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广西壮族自治区来宾市2024-2025学年八年级下学期段考数学试题
1．（2025八下·来宾期中）下列选项中的三条长度的线段首尾顺次连接能围成一个直角三角形的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．（2025八下·来宾期中）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025八下·来宾期中）为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（　　）
A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米
4．（2025八下·来宾期中）如图，机器人从点出发朝正东方向走了，到达点，记为第1次行走；接着，在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达，记为第2次行走；再在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达点，记为第3次行走，……，以此类推，该机器人从出发到第一次回到出发点时所走过的路程为（　　）．
A． B． C． D．
5．（2025八下·来宾期中）如图，在中，用直尺和圆规作的平分线，若，则的长是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·来宾期中） 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=cm，则AB边上的中线为（　　）
A．1cm B．2cm C．1.5cm D．cm
7．（2025八下·来宾期中）如图，在中，平分，交于点，，．则的周长为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·来宾期中）已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　）．
A．12 B．7＋ C．12或7＋ D．以上都不对
9．（2025八下·来宾期中）如图所示，将一根的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度，则h的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025八下·来宾期中）如图，平行四边形中，，为锐角，要在对角线上找点，使四边形为平行四边形，现有图中的甲、乙两种方案，则正确的方案（　　）
A．甲是 B．乙是
C．甲、乙都不是 D．甲、乙都是
11．（2025八下·来宾期中）如图，在中，，，平分交于，于，厘米，则的周长是（　　）厘米．
A． B．6 C． D．12
12．（2025八下·来宾期中）如图，在中，，，，点为中点，以，为边作平行四边形，则的长为（　　）
A．16 B．12 C．8 D．6
13．（2025八下·来宾期中）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是　 　 .
14．（2025八下·来宾期中）如图，在中，对角线、相交于点，若，，，则　 　度．
15．（2025八下·来宾期中）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为　 　．
16．（2025八下·来宾期中）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为22，小正方形的面积为2，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为　 　．
17．（2025八下·来宾期中）如图，在方格网中已知和点，且的三个顶点、、和点都在方格点上，请完成以下作图．
（1）请在左图的方格网中画出，使得和关于点成中心对称；
（2）请在右图的方格网中标出所有使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形的点．
18．（2025八下·来宾期中）已知：如图，在四边形中，，过点作于，于且．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的长．
19．（2025八下·来宾期中）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，两艘轮船、同时离开港口，各自沿一固定方向航行，轮船每小时航行20海里，轮船每小时航行15海里，它们离开港口两小时后相距50海里．已知轮船沿东北方向航行．（东北方向即北偏东方向）
（1）请判断轮船沿哪个方向航行，并说明理由；
（2）若两艘轮船航行的速度和方向都不变，再继续航行2小时两船相距多少海里？
20．（2025八下·来宾期中）如图，在中，，是过点的直线，点、在的两侧，于，于点，且．
（1）求证：；
（2）若，，请求出的长．
21．（2025八下·来宾期中）【阅读理解】
【阅读】如图1，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫做平面图形的镶嵌．
【解决问题】我们经常见到如图2那样的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面．
（1）像这样铺地面，能否全用正五边形的材料？为什么？
（2）现有四种地砖，它们的形状分别是正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地砖密铺成平整、无空隙的地面，选择的方式有（　　）
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
（3）【理解应用】用三块正多边形木板铺地面，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，若其中有两个正五边形，则第三个正多边形的边数是多少？
22．（2025八下·来宾期中）如图，在中，点、分别是、的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：．
（2）直接写出与的数量关系．
（3）若，，，求的长．
23．（2025八下·来宾期中）【实践与应用】
重温知识 如图①，在证明三角形的中位线定理时，采用了剪拼的方式，将三角形转化为平行四边形，通过证明得到“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半”．
阅读素材 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形，其中平行的一组对边叫做梯形的底边，不平行的一组对边叫做梯形的腰，我们把连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．
任务1 如图②，在梯形中，，点是腰的中点，请沿着剪开将梯形剪拼成一个完整的三角形．（在图②中直接画出剪拼后的三角形）
任务2 如图③，在梯形中，，点、分别是两腰、的中点，线段叫做梯形的中位线．请类比三角形中位线的性质，猜想和、具有怎样的位置关系和数量关系？并结合“任务1”，证明你猜想的结论．（如图③）
任务3 如图③，若梯形的面积为，高为，求梯形的中位线的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故答案为：D．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
3．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：梯脚与墙角距离： =0.7（米）．
故答案为：A．
【分析】根据题意得到直角三角形，再由勾股定理求出梯脚与墙角的距离.
