径最左端位置运动到最高点的过程中通过的水平位移，其大小也等于轨道半径，A、B错误；若t1时刻轻杆对小球没有弹力作用，则t2时刻的杆中弹力不可能为0，C错误；若存在某点高于圆心、低于最高点，恰好重力的分力提供匀速圆周运动的向心力，则杆中的弹力为零，并存在关于过圆心竖直方向对称的位置弹力也为零，故在小球做一次完整圆周动的过程中，杆中弹力可能两次为零，D正确。
(三)斜面上圆周运动的临界问题
在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，常见类型有:摩擦力控制、杆控制、绳控制。与竖直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运动通常也是分析物体在最高点和最低点的受力情况，只是在受力分析时，一般需要进行立体图到平面图的转化，这是解斜面上圆周运动问题的难点。
考法1　静摩擦力控制下的斜面圆周运动
[例1]　(2025·天津模拟)如图所示，光滑斜面上固定一个圆形转盘，转盘上表面平整，圆心为O，转盘可绕垂直斜面的轴O转动。转盘上放置一个小滑块P，转盘绕O匀速转动，P总是相对转盘静止，下列判断正确的是(　　)
A.P在任意位置的向心力均相同
B.P在最左端点和最右端点受到转盘的摩擦力大小相等、方向相反
C.P受到的摩擦力至少有一个位置指向圆心，最多有两个位置
D.P在最高点和最低点受到转盘的摩擦力大小可能相等
[解析]　滑块P做匀速圆周运动，向心力大小相等，方向时刻改变，故A错误；P在左端点和右端点，由静摩擦力和重力沿斜面向下的分力mgsin θ的合力提供向心力，沿斜面方向受力分析如图所示，由于半径相等，角速度相等，向心力大小相等，方向相反、则摩擦力大小相等，方向并不相反，故B错误；
√
在最低点静摩擦力指向圆心，在最高点可能指向圆心，P受到的摩擦力至少有一个位置指向圆心，最多有两个位置，故C正确；设转盘转动的角速度为ω，滑块的质量为m，转动半径为r，
在最低点时，有f1-mgsin θ=mrω2，得f1=mgsin θ+
mrω2，假设在最高点时摩擦力大小和在最低点相
等，若方向沿斜面向下有f1+mgsin θ=2mgsin θ+
mrω2>mrω2，不成立，若方向沿斜面向上，则摩擦力与重力沿斜面向下的分力mgsin θ的合力沿斜面向上，故也不成立，可知在最高点和最低点受到转盘的摩擦力大小不可能相等，故D错误。
考法2　轻绳控制下的斜面圆周运动
[例2]　如图所示，一倾角为θ=30°的斜劈
静置于粗糙水平面上，斜劈上表面光滑，一轻
绳的一端固定在斜面上的O点，另一端系一小
球。在图示位置垂直于绳给小球一初速度，使小球恰好能在斜面上做圆周运动。已知O点到小球球心的距离为l，重力加速度为g，整个过程中斜劈静止，下列说法正确的是(　　)
A.小球在顶端时，速度大小为
B.小球在底端时，速度大小为
C.小球运动过程中，地面对斜劈的摩擦力大小不变
D.小球运动过程中，地面对斜劈的支持力等于小球和斜劈的重力之和
√
[解析]　小球在顶端时，绳的拉力FT与重力沿斜面向下的分力的合力提供小球做圆周运动所需的向心力，有FT+mgsin θ=m，可知绳的拉力越小，小球的速度越小，当绳的拉力为零时，小球恰好在斜面上做圆周运动，在顶端时的速度为vmin==，A错误；小球由顶端向底端运动时，只有重力对小球做功，根据动能定理有mg·2lsin θ=mv2-m，代入数据可得v=，B正确；
小球在斜面上受重力、支持力和绳的拉力作用做变速圆周运动，其所受重力与斜面的支持力大小和方向均保持不变，绳的拉力大小和方向均不断变化，根据牛顿第三定律，以斜劈为研究对象，斜劈在小球恒定的压力、绳不断变化的拉力、地面的支持力、摩擦力和自身的重力作用下保持平衡，绳的拉力不断变化，故其在水平和竖直方向上的分量也在不断变化，根据斜劈的平衡条件可知，它受到的水平方向上的摩擦力大小是变化的，地面对斜劈支持力的大小不一定等于小球和斜劈重力之和，C、D错误。
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(说明:标★的为推荐讲评题目)
一、单项选择题
1.(2025·江苏泰州模拟)用两根轻绳连接两个球A和B，
其中一根绳的另一端固定在一个竖直转轴上，如图所示。
当两球随转轴一起匀速转动时两球所处的位置可能是图中
的哪一个(　　)
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解析:设上面轻绳与竖直方向的夹角为θ，对整体分析，根据牛顿第二定律得Mgtan θ=Mrω2，解得上面细绳与竖直方向的夹角和角速度的关系为gtan θ=rω2；设下面轻绳与竖直方向的夹角为α，对B球隔离分析，可得mgtan α=mr'ω2，解得下面细绳与竖直方向夹角和角速度的关系为gtan α=r'ω2；A、B两球的角速度相等，又r'>r，则α>θ，故选C。
