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广东省揭阳市2023-2024学年高二下学期7月期末教学质量测试数学试题
1．（2024高二下·揭阳期末）若，则复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，
可得，
在复平面内对应的点为，位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可.
2．（2024高二下·揭阳期末）为了得到的图象，只要将函数的图象（　　）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：，则只要将函数的图象向左平移个单位长度即得的图象.
故答案为：A.
【分析】根据三角函数图象的平移变换判断即可.
3．（2024高二下·揭阳期末）设是三个不同平面，且，则是的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：，，根据平面平行的性质定理可得：，
即是的充分条件；
当，，并不能推出，也有可能相交，
即是的不必要条件，
故是的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】利用面面平行的性质定理，及它们之间的推出关系结合充分、必要条件判断即可.
4．（2024高二下·揭阳期末）曲线在点处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
且，，
则曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：D.
【分析】求函数的导函数，利用导数的几何意义结合点斜式求解即可.
5．（2024高二下·揭阳期末）若直线平分圆，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．或
【答案】C
【知识点】二元二次方程表示圆的条件；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆化为标准方程为，
且，
因为直线平分圆，
所以直线经过圆心，则，解得或，
当时，不满足，故.
故答案为：C.
【分析】将圆方程化为标准方程，由直线过圆心求得的值即可.
6．（2024高二下·揭阳期末）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒 大寒 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒 立春 惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则小满日影长为（　　）
A．1.5尺 B．3.5尺 C．5.5尺 D．7.5尺
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、
芒种这十二个节气的日影长分别为，，，，前项和，
由小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，
可得，解得，，
则小满日影长为（尺）．
故答案为：B.
【分析】由题意构造等差数列，结合等差数列通项公式及前项和得到方程组，求出，，再求即可.
7．（2024高二下·揭阳期末）已知函数，其中且且为常数.若对任意且，在内均存在唯一零点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
当时，恒成立，
则函数在上单调递增，
若函数在内均存在唯一零点，只需即可，
即，
因为且，，
所以对一切成立，
因为当时，，当且仅当时等号成立，所以.
故答案为：C．
【分析】求函数的定义域，再求导，可以判断函数在上单调递增，转化为，再解不等式得对一切成立，即可求得a的范围.
8．（2024高二下·揭阳期末）已知为球面上四点，分别是的中点，以为直径的球称为的“伴随球”.若三棱锥的四个顶点均在表面积为的球面上，它的两条棱的长度分别为8和6，则的伴随球的体积的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：设三棱锥外接球的半径为，
由题意可得：，则球的半径为，
则球的两条弦的中点为，
则，
即弦分别是以为球心，半径为和的球的切线，
且弦在以为球心，半径为的球的外部，
的最大距离为，最小距离为，
当三点共线时，分别取最大值与最小值，
故的伴随球半径分别为，
当半径为时，的伴随球的体积为，
当半径为时，的伴随球的体积，
则的伴随球的体积的取值范围是．
故答案为：D.
【分析】由已知求出三棱锥的外接球半径，求出，进一步求的范围即可．
9．（2024高二下·揭阳期末）已知向量，，则（　　）
A．
B．与可作为一组基底向量
C．与夹角的余弦值为
D．在上的投影向量的坐标为
【答案】B,C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：向量，，
A、易知，
则，故A错误；
B、易知，则与为不共线的向量，即与可作为一组基底向量，故B正确；
C、，
则，故C正确；
D、，
则在上的投影向量的坐标为，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】计算即可判断A；根据基底向量的定义即可判断B；根据平面向量夹角公式计算即可判断C；利用投影向量定义计算即可判断D.
10．（2024高二下·揭阳期末）已知函数，则（　　）
A．的值域为 B．为偶函数
C．在上单调递增 D．在上有2个零点
【答案】A,B,D
【知识点】正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：，
A、函数，则，故A正确；
B、是偶函数，故B正确；
C、由选项可得，，
由余弦函数的图象可知，在上单调递减，故C错误；
D、令，则，
解得，
令，可得，因为，所以或，
则在上有2个零点，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】先化简函数的解析式，再根据函数的振幅判断函数的最值，并求函数的解析式，判断函数的性质，求解函数在区间上的零点个数逐项判断即可.
11．（2024高二下·揭阳期末）已知函数，下列说法正确的是（　　）
A．与的定义域不同
B．的单调递减区间为
C．若有三个不同的解，则
D．对任意两个不相等正实数，若，则
【答案】A,D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的性质；函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，因为定义域为，定义域为，
所以与的定义域不同 ，故A正确.
