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参考答案及解析
1．(1)甲玩具的进货单价是6元，乙玩具的进货单价是5元；
(2)该超市最多采购甲玩具75件．
【分析】（1）设乙玩具的进货单价是x元，则甲玩具的进货单价是元，根据“所购甲玩具件数是乙玩具件数的2倍”列出分式方程，解之即可；
（2）设该超市采购甲玩具a件，根据“购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多40件”列出不等式，解之取其中的整数，即可得出结论．
【详解】（1）解：设乙玩具的进货单价是x元，则甲玩具的进货单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是分式方程的根，
（元），
答：甲玩具的进货单价是6元，乙玩具的进货单价是5元；
（2）解：设该超市采购甲玩具a件，
根据题意得：，
解得：，
答：该超市最多采购甲玩具75件．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
2．(1)“神舟”模型的进货单价为60元，“天宫”模型的进货单价为45元
(2)当购进67个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润是4399元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，则设“神舟”模型的进货单价为元，“天宫”模型的进货单价为元．因为购进1个“神舟”模型和3个“天宫”模型一共需要195元；购进2个“神舟”模型和1个“天宫”模型一共需要165元，然后列式计算，即可作答．
（2）先根据该航天模型商店计划购进两种模型共200个，且“神舟”模型的数量不少于“天宫”模型数量的一半．列出，再结合每个“神舟”模型的售价为80元，每个“天宫”模型的售价为68元，进行列式计算，最后结合一次函数的性质，即可作答．
【详解】（1）解：设“神舟”模型的进货单价为元，“天宫”模型的进货单价为元．
由题意得，
解得，
答：“神舟”模型的进货单价为60元，“天宫”模型的进货单价为45元．
（2）解：设购进个“神舟”模型，则购进个“天宫”模型．
由题意得．
解得，
依题意，设利润为元．
由题意得．
，
随的增大而减小．
为正整数，
当取最小值67时，利润取得最大值，为（元）．
答：当购进67个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润是4399元．
3．(1)
(2)
【分析】本题考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质，以及根据题意找出等量关系是解决问题的关键．
（1）根据题意得出关于的二次函数关系式，再利用其性质即可得出最值，即可求解；
（2）把代入函数解析式得到关于的一元二次方程，求出方程的两个根，两根之差即为所求．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴，
∵，，
∴抛物线开口向下，
∴当时，取得最大值，
即小球能达到的最大高度为；
（2）解：由题意得，
∴，
解得：，，
，
答：两次抛球的时间差为.
4．(1)甲种笔记本的单价是20元，乙种笔记本的单价是12元
(2)购买30个甲种笔记本，购买15个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是660元
【分析】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程，不等式及函数关系式．
（1）设甲种笔记本的单价是元，则乙种笔记本的单价是元，根据“购买5个甲种笔记本和5个乙种笔记本共需160元”列出一元一次方程，即可解得；
（2）设购买个甲种笔记本，根据甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的2倍，可得，设所需费用为元，，由一次函数性质即可求解．
【详解】（1）解：设甲种笔记本的单价是元，则乙种笔记本的单价是元，
根据题意得：，
解得，
，
答：甲种笔记本的单价是20元，乙种笔记本的单价是12元；
（2）解：设购买个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本，
甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的2倍，
，
解得，
设所需费用为元，
，
，
随的增大而增大，
时，最小，最小值为（元，
此时，
答：购买30个甲种笔记本，购买15个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是660元．
5．(1)①；②；
(2)他们此次的充电量是．
【分析】（1）①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为；
②当时，最高充电时间为（小时），此时；
当时，最高充电时间大于（小时），
解答即可．
（2）根据充电结束后两人所支付的费用相同．判定他们充电都超过了4小时，故得到一元一次方程，解答即可．
本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握列代数式，解方程是解题的关键.
【详解】（1）解：①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为；
故答案为：．
②解：当时，最高充电时间为（小时），此时；
当时，最高充电时间大于（小时），此时，
综上所述，．
（2）解：由题意得，充电量大于，
.
解得.
答：他们此次的充电量是.