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2.如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，它们与圆台之间的动摩擦因数均为μ，A的质量为2m，B、C的质量均为m，A、B离轴心的距离为R，C离轴心的距离为2R，重力加速度为g，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则当圆台旋转时(设A、B、C都没有滑动) (　　)
A.物体A的向心加速度最大
B.物体B受到的静摩擦力最大
C.物体C开始滑动的临界角速度为
D.当圆台转速增大时，B比A先滑动
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解析:物体A、B、C的角速度相等，由a=ω2r，可得物体C的向心加速度最大，故A错误；A、B、C都没有滑动，静摩擦力提供向心力，根据Ff=m物ω2r，可知物体B受到的静摩擦力最小，故B错误；静摩擦力达到最大值时对应开始滑动的临界角速度，对物体C有μmg=m·2R，解得ωC=，故C正确；同理可得物体A、B开始滑动的临界角速度分别为ωA=，ωB=，当圆台转速增大时，物体A、B同时滑动，故D错误。
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3.如图所示，在倾角为α=30°的光滑斜面上，有一根长为L=0.8 m的轻杆，一端固定在O点，另一端系一质量为m=0.2 kg的小球，沿斜面做圆周运动。取g=10 m/s2。若要小球能通过最高点A，则小球在最低点B的最小速度是 (　　)
A.4 m/s B.2 m/s
C.2 m/s D.2 m/s
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10
11
解析:小球受轻杆控制，在A点的最小速度为零，由动能定理有2mgLsin α=m，解得vB=4 m/s，A正确。
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11
4.如图所示，一小球以一定的初速度从图示
位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道1，再
进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R，圆轨道2的
半径是轨道1的1.8倍，小球的质量为m，若小球恰好能通过轨道2的最高点B，则小球在轨道1上经过其最高点A时对轨道的压力大小为(重力加速度为g) (　　)
A.2mg B.3mg
C.4mg D.5mg
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√
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解析:小球恰好能通过轨道2的最高点B时，有mg=，小球在轨道1上经过其最高点A时，有FN+mg=，根据机械能守恒定律，有2×(1.8-1)mgR=m-m，联立解得FN=4mg，结合牛顿第三定律可知，小球在轨道1上经过其最高点A时对轨道的压力大小为4mg，C正确。
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5.如图甲、乙所示为自行车气嘴灯，气嘴灯由接触式开关控制，其结构如图丙所示，弹簧一端固定在顶部，另一端与小物块P连接，当车轮转动时，P拉伸弹簧后使触点A、B接触，从而接通电路，使气嘴灯发光，则 (　　)
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11
A.弹簧对物块P的拉力就是物块做圆周运动需要的向心力
B.自行车逐渐加速过程中，气嘴灯在最高点一定比最低点先点亮
C.要使气嘴灯在更高的车速下才能发光，可将弹簧剪短一截后放回装置
D.要使气嘴灯在更低的车速下也能发光，可换用质量更小的物块
解析:在最高或最低点时，弹簧对物块P的拉力和物块P的重力的合力是物块做圆周运动需要的向心力，故A错误；在最高点气嘴灯恰好点亮时有mg+F=mr，在最低点气嘴灯恰好点亮时有F-mg=mr，可知ω1>ω2，所以自行车逐渐加速过程中，气嘴灯在最低点比最高点先点亮，故B错误；