4．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：连接，设与相交于点，如图：
∵由作图可知，是的平分线，
∴，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形，
∴，．
在中，，
∴，
故答案为：B．
【分析】连接，设与相交于点，由作图可知，是的平分线，则，根据平行四边形性质可得，则，即，根据等角对等边可得，则，根据菱形判定定理可得平行四边形是菱形，则，，再根据勾股定理即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=cm
∴AB边上的中线为：
故答案为：D
【分析】根据含30°角的直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半即可求出 答案.
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在中，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴周长为：；
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形性质可得，再根据角平分线定义可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系可得BC，再根据平行四边形周长即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】先设Rt△ABC的第三边长为x，由于4是直角边还是斜边不能确定，故应分4是斜边或x为斜边两种情况讨论．
【解答】设Rt△ABC的第三边长为x，
①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，
由勾股定理得，x=5，此时这个三角形的周长=3+4+5=12；
②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，
由勾股定理得，x=，此时这个三角形的周长=3+4+，
故选C．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．
9．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图1所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
，
如图2所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在中，，，
，
此时，
∴的取值范围是．
故选：D．
【分析】当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围．
10．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：甲方案：∵点为的中点，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴四边形为平行四边形，故甲方案正确；
乙方案：∵，，
∴，，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，故乙方案正确；
故选：．
【分析】甲方案：根据边之间的关系可得，根据平行四边形性质可得，，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，同理可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案；乙方案：根据直线平行判定定理可得，，再根据直线平行判定定理可得，，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
11．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵平分，，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，又，
∴的周长，
，
，
，
，
，
∵厘米，
∴的周长为厘米．
故答案为：B．
【分析】根据角平分线性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据三角形周长即可求出答案.
12．【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，为的中点，
，
平行四边形为菱形，
∴，
∴，
又菱形中，
∴四边形是平行四边形，
，，，
，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线可得，根据菱形判定定理可得平行四边形为菱形，则，根据直线平行判定定理可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，再根据勾股定理即可求出答案.
13．【答案】4
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为x，由题意，
得（x-2）×180=360，
解得x=4，
∴这个多边形的边数为4.
故答案为：4.
【分析】设这个多边形的边数为x，根据多边形的内角和公式得该多边形的内角和为（x-2）×180°，而任何多边形的外角和为360°，进而根据外角和等于内角和建立方程，求解即可.
14．【答案】90
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵中，，，
∴，，
∵，即，
∴，
故答案为：90．
【分析】根据平行四边形的性质得出，，再由勾股定理逆定理即可得出结果．
15．【答案】2
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝5，
∵∠AFB＝90°，D是AB 的中点，
∴DF＝AB＝3，
∴EF＝DE﹣DF＝2．
故答案为：2．
【分析】由三角形中位线定理可得DE的长，再由直角三角形斜边上中线的性质可得DF的长，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．【答案】42
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理；“赵爽弦图”模型
17．【答案】（1）解：如图，即为所求．
．
（2）解：如图，当以为对角线时，四边形为平行四边形；
当以为对角线时，四边形为平行四边形．
则点和均为满足题意的点．
【知识点】平行四边形的判定与性质；中心对称及中心对称图形；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）根据中心对称图形的定义作图即可.