6．(1)每个太阳帽的进价是10元，每个旅行包的进价是20元
(2)购进400个太阳帽，200个旅行包，可使销售所获利润最大，最大利润为4000元
【分析】本题考查了一次函数、二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意．
（1）设每个太阳帽的进价是x元，每个旅行包的进价是y元，根据购进4个太阳帽和3个旅行包共需要100元，购进6个太阳帽和4个旅行包共需要140元建立二元一次方程组求解；
（2）设购进太阳帽m个，旅行包个，设销售完后获得的利润为w元，根据“总利润=太阳帽的利润+旅行包的利润”建立函数，根据函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每个太阳帽的进价是x元，每个旅行包的进价是y元，
由题意得，，
解得：，
∴每个太阳帽的进价是10元，每个旅行包的进价是20元；
（2）解：设购进m个太阳帽，则购进旅行包个，所获利润为w元，
∵购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的2倍，
∴，
解得，
由题意得，，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w取得最大值，最大值为，
此时，
∴购进400个太阳帽，200个旅行包，可使销售所获利润最大，最大利润为4000元．
7．(1)歼模型的单价为100元，歼模型的单价为150元
(2)购买歼模型3个，购买歼模型7个时最省钱
【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数的解析式，是解题的关键：
（1）设歼模型的单价为x元，歼模型的单价为y元，根据题意，列出方程组进行求解即可；
（2）设购买歼模型a个，则购买歼模型个，共需w元，根据总价等于单价乘以数量，列出一次函数解析式，根据歼模型的数量不多于歼模型数量的，列出不等式，根据一次函数的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：设歼模型的单价为x元，歼模型的单价为y元，
根据题意，得解得
所以歼模型的单价为100元，歼模型的单价为150元．
（2）设购买歼模型a个，则购买歼模型个，共需w元，
根据题意，得．
∵，
∴当a取最大值时，w有最小值．
∵，
∴．
而a为整数，
∴当时，w取得最小值，此时．
所以购买歼模型3个，则购买歼模型7个时最省钱．
8．(1)
(2)充电后可以行驶到目的地
【分析】本题考查了正比例函数的应用，有理数的混合运算的应用，建立函数关系式是解题的关键；
（1）根据表格数据可得关于的函数是正比例函数，设，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据题意，可得新能源汽车行驶千米后，在途中的服务区充电分钟，剩余电量，进而得出续航里程为千米，即可求解．
【详解】（1）解：根据表格数据可得关于的函数是正比例函数，设，
代入得，
解得：，
∴
代入表格其他数据验证，符合表达式；
（2）充电后可以行驶到目的地，
∵满电（100%）续航 400 千米，目的地 560 千米，需中途充电
行驶 240 千米后：消耗电量 ，剩余电量
在途中的服务区充电分钟，充电量，总电量 ．
续航里程千米，剩余路程千米． 因此，充电后电量可支持行驶至目的地．
9．(1)每套物理实验器材600元，每套化学实验器材200元
(2)购进物理实验器材200件，化学实验器材100套，花费最小，最小值是140000元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组解决实际问题，一元一次不等式，一次函数最值问题，解题的关键是熟练准确找出等量关系．
（1）设每套物理实验器材元，每套化学实验器材元，根据两种购买方式列出方程即可；
（2）设购买物理实验器材套，则化学实验器材套，总花费元，根据题意求得，列出一次函数并进行分析即可．
【详解】（1）解：设每套物理实验器材元，每套化学实验器材元，
依题意，得，
解得，
所以，每套物理实验器材600元，每套化学实验器材200元；
（2）解：设购买物理实验器材套，则化学实验器材套，总花费元，
依题意，得，
解得，
∴m的最小值是200，
，
因为，所以随的增大而增大，
当时，取得最小值140000元，
此时，，
所以，购进物理实验器材200件，化学实验器材100套，花费最小，最小值是140000元．
10．（1）50元，40元；（2）购买34个拉力器和16个健身球，理由见解析
【分析】（1）设拉力器的销售单价为元，健身球的销售单价为元，根据题意列出方程组，然后求解即可；
（2）设采购拉力器个，则采购健身球个，根据题意列出不等式组，然后求解即可．
【详解】解：（1）设拉力器的销售单价为元，健身球的销售单价为元，
