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广东省梅州市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题
1．（2024高二下·梅州期末）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·梅州期末）已知命题，，则为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2024高二下·梅州期末）若，，则“”是“”的（　　）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．既不充分也不必要 D．充分必要
4．（2024高二下·梅州期末）小明参加学校篮球协会的面试，通过面试的条件是：首先在三分线外投篮，两次机会，命中一次即通过面试；若均未命中，则接着在罚球点处投篮，一次机会，若命中，也可通过面试．已知小明三分线外投篮命中的概率为，在罚球点处投篮命中的概率为，且每次投篮是相互独立的，则其通过面试的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·梅州期末）展开式中的常数项为（　　）
A．6 B．18 C． D．
6．（2024高二下·梅州期末）（　　）
A． B．4 C． D．2
7．（2024高二下·梅州期末）若制作一个容积为的无盖正四棱柱容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，其底面边长为（　　）（）
A．2 B． C． D．4
8．（2024高二下·梅州期末）已知甲、乙两袋中装有大小相同、材质均匀的球，各袋中每个球被取出的概率相等．甲袋中有2个红球和4个蓝球，乙袋中有4个红球和4个蓝球，现从两袋中各取一个球，恰好一红一蓝，则其中红球来自与甲袋的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·梅州期末）某地生产的甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，它们的正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024高二下·梅州期末）某中学为了调查学生热爱阅读是否与学生的性别有关，从1200名女生和1500名男生中通过分层抽样的方式随机抽取180名学生进行问卷调查，将调查的结果得到等高堆积条形图如图所示，则
附：．
a 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
A．可以估计该校学生中热爱阅读的女生人数比男生多
B．用样本的频率估计总体概率，从该校学生中任选1人，其热爱阅读的概率为0.65
C．根据小概率值的独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别有关
D．根据小概率值的独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别无关
11．（2024高二下·梅州期末）已知函数，当且仅当，取得最小值，则下列说法正确的有（　　）
A．的最大值为37
B．的最小值为
C．在处导数等于0
D．当x和y取遍所有实数时，则所能达到的最小值为4
12．（2024高二下·梅州期末）已知离散型随机变量的分布列如下表，则均值　 　．
1 0 -1
P 0.5 0.3 q
13．（2024高二下·梅州期末）写出在处的切线方程为的一个二次函数　 　．
14．（2024高二下·梅州期末）摆线，又称旋轮线、圆滚线，是最速降线问题的解．在数学中，摆线的定义为：一个圆沿一条直线滚动时，圆边界上一定点所形成的轨迹．已知一个半径为2的圆，沿着x轴转动，角速度为，如图，为描述圆边界上从原点出发的点所形成的轨迹，写出其横坐标关于旋转时间的函数表达式　 　；其纵坐标关于旋转时间t的函数表达式　 　．
15．（2024高二下·梅州期末）已知函数，的图象关于直线对称，且相邻两个零点的距离为．
（1）求ω和φ的值；
（2）若，，求的值．
（3）若，使得关于x的不等式成立，求实数m的取值范围．
16．（2024高二下·梅州期末）某网上购物平台为了提高某商品的的销售业绩，对该商品近5个月的月销售单价x（单位：元）与月销量y（单位：个）之间的数据进行了统计，得到如下表数据：
单价x/元 180 190 200 210 220
月销量y/个 57 52 42 32 27
（1）根据以往经验，y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）若该商品的成本为140元/个，根据（1）中回归方程，求该商品月利润最大时的单价为多少元．（结果精确到1元）
参考公式：．参考数据：．
17．（2024高二下·梅州期末）已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）函数在区间上为单调函数，求a的取值范围．
18．（2024高二下·梅州期末）如图，李明从家里出发到公司有两条主干道，在主干道Ⅰ有两个易堵点，处出现堵车的概率为，且当出现堵车时，出现堵车的概率为；当不堵车时，出现堵车的概率为；主干道Ⅱ有三个易堵点，它们出现堵车的事件相互独立，且概率都是．
（1）若李明从家里出发到公司选择了主干道Ⅱ行驶，求其恰遇到一次堵车的概率；
（2）若李明选择了主干道Ⅰ行驶，求其遇到堵车的概率；
（3）已知李明从家里出发到公司，如遇堵车，主干道Ⅰ中每个易堵点平均拥堵为4分钟，主干道Ⅱ的每个易堵点需平均拥堵为3分钟．若按照“平均拥堵时间短的路线是较优出行路线”的标准，则李明从家里出发到公司走哪一条路线较好？
19．（2024高二下·梅州期末）设集合，且P中至少有两个元素，若集合Q满足以下三个条件：
①，且Q中至少有两个元素；
②对于任意，当，都有；
③对于任意，若，则；
则称集合Q为集合P的“耦合集”．
（1）若集合，求集合P1的“耦合集”；
（2）集合，且，若集合存在“耦合集”．
（i）求证：对于任意，有；
（ii）求集合的“耦合集”的元素个数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：易知，则.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次不等式结合补集求得，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：易知为，.
