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广东省汕尾市2023-2024学年高二下学期7月期末教学质量检测数学试题
1．（2024高二下·汕尾期末）已知，则的虚部为（　　）
A．1 B．2 C． D．0
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，可得，则的虚部为0.
故答案为：D.
【分析】根据复数代数形式的除法运算求出，判断即可.
2．（2024高二下·汕尾期末）已知是三角形一内角，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：是三角形一内角，若， 因为，所以，
由，可得，则，
因为，所以，解得.
故答案为：A.
【分析】由题意判断的范围，再利用同角三角函数的关系求解即可.
3．（2024高二下·汕尾期末）集合，，是的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由，可得，则集合，
由，可得，则集合，
易知真包含于，则是的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据对数函数有意义求得集合，根据幂函数的性质求得集合，再判断两集合的关系，结合充分、必要条件的定义判断即可.
4．（2024高二下·汕尾期末）设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列说法对的是（　　）
A．若，，，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，，则
【答案】D
【知识点】空间点、线、面的位置
【解析】【解答】解：对于A，由，，，，
只有当直线与相交时，可得，所以A不正确；
对于B，由，，，
则与平行、相交或异面，所以B错误；
对于C，由，，，
则，所以C错误；
对于D，由，，可得，
又因为，所以，所以D正确.
故答案为：D.
【分析】根据题意结合两直线的位置关系、线面垂直的判定定理、线面垂直的判定定理，从而找出说法正确的选项.
5．（2024高二下·汕尾期末）在的展开式中，的系数是（　　）
A． B． C．60 D．80
【答案】C
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为：，
令，解得，
则，即的系数为60.
故答案为：C.
【分析】写出展开式的通项，令求解即可.
6．（2024高二下·汕尾期末）某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（　　）
参考数据：，，．
A．455 B．2718 C．6346 D．9545
【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解： 由数学成绩X近似服从正态分布， 可得，
则
即数学成绩位于[80，88]的人数约为.
故答案为：B.
【分析】根据正态分布曲线的特点求解即可.
7．（2024高二下·汕尾期末）某校高二年级开展课外实践活动，数学建模课题组的学生选择测量凤山妈祖石像的高度．如图，为测量石像的高度，在距离平台米高的处测得石像顶的仰角为；后退18米到达距离平台米高的处测得石像顶的仰角为，则石像的高度为（　　）米．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：易知，，，，
则，，
则，
，即石像的高度为米.
故答案为：A.
【分析】由题意可得，再由锐角三角函数计算即可.
8．（2024高二下·汕尾期末）是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆的标准方程为，
易知圆心，半径，
点到直线的距离，显然，
由于切圆于点，则，
四边形的面积，
当且仅当直线垂直于直线时取等号，
则四边形面积的最小值为.
故答案为：B.
【分析】由题意，结合切线长定理列出四边形面积的函数关系，再借助几何意义求最小值即可.
9．（2024高二下·汕尾期末）函数的图象在点处的切线平行于直线，则点的坐标可以为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
由题意可得：，解得，
，
故点的坐标为和.
故答案为：AC.
【分析】求导，由题意列方程，求得点的横坐标，进而求得点的坐标.
10．（2024高二下·汕尾期末），若在上的投影向量为，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：A、，
在上的投影向量为，则，解得，故A正确；
B、由A选项可知：，，易知，故B错误；
C、，则，故C错误；
D、，则，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由投影向量的定义计算即可判断A；根据共线向量的线性表示即可判断B；根据垂直的坐标表示即可判断C；根据向量模的坐标表示即可判断D.