（2）根据平行四边形性质分类作图即可.
（1）解：如图，即为所求．
．
（2）解：如图，当以为对角线时，四边形为平行四边形；
当以为对角线时，四边形为平行四边形．
则点和均为满足题意的点．
18．【答案】（1）证明：于，于，
，
即和均为直角三角形，
，，
，
，
又，，
平分；
（2）解：，，
且，，
，
，
又，，
，
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据垂直定义可得，，则和均为直角三角形，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角平分线判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：于，于，
，
即和均为直角三角形，
，，
，
，
又，，
平分；
（2）解：，，
且，，
，
，
又，，
，
19．【答案】（1）解：轮船沿西北方向航行，理由：
已知轮船每小时航行20海里，轮船每小时航行15海里，
∴，，
∵它们离开港口两小时后相距50海里，即，
∵，即，
∴为直角三角形，即，
∵由轮船沿东北方向航行，可知，
∴，
∴轮船沿西北方向航行．
（2）解：根据题意，两艘轮船速度和方向都不变继续航行，，
由（1）得为直角三角形，即，
根据勾股定理，，
，
答：两艘轮船航行的速度和方向都不变，再继续航行2小时两船相距100海里．
【知识点】勾股定理的逆定理；方位角；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【分析】（1）根据题意，，运用勾股定理逆定理得到为直角三角形，即，则，由此即可求解；
（2）根据题意，两艘轮船速度和方向都不变继续航行，，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：轮船沿西北方向航行，理由：
已知轮船每小时航行20海里，轮船每小时航行15海里，
∴，，
∵它们离开港口两小时后相距50海里，即，
∵，即，
∴为直角三角形，即，
∵由轮船沿东北方向航行，可知，
∴，
∴轮船沿西北方向航行．
（2）解：根据题意，两艘轮船速度和方向都不变继续航行，，
由（1）得为直角三角形，即，
根据勾股定理，，
，
答：两艘轮船航行的速度和方向都不变，再继续航行2小时两船相距100海里．
20．【答案】（1）证明：，，
，
在和中，
，
．
，，
，
，即，
．
（2）解：由（1）得，，
，
．
而，，，
，
答：的长为3．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：，，
，
在和中，
，
．
，，
，
，即，
．
（2）解：由（1）得，，
，
．
而，，，
，
答：的长为3．
21．【答案】（1）解：不能，因为正五边形的每个内角均为，需进行平面镶嵌，内角拼接的度数之和为，而不能被整除．所以不能全用正五边形的材料地砖密铺地面．
（2）B
（3）解：设第三个正多边形的内角为，
正五边形的内角为，
，
，
正多边形的边数为，即第三个正多边形的边数为10．
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质
【解析】【解答】（2）解：①正三角形、正方形，
，
可以铺满；
②正三角形、正六边形，
，
可以铺满；
③正三角形、正八边形，不能构成的周角，
不能铺满；
④正方形、正六边形，不能构成的周角，
不能铺满；
⑤正方形、正八边形，每个内角的度数为
，
可以铺满；
⑥正六边形、正八边形，不能构成的周角，
不能铺满．
选择的方式有种．
故答案为：B；
【分析】（1）根据正多边形内角和可得出正五边形每个内角为，再依据平面镶嵌时拼接点处内角和需为，判断能否被整除，即可求出答案.
