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广西壮族自治区百色市2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量调研测试数学试题
1．（2024高一下·百色期末）设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：因为，
所以，复数在复平面对应点的坐标为.
故答案为：A.
【分析】先根据复数的除法运算法则化简复数z，再结合复数的几何意义得出复数在复平面内对应的点的坐标.
2．（2024高一下·百色期末）在篮球选修课上，男、女生各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如图所示，试根据折线图通过计算比较本次投篮练习中男、女生的投篮水平，则（　　）
A．男生投篮水平比女生投篮水平高
B．女生投篮水平比男生投篮水平高
C．男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定
D．男女同学投篮命中数的极差相同
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由图可知，，
，
，
所以，，
所以本次投篮练习中男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和平均数公式、方差公式，再结合图表中的数据计算出，，，，从而比较找出正确的选项.
3．（2024高一下·百色期末）若，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，向量与向量的夹角为，
则在上的投影向量为：
.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和数量积求投影向量的公式，从而得出向量在向量上的投影向量.
4．（2024高一下·百色期末）从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为，“两个球都是白球”的概率为，则“两个球颜色不同”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：设“两个球都是红球”为事件A，
“两个球都是白球”为事件B，
“两个球颜色不同”为事件C，
则，，且.
因为A，B，C两两互斥，
所以.
故答案为：C.
【分析】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，则事件A、事件B、事件C两两互斥，且，再根据对立事件求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出“两个球颜色不同”的概率.
5．（2024高一下·百色期末）设为所在平面内一点，，为的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由题意画出图形，如图所示：
因为，为的中点，
所以，，
所以
.
故答案为：A.
【分析】先画出图形，再由中点的性质和向量共线定理以及平面向量基本定理，从而找出正确的选项.
6．（2024高一下·百色期末）如图1，这是雁鸣塔，位于贵州省遵义娄山关景区，塔身巍然挺拔，直指苍穹，登塔可众览娄山好风光．某数学兴趣小组成员为测量雁鸣塔的高度，在点O的同一水平面上的A，B两处进行测量，如图2．已知在A处测得塔顶P的仰角为30°，在B处测得塔顶P的仰角为45°，且米，，则雁鸣塔的高度（　　）
A．30米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设，
依题意，得出，，
在中，由余弦定理得，
则，
整理得，解得，
所以雁鸣塔的高度为30米.
故答案为：A.
【分析】设，利用已知条件，则用表示出，再利用余弦定理列式计算得出雁鸣塔的高度OP的长.
7．（2024高一下·百色期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在中，由和正弦定理，
得，
因为，则，
由和余弦定理，
得，，
因此，，
则，
所以的面积为.
故答案为：B.
【分析】由已知条件和正弦定理边化角，从而求出的值，再利用余弦定理求出的值，再根据三角形的面积公式得出的面积.
8．（2024高一下·百色期末）足尖虽未遍及美景，浪漫却从未停止生长，清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味.如右图几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中，，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体Ω，则Ω的外接球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱台的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：依题意，几何体为正四棱台，其底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
则正四棱台高为，
设上、下底面中心分别为，外接球的球心为，半径为，，
圆的半径分别为，
显然，
则，
所以球心在正四棱台外，
则，解得，
所以的外接球的表面积为.
故答案为：D.
【分析】由题意可知几何体为正四棱台，再根据正四棱台和球的结构特征，从而求出封闭几何体Ω外接球的半径，再根据球的表面积公式得出封闭几何体Ω的外接球的表面积.
9．（2024高一下·百色期末）设，，为三个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题是真命题的是（　　）
A．当时，若，则
B．当，时，若，则
C．当，时，，则m，n是异面直线
D．当，时，若，则
【答案】A,B,D
【知识点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：对于A，因为互相平行的两个平面，一个垂直于一个平面，
则另一个也垂直于这一个平面，故A正确；
对于B，由，，得，
又因为，因此，故B正确；
对于C，因为，，，
则m，n可以是平行直线，也可以是异面直线，故C错误；
对于D，由，得，
又因为，则成立，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据已知条件和空间直线与直线的位置关系、面面垂直的判定定理，从而逐项判断找出真命题的选项.