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由以上分析知气嘴灯在最低点更容易点亮，要使气嘴灯在更高的车速下才能发光，由F-mg=mr，可得ω2=，可将弹簧剪短一截后放回装置，使得接通触点A、B时弹簧可以提供更大的力，故C正确；由以上分析知气嘴灯在最低点更容易点亮，要使气嘴灯在更低的车速下也能发光，由ω2=可知，可以增加质量m，即换用质量更大的物块，故D错误。
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6.(2025·河北保定模拟)如图甲所示，
陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落，好像
轨道对它施加了魔法，被称为“魔力陀螺”，
它可等效为图乙所示的模型，竖直固定的
磁性圆轨道半径为R，质量为m的质点沿轨道外侧做完整的圆周运动，A、C两点分别为轨道的最高点与最低点，B、D两点与轨道圆心等高，质点受到始终指向圆心、大小恒为2mg的磁性引力作用，不计摩擦和空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是 (　　)
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A.若质点经过A点时的速度大小为，则此时质点受到轨道的弹力大小为mg
B.若质点经过B点时的速度大小为，则此时质点受到轨道的弹力大小为mg
C.若质点经过C点时的速度大小为，则此时质点受到轨道的弹力大小为2mg
D.若质点经过D点时的速度大小为，则此时质点受到轨道的弹力大小为2mg
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解析:若质点经过A点时的速度大小为，根据牛顿第二定律有mg+2mg-NA=m，解得NA=2mg，故A错误；若质点经过B点时的速度大小为，根据牛顿第二定律有2mg-NB=m，解得NB=mg，故B正确；若质点经过C点时的速度大小为，根据牛顿第二定律有2mg-mg-NC=m，解得NC=0，故C错误；若质点经过D点时的速度大小为，根据牛顿第二定律有2mg-ND=m，解得ND=mg，故D错误。
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7.(2025·山东烟台模拟)如图所示，矩形框架ABCD位
于竖直平面内，轻弹簧的一端固定在A点，另一端连接一个
质量为m的小球，小球穿在框架的光滑竖直杆CD上并处于静
止状态。现让框架绕AB边所在的O1O2轴由静止开始转动，
在角速度逐渐增大的过程中，下列说法正确的是 (　　)
A.弹簧的长度变短 B.弹簧的长度不变
C.CD杆对小球的弹力变大 D.CD杆对小球的弹力不变
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解析:设弹簧的弹力为F，原长为l0，弹簧与水平方向的夹角
为θ，对小球受力分析，如图所示，在竖直方向上有Fsin θ=mg，
由胡克定律可得F=k，联立两式可知，θ为定值，
则F也不变，即当角速度不断增大时，小球的高度不变，弹簧
的弹力不变，弹簧的长度不变，故A错误，B正确；小球由静止开始做圆周运动，由F在水平方向的分力Fcos θ和CD杆对小球的弹力FN的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得Fcos θ-FN=mω2r，解得FN=Fcos θ-mω2r，可知随着ω增大，FN先减小后反向增大，故C、D错误。
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8.(2025·江西南昌一模)如图所示，一质量为m的物块放在水平木板上，现用木板托住物块一起绕O点在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，角速度大小为ω，物块与木板之间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。若在运动过程中物块和木板始终保持相对静止且木板始终保持水平，则下列说法正确的是 (　　)
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A.在圆心等高处时物块受到的摩擦力为μmg
B.在圆心等高处时物块受到的摩擦力为2mω2R
C.ω的最大值为
D.ω的最大值为
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解析:依题意，可知物块在圆心等高处时受到的静