故答案为：D.
【分析】根据命题的否定的定义判断即可.
3．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：取，满足，但，即充分条件不成立，
取，满足，但，即必要性不成立，
则“”是“”的既不充分也不必要条件.
故答案为：C.
【分析】取特值，结合充分、必要条件的定义判断即可.
4．【答案】C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：记事件A为通过面试，
若其未通过面试，则在三分线外投篮没有命中，且在罚球点处投篮也没有命中，
则，故.
故答案为：C.
【分析】利用独立事件概率乘法公式求得，再求通过面试的概率即可.
5．【答案】A
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为，
令，解得，则展开式中的常数项为.
故答案为：A.
【分析】写出展开式的通项，利用通项求解即可.
6．【答案】B
【知识点】运用诱导公式化简求值；辅助角公式
【解析】【解答】解：
.
故答案为：B.
【分析】利用正弦的二倍角公式结合辅助角公式可、诱导公式化简求值即可.
7．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设无盖正四棱柱容器底面边长，因为正四棱柱的容积为，所以高为，
则容器的表面积为，
，
令，解得，
当，，函数单调递减，
当，，函数单调递增，
则当时，取最小值，最小值为，
故底面边长为，所用材料最省.
故答案为：A.
【分析】设无盖正四棱柱容器底面边长，利用容积为求得高为，表示正四棱柱的表面积，求导，利用导数判断函数的单调性求最小值即可.
8．【答案】B
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【解答】解：记事件A=“两袋中各取一个球，恰好一红一蓝”，
事件B=“从两袋中各取一个球，红球来自与甲袋”，
，
则.
故答案为：B.
【分析】先记事件，再根据独立事件概率乘法公式求，结合条件概率公式求解即可.
9．【答案】A,D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：A、根据正态曲线可知：，故A正确；
B、根据正态曲线可知，甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值，则，故B错误；
C，D、根据正态曲线图像可知，所以，故C错误，D正确；
故答案为：AD.
【分析】根据正态曲线的均值、方差和概率分别判断即可.
10．【答案】A,C
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；用频率估计概率；2×2列联表
【解析】【解答】解：易知抽取的女生人数为，
抽取的男生人数为，
女生：热爱阅读的人数为，不热爱阅读的人数为；
男生：热爱阅读的人数为，不热爱阅读的人数为；
A、因为，所以可以估计该校学生中热爱阅读的女生人数比男生多，故A正确；
B、其热爱阅读的频率为，
用样本的频率估计总体概率，从该校学生中任选1人，其热爱阅读的概率为0.63，故B错误；
CD、完善列联表可得：
性别 热爱阅读 合计
是 否
女生 64 16 80
男生 50 50 100
合计 114 66 180
零假设：学生是否热爱阅读与性别无关，
，
根据根据小概率值的独立性检验，可知零假设不成立，
所以可以认为学生是否热爱阅读与性别有关，故C正确，D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据题意分析相应的人数即可判断A；求相应的频率，用频率估计概率分析即可判断B；根据列联表，求，结合独立性检验的思想分析即可判断CD.
11．【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的极值；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：A、
，当时，最大值为，故A错误；
B、
，当且仅当时取等号，故B正确；
C、因为函数，当且仅当，取得最小值，所以在处导数等于0，故C正确；
D、设，所以点的轨迹为直线，
令，则的轨迹方程为，
又表示点与的距离的平方，
又，
，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】由已知可得即可判断A；即可判断B；由已知可得在处导数等于0即可判断C；设，所以点的轨迹为直线，令，则的轨迹方程为，进而求最小值即可判断D.
12．【答案】0.3
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：根据分布列性质可得：，解得，
则.
