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广西壮族自治区柳州市壶西中学联考2024-2025学年下学期期中七年级数学试题
1．（2025七下·柳州期中）实数，，0，中，最小的是（　　）
A． B． C．0 D．
2．（2025七下·柳州期中）在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（　　）
A．（3，1） B．（3，-1） C．（-3，1） D．（-3，-1）
3．（2025七下·柳州期中）下列图中，和是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025七下·柳州期中）如图，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·柳州期中）下列式子正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·柳州期中）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，下列不能判定的条件是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025七下·柳州期中）已知点，则点到轴的距离是 （ ）
A． B． C． D．
8．（2025七下·柳州期中）下列说法正确的是（　　）
A．的相反数为 B．的绝对值是
C．若，则 D．若，则
9．（2025七下·柳州期中）如图，将直角三角形沿方向平移得到，交于点，，，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025七下·柳州期中）已知A（a，0）和B点（0，10）两点，且AB与坐标轴围成的三角形的面积等于20，则a的值为（　　）
A．2 B．4 C．0或4 D．4或﹣4
11．（2025七下·柳州期中）在下列实数，，5中，无理数的个数有　 　个．
12．（2025七下·柳州期中）命题“如果，那么”是　 　命题（填“真”或“假”）．
13．（2025七下·柳州期中）如图，这是小涛同学在体育课上某一次跳远后留下的脚印．通过测量得到如下数据：米，米，米，米，其中AC，DE分别垂直起跳线于C，E．小涛这次跳远成绩是　 　米．
14．（2025七下·柳州期中）如图：与构成同旁内角的角有 　 　个．
15．（2025七下·柳州期中）如图，点A表示的实数是　 　．
16．（2025七下·柳州期中）如图，，平分，平分交的延长线于点，若，则的度数为　 　．
17．（2025七下·柳州期中）计算：；
18．（2025七下·柳州期中）已知点，解答下列各题：
（1）若点P在y轴上，试求出a的值
（2）若，且轴，试求P的坐标
19．（2025七下·柳州期中）如图，已知，，证明：．
补全下面的推理过程，并在括号内填写推理依据．
证明：∵(已知)
∴(______________________________)
∴______(______________________________)
又∵(已知)
∴( )
∴(________________________________)
20．（2025七下·柳州期中）如图，在方格边长为1的方格纸上画平面直角坐标系，若内任意一点经平移后对应点为，用一句话描述该点的平移过程：_______________．若将作同样的平移得到．完成下面问题：
（1）画出，并写出，，的坐标；
（2）求的面积．
21．（2025七下·柳州期中）如图，直线与被直线所截，与，分别交于点，，且，．
（1）试说明：；
（2）若平分，，求的度数．
22．（2025七下·柳州期中）【阅读材料】数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．
你知道华罗庚是怎样迅速准确的计算出结果吗 请你按下面的步骤试一试：
第一步：∵，，，
∴．∴能确定59319的立方根是个两位数．
第二步：∵的个位数是9，，
∴能确定59319的立方根的个位数是9．
第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，
而，则，可得，
由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．
【解答问题】根据上面材料，解答下面的问题
（1）根据计算步骤，请计算12167的立方根，并书写详细过程．
（2）填空：______．
23．（2025七下·柳州期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a、b，且，直角三角尺中，，．
（1）【操作发现】如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则__________；
（2）【探索证明】如图（2），当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出∠1与∠2间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展应用】如图（3），把三角尺的顶点B放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线（D为直线上一点）的上方，若存在，请求出射线与直线a所夹锐角的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：，
∴最小的是，
故答案为：D．
【分析】先利用估算无理数大小的方法化简，再利用实数比较大小的方法（正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小）分析求解即可.
2．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】A. （3，1）位于第一象限；
B. （3，-1）位于第四象限；
C. （-3，1）位于第二象限；
D. （-3，-1）位于第三象限；
故答案为：C.
【分析】由第二象限中坐标特点为，横坐标为负，纵坐标为正，由此即可判断.
3．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、和没有公共顶点，所以不是对顶角，不符合题意；
B、和有公共顶点，但是两条边不互为反向延长线，所以不是对顶角，不符合题意；
C、和有公共顶点，但是两条边不互为反向延长线，所以不是对顶角，不符合题意；
D、和有公共顶点且两条边都互为反向延长线，所以是对顶角，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用对顶角的定义（两条直线相交后形成的两个角，它们有公共的顶点且没有公共边）及特征分析求解即可.
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】先利用平行线的性质可得，再利用邻补角的性质求出∠2的度数即可.