（2）分别求出正三角形、正方形、正六边形、正八边形的内角度数，然后对四种地砖两两组合，计算在拼接点处内角和能否为，能则可密铺，统计可密铺的组合方式数量．
（3）设第三个正多边形的内角为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：不能，因为正五边形的每个内角均为，需进行平面镶嵌，内角拼接的度数之和为，而不能被整除．所以不能全用正五边形的材料地砖密铺地面．
（2）解：①正三角形、正方形，
，
可以铺满；
②正三角形、正六边形，
，
可以铺满；
③正三角形、正八边形，不能构成的周角，
不能铺满；
④正方形、正六边形，不能构成的周角，
不能铺满；
⑤正方形、正八边形，每个内角的度数为
，
可以铺满；
⑥正六边形、正八边形，不能构成的周角，
不能铺满．
选择的方式有种．
故选：B；
（3）解：设第三个正多边形的内角为，
正五边形的内角为，
，
，
正多边形的边数为，即第三个正多边形的边数为10．
22．【答案】（1）证明：点、分别是、的中点，
是的中位线，
，
又，
四边形为平行四边形，
；
（2）
（3）解：由（1）得是的中位线，
∴，，
，
点是的中点，
，
∵，，
，
在中，根据勾股定理，，
，
由（1）得四边形为平行四边形，
．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（2）解：由（1）得是的中位线，四边形为平行四边形，
∴；
【分析】（1）根据中位线的判定和性质得出，再根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，则CD=AF，即可求出答案.
（2）根据三角形中位线定理及平行四边形性质即可求出答案.
（3）根据三角形中位线定理可得，，根据中点可得，根据直线平行性质可得，再根据勾股定理可得AF，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（1）证明：点、分别是、的中点，
是的中位线，
，
又，
四边形为平行四边形，
；
（2）解：由（1）得是的中位线，四边形为平行四边形，
∴；
（3）解：由（1）得是的中位线，
∴，，
，
点是的中点，
，
∵，，
，
在中，根据勾股定理，，
，
由（1）得四边形为平行四边形，
．
23．【答案】解：任务1：如图所示为剪拼后的三角形．
任务2：解：和、位置关系和数量关系是：，．
证明：连接并延长与的延长线交于点．
点分别是的中点
又
，
，点分别是的中点
是的中位线
，
，
，，
又，
；
任务3：由任务2可知，，
而梯形的面积为，高为
即
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】任务1：根据三角形中位线定理即可求出答案.
任务2：连接并延长与的延长线交于点，根据直线平行性质可得，再根据线段中点可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据三角形中位线定理可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
任务3：由任务2可知，，再根据梯形面积即可求出答案.
1 / 1广西壮族自治区来宾市2024-2025学年八年级下学期段考数学试题
1．（2025八下·来宾期中）下列选项中的三条长度的线段首尾顺次连接能围成一个直角三角形的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.
2．（2025八下·来宾期中）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故答案为：D．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
3．（2025八下·来宾期中）为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（　　）
A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：梯脚与墙角距离： =0.7（米）．
故答案为：A．
【分析】根据题意得到直角三角形，再由勾股定理求出梯脚与墙角的距离.
4．（2025八下·来宾期中）如图，机器人从点出发朝正东方向走了，到达点，记为第1次行走；接着，在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达，记为第2次行走；再在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达点，记为第3次行走，……，以此类推，该机器人从出发到第一次回到出发点时所走过的路程为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
5．（2025八下·来宾期中）如图，在中，用直尺和圆规作的平分线，若，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：连接，设与相交于点，如图：
∵由作图可知，是的平分线，
∴，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形，
∴，．
在中，，
∴，
故答案为：B．
【分析】连接，设与相交于点，由作图可知，是的平分线，则，根据平行四边形性质可得，则，即，根据等角对等边可得，则，根据菱形判定定理可得平行四边形是菱形，则，，再根据勾股定理即可求出答案.
6．（2025八下·来宾期中） 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=cm，则AB边上的中线为（　　）
A．1cm B．2cm C．1.5cm D．cm
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=cm
∴AB边上的中线为：
故答案为：D
【分析】根据含30°角的直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半即可求出 答案.
7．（2025八下·来宾期中）如图，在中，平分，交于点，，．则的周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在中，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴周长为：；
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形性质可得，再根据角平分线定义可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系可得BC，再根据平行四边形周长即可求出答案.