摩擦力提供其做匀速圆周运动所需的向心力，大小为f=
Fn=mω2R，大小不一定等于μmg，故A、B错误；由于
物块加速度的水平分量是由摩擦力产生的，加速度的竖
直分量是由重力和支持力的合力产生的，如图，根据牛顿第二定律有μN=mω2Rsin θ，mg-N=mω2Rcos θ，联立解得ω2=，由数学知识可得ω的最大值为ωmax=，故C错误，D正确。
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二、多项选择题
9.(2025·河南周口模拟)如图所示，水平桌面
上有一个光滑的小孔，穿过小孔的细线一端连接
在水平桌面上的物块上，另一端吊着一个小球，
使小球做圆锥摆运动。当小球运动的角速度为ω1
时，物块刚好要滑动，这时悬线与竖直方向的夹角为θ1；将物块向小孔移近一些，仍让小球做圆锥摆运动，当小球运动的角速度为ω2时，物块刚好要滑动，这时悬线与竖直方向的夹角为θ2。下列关系正确的是(　　)
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A.ω1>ω2 B.ω1=ω2
C.θ1>θ2 D.θ1=θ2
解析:物块刚好要滑动，可知此时细线拉力大小等于物块受到的最大静摩擦力fmax，以小球为对象，在竖直方向上，两次分别由受力平衡可得fmaxcos θ1=mg，fmaxcos θ2=mg，可得θ1=θ2，在水平方向上，两次分别由牛顿第二定律可得fmaxsin θ1=ml1sin θ1，fmaxsin θ2=ml2sin θ2，可得ω1=，ω2=，由题意可知l1ω2。故选A、D。
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10.(2025·云南昆明模拟)如图甲所示，将质量均为m的物块A、B置于水平转盘的同一直径上，两者用长为L的水平轻绳连接，轻绳恰好伸直但无拉力。已知两物块与转盘之间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块A与转轴的距离等于L，整个装置能绕通过转盘中心的竖直轴转动，当转盘以不同角速度匀速转动时，两物块所受摩擦力大小f与角速度ω二次方的关系图像如图乙所示，重力加速度为g，下列说法正确的是 (　　)
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A.由图乙可知，转盘的角速度ω1<ω<ω2时，物块A所受摩擦力不变
B.图乙中ω1=
C.∶=2∶3
D.当ω=ω2时，轻绳的拉力大小为
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解析:角速度比较小时，物块受到的静摩擦力提供所需的向心力，由于物块B的转动半径较大，所需向心力较大，则物块B受到的摩擦力先达到最大静摩擦力，之后物块B受到的摩擦力不变，绳子开始产生拉力，物块A所受摩擦力变大，则题图乙中图线b为物块B所受摩擦力大小f与角速度的平方ω2的关系图像，对物块B，由牛顿第二定律可得μmg=m·2L，解得ω1=，故A错误，B正确；当ω=ω2时，物块A受到的摩擦力达到最大静摩擦力，分别对物块A和B进行受力分析，根据牛顿第二定律可得μmg-T=mL，μmg+T=m·2L，联立解得ω2=，T=，可知∶=3∶4，故C错误，D正确。
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11.(8分)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂
直于盘面的固定轴以恒定角速度转动，盘面上
离转轴距离r= m处有一质量m=1 kg、可视为
质点的物体与圆盘始终保持相对静止。盘面与
水平面的夹角为θ=37°，P是轨迹圆的最高点，Q是轨迹圆的最低点，物体与盘面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。
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(1)当圆盘角速度ω= rad/s时，求物体受到的向心力大小；(3分)
答案:0.75 N　
解析:当角速度ω= rad/s时，由Fn=mrω2
代入数据解得Fn=0.75 N。
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(2)当圆盘角速度ω=2 rad/s时，为维持物体相对圆盘静止，求物体与盘面间的动摩擦因数的最小值。(5分)