故答案为：0.3.
【分析】根据分布列是性质结合期望的公式列式求解即可.
13．【答案】（满足均可）.
【知识点】导数的几何意义；导数的加法与减法法则
【解析】【解答】解：设二次函数，，
由题意可得：，取，则.
故答案为：（满足均可）.
【分析】设二次函数，根据题意可得，运算求解即可.
14．【答案】；
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设标记点为，圆心为，作，如图所示：
旋转时间，则，则，
可得，
则.
故答案为：；.
【分析】作辅助线，分析可知，根据图形结合直角三角函数分析求解即可.
15．【答案】（1）解： 函数 ，相邻两个零点的距离为，则周期为，即，解得，
则函数，因为函数的图象关于直线对称，
所以，所以，
所以，又因为，所以；
（2）解：由（1）可得：函数，若，则，即，
因为，所以，
又因为，所以，所以，
则；
（3）解：因为，，
所以，所以，
由，使得关于的不等式成立，所以，则实数的取值范围为．
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；运用诱导公式化简求值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）由题意，利用周期求，由函数图象关于直线对称，求；
（2）由已知可得，进而可求得，利用求值即可；
（3）求得，求实数的取值范围即可.
（1）因为相邻两个零点的距离为，所以周期为，所以，所以，
所以，函数的图象关于直线对称，
所以，所以，
所以，又，所以；
（2）所认，，所以，
所以，因为，所以，
又，所以，
所以，
；
（3）因为，又，
则有，所以，
由，使得关于的不等式成立，
所以，实数的取值范围为．
16．【答案】（1）解：易知，，
则关于的回归直线方程为；
（2）解：设每月的总利润，
因为抛物线的对称轴方程为，
所以该拖把月利润最大时，该商品的单价为196元.
【知识点】线性回归方程；回归分析
【解析】【分析】（1）先求，，再利用公式求，即可得回归直线方程；
（2）由总利润等于销售单价减去进货价再乘以月销售量，易得总利润函数，再利用二次函数的最值求得单价.
（1）由表中数据求得：，，
则
故关于的回归直线方程为.
（2）设每月的总利润，
因为抛物线的对称轴方程为，
所以该拖把月利润最大时，该商品的单价为196元.
17．【答案】（1）解：当时，函数定义域为，，
令，解得；令，解得；
则函数在内单调递减，在内单调递增，
故函数有极小值，无极大值；
（2）解：由（1）知：，且，
由题意可得：在上恒成立，则，
原题意等价于对任意恒成立，
易知在区间上为单调递增函数，
当时，取到最小值1，可得；
当函数在区间上为单调递减函数，则，可得，
原题意等价于对任意恒成立，
可知在区间上为单调递增函数，
当时，取到最大值6，可得；
综上所述：或，
故a的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数判断函数的单调性，求极值即可；
（2）问题转化为于对任意恒成立，令判断其单调性求解即可.
（1）若，则，
可知的定义域为，且，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
所以函数有极小值，无极大值.
（2）因为，且，
若函数在区间上为单调函数，则有：
当函数在区间上为单调递增函数，则，可得，
原题意等价于对任意恒成立，
可知在区间上为单调递增函数，
当时，取到最小值1，可得；
当函数在区间上为单调递减函数，则，可得，
原题意等价于对任意恒成立，
可知在区间上为单调递增函数，
当时，取到最大值6，可得；
综上所述：或，
所以a的取值范围为.
18．【答案】（1）解：若李明选择了主干道Ⅱ行驶，设堵车次数为，由题意可知：随机变量服从二项分布，，
则其恰遇到一次堵车的概率；
（2）解：若李明选择了主干道Ⅰ行驶，设堵车的事件分别为，
可知，
则，
可得，，
，，
则其遇到堵车的概率；
（3）解：若李明选择了主干道Ⅱ行驶，由（1）可知：，所以平均拥堵时间为分钟；
若李明选择了主干道Ⅰ行驶，记堵车次数为，
由（2）可得：
，，，
则，所以平均拥堵时间为分钟；
因为，所以选择了主干道Ⅱ行驶较好.
【知识点】二项分布；条件概率
【解析】【分析】（1）设堵车次数为，由题意可知：随机变量服从二项分布，，结合二项分布分析求解即可；
（2）设相应事件，结合条件概率分析求解即可；
（3）根据（1）（2）中的结论，分别求平均堵车时间，对比分析即可.