对于B，，
当x > e时，< 0，f(x)单调递减，当0 0，f(x)单调递增，
又f(-x)=-f(x)，即f(x)为奇函数，根据奇函数的对称性可知，
f(x)的单调递减区间为，故B错误；
对于C，其大致图象如图所示：
，结合函数图象可知，若f(x)= a有三个不同的解，则且a ≠0，故C错误：
对于D，对任意两个实数，设= m
则，所以
令故g(t)在t > 1时单调递增，g(t)>g(1)= 0，所以，
令，则，
所以所以.故D正确.
故答案为：AD.
【分析】求出两函数定义域，判断A正确.求函数导数，通过导数研究单调性结合奇偶性，判断B错误.画出函数f(x)的图象，由f(x)= a有三个不同的解可得y= a与y = f(x)有3个交点，结合函数图象判断C错误.对任意两个实数，设= m，代入已知函数解析式，结合对数的运算性质化简，构造函数利用导数研究单调性，得，令，代入计算化简，即可判断D正确.
12．（2024高二下·揭阳期末）在中，内角的对边分别为，其中，则　 　.
【答案】
【知识点】三角函数诱导公式二~六；解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：由，可得，
，由余弦定理，
可得，解得.
故答案为：.
【分析】利用诱导公式结合余弦定理计算即可.
13．（2024高二下·揭阳期末）已知集合，，则　 　.
【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：解不等式，可得，
即集合，
解不等式，可得，则集合，
故.
故答案为：.
【分析】解不等式求得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
14．（2024高二下·揭阳期末）已知椭圆的左 右焦点分别为为上且不与顶点重合的任意一点，为的内心，为坐标原点，记直线的斜率分别为，，若，则的离心率为　 　.
【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，设圆与轴相切于点，如图所示：
则，
因为，，
所以，
所以，即，
过点作直线的垂线，垂足为，
则
，则，
即，即，
，，
由三角形面积相等，得，
，
因为，所以，所以，所以，即.
故答案为：.
【分析】设，设圆与轴相切于点，结合圆的切线长的性质证明，结合椭圆性质可得，由内切圆性质可得，由条件确定关系，求离心率即可.
15．（2024高二下·揭阳期末）记的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若为边的中点，且，求面积的最大值.
【答案】（1）解：，
由正弦定理可得，即，
整理可得，由余弦定理得，
因为，所以；
（2）解：因为是边的中点，所以，所以，
在中，，由余弦定理，
可得，则，
即，当且仅当时取等号，
故，当且仅当时取等号，
即面积的最大值为.
【知识点】基本不等式；解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理化简求角即可；
（2）转化为求的最大值，利用余弦定理结合基本不等式即可得，最后根据三角形面积公式求最值即可.
（1）因为，
所以由正弦定理可得，即，
则，
由余弦定理得.
又，所以.
（2）因为是边的中点，
即，所以.
在中，，
由余弦定理得，
即，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
即面积的最大值为.
16．（2024高二下·揭阳期末）南方游客勇闯冰雪大世界点燃了民众对冰雪运动的热情，其中雪上运动深受游客的喜爱.某新闻媒体机构随机调查了男 女性游客各100名，统计结果如下表所示：
对滑雪的喜爱情况 性别 合计
男性游客 女性游客
喜欢滑雪 60 35 95
不喜欢滑雪 40 65 105
合计 100 100 200
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联？
（2）冰雪大世界招募初学者进行滑雪培训，对四个滑雪基本动作（起步 滑行 转弯 制动）进行指导.据统计，每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这四个动作达到优秀的概率分别为，且四个滑雪基本动作是否达到优秀相互独立.若这四个滑雪基本动作至少有三个达到优秀，则可荣获“优秀学员”称号.求滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率.
附：.
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解：零假设为游客是否喜欢滑雪与性别无关联，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于；
（2）解：记事件分别表示初学者对起步、滑行、转弯、制动达到优秀，
事件表示滑雪初学者荣获“优秀学员”称号，
则
，
即滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率是.
【知识点】独立性检验；互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】（1）先进行零假设，计算卡方，结合临界值判断即可；
（2）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算即可.
（1）零假设为游客是否喜欢滑雪与性别无关联，
依题意可得，
所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于.
（2）令事件分别表示初学者对起步、滑行、转弯、制动达到优秀，
滑雪初学者荣获“优秀学员”称号为事件，
所以
，
所以滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率是.
17．（2024高二下·揭阳期末）如图，在四棱台中，平面，2，，.
（1）记平面与平面的交线为，证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以 ，
因为平面，平面，所以，
在中，，，
由余弦定理可得
，
满足，则，
又因为，平面，所以平面，
则平面；
（2）解：因为，平面，所以平面，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，
设平面的法向量为，则 ，
令，得，，即，
又是平面的一个法向量，
记平面与平面的夹角为，则，
即平面与平面的夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面的法向量；用空间向量研究二面角；余弦定理
【解析】【分析】（1）首先证明平面，即可得到，再证明平面即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）因为，平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，所以 .