11．（2024高二下·汕尾期末）端午节期间，某城市举行龙舟比赛，龙舟比赛途经桥、桥、桥、桥及桥，活动期间在5座桥边各设置1个志愿者服务点．现有5名志愿者参加其中三座桥一桥、桥及桥的服务，要求这三个服务点都有人参加，记事件A为“甲在桥服务点”，事件为“乙和丙分到一起”，则（　　）
A．事件A与事件相互独立 B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用；条件概率
【解析】【解答】解：A、表示甲在桥服务点，乙和丙分到一起，
若甲单独在桥服务点，乙和丙分到一起，且5名志愿者分为，则有种情况，
若甲单独在桥服务点，乙和丙分到一起，且5名志愿者分为，
从剩余2人中选择1人和乙，丙一起，有种情况，
若甲和另外一个人在桥服务点，先从除了乙，丙外的剩余2名志愿者选1人，再进行排列，则有种情况，
当甲和另外2人在桥服务点，则一定是和乙，丙一起，剩余2人进行全排列，共有种情况，
综上，，，
因为，故事件A与事件相互独立，故A正确；
B、5名志愿者参加其中三座桥，桥、桥及桥的服务，
要求这三个服务点都有人参加，可以分为和，
其中分为时，共有种情况，
其中分为时，共有种情况，
故共有种，
其中甲独自在桥服务点，此时剩余4名志愿者可以分为和，
当剩余4名志愿者分为时，有种情况，
当剩余4名志愿者分为时，有种情况，
当甲和另外一个人在桥服务点，从剩余4名志愿者先选1人，剩余3人，分为两组，故有种情况，
当甲和另外2人在桥服务点，从剩余4名志愿者先选2人，剩余2人，分为两组，
故有种情况，
故，
所以，故B正确；
C、乙和丙分到一起，当5名志愿者分为时，有种情况，
当5名志愿者分为时，先从剩余3名志愿者选择1人和乙，丙一起，再将剩余2人进行全排列，有种情况，
故，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】求出事件包含的情况数，得到，根据即可判断A；分和两种情况，求出5名志愿者参加其中三座桥的情况数，再得到甲在桥服务点的情况数，得到概率即可判断B；求出乙和丙分到一起的情况数，得到概率即可判断C；根据求出条件概率即可判断D.
12．（2024高二下·汕尾期末）已知是等比数列，若，则　 　．
【答案】2
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：数列为等比数列， 若， 则，即，
故.
故答案为：2.
【分析】根据等比数列的通项公式求解即可.
13．（2024高二下·汕尾期末）已知双曲线的对称中心是原点，对称轴是坐标轴，若轴上一点到双曲线的渐近线距离为，则的离心率为　 　．
【答案】或
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：若焦点在轴上，设双曲线方程为，
则渐近线方程为，即，则点到双曲线的渐近线距离，即，即，则，
故离心率；
若焦点在轴上，设双曲线方程为，则渐近线方程为，
即，则点到双曲线的渐近线距离，
即，则离心率，
综上可得双曲线的离心率为或.
故答案为：或.
【分析】分焦点在轴、轴两种情况讨论，分别表示出渐近线，利用点到直线的距离得到、的关系，求离心率即可.
14．（2024高二下·汕尾期末）若函数有两个零点，则实数的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数有两个零点，
则方程有两个解，即有两个解，
令，函数为过点的直线，
若，则直线与曲线只有一个交点，不符合题意，
则，先求过点曲线的切线，设切点为，
由，则，切线方程为，
将点代入方程，，得，
因为，而在上单调递增，
在上单调递减，所以方程只有一解，为，
故过点曲线的切线斜率为，
若直线与曲线有两个交点，则，
此时函数有两个零点.
故答案为：.
【分析】将函数零点转化为的交点问题求解即可.
15．（2024高二下·汕尾期末）已知数列是公差为2的等差数列，且满足，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列的前项和为，求使不等式成立的的最小值．
【答案】（1）解：等差数列的公差为2，因为，，成等比数列，所以，解得，
则数列的通项公式是；
（2）解：由（1）可得：，不等式，即，
即，而，解得，又因为，所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质；数列与不等式的综合；等比中项
【解析】【分析】（1）由题意列式求数列的首项即可得数列的通项公式即可；
（2）求出数列的前项和，再列式解不等式即可.
（1）等差数列的公差为2，由，，成等比数列，得，解得，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，由，得，
即，而，解得，又，所以.
16．（2024高二下·汕尾期末）已知动点P到直线的距离比到点距离多2个单位长度，设动点P的轨迹为E．
（1）求E的方程；
（2）已知过点的直线l交E于A，B两点，且（O为坐标原点）的面积为32，求l的方程．
【答案】（1）解：因为动点P到直线的距离比到点距离多2个单位长度，
所以动点P到直线的距离和到点距离相等，
曲线E是以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线E的方程为．
（2）解：设，
设直线l的方程为，
联立，消去x得，，
所以，
，
解得
所以直线l的方程为或．
【知识点】抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系.