5．【答案】C
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、≠±2，原式错误，此选项不符合题意；
B、≠-2，原式错误，此选项不符合题意；
C、，计算正确，此选项符合题意；
D、≠2，原式错误，此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】A、根据算术平方根的定义“若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x为a的算术平方根”可求解；
B、根据算术平方根的定义“若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x为a的算术平方根”可求解；
C、根据立方根的定义“如果一个数x的立方等于a，即：x3=a，则称x是a的立方根”可求解；
D、根据算术平方根的定义“若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x为a的算术平方根”可求解.
6．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、当∠C=∠3时，DE∥AC，故不符合题意；
B、当∠1+∠4=180°时，DE∥AC，故不符合题意；
C、当∠1=∠AFE时，DE∥AC，故不符合题意；
D、当∠1+∠2=180°时，EF∥BC，不能判定DE∥AC，故符合题意．
故答案为：D
【分析】根据直线平行判定定理即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：点P（-3，5）到y轴的距离是．
故选：B．
【分析】根据点到y轴的距离等于横坐标的长度即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】实数的相反数；实数的绝对值；利用开平方求未知数；利用开立方求未知数
9．【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可知，，，
∴．
∴．
故选：C．
【分析】由平移的性质可知，，，根据边之间的关系可得，，结合梯形面积即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：∵A（a，0），B（0，10），
∴OA=|a|，OB=10，
∴S△AOB= OA OB= ×10|a|=20，
解得：a=±4．
故选D．
【分析】根据点A、B的坐标可找出OA、OB的长度，再根据三角形的面积公式结合S△AOB=20即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
11．【答案】2
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：，，是无理数，5是有理数，
故答案为：2
【分析】根据无理数的定义即可求出答案.
12．【答案】假
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：如果，那么，不成立，例如，但，
故命题“如果，那么”是假命题．
故答案为：假．
【分析】根据真假命题的概念即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：由题意可得：小涛同学这次跳远的成绩应该是的长米．故答案为：．
【分析】根据垂线段最短即可求出答案.
14．【答案】3
【知识点】同旁内角的概念
【解析】【解答】解：能与构成同旁内角的角有、、，共3个．
故答案为：3．
【分析】利用同旁内角的定义（两条直线被第三条直线所截，在截线同旁且在被截线之内的两角）及特征分析求解即可.
15．【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：由图可知，
∴，
∴，
∴点A表示的实数是．
故答案为：.
【分析】先利用勾股定理求出，再利用线段的和差求出OA的长，从而可得点A表示的实数是．
16．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的概念；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：如图，延长交于．
∵平分，平分
∴设，．
根据三角形的外角可得，
①②可得：，
，
，
∵，
，
故答案为．
【分析】延长交于，根据角平分线定义可得设，，根据三角形外角性质建立方程组，解方程组可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
17．【答案】解：
．
【知识点】实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
18．【答案】（1）解：∵点在y轴上，
（2）解：∵，且轴，
．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【分析】（1）根据y轴上点坐标的特征可得a-3=0，求出a的值即可；
（2）根据“，且轴”可得a+1=2，求出a的值，再求出点P的坐标即可.
（1）解：∵点在y轴上，
（2）∵，且轴，
．
19．【答案】证明：∵，(已知)
∴(内错角相等，两直线平行)
∴(两直线平行，内错角相等)
又∵(已知)
∴(等量代换)
∴(内错角相等，两直线平行)．
故答案为：；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】是BD与CE的内错角，可得直线平行，又可得角相等，从而利用等量得到角相等，直线平行。
20．【答案】解：点P先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到点；
（1）如图，就是所求作的图形；
根据图形可知，，的坐标为：，，；
（2）的面积．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：经平移后对应点为，
点P先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到点；
故答案为：点P先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到点.
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可；
（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、O的对应点，再连接并直接求出，，的坐标即可；
（2）利用三角形的面积公式及割补法求出的面积即可.
21．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的度数为．
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据角平分线定义可得，设，则，根据补角建立方程，解方程可得，则，根据角之间的关系可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的度数为．
22．【答案】（1）解：第一步：，，，
，
能确定12167的立方根是个两位数．
第二步：的个位数是7，，
能确定12167的立方根的个位数是3．
第三步：如果划去12167后面的三位167得到数12，
而，则，可得，
由此能确定12167的立方根的十位数是2，因此12167的立方根是23.