则依题意得： ，
解得：
答：拉力器和健身球的单价分别为50元，40元．
（2）设采购拉力器个，则采购健身球个，
则解得．
设采购总费用为，则．
∵，∴随的增大而增大．
∵，且为整数，
∴费用最少的采购方案为购买34个拉力器和16个健身球．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
11．(1)长款服装购进30件，短款服装购进20件；
(2)当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，列出正确的等量关系和不等关系是解题的关键．
（1）设购进服装x件，购进长款服装y件，根据“用4300元购进长、短两款服装共50件，”列二元一次方程组计算求解；
（2）设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装，根据“第二次进货总价不高于16800元”列不等式计算求解，然后结合一次函数的性质分析求最值．
【详解】（1）解：设购进短款服装x件，购进长款服装y件，
由题意可得，
解得，
答：长款服装购进30件，短款服装购进20件．
（2）解：设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装，
由题意可得，
解得：，
设利润为w元，则，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，
∴（元）．
答：当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元．
12．(1)灰枣每包的价格为30元，鸡心枣每包的价格为20元
(2)60包
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键．
（1）设灰枣每包的价格为元，鸡心枣每包的价格为元，根据购买2包灰枣和1包鸡心枣，共需80元；购买3包灰枣和4包鸡心枣，共需170元建立方程组求解即可；
（2）设购买灰枣包，则购买鸡心枣包，根据总费用不超过2600元列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设灰枣每包的价格为元，鸡心枣每包的价格为元，
根据题意，得，
解得，
答：灰枣每包的价格为30元，鸡心枣每包的价格为20元；
（2）解：设购买灰枣包，则购买鸡心枣包．
根据题意，得，
解得，
∵要求灰枣尽量多，
∴最多能购买灰枣60包，
答：最多能购买灰枣60包．
13．(1)每本A类图书的进价为30元，每本B类图书的进价为25元
(2)购进A类图书500本、B类图书1400本才能使全部售出后所获利润最大，最大利润为9500元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，
（1）设类图书每本的进价是a元，B类图书每本的进价是b元，根据“购进3本类图书和4本类图书共需190元；购进6本类图书和2本类图书共需230元．”列出方程组，即可求解；
（2）①根据“用元全部购进两类图书，”列出方程，再变形，即可求解；②设书店所获利润为W元，根据题意，列出W关于x函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设每本A类图书的进价为a元，每本B类图书的进价为b元．
根据题意，得，
解得．
答：每本A类图书的进价为30元，每本B类图书的进价为25元．
（2）解：设购进A类图书x本，购进B类图书y本，全部售出后所获利润为W元．
根据题意，得，解得．
∴，其中．
∵，∴W随x的增大而减小．
∴当时，W最大，，此时．
答：购进A类图书500本、B类图书1400本才能使全部售出后所获利润最大，最大利润为9500元．
14．(1)款烙画购进6件，款烙画购进14件
(2)款烙画购进12件，款烙画购进18件，才能获得最大利润，最大利润是720元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的实际应用，以及一次函数的实际应用，掌握一次函数的性质是解题的关键．
（1）设款烙画购进件，款烙画购进件，根据用2440元购进了A，B两款烙画共20件列出关于x和y的二元一次方程组，解方程组即可得出答案．
（2）设款烙画购进件，则款烙画数量为件，先根据题意得出m的取值范围，再根据利润的求解公式列出关于m的一次函数，根据一次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：设款烙画购进件，款烙画购进件，根据题意得：
解方程组，得
款烙画购进6件，款烙画购进14件；
（2）解：设款烙画购进件，则款烙画数量为件，
购进款烙画数量不少于款烙画数量的，
，
解得，
设利润为元，根据题意得：，
，
随的增大而增大，