10．（2024高一下·百色期末）《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共14种算法．某研究学习小组共7人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间（单位：min）分别为93，93，88，81，94，91，90．则这组时间数据（　　）
A．极差为13 B．中位数为81 C．平均数为90 D．方差为25
【答案】A,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：因为这组数据从小到大排列为、、、、、、，
所以极差为，故A正确；
因为中位数为，故B错误；
因为平均数为，故C正确；
因为方差为：故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据已知条件和极差、中位数、平均数、方差的公式，从而逐项判断找出正确的选项.
11．（2024高一下·百色期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，且，则下列说法正确的是(　　)
A．
B．面积的最大值为
C．若D为边BC的中点，则AD的最大值为3
D．若为锐角三角形，则其周长的取值范围为
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式；正弦定理；余弦定理；辅助角公式
【解析】【解答】解：A、因为，，所以，解得，又因为，
所以，故A错误；
B、由A可知：的面积为，因为，
所以，当且仅当时等号成立，故，故B错误；
C、在和中，由余弦定理可得：，化简可得，由B知，的最大值为12，故的最大值为3，故C正确；
D、利用正弦定理可得：，则，
故的周长为，
因为为锐角三角形，所以，解得，则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，利用余弦定理化简求值即可判断A；利用三角形面积公式结合基本不等式求解即可判断B；在和中分别用余弦定理化简求值即可判断C；利用正弦定理表示边b，c，结合辅助角公式以及三角函数的性质求解判断即可.
12．（2024高一下·百色期末）双鸭山一中高一年级8名学生某次考试的数学成绩（满分150分）分别为85，90，93，99，101，103，116，130，则这8名学生数学成绩的第75百分位数为　 　
【答案】109.5
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：因为，
则这8名学生数学成绩的第75百分位数为.
故答案为：109.5.
【分析】利用已知条件和百分位数求解方法，从而得出这8名学生数学成绩的第75百分位数.
13．（2024高一下·百色期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则B=　 　
【答案】
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：根据正弦定理，
可得，
由已知可得，
整理可得，
所以，在中，.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和正弦定理、余弦定理，则根据三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.
14．（2024高一下·百色期末）已知在边长为的正三角形中，、分别为边、上的动点，且，则的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量数量积的坐标表示；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：如图建系，
则、、，
则，
设（），
则（），
则，，
∴，
∴
当时，取最大值．
故答案为：.
【分析】如图建立直角坐标系，设（），则（），再结合数量积的坐标表示和二次函数求最值的方法，从而得出的最大值.
15．（2024高一下·百色期末）已知，且与的夹角为，
（1）求的值；
（2）求向量与的夹角的余弦值．
【答案】（1）解：由平面向量数量积的定义得：，
故的值为.
（2）解：设向量与的夹角为，
，
又因为，
，
故向量与的夹角的余弦值为.
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）利用数量积的定义得出的值.
（2）利用已知条件和数量积求向量的模的公式以及数量积的运算律，从而求出向量的模，再利用数量积的运算律和数量积求向量夹角公式，从而得出向量与的夹角的余弦值.
（1）由平面向量数量积的定义得，
故的值为，
（2）设向量与的夹角为
，
又，
，
故向量与的夹角的余弦值为.
16．（2024高一下·百色期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，为的中点，，.
（1）平面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明：连接交于点，连接，
因为底面是平行四边形，
所以为的中点，
又因为为的中点，
所以，
又因为平面，平面，
∴平面.
（2）解：因为为的中点，
所以，
所以，
因为平面，，，
则四边形是平行四边形，
所以，
所以，
所以.
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）连接交于点，再连接，则根据中位线定理得到，再利用线线平行证出线面平行，则证出平面.
（2）依题意可得，再根据三棱锥的体积公式求出的值，从而得出三棱锥的体积.
（1）连接交于点，连接，
因为底面是平行四边形，所以为的中点，又为的中点，
所以，又平面，平面，
∴平面；
（2）因为为的中点，
所以，所以，
因为平面，，，是平行四边形，
所以，
所以，
所以.
17．（2024高一下·百色期末）某中学参加知识竞赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取800名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）请补全频率分布直方图并估计这800名学生的平均成绩；
（2）采用分层随机抽样的方法从这800名学生中抽取容量为40的样本，再从该样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取2名进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90分的概率.
【答案】（1）解：因为成绩落在的频率为
补全的频率分布直方图如图：
这800名学生的平均成绩约为：
55×0.15+65×0.30+75×0.40+85×0.10+95×0.05=71（分）.