（1）根据题意分析可知：动点P到直线的距离和到点距离相等，根据抛物线的定义找出焦点坐标和准线方程，求出p的值，进而求出曲线E的方程；
（2）设直线l的方程为，联立抛物线方程消去x，再利用韦达定理可得：，利用弦长公式再结合面积公式可得：，解方程可求出t的值，进而求出直线l的方程.
17．（2024高二下·汕尾期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点．
（1）证明：平面．
（2）若平面与平面的夹角为，求的长．
【答案】（1）证明：连接BD交AC于点O，连接OE，如图所示：
因为O为BD的中点，E为PD的中点，所以．
又因为平面AEC，平面AEC，所以平面AEC；
（2）解：因为平面ABCD，平面ABCD，所以，，
又因为，所以PA，AD，AB两两互相垂直，
以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系，如图所示：
设，则，，，，，
，，
显然为平面DAE的一个法向量，
设平面ACE的一个法向量为，则，即
令，得，
因为平面DAE与平面AEC的夹角为，所以，解得，
则·
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量
【解析】【分析】（1）证明，再由线面平行的判定定理得证；
（2）由PA，AD，AB两两互相垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
（1）连接BD交AC于点O，连接OE，如图，
因为O为BD的中点，E为PD的中点，
所以．
又平面AEC，平面AEC，
所以平面AEC．
（2）因为平面ABCD，AD，平面ABCD，
所以，．
又，所以PA，AD，AB两两互相垂直，
故以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系如图所示，
设，则，，，，，
所以，．
显然为平面DAE的一个法向量．
设平面ACE的一个法向量为，
则，即
令，得，
因为平面DAE与平面AEC的夹角为，
所以，
解得或（舍去），即·
18．（2024高二下·汕尾期末）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到样本的频率分布直方图如图．
（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；
（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
【答案】解：（1）质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)；
（2）重量超过505克的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件；
＝，
＝，
＝，
X的分布列为
X 0 1 2
P
（3）根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝.
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0，1，2，
且Y～B，
，
＝，
，
.
Y的分布列为
Y 0 1 2
P
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；二项分布
【解析】【分析】（1）根据 频率分布直方图求解即可；
（2）根据超几何分布及古典概型求X的分布列即可；
（3）分析Y服从二项分布，再利用公式求解即可．
19．（2024高二下·汕尾期末）已知函数（为正实数）.
（1）讨论函数极值点的个数；
（2）若有两个不同的极值点.
（i）证明：；
（ii）设恰有三个不同的零点.若，且，证明：.
【答案】（1）解：函数定义域为，，
设，因为开口向下，，所以当时，恒成立，即，
所以在上单调递减，无极值点；
当时，令，解得，且，
则函数在上单调递增；
在和上单调递减，有两个极值点，
综上，当时，无极值点；
当时，有两个极值点；
（2）（i）证明：由题意及（1）可知，且，
又因为，
所以；
（ii）证明：由（1）知，，，
由及（i）知，所以，
若证，即证，
不妨设，则，
由得，
要证，只需证，
再两边去对数得，
即，
即证，
令，则，
再令，则，
所以在内单调递减，
又，则在单调递减，
由得，且，
所以，即，
综上，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导后利用导数等于零，结合二次函数的性质判断极值点情况即可；
（2）（i）由（1）和对数的运算性质得到，可证明；（ii）由（1）和（i）可得，问题转化为即证，再对已知等式变形为，问题进一步转化为即证，然后构造函数求导，再对导数的分子构造函数求导分析单调性即可证明.
（1），
设，
因为开口向下，，
所以当时，恒成立，即，
所以在上单调递减，无极值点；
当时，令，解得，且，
所以在上单调递增；在和上单调递减；此时有两个极值点，
综上，当时，无极值点；
当时，有两个极值点.
（2）（i）证明：由题意及（1）可知，且，
又因为，
所以.
（ii）证明：由（1）知，，，
由及（i）知，
所以.
若证，即证，
不妨设，则，
由得，
要证，只需证，
再两边去对数得，
即，
即证，
令，则，
再令，则，
所以在内单调递减，
又，则在单调递减，
由得，且，
所以，即，
综上，.