（1）若李明选择了主干道Ⅱ行驶，设堵车次数为，
由题意可知：，
所以其恰遇到一次堵车的概率.
（2）若李明选择了主干道Ⅰ行驶，设堵车的事件分别为，
可知，
则，
可得，，
，，
所以其遇到堵车的概率.
（3）若李明选择了主干道Ⅱ行驶，由（1）可知：，
所以平均拥堵时间为分钟；
若李明选择了主干道Ⅰ行驶，记堵车次数为，
由（2）可得：
，，，
则，
所以平均拥堵时间为分钟；
因为，所以选择了主干道Ⅱ行驶较好.
19．【答案】（1）解：由已知条件②得：的可能元素为：6，8，10；
检验可知均满足条件③，所以，
检验可知：或也符合题意，
则或或
（2）解：（ⅰ）因为，，
由已知条件②得的可能元素为：，
由条件③可知，且，
可得，
同理可得，
所以对于任意，有；
（ⅱ）因为，由（ⅰ）可知：，
则，即，
同理可得：，则，
又因为的可能元素为：，
即，
假设还存在其他元素，
因为，可知，
由集合性质可知：或，
则或，
即或，假设不成立，
所以不存在其他元素，所以共5个元素.
【知识点】集合的表示方法；集合中元素的个数问题
【解析】【分析】（1）根据题意直接运算求解即可；
（2）（i）根据②可得的可能元素，再结合③分析证明即可；
（ii）根据题意分析可知，同理可得，结合题意分析求解即可.
（1）由已知条件②得：的可能元素为：6，8，10；
检验可知均满足条件③，所以，
检验可知：或也符合题意，
所以或或.
（2）（ⅰ）因为，，
由已知条件②得的可能元素为：，
由条件③可知，且，
可得，
同理可得，
所以对于任意，有；
（ⅱ）因为，由（ⅰ）可知：，
则，即，
同理可得：，则，
又因为的可能元素为：，
即，
假设还存在其他元素，
因为，可知，
由集合性质可知：或，
则或，
即或，假设不成立，
所以不存在其他元素，所以共5个元素.
1 / 1广东省梅州市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题
1．（2024高二下·梅州期末）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：易知，则.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次不等式结合补集求得，再根据集合的交集运算求解即可.
2．（2024高二下·梅州期末）已知命题，，则为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：易知为，.
故答案为：D.
【分析】根据命题的否定的定义判断即可.
3．（2024高二下·梅州期末）若，，则“”是“”的（　　）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．既不充分也不必要 D．充分必要
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：取，满足，但，即充分条件不成立，
取，满足，但，即必要性不成立，
则“”是“”的既不充分也不必要条件.
故答案为：C.
【分析】取特值，结合充分、必要条件的定义判断即可.
4．（2024高二下·梅州期末）小明参加学校篮球协会的面试，通过面试的条件是：首先在三分线外投篮，两次机会，命中一次即通过面试；若均未命中，则接着在罚球点处投篮，一次机会，若命中，也可通过面试．已知小明三分线外投篮命中的概率为，在罚球点处投篮命中的概率为，且每次投篮是相互独立的，则其通过面试的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：记事件A为通过面试，
若其未通过面试，则在三分线外投篮没有命中，且在罚球点处投篮也没有命中，
则，故.
故答案为：C.
【分析】利用独立事件概率乘法公式求得，再求通过面试的概率即可.
5．（2024高二下·梅州期末）展开式中的常数项为（　　）
A．6 B．18 C． D．
【答案】A
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为，
令，解得，则展开式中的常数项为.
故答案为：A.
【分析】写出展开式的通项，利用通项求解即可.
6．（2024高二下·梅州期末）（　　）
A． B．4 C． D．2
【答案】B
【知识点】运用诱导公式化简求值；辅助角公式
【解析】【解答】解：
.
故答案为：B.
【分析】利用正弦的二倍角公式结合辅助角公式可、诱导公式化简求值即可.
7．（2024高二下·梅州期末）若制作一个容积为的无盖正四棱柱容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，其底面边长为（　　）（）
A．2 B． C． D．4
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设无盖正四棱柱容器底面边长，因为正四棱柱的容积为，所以高为，
则容器的表面积为，
，
令，解得，
当，，函数单调递减，
当，，函数单调递增，
则当时，取最小值，最小值为，
故底面边长为，所用材料最省.