当时，取最大值（元），
此时，
款烙画购进12件，款烙画购进18件，才能获得最大利润，最大利润是720元．
15．(1)水基灭火器每个的价格是元，干粉灭火器每个的价格是元
(2)最多可购买个水基灭火器．
【分析】本题考查了分式方程以及一元一次不等式的应用，理清题意，正确列出分式方程和一元一次不等式是解答本题的关键．
（1）设水基灭火器每个的价格是元，则干粉灭火器每个的价格是元，根据“用元购买水基灭火器的个数恰好与用元购买干粉灭火器的个数相同”列出分式方程，解之即可；
（2）设购买个水基灭火器，则购买个干粉灭火器，根据“学校用于购买两种灭火器的总费用不超过元”列出一元一次不等式，解出的取值范围，即可得解．
【详解】（1）解：设水基灭火器每个的价格是元，则干粉灭火器每个的价格是元，
根据题意得：，解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
，
答：水基灭火器每个的价格是元，干粉灭火器每个的价格是元；
（2）解：设购买个水基灭火器，
根据题意得：，
解得：，
为整数，
最大取，
答：最多可购买个水基灭火器．2025河南中考数学之方案设计应用题专练
一、解答题
1．某超市用1200元购进一批甲玩具，用500元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的2倍，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元．
(1)求甲、乙玩具的进货单价格是多少元？
(2)玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多40件，求该超市用不超过1400元最多可以采购甲玩具多少件？
2．2024年10月30日，神舟十九号载人飞船成功点火发射，将3名航天员送入太空．某航天模型商店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型的商品．已知商店老板购进1个“神舟”模型和3个“天宫”模型一共需要195元；购进2个“神舟”模型和1个“天宫”模型一共需要165元．
(1)求“神舟”模型和“天宫”模型的进货单价；
(2)该航天模型商店计划购进两种模型共200个，且“神舟”模型的数量不少于“天宫”模型数量的一半．若每个“神舟”模型的售价为80元，每个“天宫”模型的售价为68元，则购进多少个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大？最大利润是多少元？
3．一个物体从地面竖直向上抛，满足（不计空气阻力），其中（单位：）是物体距离地面的高度，（单位：）是初速度，是重力加速度（取），（单位：）是抛出物体后所经历的时间，用发射器（发射器的高度忽略不计）将一个小球以的初速度从地面竖直向上抛．
(1)求小球能达到的最大高度；
(2)若在小球抛出之后将另一个完全相同的小球以相同的速度从地面竖直向上抛，这两个小球在某一时刻的高度均为米，求两次抛球的时间差．
4．学校准备为演讲比赛优胜者颁发笔记本作为奖品，经问询知，甲种笔记本的单价比乙种笔记本贵8元，若购买5个甲种笔记本和5个乙种笔记本共需160元．
(1)分别求出甲、乙两种笔记本的单价；
(2)现购买甲乙两种笔记本共45个，且甲种笔记本的数量不低于乙种笔记本数量的2倍，因购买数量较多，商家同意甲种笔记本可以打八折，请你设计一种费用最低的购买方案，并求出最低费用．
5．学科实践：
近年来，太原市加大了公共充电站的建设力度，综合与实践小组的同学对，两个充电站的收费情况进行了调查，调查结果如下表所示．
名称 充电桩领 服务费 充电费 充电速度
充电站 直流式 免费 1.5元 每小时充电
充电站 直流式 前4小时免费，4小时后充电量的服务费为0.8元 1.2元 每小时充电
问题解决：
(1)若汽车充电的总电量为，
①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为_____；
②请分别写出当和时，在充电站需要支付的费用（元）与的关系表达式．
(2)出租车司机小李和小王分别在，两个充电站充电，充电结束后两人所支付的费用相同．求他们此次的充电量是多少．
6．随着新年的到来，清明上河园景区又迎来了一年一度的旅游高峰，为了给游客更好的体验，该景区准备购进一批太阳帽和旅行包．已知购进4个太阳帽和3个旅行包共需要100元，购进6个太阳帽和4个旅行包共需要140元．
(1)求每个太阳帽和每个旅行包的进价．
(2)该景区太阳帽的售价为15元，旅行包的售价为30元．景区计划购进太阳帽和旅行包共600个，且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的2倍，景区该如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？