（2）0.81
【知识点】无理数的估值；开立方（求立方根）
【解析】【解答】（2）解：第一步：，，，
，
能确定531441的立方根是个两位数．
第二步：的个位数是1，，
能确定531441的立方根的个位数是1．
第三步：如果划去531441后面的三位441得到数531，
而，则，可得，
由此能确定531441的立方根的十位数是8，因此531441的立方根是81．
故，
故答案为：0.81．
【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法并利用立方根的定义及计算方法分析求解即可；
（2）根据题干中的定义及计算方法并利用立方根的定义及计算方法分析求解即可.
（1）解：第一步：，，，
，
能确定12167的立方根是个两位数．
第二步：的个位数是7，，
能确定12167的立方根的个位数是3．
第三步：如果划去12167后面的三位167得到数12，
而，则，可得，
由此能确定12167的立方根的十位数是2，因此12167的立方根是23；
（2）第一步：，，，
，
能确定531441的立方根是个两位数．
第二步：的个位数是1，，
能确定531441的立方根的个位数是1．
第三步：如果划去531441后面的三位441得到数531，
而，则，可得，
由此能确定531441的立方根的十位数是8，因此531441的立方根是81．
故，
故答案为：0.81．
23．【答案】（1）35
（2）解：与间的数量关系是：，理由如下：
如图2所示：
，，
，
由（1）可知：，
，
，
，
，
即，
（3）解：依题意有以下两种情况：
①当在直线的上方时，如图3所示：
，，
，
设，
则，
点在直线上且保持不动，
，
，
解得：，
，
直线，
，
，
②当在直线的下方时，如图4所示：
同理得：，
设，
则，
，
点在直线上且保持不动，
，
，
解得：，
，
直线，
，
，
综上所述：射线与直线所夹锐角的度数为或．
【知识点】平行线的判定与性质；补角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】（1）解：过点作，如图1所示：
直线，
，
，，
，
，
，，
，
故答案为：35．
【分析】（1）过点作，根据直线平行性质可得，则，，再根据角之间的关系可得，即可求出答案.
（2）根据直角三角形两锐角互余可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当在直线的上方时，根据直角三角形两锐角互余可得，设，则，根据补角建立方程，解方程可得，则，再根据直线平行性质即可求出答案；②当在直线的下方时，同理得：，设，则，根据角之间的关系可得，根据补角建立方程，解方程可得，则，再根据直线平行性质即可求出答案.
1 / 1广西壮族自治区柳州市壶西中学联考2024-2025学年下学期期中七年级数学试题
1．（2025七下·柳州期中）实数，，0，中，最小的是（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：，
∴最小的是，
故答案为：D．
【分析】先利用估算无理数大小的方法化简，再利用实数比较大小的方法（正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小）分析求解即可.
2．（2025七下·柳州期中）在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（　　）
A．（3，1） B．（3，-1） C．（-3，1） D．（-3，-1）
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】A. （3，1）位于第一象限；
B. （3，-1）位于第四象限；
C. （-3，1）位于第二象限；
D. （-3，-1）位于第三象限；
故答案为：C.
【分析】由第二象限中坐标特点为，横坐标为负，纵坐标为正，由此即可判断.
3．（2025七下·柳州期中）下列图中，和是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、和没有公共顶点，所以不是对顶角，不符合题意；
B、和有公共顶点，但是两条边不互为反向延长线，所以不是对顶角，不符合题意；
C、和有公共顶点，但是两条边不互为反向延长线，所以不是对顶角，不符合题意；
D、和有公共顶点且两条边都互为反向延长线，所以是对顶角，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用对顶角的定义（两条直线相交后形成的两个角，它们有公共的顶点且没有公共边）及特征分析求解即可.
4．（2025七下·柳州期中）如图，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】先利用平行线的性质可得，再利用邻补角的性质求出∠2的度数即可.
5．（2025七下·柳州期中）下列式子正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、≠±2，原式错误，此选项不符合题意；
B、≠-2，原式错误，此选项不符合题意；
C、，计算正确，此选项符合题意；
D、≠2，原式错误，此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】A、根据算术平方根的定义“若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x为a的算术平方根”可求解；
B、根据算术平方根的定义“若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x为a的算术平方根”可求解；
C、根据立方根的定义“如果一个数x的立方等于a，即：x3=a，则称x是a的立方根”可求解；
D、根据算术平方根的定义“若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x为a的算术平方根”可求解.