1 / 1广东省汕尾市2023-2024学年高二下学期7月期末教学质量检测数学试题
1．（2024高二下·汕尾期末）已知，则的虚部为（　　）
A．1 B．2 C． D．0
2．（2024高二下·汕尾期末）已知是三角形一内角，若，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·汕尾期末）集合，，是的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024高二下·汕尾期末）设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列说法对的是（　　）
A．若，，，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，，则
5．（2024高二下·汕尾期末）在的展开式中，的系数是（　　）
A． B． C．60 D．80
6．（2024高二下·汕尾期末）某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（　　）
参考数据：，，．
A．455 B．2718 C．6346 D．9545
7．（2024高二下·汕尾期末）某校高二年级开展课外实践活动，数学建模课题组的学生选择测量凤山妈祖石像的高度．如图，为测量石像的高度，在距离平台米高的处测得石像顶的仰角为；后退18米到达距离平台米高的处测得石像顶的仰角为，则石像的高度为（　　）米．
A． B． C． D．
8．（2024高二下·汕尾期末）是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·汕尾期末）函数的图象在点处的切线平行于直线，则点的坐标可以为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024高二下·汕尾期末），若在上的投影向量为，则（　　）
A． B．
C． D．
11．（2024高二下·汕尾期末）端午节期间，某城市举行龙舟比赛，龙舟比赛途经桥、桥、桥、桥及桥，活动期间在5座桥边各设置1个志愿者服务点．现有5名志愿者参加其中三座桥一桥、桥及桥的服务，要求这三个服务点都有人参加，记事件A为“甲在桥服务点”，事件为“乙和丙分到一起”，则（　　）
A．事件A与事件相互独立 B．
C． D．
12．（2024高二下·汕尾期末）已知是等比数列，若，则　 　．
13．（2024高二下·汕尾期末）已知双曲线的对称中心是原点，对称轴是坐标轴，若轴上一点到双曲线的渐近线距离为，则的离心率为　 　．
14．（2024高二下·汕尾期末）若函数有两个零点，则实数的取值范围是　 　．
15．（2024高二下·汕尾期末）已知数列是公差为2的等差数列，且满足，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列的前项和为，求使不等式成立的的最小值．
16．（2024高二下·汕尾期末）已知动点P到直线的距离比到点距离多2个单位长度，设动点P的轨迹为E．
（1）求E的方程；
（2）已知过点的直线l交E于A，B两点，且（O为坐标原点）的面积为32，求l的方程．
17．（2024高二下·汕尾期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点．
（1）证明：平面．
（2）若平面与平面的夹角为，求的长．
18．（2024高二下·汕尾期末）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到样本的频率分布直方图如图．
（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；
（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
19．（2024高二下·汕尾期末）已知函数（为正实数）.
（1）讨论函数极值点的个数；
（2）若有两个不同的极值点.
（i）证明：；
（ii）设恰有三个不同的零点.若，且，证明：.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，可得，则的虚部为0.
故答案为：D.
【分析】根据复数代数形式的除法运算求出，判断即可.
2．【答案】A
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：是三角形一内角，若， 因为，所以，
由，可得，则，
因为，所以，解得.
故答案为：A.
【分析】由题意判断的范围，再利用同角三角函数的关系求解即可.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：由，可得，则集合，
由，可得，则集合，
易知真包含于，则是的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据对数函数有意义求得集合，根据幂函数的性质求得集合，再判断两集合的关系，结合充分、必要条件的定义判断即可.
4．【答案】D
【知识点】空间点、线、面的位置
【解析】【解答】解：对于A，由，，，，
只有当直线与相交时，可得，所以A不正确；
对于B，由，，，
则与平行、相交或异面，所以B错误；
对于C，由，，，
则，所以C错误；
对于D，由，，可得，
又因为，所以，所以D正确.
故答案为：D.
【分析】根据题意结合两直线的位置关系、线面垂直的判定定理、线面垂直的判定定理，从而找出说法正确的选项.
5．【答案】C
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为：，
令，解得，
则，即的系数为60.
故答案为：C.
【分析】写出展开式的通项，令求解即可.
6．【答案】B
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解： 由数学成绩X近似服从正态分布， 可得，
则
即数学成绩位于[80，88]的人数约为.
故答案为：B.
【分析】根据正态分布曲线的特点求解即可.
7．【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：易知，，，，
则，，
则，
，即石像的高度为米.
故答案为：A.