（2）解：在抽取的40名学生中，
成绩在内的有（人），
分别记为，，，，
成绩在内的有（人），
分别记为，，
从这6人中随机抽取2人的基本事件有：
，，，，，，，，，，，，，，，共有15种.
记事件“至少有1名学生成绩不低于90分”，
则事件包含的基本事件有：
，，，，，，，，，共9种，
则所求概率为.
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中各小组的频率等于各小组的矩形的面积，从而得出成绩落在的频率，从而补全频率分布直方图，再结合频率分布直方图求平均数的方法，从而可得这800名学生的平均成绩.
（2）根据分层抽样的方法确定成绩在内的人数并标记和成绩在内的人数并标记，再根据古典概型求概率公式得出至少有1名学生成绩不低于90分的概率.
（1）成绩落在的频率为，
补全的频率分布直方图如图：
这800名学生的平均成绩约为；
55×0.15+65×0.30+75×0.40+85×0.10+95×0.05=71（分）；
（2）抽取的40名学生中，成绩在内的有（人），分别记为，，，，成绩在内的有（人），分别记为，，
从这6人中随机抽取2人的基本事件有
，，，，，，，，，，，，，，.共有15种.
记事件“至少有1名学生成绩不低于90分”，则事件包含的基本事件有：
，，，，，，，，，共9种，
所以所求概率为.
18．（2024高一下·百色期末）在①②③三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决问题.
问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足____.
（1）求角A；
（2）若A的角平分线AD长为1，且，求的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）解：选①得，.
即，
则（舍）或
所以；
选②得，
即
由，
又，所以；
选③.得，
即，
因为，所以
又，所以.
（2）解：由得，，
即，
由余弦定理，.
解得，
由正弦定理，，
.
所以的值为.
【知识点】运用诱导公式化简求值；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 选①结合正弦定理得出角A的值；
选②结合正弦定理得出，再利用余弦定理变形和三角形中角A的取值范围，进而得出角A的值；
选③结合正弦定理和，得出的值，再利用三角形中角A的取值范围，进而得出角A的值。
（2） 由结合三角形的面积公式和余弦定理，进而得出a的值，再利用正弦定理得出 的值。
19．（2024高一下·百色期末）如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P在侧棱SD上，且．
（1）求证：；
（2）求二面角的大小；
（3）侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
【答案】（1）证明：在正四棱锥中，连接，连接，
则点O是正方形的中心，平面，
因为平面，
则，
又因为 ，平面，，
所以平面，
又因为 平面，
所以.
（2）解：连接，由（1）知，平面，
又因为平面，
则，
所以是二面角的平面角，
令正方形边长为，
则，
所以，
又因为，
所以则，
因此，，
所以二面角的大小为.
（3）解：在SP上取点N，使得，
过N作交SC于点E，连接BN，
由平面，平面，得平面，
由是的中点，得，
因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
因此平面平面，
又因为平面，
则平面，
由（2）知，，
则点是中点，
所以，
所以侧棱上存在一点E，使得平面，.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）连接，连接，利用正四棱锥的结构特征结合线面垂直的性质定理证出.
（2）由（1）知平面，再结合线线垂直确定二面角的平面角，再根据正方形的结构特征和已知条件以及余弦定理、勾股定理，从而得出二面角的大小.
（3）过点作一平面平行于平面，则平面平面，再根据面面平行的性质定理得出线面平行，则平面，再由（2）知，则点是中点，从而得出侧棱上存在一点E，使得平面，.
（1）在正四棱锥中，连接，连接，则点O是正方形的中心，
平面，而平面，则，又 ，
平面，，于是平面，而 平面，
所以.
（2）连接，由（1）知，平面，而平面，则，
于是是二面角的平面角，令正方形边长为，
则，有，又，
则，，
因此，，所以二面角的大小为.
（3）在SP上取点N，使得，过N作交SC于点E，连BN，
由平面，平面，得平面，
由是的中点，得，而平面，平面，得平面，
又平面，因此平面平面，而平面，
则平面，由（2）知，，即点是中点，
于是，所以侧棱上存在一点E，使得平面，.