故答案为：A.
【分析】设无盖正四棱柱容器底面边长，利用容积为求得高为，表示正四棱柱的表面积，求导，利用导数判断函数的单调性求最小值即可.
8．（2024高二下·梅州期末）已知甲、乙两袋中装有大小相同、材质均匀的球，各袋中每个球被取出的概率相等．甲袋中有2个红球和4个蓝球，乙袋中有4个红球和4个蓝球，现从两袋中各取一个球，恰好一红一蓝，则其中红球来自与甲袋的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【解答】解：记事件A=“两袋中各取一个球，恰好一红一蓝”，
事件B=“从两袋中各取一个球，红球来自与甲袋”，
，
则.
故答案为：B.
【分析】先记事件，再根据独立事件概率乘法公式求，结合条件概率公式求解即可.
9．（2024高二下·梅州期末）某地生产的甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，它们的正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：A、根据正态曲线可知：，故A正确；
B、根据正态曲线可知，甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值，则，故B错误；
C，D、根据正态曲线图像可知，所以，故C错误，D正确；
故答案为：AD.
【分析】根据正态曲线的均值、方差和概率分别判断即可.
10．（2024高二下·梅州期末）某中学为了调查学生热爱阅读是否与学生的性别有关，从1200名女生和1500名男生中通过分层抽样的方式随机抽取180名学生进行问卷调查，将调查的结果得到等高堆积条形图如图所示，则
附：．
a 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
A．可以估计该校学生中热爱阅读的女生人数比男生多
B．用样本的频率估计总体概率，从该校学生中任选1人，其热爱阅读的概率为0.65
C．根据小概率值的独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别有关
D．根据小概率值的独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别无关
【答案】A,C
【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；用频率估计概率；2×2列联表
【解析】【解答】解：易知抽取的女生人数为，
抽取的男生人数为，
女生：热爱阅读的人数为，不热爱阅读的人数为；
男生：热爱阅读的人数为，不热爱阅读的人数为；
A、因为，所以可以估计该校学生中热爱阅读的女生人数比男生多，故A正确；
B、其热爱阅读的频率为，
用样本的频率估计总体概率，从该校学生中任选1人，其热爱阅读的概率为0.63，故B错误；
CD、完善列联表可得：
性别 热爱阅读 合计
是 否
女生 64 16 80
男生 50 50 100
合计 114 66 180
零假设：学生是否热爱阅读与性别无关，
，
根据根据小概率值的独立性检验，可知零假设不成立，
所以可以认为学生是否热爱阅读与性别有关，故C正确，D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据题意分析相应的人数即可判断A；求相应的频率，用频率估计概率分析即可判断B；根据列联表，求，结合独立性检验的思想分析即可判断CD.
11．（2024高二下·梅州期末）已知函数，当且仅当，取得最小值，则下列说法正确的有（　　）
A．的最大值为37
B．的最小值为
C．在处导数等于0
D．当x和y取遍所有实数时，则所能达到的最小值为4
【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的极值；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：A、
，当时，最大值为，故A错误；
B、
，当且仅当时取等号，故B正确；
C、因为函数，当且仅当，取得最小值，所以在处导数等于0，故C正确；
D、设，所以点的轨迹为直线，
令，则的轨迹方程为，
又表示点与的距离的平方，
又，
，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】由已知可得即可判断A；即可判断B；由已知可得在处导数等于0即可判断C；设，所以点的轨迹为直线，令，则的轨迹方程为，进而求最小值即可判断D.
12．（2024高二下·梅州期末）已知离散型随机变量的分布列如下表，则均值　 　．
1 0 -1
P 0.5 0.3 q
【答案】0.3
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：根据分布列性质可得：，解得，
则.
故答案为：0.3.
【分析】根据分布列是性质结合期望的公式列式求解即可.
13．（2024高二下·梅州期末）写出在处的切线方程为的一个二次函数　 　．
【答案】（满足均可）.
【知识点】导数的几何意义；导数的加法与减法法则
【解析】【解答】解：设二次函数，，
由题意可得：，取，则.
故答案为：（满足均可）.
【分析】设二次函数，根据题意可得，运算求解即可.