6．（2025七下·柳州期中）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，下列不能判定的条件是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、当∠C=∠3时，DE∥AC，故不符合题意；
B、当∠1+∠4=180°时，DE∥AC，故不符合题意；
C、当∠1=∠AFE时，DE∥AC，故不符合题意；
D、当∠1+∠2=180°时，EF∥BC，不能判定DE∥AC，故符合题意．
故答案为：D
【分析】根据直线平行判定定理即可求出答案.
7．（2025七下·柳州期中）已知点，则点到轴的距离是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：点P（-3，5）到y轴的距离是．
故选：B．
【分析】根据点到y轴的距离等于横坐标的长度即可求出答案.
8．（2025七下·柳州期中）下列说法正确的是（　　）
A．的相反数为 B．的绝对值是
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【知识点】实数的相反数；实数的绝对值；利用开平方求未知数；利用开立方求未知数
9．（2025七下·柳州期中）如图，将直角三角形沿方向平移得到，交于点，，，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质可知，，，
∴．
∴．
故选：C．
【分析】由平移的性质可知，，，根据边之间的关系可得，，结合梯形面积即可求出答案.
10．（2025七下·柳州期中）已知A（a，0）和B点（0，10）两点，且AB与坐标轴围成的三角形的面积等于20，则a的值为（　　）
A．2 B．4 C．0或4 D．4或﹣4
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：∵A（a，0），B（0，10），
∴OA=|a|，OB=10，
∴S△AOB= OA OB= ×10|a|=20，
解得：a=±4．
故选D．
【分析】根据点A、B的坐标可找出OA、OB的长度，再根据三角形的面积公式结合S△AOB=20即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
11．（2025七下·柳州期中）在下列实数，，5中，无理数的个数有　 　个．
【答案】2
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：，，是无理数，5是有理数，
故答案为：2
【分析】根据无理数的定义即可求出答案.
12．（2025七下·柳州期中）命题“如果，那么”是　 　命题（填“真”或“假”）．
【答案】假
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：如果，那么，不成立，例如，但，
故命题“如果，那么”是假命题．
故答案为：假．
【分析】根据真假命题的概念即可求出答案.
13．（2025七下·柳州期中）如图，这是小涛同学在体育课上某一次跳远后留下的脚印．通过测量得到如下数据：米，米，米，米，其中AC，DE分别垂直起跳线于C，E．小涛这次跳远成绩是　 　米．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：由题意可得：小涛同学这次跳远的成绩应该是的长米．故答案为：．
【分析】根据垂线段最短即可求出答案.
14．（2025七下·柳州期中）如图：与构成同旁内角的角有 　 　个．
【答案】3
【知识点】同旁内角的概念
【解析】【解答】解：能与构成同旁内角的角有、、，共3个．
故答案为：3．
【分析】利用同旁内角的定义（两条直线被第三条直线所截，在截线同旁且在被截线之内的两角）及特征分析求解即可.
15．（2025七下·柳州期中）如图，点A表示的实数是　 　．
【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：由图可知，
∴，
∴，
∴点A表示的实数是．
故答案为：.
【分析】先利用勾股定理求出，再利用线段的和差求出OA的长，从而可得点A表示的实数是．
16．（2025七下·柳州期中）如图，，平分，平分交的延长线于点，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的概念；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：如图，延长交于．
∵平分，平分
∴设，．
根据三角形的外角可得，
①②可得：，
，
，
∵，
，
故答案为．
【分析】延长交于，根据角平分线定义可得设，，根据三角形外角性质建立方程组，解方程组可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
17．（2025七下·柳州期中）计算：；
【答案】解：
．
【知识点】实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
18．（2025七下·柳州期中）已知点，解答下列各题：
（1）若点P在y轴上，试求出a的值
（2）若，且轴，试求P的坐标
【答案】（1）解：∵点在y轴上，
（2）解：∵，且轴，
．
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【分析】（1）根据y轴上点坐标的特征可得a-3=0，求出a的值即可；
（2）根据“，且轴”可得a+1=2，求出a的值，再求出点P的坐标即可.
（1）解：∵点在y轴上，
（2）∵，且轴，
．
19．（2025七下·柳州期中）如图，已知，，证明：．
补全下面的推理过程，并在括号内填写推理依据．
证明：∵(已知)
∴(______________________________)
∴______(______________________________)
又∵(已知)
∴( )
∴(________________________________)
【答案】证明：∵，(已知)
∴(内错角相等，两直线平行)
∴(两直线平行，内错角相等)
又∵(已知)
∴(等量代换)
∴(内错角相等，两直线平行)．
故答案为：；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】是BD与CE的内错角，可得直线平行，又可得角相等，从而利用等量得到角相等，直线平行。
20．（2025七下·柳州期中）如图，在方格边长为1的方格纸上画平面直角坐标系，若内任意一点经平移后对应点为，用一句话描述该点的平移过程：_______________．若将作同样的平移得到．完成下面问题：
（1）画出，并写出，，的坐标；
（2）求的面积．
【答案】解：点P先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到点；
（1）如图，就是所求作的图形；
根据图形可知，，的坐标为：，，；
（2）的面积．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：经平移后对应点为，
点P先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到点；
故答案为：点P先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到点.