1 / 1广西壮族自治区百色市2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量调研测试数学试题
1．（2024高一下·百色期末）设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·百色期末）在篮球选修课上，男、女生各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如图所示，试根据折线图通过计算比较本次投篮练习中男、女生的投篮水平，则（　　）
A．男生投篮水平比女生投篮水平高
B．女生投篮水平比男生投篮水平高
C．男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定
D．男女同学投篮命中数的极差相同
3．（2024高一下·百色期末）若，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·百色期末）从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为，“两个球都是白球”的概率为，则“两个球颜色不同”的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·百色期末）设为所在平面内一点，，为的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024高一下·百色期末）如图1，这是雁鸣塔，位于贵州省遵义娄山关景区，塔身巍然挺拔，直指苍穹，登塔可众览娄山好风光．某数学兴趣小组成员为测量雁鸣塔的高度，在点O的同一水平面上的A，B两处进行测量，如图2．已知在A处测得塔顶P的仰角为30°，在B处测得塔顶P的仰角为45°，且米，，则雁鸣塔的高度（　　）
A．30米 B．米 C．米 D．米
7．（2024高一下·百色期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·百色期末）足尖虽未遍及美景，浪漫却从未停止生长，清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味.如右图几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中，，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体Ω，则Ω的外接球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·百色期末）设，，为三个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题是真命题的是（　　）
A．当时，若，则
B．当，时，若，则
C．当，时，，则m，n是异面直线
D．当，时，若，则
10．（2024高一下·百色期末）《数术记遗》记述了积算（即筹算）、珠算、计数等共14种算法．某研究学习小组共7人，他们搜集整理这14种算法的相关资料所花费的时间（单位：min）分别为93，93，88，81，94，91，90．则这组时间数据（　　）
A．极差为13 B．中位数为81 C．平均数为90 D．方差为25
11．（2024高一下·百色期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，且，则下列说法正确的是(　　)
A．
B．面积的最大值为
C．若D为边BC的中点，则AD的最大值为3
D．若为锐角三角形，则其周长的取值范围为
12．（2024高一下·百色期末）双鸭山一中高一年级8名学生某次考试的数学成绩（满分150分）分别为85，90，93，99，101，103，116，130，则这8名学生数学成绩的第75百分位数为　 　
13．（2024高一下·百色期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=，则B=　 　
14．（2024高一下·百色期末）已知在边长为的正三角形中，、分别为边、上的动点，且，则的最大值为　 　．
15．（2024高一下·百色期末）已知，且与的夹角为，
（1）求的值；
（2）求向量与的夹角的余弦值．
16．（2024高一下·百色期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，为的中点，，.
（1）平面；
（2）求三棱锥的体积．
17．（2024高一下·百色期末）某中学参加知识竞赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取800名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）请补全频率分布直方图并估计这800名学生的平均成绩；
（2）采用分层随机抽样的方法从这800名学生中抽取容量为40的样本，再从该样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取2名进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90分的概率.
18．（2024高一下·百色期末）在①②③三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决问题.
问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足____.
（1）求角A；
（2）若A的角平分线AD长为1，且，求的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19．（2024高一下·百色期末）如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P在侧棱SD上，且．
（1）求证：；
（2）求二面角的大小；
（3）侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：因为，
所以，复数在复平面对应点的坐标为.
故答案为：A.
【分析】先根据复数的除法运算法则化简复数z，再结合复数的几何意义得出复数在复平面内对应的点的坐标.
2．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由图可知，，
，
，
所以，，
所以本次投篮练习中男女同学的投篮水平相当，但女同学要比男同学稳定.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和平均数公式、方差公式，再结合图表中的数据计算出，，，，从而比较找出正确的选项.
3．【答案】D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，向量与向量的夹角为，
则在上的投影向量为：
.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和数量积求投影向量的公式，从而得出向量在向量上的投影向量.
4．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：设“两个球都是红球”为事件A，
“两个球都是白球”为事件B，
“两个球颜色不同”为事件C，
则，，且.
因为A，B，C两两互斥，
所以.
故答案为：C.
【分析】设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，则事件A、事件B、事件C两两互斥，且，再根据对立事件求概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而得出“两个球颜色不同”的概率.
5．【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：由题意画出图形，如图所示：
因为，为的中点，
所以，，
所以
.
故答案为：A.
【分析】先画出图形，再由中点的性质和向量共线定理以及平面向量基本定理，从而找出正确的选项.
6．【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设，
依题意，得出，，
在中，由余弦定理得，
则，
整理得，解得，
所以雁鸣塔的高度为30米.