7．学校计划购买歼－20模型和歼－35模型作为“科技铸就强国”演讲比赛的奖品．已知购买2个歼模型和3个歼模型共需650元，购买4个歼模型和5个歼模型共需1150元．
(1)求歼模型、歼－35模型的单价；
(2)若学校准备购买歼模型、歼模型共10个，且歼模型的数量不多于歼模型数量的，请求出最省钱的购买方案．
8．新能源汽车采用电能作为动力来源，更加节能环保，已知某品牌新能源汽车的电池每分钟可以充的电，为了解该品牌新能源汽车在充满电量状态下的最大行驶里程，某综合实践小组探究了该品牌新能源汽车行驶过程中仪表盘显示电量与续航里程（千米）的关系，部分数据记录表如下：
新能源汽车行驶过程中显示电量与续航里程数据
显示电量
续航里程y（千米）
(1)请结合表中的数据，求出关于的函数表达式；
(2)该品牌新能源汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若新能源汽车行驶千米后，在途中的服务区充电分钟，充电后该新能源汽车是否可以行驶到目的地？
9．为更好的开展科学教育，某中学计划新购进一批科学实验器材，其中物理实验器材和化学实验器材成套购买，已知1套物理实验器材和1套化学实验器材共需800元，2套物理实验器材和3套化学实验器材共需1800元．
(1)每套物理实验器材和每套化学实验器材各是多少元？
(2)若学校计划购进物理、化学实验器材共300套，且物理实验器材套数不少于化学实验器材套数的2倍，当购进物理、化学实验器材各多少套时花费最少？最少花费是多少？
10．安居小区为鼓励本小区50户居民锻炼身体，居委会决定为每户发放一个拉力器或一个健身球．已知购买3个拉力器比购买2个健身球多花70元；购买2个拉力器和4个健身球共需260元．
（1）分别求出拉力器和健身球的单价．
（2）居委会在购买时发现：体育用品商店的拉力器购买数量低于30个不优惠，不低于30个打9折；健身球不打折．若要求购买拉力器的数量不低于健身球数量的2倍，请你设计出费用最少的采购方案，并说明理由．
11．近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表：
价格/类别 短款 长款
进货价（元/件） 80 90
销售价（元/件） 100 120
(1)该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；
(2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
12．新郑大枣——河南省新郑市的特产，中国国家地理标志产品．新郑大枣以皮薄肉厚、核小味甜而著称，常见包装为独立小袋．某超市为推广新品，推出灰枣和鸡心枣两种组合装．若购买2包灰枣和1包鸡心枣，共需80元；若购买3包灰枣和4包鸡心枣，共需170元．
(1)求灰枣和鸡心枣每包的价格．
(2)某顾客用不超过2600元购买这两种枣共100包，要求灰枣尽量多，则他最多能购买灰枣多少包？
13．“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，某书店同时购进A，B两类图书，已知购进3本A类图书和4本B类图书共需190元；购进6本A类图书和2本B类图书共需230元．
(1)A，B两类图书每本的进价各是多少元？
(2)若该书店购进这两类图书恰好用了50000元，进货时，A类图书的数量不少于500本．已知A类图书每本的售价为35元，B类图书每本的售价为30元，如何进货才能使全部售出后所获利润最大？最大利润为多少元？
14．南阳烙画，起源于秦汉，鼎盛于明清，发展于现代，2021年入选中国非物质文化遗产，素以“南阳三大宝”之首而蜚声海内外．某网店老板小杰在南阳某烙画专营店选中A，B两款高端烙画，决定从该店进货并销售，已知两款烙画的进货价和销售价如下表：
A款烙画 B款烙画
进货价（元/件） 80 140
销售价（元/件） 98 168
(1)第一次小杰用2440元购进了A，B两款烙画共20件，两款烙画各购进多少件？
(2)第二次小杰进货时，计划购进A款烙画数量不少于B款烙画数量的，且小杰计划购进两款烙画共30件，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
15．为加强校园消防安全，学校计划购买一批某种型号的水基灭火器和干粉灭火器．已知每个水基灭火器比干粉灭火器贵元，用元购买水基灭火器的个数恰好与用元购买干粉灭火器的个数相同．
(1)求水基灭火器和干粉灭火器的单价；
(2)学校决定购买水基灭火器、干粉灭火器共个，实际购买时，水基灭火器的售价打九折，干粉灭火器售价不变．学校用于购买两种灭火器的总费用不超过元，最多可购买多少个水基灭火器？

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