【分析】由题意可得，再由锐角三角函数计算即可.
8．【答案】B
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆的标准方程为，
易知圆心，半径，
点到直线的距离，显然，
由于切圆于点，则，
四边形的面积，
当且仅当直线垂直于直线时取等号，
则四边形面积的最小值为.
故答案为：B.
【分析】由题意，结合切线长定理列出四边形面积的函数关系，再借助几何意义求最小值即可.
9．【答案】A,C
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
由题意可得：，解得，
，
故点的坐标为和.
故答案为：AC.
【分析】求导，由题意列方程，求得点的横坐标，进而求得点的坐标.
10．【答案】A,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：A、，
在上的投影向量为，则，解得，故A正确；
B、由A选项可知：，，易知，故B错误；
C、，则，故C错误；
D、，则，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由投影向量的定义计算即可判断A；根据共线向量的线性表示即可判断B；根据垂直的坐标表示即可判断C；根据向量模的坐标表示即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用；条件概率
【解析】【解答】解：A、表示甲在桥服务点，乙和丙分到一起，
若甲单独在桥服务点，乙和丙分到一起，且5名志愿者分为，则有种情况，
若甲单独在桥服务点，乙和丙分到一起，且5名志愿者分为，
从剩余2人中选择1人和乙，丙一起，有种情况，
若甲和另外一个人在桥服务点，先从除了乙，丙外的剩余2名志愿者选1人，再进行排列，则有种情况，
当甲和另外2人在桥服务点，则一定是和乙，丙一起，剩余2人进行全排列，共有种情况，
综上，，，
因为，故事件A与事件相互独立，故A正确；
B、5名志愿者参加其中三座桥，桥、桥及桥的服务，
要求这三个服务点都有人参加，可以分为和，
其中分为时，共有种情况，
其中分为时，共有种情况，
故共有种，
其中甲独自在桥服务点，此时剩余4名志愿者可以分为和，
当剩余4名志愿者分为时，有种情况，
当剩余4名志愿者分为时，有种情况，
当甲和另外一个人在桥服务点，从剩余4名志愿者先选1人，剩余3人，分为两组，故有种情况，
当甲和另外2人在桥服务点，从剩余4名志愿者先选2人，剩余2人，分为两组，
故有种情况，
故，
所以，故B正确；
C、乙和丙分到一起，当5名志愿者分为时，有种情况，
当5名志愿者分为时，先从剩余3名志愿者选择1人和乙，丙一起，再将剩余2人进行全排列，有种情况，
故，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】求出事件包含的情况数，得到，根据即可判断A；分和两种情况，求出5名志愿者参加其中三座桥的情况数，再得到甲在桥服务点的情况数，得到概率即可判断B；求出乙和丙分到一起的情况数，得到概率即可判断C；根据求出条件概率即可判断D.
12．【答案】2
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：数列为等比数列， 若， 则，即，
故.
故答案为：2.
【分析】根据等比数列的通项公式求解即可.
13．【答案】或
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：若焦点在轴上，设双曲线方程为，
则渐近线方程为，即，则点到双曲线的渐近线距离，即，即，则，
故离心率；
若焦点在轴上，设双曲线方程为，则渐近线方程为，
即，则点到双曲线的渐近线距离，
即，则离心率，
综上可得双曲线的离心率为或.
故答案为：或.
【分析】分焦点在轴、轴两种情况讨论，分别表示出渐近线，利用点到直线的距离得到、的关系，求离心率即可.
14．【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数有两个零点，
则方程有两个解，即有两个解，
令，函数为过点的直线，
若，则直线与曲线只有一个交点，不符合题意，
则，先求过点曲线的切线，设切点为，
由，则，切线方程为，
将点代入方程，，得，
因为，而在上单调递增，
在上单调递减，所以方程只有一解，为，
故过点曲线的切线斜率为，
若直线与曲线有两个交点，则，
此时函数有两个零点.
故答案为：.
【分析】将函数零点转化为的交点问题求解即可.
15．【答案】（1）解：等差数列的公差为2，因为，，成等比数列，所以，解得，
则数列的通项公式是；
（2）解：由（1）可得：，不等式，即，
即，而，解得，又因为，所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质；数列与不等式的综合；等比中项
【解析】【分析】（1）由题意列式求数列的首项即可得数列的通项公式即可；
（2）求出数列的前项和，再列式解不等式即可.