故答案为：A.
【分析】设，利用已知条件，则用表示出，再利用余弦定理列式计算得出雁鸣塔的高度OP的长.
7．【答案】B
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在中，由和正弦定理，
得，
因为，则，
由和余弦定理，
得，，
因此，，
则，
所以的面积为.
故答案为：B.
【分析】由已知条件和正弦定理边化角，从而求出的值，再利用余弦定理求出的值，再根据三角形的面积公式得出的面积.
8．【答案】D
【知识点】棱台的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：依题意，几何体为正四棱台，其底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
则正四棱台高为，
设上、下底面中心分别为，外接球的球心为，半径为，，
圆的半径分别为，
显然，
则，
所以球心在正四棱台外，
则，解得，
所以的外接球的表面积为.
故答案为：D.
【分析】由题意可知几何体为正四棱台，再根据正四棱台和球的结构特征，从而求出封闭几何体Ω外接球的半径，再根据球的表面积公式得出封闭几何体Ω的外接球的表面积.
9．【答案】A,B,D
【知识点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：对于A，因为互相平行的两个平面，一个垂直于一个平面，
则另一个也垂直于这一个平面，故A正确；
对于B，由，，得，
又因为，因此，故B正确；
对于C，因为，，，
则m，n可以是平行直线，也可以是异面直线，故C错误；
对于D，由，得，
又因为，则成立，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据已知条件和空间直线与直线的位置关系、面面垂直的判定定理，从而逐项判断找出真命题的选项.
10．【答案】A,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：因为这组数据从小到大排列为、、、、、、，
所以极差为，故A正确；
因为中位数为，故B错误；
因为平均数为，故C正确；
因为方差为：故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据已知条件和极差、中位数、平均数、方差的公式，从而逐项判断找出正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式；正弦定理；余弦定理；辅助角公式
【解析】【解答】解：A、因为，，所以，解得，又因为，
所以，故A错误；
B、由A可知：的面积为，因为，
所以，当且仅当时等号成立，故，故B错误；
C、在和中，由余弦定理可得：，化简可得，由B知，的最大值为12，故的最大值为3，故C正确；
D、利用正弦定理可得：，则，
故的周长为，
因为为锐角三角形，所以，解得，则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，利用余弦定理化简求值即可判断A；利用三角形面积公式结合基本不等式求解即可判断B；在和中分别用余弦定理化简求值即可判断C；利用正弦定理表示边b，c，结合辅助角公式以及三角函数的性质求解判断即可.
12．【答案】109.5
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：因为，
则这8名学生数学成绩的第75百分位数为.
故答案为：109.5.
【分析】利用已知条件和百分位数求解方法，从而得出这8名学生数学成绩的第75百分位数.
13．【答案】
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：根据正弦定理，
可得，
由已知可得，
整理可得，
所以，在中，.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和正弦定理、余弦定理，则根据三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.
14．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量数量积的坐标表示；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：如图建系，
则、、，
则，
设（），
则（），
则，，
∴，
∴
当时，取最大值．
故答案为：.
【分析】如图建立直角坐标系，设（），则（），再结合数量积的坐标表示和二次函数求最值的方法，从而得出的最大值.
15．【答案】（1）解：由平面向量数量积的定义得：，
故的值为.
（2）解：设向量与的夹角为，
，
又因为，
，
故向量与的夹角的余弦值为.
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）利用数量积的定义得出的值.
（2）利用已知条件和数量积求向量的模的公式以及数量积的运算律，从而求出向量的模，再利用数量积的运算律和数量积求向量夹角公式，从而得出向量与的夹角的余弦值.
（1）由平面向量数量积的定义得，
故的值为，
（2）设向量与的夹角为
，
又，
，
故向量与的夹角的余弦值为.
16．【答案】（1）证明：连接交于点，连接，
因为底面是平行四边形，
所以为的中点，
又因为为的中点，
所以，
又因为平面，平面，
∴平面.
（2）解：因为为的中点，
所以，
所以，
因为平面，，，
则四边形是平行四边形，
所以，
所以，
所以.
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）连接交于点，再连接，则根据中位线定理得到，再利用线线平行证出线面平行，则证出平面.
（2）依题意可得，再根据三棱锥的体积公式求出的值，从而得出三棱锥的体积.