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可；
（1）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、O的对应点，再连接并直接求出，，的坐标即可；
（2）利用三角形的面积公式及割补法求出的面积即可.
21．（2025七下·柳州期中）如图，直线与被直线所截，与，分别交于点，，且，．
（1）试说明：；
（2）若平分，，求的度数．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的度数为．
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据角平分线定义可得，设，则，根据补角建立方程，解方程可得，则，根据角之间的关系可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的度数为．
22．（2025七下·柳州期中）【阅读材料】数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．
你知道华罗庚是怎样迅速准确的计算出结果吗 请你按下面的步骤试一试：
第一步：∵，，，
∴．∴能确定59319的立方根是个两位数．
第二步：∵的个位数是9，，
∴能确定59319的立方根的个位数是9．
第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，
而，则，可得，
由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．
【解答问题】根据上面材料，解答下面的问题
（1）根据计算步骤，请计算12167的立方根，并书写详细过程．
（2）填空：______．
【答案】（1）解：第一步：，，，
，
能确定12167的立方根是个两位数．
第二步：的个位数是7，，
能确定12167的立方根的个位数是3．
第三步：如果划去12167后面的三位167得到数12，
而，则，可得，
由此能确定12167的立方根的十位数是2，因此12167的立方根是23.
（2）0.81
【知识点】无理数的估值；开立方（求立方根）
【解析】【解答】（2）解：第一步：，，，
，
能确定531441的立方根是个两位数．
第二步：的个位数是1，，
能确定531441的立方根的个位数是1．
第三步：如果划去531441后面的三位441得到数531，
而，则，可得，
由此能确定531441的立方根的十位数是8，因此531441的立方根是81．
故，
故答案为：0.81．
【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法并利用立方根的定义及计算方法分析求解即可；
（2）根据题干中的定义及计算方法并利用立方根的定义及计算方法分析求解即可.
（1）解：第一步：，，，
，
能确定12167的立方根是个两位数．
第二步：的个位数是7，，
能确定12167的立方根的个位数是3．
第三步：如果划去12167后面的三位167得到数12，
而，则，可得，
由此能确定12167的立方根的十位数是2，因此12167的立方根是23；
（2）第一步：，，，
，
能确定531441的立方根是个两位数．
第二步：的个位数是1，，
能确定531441的立方根的个位数是1．
第三步：如果划去531441后面的三位441得到数531，
而，则，可得，
由此能确定531441的立方根的十位数是8，因此531441的立方根是81．
故，
故答案为：0.81．
23．（2025七下·柳州期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a、b，且，直角三角尺中，，．
（1）【操作发现】如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则__________；
（2）【探索证明】如图（2），当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出∠1与∠2间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展应用】如图（3），把三角尺的顶点B放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线（D为直线上一点）的上方，若存在，请求出射线与直线a所夹锐角的度数．
【答案】（1）35
（2）解：与间的数量关系是：，理由如下：
如图2所示：
，，
，
由（1）可知：，
，
，
，
，
即，
（3）解：依题意有以下两种情况：
①当在直线的上方时，如图3所示：
，，
，
设，
则，
点在直线上且保持不动，
，
，
解得：，
，
直线，
，
，
②当在直线的下方时，如图4所示：
同理得：，
设，
则，
，
点在直线上且保持不动，
，
，
解得：，
，
直线，
，
，
综上所述：射线与直线所夹锐角的度数为或．
【知识点】平行线的判定与性质；补角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】（1）解：过点作，如图1所示：
直线，
，
，，
，
，
，，
，
故答案为：35．
【分析】（1）过点作，根据直线平行性质可得，则，，再根据角之间的关系可得，即可求出答案.
（2）根据直角三角形两锐角互余可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当在直线的上方时，根据直角三角形两锐角互余可得，设，则，根据补角建立方程，解方程可得，则，再根据直线平行性质即可求出答案；②当在直线的下方时，同理得：，设，则，根据角之间的关系可得，根据补角建立方程，解方程可得，则，再根据直线平行性质即可求出答案.
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