8．（2025八下·来宾期中）已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　）．
A．12 B．7＋ C．12或7＋ D．以上都不对
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】先设Rt△ABC的第三边长为x，由于4是直角边还是斜边不能确定，故应分4是斜边或x为斜边两种情况讨论．
【解答】设Rt△ABC的第三边长为x，
①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，
由勾股定理得，x=5，此时这个三角形的周长=3+4+5=12；
②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，
由勾股定理得，x=，此时这个三角形的周长=3+4+，
故选C．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．
9．（2025八下·来宾期中）如图所示，将一根的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度，则h的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图1所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
，
如图2所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在中，，，
，
此时，
∴的取值范围是．
故选：D．
【分析】当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围．
10．（2025八下·来宾期中）如图，平行四边形中，，为锐角，要在对角线上找点，使四边形为平行四边形，现有图中的甲、乙两种方案，则正确的方案（　　）
A．甲是 B．乙是
C．甲、乙都不是 D．甲、乙都是
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：甲方案：∵点为的中点，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴四边形为平行四边形，故甲方案正确；
乙方案：∵，，
∴，，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，故乙方案正确；
故选：．
【分析】甲方案：根据边之间的关系可得，根据平行四边形性质可得，，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，同理可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案；乙方案：根据直线平行判定定理可得，，再根据直线平行判定定理可得，，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
11．（2025八下·来宾期中）如图，在中，，，平分交于，于，厘米，则的周长是（　　）厘米．
A． B．6 C． D．12
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵平分，，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，又，
∴的周长，
，
，
，
，
，
∵厘米，
∴的周长为厘米．
故答案为：B．
【分析】根据角平分线性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据三角形周长即可求出答案.
12．（2025八下·来宾期中）如图，在中，，，，点为中点，以，为边作平行四边形，则的长为（　　）
A．16 B．12 C．8 D．6
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，为的中点，
，
平行四边形为菱形，
∴，
∴，
又菱形中，
∴四边形是平行四边形，
，，，
，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线可得，根据菱形判定定理可得平行四边形为菱形，则，根据直线平行判定定理可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，再根据勾股定理即可求出答案.
13．（2025八下·来宾期中）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是　 　 .
【答案】4
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为x，由题意，
得（x-2）×180=360，
解得x=4，
∴这个多边形的边数为4.
故答案为：4.
【分析】设这个多边形的边数为x，根据多边形的内角和公式得该多边形的内角和为（x-2）×180°，而任何多边形的外角和为360°，进而根据外角和等于内角和建立方程，求解即可.
14．（2025八下·来宾期中）如图，在中，对角线、相交于点，若，，，则　 　度．
【答案】90
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵中，，，
∴，，
∵，即，
∴，
故答案为：90．
【分析】根据平行四边形的性质得出，，再由勾股定理逆定理即可得出结果．
15．（2025八下·来宾期中）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为　 　．
【答案】2
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝5，
∵∠AFB＝90°，D是AB 的中点，
∴DF＝AB＝3，
∴EF＝DE﹣DF＝2．
故答案为：2．
【分析】由三角形中位线定理可得DE的长，再由直角三角形斜边上中线的性质可得DF的长，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．（2025八下·来宾期中）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为22，小正方形的面积为2，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为　 　．
【答案】42
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理；“赵爽弦图”模型
17．（2025八下·来宾期中）如图，在方格网中已知和点，且的三个顶点、、和点都在方格点上，请完成以下作图．
（1）请在左图的方格网中画出，使得和关于点成中心对称；
（2）请在右图的方格网中标出所有使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形的点．
【答案】（1）解：如图，即为所求．
．
（2）解：如图，当以为对角线时，四边形为平行四边形；
当以为对角线时，四边形为平行四边形．
则点和均为满足题意的点．
【知识点】平行四边形的判定与性质；中心对称及中心对称图形；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）根据中心对称图形的定义作图即可.
（2）根据平行四边形性质分类作图即可.