（1）连接交于点，连接，
因为底面是平行四边形，所以为的中点，又为的中点，
所以，又平面，平面，
∴平面；
（2）因为为的中点，
所以，所以，
因为平面，，，是平行四边形，
所以，
所以，
所以.
17．【答案】（1）解：因为成绩落在的频率为
补全的频率分布直方图如图：
这800名学生的平均成绩约为：
55×0.15+65×0.30+75×0.40+85×0.10+95×0.05=71（分）.
（2）解：在抽取的40名学生中，
成绩在内的有（人），
分别记为，，，，
成绩在内的有（人），
分别记为，，
从这6人中随机抽取2人的基本事件有：
，，，，，，，，，，，，，，，共有15种.
记事件“至少有1名学生成绩不低于90分”，
则事件包含的基本事件有：
，，，，，，，，，共9种，
则所求概率为.
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中各小组的频率等于各小组的矩形的面积，从而得出成绩落在的频率，从而补全频率分布直方图，再结合频率分布直方图求平均数的方法，从而可得这800名学生的平均成绩.
（2）根据分层抽样的方法确定成绩在内的人数并标记和成绩在内的人数并标记，再根据古典概型求概率公式得出至少有1名学生成绩不低于90分的概率.
（1）成绩落在的频率为，
补全的频率分布直方图如图：
这800名学生的平均成绩约为；
55×0.15+65×0.30+75×0.40+85×0.10+95×0.05=71（分）；
（2）抽取的40名学生中，成绩在内的有（人），分别记为，，，，成绩在内的有（人），分别记为，，
从这6人中随机抽取2人的基本事件有
，，，，，，，，，，，，，，.共有15种.
记事件“至少有1名学生成绩不低于90分”，则事件包含的基本事件有：
，，，，，，，，，共9种，
所以所求概率为.
18．【答案】（1）解：选①得，.
即，
则（舍）或
所以；
选②得，
即
由，
又，所以；
选③.得，
即，
因为，所以
又，所以.
（2）解：由得，，
即，
由余弦定理，.
解得，
由正弦定理，，
.
所以的值为.
【知识点】运用诱导公式化简求值；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 选①结合正弦定理得出角A的值；
选②结合正弦定理得出，再利用余弦定理变形和三角形中角A的取值范围，进而得出角A的值；
选③结合正弦定理和，得出的值，再利用三角形中角A的取值范围，进而得出角A的值。
（2） 由结合三角形的面积公式和余弦定理，进而得出a的值，再利用正弦定理得出 的值。
19．【答案】（1）证明：在正四棱锥中，连接，连接，
则点O是正方形的中心，平面，
因为平面，
则，
又因为 ，平面，，
所以平面，
又因为 平面，
所以.
（2）解：连接，由（1）知，平面，
又因为平面，
则，
所以是二面角的平面角，
令正方形边长为，
则，
所以，
又因为，
所以则，
因此，，
所以二面角的大小为.
（3）解：在SP上取点N，使得，
过N作交SC于点E，连接BN，
由平面，平面，得平面，
由是的中点，得，
因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
因此平面平面，
又因为平面，
则平面，
由（2）知，，
则点是中点，
所以，
所以侧棱上存在一点E，使得平面，.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】（1）连接，连接，利用正四棱锥的结构特征结合线面垂直的性质定理证出.
（2）由（1）知平面，再结合线线垂直确定二面角的平面角，再根据正方形的结构特征和已知条件以及余弦定理、勾股定理，从而得出二面角的大小.
（3）过点作一平面平行于平面，则平面平面，再根据面面平行的性质定理得出线面平行，则平面，再由（2）知，则点是中点，从而得出侧棱上存在一点E，使得平面，.
（1）在正四棱锥中，连接，连接，则点O是正方形的中心，
平面，而平面，则，又 ，
平面，，于是平面，而 平面，
所以.
（2）连接，由（1）知，平面，而平面，则，
于是是二面角的平面角，令正方形边长为，
则，有，又，
则，，
因此，，所以二面角的大小为.
（3）在SP上取点N，使得，过N作交SC于点E，连BN，
由平面，平面，得平面，
由是的中点，得，而平面，平面，得平面，
又平面，因此平面平面，而平面，
则平面，由（2）知，，即点是中点，
于是，所以侧棱上存在一点E，使得平面，.
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