（1）等差数列的公差为2，由，，成等比数列，得，解得，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，由，得，
即，而，解得，又，所以.
16．【答案】（1）解：因为动点P到直线的距离比到点距离多2个单位长度，
所以动点P到直线的距离和到点距离相等，
曲线E是以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线E的方程为．
（2）解：设，
设直线l的方程为，
联立，消去x得，，
所以，
，
解得
所以直线l的方程为或．
【知识点】抛物线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系.
（1）根据题意分析可知：动点P到直线的距离和到点距离相等，根据抛物线的定义找出焦点坐标和准线方程，求出p的值，进而求出曲线E的方程；
（2）设直线l的方程为，联立抛物线方程消去x，再利用韦达定理可得：，利用弦长公式再结合面积公式可得：，解方程可求出t的值，进而求出直线l的方程.
17．【答案】（1）证明：连接BD交AC于点O，连接OE，如图所示：
因为O为BD的中点，E为PD的中点，所以．
又因为平面AEC，平面AEC，所以平面AEC；
（2）解：因为平面ABCD，平面ABCD，所以，，
又因为，所以PA，AD，AB两两互相垂直，
以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系，如图所示：
设，则，，，，，
，，
显然为平面DAE的一个法向量，
设平面ACE的一个法向量为，则，即
令，得，
因为平面DAE与平面AEC的夹角为，所以，解得，
则·
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量
【解析】【分析】（1）证明，再由线面平行的判定定理得证；
（2）由PA，AD，AB两两互相垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
（1）连接BD交AC于点O，连接OE，如图，
因为O为BD的中点，E为PD的中点，
所以．
又平面AEC，平面AEC，
所以平面AEC．
（2）因为平面ABCD，AD，平面ABCD，
所以，．
又，所以PA，AD，AB两两互相垂直，
故以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系如图所示，
设，则，，，，，
所以，．
显然为平面DAE的一个法向量．
设平面ACE的一个法向量为，
则，即
令，得，
因为平面DAE与平面AEC的夹角为，
所以，
解得或（舍去），即·
18．【答案】解：（1）质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)；
（2）重量超过505克的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件；
＝，
＝，
＝，
X的分布列为
X 0 1 2
P
（3）根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝.
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0，1，2，
且Y～B，
，
＝，
，
.
Y的分布列为
Y 0 1 2
P
【知识点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式；二项分布
【解析】【分析】（1）根据 频率分布直方图求解即可；
（2）根据超几何分布及古典概型求X的分布列即可；
（3）分析Y服从二项分布，再利用公式求解即可．
19．【答案】（1）解：函数定义域为，，
设，因为开口向下，，所以当时，恒成立，即，
所以在上单调递减，无极值点；
当时，令，解得，且，
则函数在上单调递增；
在和上单调递减，有两个极值点，
综上，当时，无极值点；
当时，有两个极值点；
（2）（i）证明：由题意及（1）可知，且，
又因为，
所以；
（ii）证明：由（1）知，，，
由及（i）知，所以，
若证，即证，
不妨设，则，
由得，
要证，只需证，
再两边去对数得，
即，
即证，
令，则，
再令，则，
所以在内单调递减，
又，则在单调递减，
由得，且，
所以，即，
综上，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导后利用导数等于零，结合二次函数的性质判断极值点情况即可；
（2）（i）由（1）和对数的运算性质得到，可证明；（ii）由（1）和（i）可得，问题转化为即证，再对已知等式变形为，问题进一步转化为即证，然后构造函数求导，再对导数的分子构造函数求导分析单调性即可证明.
（1），
设，
因为开口向下，，
所以当时，恒成立，即，
所以在上单调递减，无极值点；
当时，令，解得，且，
所以在上单调递增；在和上单调递减；此时有两个极值点，
综上，当时，无极值点；
当时，有两个极值点.
（2）（i）证明：由题意及（1）可知，且，
又因为，
所以.
（ii）证明：由（1）知，，，
由及（i）知，
所以.
若证，即证，
不妨设，则，
由得，
要证，只需证，
再两边去对数得，
即，
即证，
令，则，
再令，则，
所以在内单调递减，
又，则在单调递减，
由得，且，
所以，即，
综上，.
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