（1）解：如图，即为所求．
．
（2）解：如图，当以为对角线时，四边形为平行四边形；
当以为对角线时，四边形为平行四边形．
则点和均为满足题意的点．
18．（2025八下·来宾期中）已知：如图，在四边形中，，过点作于，于且．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：于，于，
，
即和均为直角三角形，
，，
，
，
又，，
平分；
（2）解：，，
且，，
，
，
又，，
，
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据垂直定义可得，，则和均为直角三角形，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角平分线判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：于，于，
，
即和均为直角三角形，
，，
，
，
又，，
平分；
（2）解：，，
且，，
，
，
又，，
，
19．（2025八下·来宾期中）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，两艘轮船、同时离开港口，各自沿一固定方向航行，轮船每小时航行20海里，轮船每小时航行15海里，它们离开港口两小时后相距50海里．已知轮船沿东北方向航行．（东北方向即北偏东方向）
（1）请判断轮船沿哪个方向航行，并说明理由；
（2）若两艘轮船航行的速度和方向都不变，再继续航行2小时两船相距多少海里？
【答案】（1）解：轮船沿西北方向航行，理由：
已知轮船每小时航行20海里，轮船每小时航行15海里，
∴，，
∵它们离开港口两小时后相距50海里，即，
∵，即，
∴为直角三角形，即，
∵由轮船沿东北方向航行，可知，
∴，
∴轮船沿西北方向航行．
（2）解：根据题意，两艘轮船速度和方向都不变继续航行，，
由（1）得为直角三角形，即，
根据勾股定理，，
，
答：两艘轮船航行的速度和方向都不变，再继续航行2小时两船相距100海里．
【知识点】勾股定理的逆定理；方位角；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【分析】（1）根据题意，，运用勾股定理逆定理得到为直角三角形，即，则，由此即可求解；
（2）根据题意，两艘轮船速度和方向都不变继续航行，，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：轮船沿西北方向航行，理由：
已知轮船每小时航行20海里，轮船每小时航行15海里，
∴，，
∵它们离开港口两小时后相距50海里，即，
∵，即，
∴为直角三角形，即，
∵由轮船沿东北方向航行，可知，
∴，
∴轮船沿西北方向航行．
（2）解：根据题意，两艘轮船速度和方向都不变继续航行，，
由（1）得为直角三角形，即，
根据勾股定理，，
，
答：两艘轮船航行的速度和方向都不变，再继续航行2小时两船相距100海里．
20．（2025八下·来宾期中）如图，在中，，是过点的直线，点、在的两侧，于，于点，且．
（1）求证：；
（2）若，，请求出的长．
【答案】（1）证明：，，
，
在和中，
，
．
，，
，
，即，
．
（2）解：由（1）得，，
，
．
而，，，
，
答：的长为3．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：，，
，
在和中，
，
．
，，
，
，即，
．
（2）解：由（1）得，，
，
．
而，，，
，
答：的长为3．
21．（2025八下·来宾期中）【阅读理解】
【阅读】如图1，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫做平面图形的镶嵌．
【解决问题】我们经常见到如图2那样的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面．
（1）像这样铺地面，能否全用正五边形的材料？为什么？
（2）现有四种地砖，它们的形状分别是正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地砖密铺成平整、无空隙的地面，选择的方式有（　　）
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
（3）【理解应用】用三块正多边形木板铺地面，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，若其中有两个正五边形，则第三个正多边形的边数是多少？
【答案】（1）解：不能，因为正五边形的每个内角均为，需进行平面镶嵌，内角拼接的度数之和为，而不能被整除．所以不能全用正五边形的材料地砖密铺地面．
（2）B
（3）解：设第三个正多边形的内角为，
正五边形的内角为，
，
，
正多边形的边数为，即第三个正多边形的边数为10．
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质
【解析】【解答】（2）解：①正三角形、正方形，
，
可以铺满；
②正三角形、正六边形，
，
可以铺满；
③正三角形、正八边形，不能构成的周角，
不能铺满；
④正方形、正六边形，不能构成的周角，
不能铺满；
⑤正方形、正八边形，每个内角的度数为
，
可以铺满；
⑥正六边形、正八边形，不能构成的周角，
不能铺满．
选择的方式有种．
故答案为：B；
【分析】（1）根据正多边形内角和可得出正五边形每个内角为，再依据平面镶嵌时拼接点处内角和需为，判断能否被整除，即可求出答案.