答案:
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解析:当物体转到圆盘的最低点恰好不下滑时，μ有最小值，受力分析如图所示
f=μmgcos θ
f-mgsin θ=mrω2
代入数据解得μ=。
2
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4　　　　　课时跟踪检测(二十二)　圆周运动的三类临界问题
一、单项选择题
1.(2025·江苏泰州模拟)用两根轻绳连接两个球A和B,其中一根绳的另一端固定在一个竖直转轴上,如图所示。当两球随转轴一起匀速转动时两球所处的位置可能是图中的哪一个 (　　)
2.如图所示,A、B、C三个物体放在旋转圆台上,它们与圆台之间的动摩擦因数均为μ,A的质量为2m,B、C的质量均为m,A、B离轴心的距离为R,C离轴心的距离为2R,重力加速度为g,假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则当圆台旋转时(设A、B、C都没有滑动) (　　)
A.物体A的向心加速度最大
B.物体B受到的静摩擦力最大
C.物体C开始滑动的临界角速度为
D.当圆台转速增大时,B比A先滑动
3.如图所示,在倾角为α=30°的光滑斜面上,有一根长为L=0.8 m的轻杆,一端固定在O点,另一端系一质量为m=0.2 kg的小球,沿斜面做圆周运动。取g=10 m/s2。若要小球能通过最高点A,则小球在最低点B的最小速度是 (　　)
A.4 m/s B.2 m/s
C.2 m/s D.2 m/s
4.如图所示,一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道,小球先进入圆轨道1,再进入圆轨道2,圆轨道1的半径为R,圆轨道2的半径是轨道1的1.8倍,小球的质量为m,若小球恰好能通过轨道2的最高点B,则小球在轨道1上经过其最高点A时对轨道的压力大小为(重力加速度为g) (　　)
A.2mg B.3mg
C.4mg D.5mg
5.如图甲、乙所示为自行车气嘴灯,气嘴灯由接触式开关控制,其结构如图丙所示,弹簧一端固定在顶部,另一端与小物块P连接,当车轮转动时,P拉伸弹簧后使触点A、B接触,从而接通电路,使气嘴灯发光,则 (　　)
A.弹簧对物块P的拉力就是物块做圆周运动需要的向心力
B.自行车逐渐加速过程中,气嘴灯在最高点一定比最低点先点亮
C.要使气嘴灯在更高的车速下才能发光,可将弹簧剪短一截后放回装置
D.要使气嘴灯在更低的车速下也能发光,可换用质量更小的物块
6.(2025·河北保定模拟)如图甲所示,陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落,好像轨道对它施加了魔法,被称为“魔力陀螺”,它可等效为图乙所示的模型,竖直固定的磁性圆轨道半径为R,质量为m的质点沿轨道外侧做完整的圆周运动,A、C两点分别为轨道的最高点与最低点,B、D两点与轨道圆心等高,质点受到始终指向圆心、大小恒为2mg的磁性引力作用,不计摩擦和空气阻力,重力加速度大小为g,下列说法正确的是 (　　)
A.若质点经过A点时的速度大小为,则此时质点受到轨道的弹力大小为mg
B.若质点经过B点时的速度大小为,则此时质点受到轨道的弹力大小为mg
C.若质点经过C点时的速度大小为,则此时质点受到轨道的弹力大小为2mg
D.若质点经过D点时的速度大小为,则此时质点受到轨道的弹力大小为2mg
7.(2025·山东烟台模拟)如图所示,矩形框架ABCD位于竖直平面内,轻弹簧的一端固定在A点,另一端连接一个质量为m的小球,小球穿在框架的光滑竖直杆CD上并处于静止状态。现让框架绕AB边所在的O1O2轴由静止开始转动,在角速度逐渐增大的过程中,下列说法正确的是 (　　)
A.弹簧的长度变短
B.弹簧的长度不变
C.CD杆对小球的弹力变大
D.CD杆对小球的弹力不变
8.(2025·江西南昌一模)如图所示,一质量为m的物块放在水平木板上,现用木板托住物块一起绕O点在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动,角速度大小为ω,物块与木板之间的动摩擦因数为μ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g。若在运动过程中物块和木板始终保持相对静止且木板始终保持水平,则下列说法正确的是 (　　)
A.在圆心等高处时物块受到的摩擦力为μmg
B.在圆心等高处时物块受到的摩擦力为2mω2R
C.ω的最大值为
D.ω的最大值为
二、多项选择题