14．（2024高二下·梅州期末）摆线，又称旋轮线、圆滚线，是最速降线问题的解．在数学中，摆线的定义为：一个圆沿一条直线滚动时，圆边界上一定点所形成的轨迹．已知一个半径为2的圆，沿着x轴转动，角速度为，如图，为描述圆边界上从原点出发的点所形成的轨迹，写出其横坐标关于旋转时间的函数表达式　 　；其纵坐标关于旋转时间t的函数表达式　 　．
【答案】；
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设标记点为，圆心为，作，如图所示：
旋转时间，则，则，
可得，
则.
故答案为：；.
【分析】作辅助线，分析可知，根据图形结合直角三角函数分析求解即可.
15．（2024高二下·梅州期末）已知函数，的图象关于直线对称，且相邻两个零点的距离为．
（1）求ω和φ的值；
（2）若，，求的值．
（3）若，使得关于x的不等式成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解： 函数 ，相邻两个零点的距离为，则周期为，即，解得，
则函数，因为函数的图象关于直线对称，
所以，所以，
所以，又因为，所以；
（2）解：由（1）可得：函数，若，则，即，
因为，所以，
又因为，所以，所以，
则；
（3）解：因为，，
所以，所以，
由，使得关于的不等式成立，所以，则实数的取值范围为．
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；运用诱导公式化简求值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）由题意，利用周期求，由函数图象关于直线对称，求；
（2）由已知可得，进而可求得，利用求值即可；
（3）求得，求实数的取值范围即可.
（1）因为相邻两个零点的距离为，所以周期为，所以，所以，
所以，函数的图象关于直线对称，
所以，所以，
所以，又，所以；
（2）所认，，所以，
所以，因为，所以，
又，所以，
所以，
；
（3）因为，又，
则有，所以，
由，使得关于的不等式成立，
所以，实数的取值范围为．
16．（2024高二下·梅州期末）某网上购物平台为了提高某商品的的销售业绩，对该商品近5个月的月销售单价x（单位：元）与月销量y（单位：个）之间的数据进行了统计，得到如下表数据：
单价x/元 180 190 200 210 220
月销量y/个 57 52 42 32 27
（1）根据以往经验，y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）若该商品的成本为140元/个，根据（1）中回归方程，求该商品月利润最大时的单价为多少元．（结果精确到1元）
参考公式：．参考数据：．
【答案】（1）解：易知，，
则关于的回归直线方程为；
（2）解：设每月的总利润，
因为抛物线的对称轴方程为，
所以该拖把月利润最大时，该商品的单价为196元.
【知识点】线性回归方程；回归分析
【解析】【分析】（1）先求，，再利用公式求，即可得回归直线方程；
（2）由总利润等于销售单价减去进货价再乘以月销售量，易得总利润函数，再利用二次函数的最值求得单价.
（1）由表中数据求得：，，
则
故关于的回归直线方程为.
（2）设每月的总利润，
因为抛物线的对称轴方程为，
所以该拖把月利润最大时，该商品的单价为196元.
17．（2024高二下·梅州期末）已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）函数在区间上为单调函数，求a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，函数定义域为，，
令，解得；令，解得；
则函数在内单调递减，在内单调递增，
故函数有极小值，无极大值；
（2）解：由（1）知：，且，
由题意可得：在上恒成立，则，
原题意等价于对任意恒成立，
易知在区间上为单调递增函数，
当时，取到最小值1，可得；
当函数在区间上为单调递减函数，则，可得，
原题意等价于对任意恒成立，
可知在区间上为单调递增函数，
当时，取到最大值6，可得；
综上所述：或，
故a的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数判断函数的单调性，求极值即可；
（2）问题转化为于对任意恒成立，令判断其单调性求解即可.
（1）若，则，
可知的定义域为，且，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
所以函数有极小值，无极大值.
（2）因为，且，
若函数在区间上为单调函数，则有：
当函数在区间上为单调递增函数，则，可得，
原题意等价于对任意恒成立，
可知在区间上为单调递增函数，
当时，取到最小值1，可得；
当函数在区间上为单调递减函数，则，可得，
原题意等价于对任意恒成立，
可知在区间上为单调递增函数，
当时，取到最大值6，可得；
综上所述：或，
所以a的取值范围为.