（2）分别求出正三角形、正方形、正六边形、正八边形的内角度数，然后对四种地砖两两组合，计算在拼接点处内角和能否为，能则可密铺，统计可密铺的组合方式数量．
（3）设第三个正多边形的内角为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：不能，因为正五边形的每个内角均为，需进行平面镶嵌，内角拼接的度数之和为，而不能被整除．所以不能全用正五边形的材料地砖密铺地面．
（2）解：①正三角形、正方形，
，
可以铺满；
②正三角形、正六边形，
，
可以铺满；
③正三角形、正八边形，不能构成的周角，
不能铺满；
④正方形、正六边形，不能构成的周角，
不能铺满；
⑤正方形、正八边形，每个内角的度数为
，
可以铺满；
⑥正六边形、正八边形，不能构成的周角，
不能铺满．
选择的方式有种．
故选：B；
（3）解：设第三个正多边形的内角为，
正五边形的内角为，
，
，
正多边形的边数为，即第三个正多边形的边数为10．
22．（2025八下·来宾期中）如图，在中，点、分别是、的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：．
（2）直接写出与的数量关系．
（3）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：点、分别是、的中点，
是的中位线，
，
又，
四边形为平行四边形，
；
（2）
（3）解：由（1）得是的中位线，
∴，，
，
点是的中点，
，
∵，，
，
在中，根据勾股定理，，
，
由（1）得四边形为平行四边形，
．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（2）解：由（1）得是的中位线，四边形为平行四边形，
∴；
【分析】（1）根据中位线的判定和性质得出，再根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，则CD=AF，即可求出答案.
（2）根据三角形中位线定理及平行四边形性质即可求出答案.
（3）根据三角形中位线定理可得，，根据中点可得，根据直线平行性质可得，再根据勾股定理可得AF，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（1）证明：点、分别是、的中点，
是的中位线，
，
又，
四边形为平行四边形，
；
（2）解：由（1）得是的中位线，四边形为平行四边形，
∴；
（3）解：由（1）得是的中位线，
∴，，
，
点是的中点，
，
∵，，
，
在中，根据勾股定理，，
，
由（1）得四边形为平行四边形，
．
23．（2025八下·来宾期中）【实践与应用】
重温知识 如图①，在证明三角形的中位线定理时，采用了剪拼的方式，将三角形转化为平行四边形，通过证明得到“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半”．
阅读素材 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形，其中平行的一组对边叫做梯形的底边，不平行的一组对边叫做梯形的腰，我们把连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．
任务1 如图②，在梯形中，，点是腰的中点，请沿着剪开将梯形剪拼成一个完整的三角形．（在图②中直接画出剪拼后的三角形）
任务2 如图③，在梯形中，，点、分别是两腰、的中点，线段叫做梯形的中位线．请类比三角形中位线的性质，猜想和、具有怎样的位置关系和数量关系？并结合“任务1”，证明你猜想的结论．（如图③）
任务3 如图③，若梯形的面积为，高为，求梯形的中位线的长．
【答案】解：任务1：如图所示为剪拼后的三角形．
任务2：解：和、位置关系和数量关系是：，．
证明：连接并延长与的延长线交于点．
点分别是的中点
又
，
，点分别是的中点
是的中位线
，
，
，，
又，
；
任务3：由任务2可知，，
而梯形的面积为，高为
即
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】任务1：根据三角形中位线定理即可求出答案.
任务2：连接并延长与的延长线交于点，根据直线平行性质可得，再根据线段中点可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据三角形中位线定理可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
任务3：由任务2可知，，再根据梯形面积即可求出答案.
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