9.(2025·河南周口模拟)如图所示,水平桌面上有一个光滑的小孔,穿过小孔的细线一端连接在水平桌面上的物块上,另一端吊着一个小球,使小球做圆锥摆运动。当小球运动的角速度为ω1时,物块刚好要滑动,这时悬线与竖直方向的夹角为θ1;将物块向小孔移近一些,仍让小球做圆锥摆运动,当小球运动的角速度为ω2时,物块刚好要滑动,这时悬线与竖直方向的夹角为θ2。下列关系正确的是 (　　)
A.ω1>ω2　 B.ω1=ω2　 C.θ1>θ2　 D.θ1=θ2
10.(2025·云南昆明模拟)如图甲所示,将质量均为m的物块A、B置于水平转盘的同一直径上,两者用长为L的水平轻绳连接,轻绳恰好伸直但无拉力。已知两物块与转盘之间的动摩擦因数均为μ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,物块A与转轴的距离等于L,整个装置能绕通过转盘中心的竖直轴转动,当转盘以不同角速度匀速转动时,两物块所受摩擦力大小f与角速度ω二次方的关系图像如图乙所示,重力加速度为g,下列说法正确的是 (　　)
A.由图乙可知,转盘的角速度ω1<ω<ω2时,物块A所受摩擦力不变
B.图乙中ω1=
C.∶=2∶3
D.当ω=ω2时,轻绳的拉力大小为
三、计算题
11.(8分)如图所示,一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定轴以恒定角速度转动,盘面上离转轴距离r= m处有一质量m=1 kg、可视为质点的物体与圆盘始终保持相对静止。盘面与水平面的夹角为θ=37°,P是轨迹圆的最高点,Q是轨迹圆的最低点,物体与盘面间的动摩擦因数为μ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度g取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。
(1)当圆盘角速度ω= rad/s时,求物体受到的向心力大小;(3分)
(2)当圆盘角速度ω=2 rad/s时,为维持物体相对圆盘静止,求物体与盘面间的动摩擦因数的最小值。(5分)
课时跟踪检测(二十二)
1.选C　设上面轻绳与竖直方向的夹角为θ,对整体分析,根据牛顿第二定律得Mgtan θ=Mrω2,解得上面细绳与竖直方向的夹角和角速度的关系为gtan θ=rω2;设下面轻绳与竖直方向的夹角为α,对B球隔离分析,可得mgtan α=mr'ω2,解得下面细绳与竖直方向夹角和角速度的关系为gtan α=r'ω2;A、B两球的角速度相等,又r'>r,则α>θ,故选C。
2.选C　物体A、B、C的角速度相等,由a=ω2r,可得物体C的向心加速度最大,故A错误;A、B、C都没有滑动,静摩擦力提供向心力,根据Ff=m物ω2r,可知物体B受到的静摩擦力最小,故B错误;静摩擦力达到最大值时对应开始滑动的临界角速度,对物体C有μmg=m·2R,解得ωC=,故C正确;同理可得物体A、B开始滑动的临界角速度分别为ωA=,ωB=,当圆台转速增大时,物体A、B同时滑动,故D错误。
3.选A　小球受轻杆控制,在A点的最小速度为零,由动能定理有2mgLsin α=m,解得vB=4 m/s,A正确。
4.选C　小球恰好能通过轨道2的最高点B时,有mg=,小球在轨道1上经过其最高点A时,有FN+mg=,根据机械能守恒定律,有2×(1.8-1)mgR=m-m,联立解得FN=4mg,结合牛顿第三定律可知,小球在轨道1上经过其最高点A时对轨道的压力大小为4mg,C正确。
5.选C　在最高或最低点时,弹簧对物块P的拉力和物块P的重力的合力是物块做圆周运动需要的向心力,故A错误;在最高点气嘴灯恰好点亮时有mg+F=mr,在最低点气嘴灯恰好点亮时有F-mg=mr,可知ω1>ω2,所以自行车逐渐加速过程中,气嘴灯在最低点比最高点先点亮,故B错误;由以上分析知气嘴灯在最低点更容易点亮,要使气嘴灯在更高的车速下才能发光,由F-mg=mr,可得ω2=,可将弹簧剪短一截后放回装置,使得接通触点A、B时弹簧可以提供更大的力,故C正确;由以上分析知气嘴灯在最低点更容易点亮,要使气嘴灯在更低的车速下也能发光,由ω2=可知,可以增加质量m,即换用质量更大的物块,故D错误。
6.选B　若质点经过A点时的速度大小为,根据牛顿第二定律有mg+2mg-NA=m,解得NA=2mg,故A错误;若质点经过B点时的速度大小为,根据牛顿第二定律有2mg-NB=m,解得NB=mg,故B正确;若质点经过C点时的速度大小为,根据牛顿第二定律有2mg-mg-NC=m,解得NC=0,故C错误;若质点经过D点时的速度大小为,根据牛顿第二定律有2mg-ND=m,解得ND=mg,故D错误。
7.