18．（2024高二下·梅州期末）如图，李明从家里出发到公司有两条主干道，在主干道Ⅰ有两个易堵点，处出现堵车的概率为，且当出现堵车时，出现堵车的概率为；当不堵车时，出现堵车的概率为；主干道Ⅱ有三个易堵点，它们出现堵车的事件相互独立，且概率都是．
（1）若李明从家里出发到公司选择了主干道Ⅱ行驶，求其恰遇到一次堵车的概率；
（2）若李明选择了主干道Ⅰ行驶，求其遇到堵车的概率；
（3）已知李明从家里出发到公司，如遇堵车，主干道Ⅰ中每个易堵点平均拥堵为4分钟，主干道Ⅱ的每个易堵点需平均拥堵为3分钟．若按照“平均拥堵时间短的路线是较优出行路线”的标准，则李明从家里出发到公司走哪一条路线较好？
【答案】（1）解：若李明选择了主干道Ⅱ行驶，设堵车次数为，由题意可知：随机变量服从二项分布，，
则其恰遇到一次堵车的概率；
（2）解：若李明选择了主干道Ⅰ行驶，设堵车的事件分别为，
可知，
则，
可得，，
，，
则其遇到堵车的概率；
（3）解：若李明选择了主干道Ⅱ行驶，由（1）可知：，所以平均拥堵时间为分钟；
若李明选择了主干道Ⅰ行驶，记堵车次数为，
由（2）可得：
，，，
则，所以平均拥堵时间为分钟；
因为，所以选择了主干道Ⅱ行驶较好.
【知识点】二项分布；条件概率
【解析】【分析】（1）设堵车次数为，由题意可知：随机变量服从二项分布，，结合二项分布分析求解即可；
（2）设相应事件，结合条件概率分析求解即可；
（3）根据（1）（2）中的结论，分别求平均堵车时间，对比分析即可.
（1）若李明选择了主干道Ⅱ行驶，设堵车次数为，
由题意可知：，
所以其恰遇到一次堵车的概率.
（2）若李明选择了主干道Ⅰ行驶，设堵车的事件分别为，
可知，
则，
可得，，
，，
所以其遇到堵车的概率.
（3）若李明选择了主干道Ⅱ行驶，由（1）可知：，
所以平均拥堵时间为分钟；
若李明选择了主干道Ⅰ行驶，记堵车次数为，
由（2）可得：
，，，
则，
所以平均拥堵时间为分钟；
因为，所以选择了主干道Ⅱ行驶较好.
19．（2024高二下·梅州期末）设集合，且P中至少有两个元素，若集合Q满足以下三个条件：
①，且Q中至少有两个元素；
②对于任意，当，都有；
③对于任意，若，则；
则称集合Q为集合P的“耦合集”．
（1）若集合，求集合P1的“耦合集”；
（2）集合，且，若集合存在“耦合集”．
（i）求证：对于任意，有；
（ii）求集合的“耦合集”的元素个数．
【答案】（1）解：由已知条件②得：的可能元素为：6，8，10；
检验可知均满足条件③，所以，
检验可知：或也符合题意，
则或或
（2）解：（ⅰ）因为，，
由已知条件②得的可能元素为：，
由条件③可知，且，
可得，
同理可得，
所以对于任意，有；
（ⅱ）因为，由（ⅰ）可知：，
则，即，
同理可得：，则，
又因为的可能元素为：，
即，
假设还存在其他元素，
因为，可知，
由集合性质可知：或，
则或，
即或，假设不成立，
所以不存在其他元素，所以共5个元素.
【知识点】集合的表示方法；集合中元素的个数问题
【解析】【分析】（1）根据题意直接运算求解即可；
（2）（i）根据②可得的可能元素，再结合③分析证明即可；
（ii）根据题意分析可知，同理可得，结合题意分析求解即可.
（1）由已知条件②得：的可能元素为：6，8，10；
检验可知均满足条件③，所以，
检验可知：或也符合题意，
所以或或.
（2）（ⅰ）因为，，
由已知条件②得的可能元素为：，
由条件③可知，且，
可得，
同理可得，
所以对于任意，有；
（ⅱ）因为，由（ⅰ）可知：，
则，即，
同理可得：，则，
又因为的可能元素为：，
即，
假设还存在其他元素，
因为，可知，
由集合性质可知：或，
则或，
即或，假设不成立，
所以不存在其他元素，所以共5个元素.
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