选B　设弹簧的弹力为F,原长为l0,弹簧与水平方向的夹角为θ,对小球受力分析,如图所示,在竖直方向上有Fsin θ=mg,由胡克定律可得F=k,联立两式可知,θ为定值,则F也不变,即当角速度不断增大时,小球的高度不变,弹簧的弹力不变,弹簧的长度不变,故A错误,B正确;小球由静止开始做圆周运动,由F在水平方向的分力Fcos θ和CD杆对小球的弹力FN的合力提供向心力,根据牛顿第二定律得Fcos θ-FN=mω2r,解得FN=Fcos θ-mω2r,可知随着ω增大,FN先减小后反向增大,故C、D错误。
8.选D　依题意,可知物块在圆心等高处时
受到的静摩擦力提供其做匀速圆周运动所需的向心力,大小为f=Fn=mω2R,大小不一定等于μmg,故A、B错误;由于物块加速度的水平分量是由摩擦力产生的,加速度的竖直分量是由重力和支持力的合力产生的,如图,根据牛顿第二定律有μN=mω2Rsin θ,mg-N=mω2Rcos θ,联立解得ω2=,由数学知识可得ω的最大值为ωmax=,故C错误,D正确。
9.选AD　物块刚好要滑动,可知此时细线拉力大小等于物块受到的最大静摩擦力fmax,以小球为对象,在竖直方向上,两次分别由受力平衡可得fmaxcos θ1=mg,fmaxcos θ2=mg,可得θ1=θ2,在水平方向上,两次分别由牛顿第二定律可得fmaxsin θ1=ml1sin θ1,fmaxsin θ2=ml2sin θ2,可得ω1=,ω2=,由题意可知l1ω2。故选A、D。
10.选BD　角速度比较小时,物块受到的静摩擦力提供所需的向心力,由于物块B的转动半径较大,所需向心力较大,则物块B受到的摩擦力先达到最大静摩擦力,之后物块B受到的摩擦力不变,绳子开始产生拉力,物块A所受摩擦力变大,则题图乙中图线b为物块B所受摩擦力大小f与角速度的平方ω2的关系图像,对物块B,由牛顿第二定律可得μmg=m·2L,解得ω1=,故A错误,B正确;当ω=ω2时,物块A受到的摩擦力达到最大静摩擦力,分别对物块A和B进行受力分析,根据牛顿第二定律可得μmg-T=mL,μmg+T=m·2L,联立解得ω2=,T=,可知∶=3∶4,故C错误,D正确。
11.解析:(1)当角速度ω= rad/s时,由Fn=mrω2
代入数据解得Fn=0.75 N。
(2)
当物体转到圆盘的最低点恰好不下滑时,μ有最小值,受力分析如图所示f=μmgcos θ
f-mgsin θ=mrω2
代入数据解得μ=。
答案:(1)0.75 N　(2)
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