因为平面，平面，所以，
在中，，，
由余弦定理可得
，
所以，所以，
又，平面，
所以平面，
所以平面.
（2）因为，平面，所以平面，
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设平面的法向量为，则 ，
令，得，，所以.
又是平面的一个法向量，
记平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
18．（2024高二下·揭阳期末）已知抛物线的准线为，焦点为为上异于原点且不重合的三点.
（1）求的方程；
（2）若为的重心，求的值；
（3）过两点分别作的切线与相交于点，若，求面积的最大值.
【答案】（1）解：因为抛物线的准线为，所以，解得，
则抛物线；
（2）解：由（1）可知，抛物线的焦点，
设，
因为为的重心，所以，所以，
即，
由抛物线的定义可得：；
（3）解：显然直线的斜率不为，
设直线的方程为，，
由，解得，所以，
由韦达定理可得，
因为，则，所以，
所以切线的方程为，
同理，切线的方程为，
联立两直线方程，解得，即，
则点到直线的距离，
由，化解得，
所以，当且仅当时等号成立，
则面积的最大值为.
【知识点】导数的几何意义；抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据抛物线的准线方程求解即可；
（2）设，由为的重心，得，即，再根据抛物线的定义求解即可；
（3）设直线的方程为，，联立直线与抛物线得交点坐标关系，再求导并根据导数的几何意义求解切线的斜率，即可得切线方程，从而可得切线的交点坐标，根据三角形面积公式列关系求解即可.
（1）因为抛物线的准线为，
所以，
所以抛物线.
（2）由（1）可知，焦点，
设，
因为为的重心，
所以，
所以，
即.
由抛物线的定义的.
（3）显然直线的斜率不为，
设直线的方程为，，
由，解得，
所以，即，
因为，则，
所以，
所以切线的方程为，
同理，切线的方程为，
联立两直线方程，解得，
即，
则点到直线的距离，
由，
化解得，
所以，
当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为.
19．（2024高二下·揭阳期末）给定数列，若首项且，对任意的，都有，则称数列为“指数型数列”.
（1）已知数列为“指数型数列”，若，求；
（2）已知数列满足，判断数列是不是“指数型数列”？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
（3）若数列是“指数型数列”，且，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列.
【答案】（1）解：因为数列是“指数型数列”，所以对于任意的，都有，
因为，所以，；
（2）数列是“指数型数列”，
证明：由，得，即，
则数列是等比数列，且，则，
，
即数列是“指数型数列”；
（3）证明：因为数列是“指数型数列”，故对任意的，有，则，
所以，
适合该式，
假设数列中存在三项构成等差数列，不妨设，
则由，得，
所以，
当为偶数且时，是偶数，而是奇数，是偶数，
故不能成立；
当为奇数且时，是偶数，而是偶数，是奇数，
故不能成立；
所以对任意的，不能成立，
即数列中任意三项都不能构成等差数列.
【知识点】等比数列的通项公式；等差数列的性质；等比数列的性质；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）直接根据定义代入计算即可；
（2）根据“指数型数列"的定义可做判断，证明时利用递推式推出数列是等比数列，求出，再结合定义证明即可；
（3）由递推式可得，继而假设数列中存在三项构成等差数列，结合可推出矛盾，证明即可.
（1）因为数列是“指数型数列”，所以对于任意的，
都有.因为，
所以，.
（2）数列是“指数型数列”.
证明：由，得，即，
所以数列是等比数列，且，
则，
，
所以数列是“指数型数列”.
（3）因为数列是“指数型数列”，故对任意的，
有，则，所以，
适合该式.
假设数列中存在三项构成等差数列，不妨设，
则由，得，
所以，
当为偶数且时，是偶数，而是奇数，是偶数，
故不能成立；
当为奇数且时，是偶数，而是偶数，是奇数，
故不能成立；
所以，对任意的，不能成立，
即数列中任意三项都不能构成等差数列.
1 / 1广东省揭阳市2023-2024学年高二下学期7月期末教学质量测试数学试题
1．（2024高二下·揭阳期末）若，则复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024高二下·揭阳期末）为了得到的图象，只要将函数的图象（　　）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
3．（2024高二下·揭阳期末）设是三个不同平面，且，则是的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024高二下·揭阳期末）曲线在点处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·揭阳期末）若直线平分圆，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．或
6．（2024高二下·揭阳期末）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒 大寒 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒 立春 惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则小满日影长为（　　）
A．1.5尺 B．3.5尺 C．5.5尺 D．7.5尺
7．（2024高二下·揭阳期末）已知函数，其中且且为常数.若对任意且，在内均存在唯一零点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·揭阳期末）已知为球面上四点，分别是的中点，以为直径的球称为的“伴随球”.若三棱锥的四个顶点均在表面积为的球面上，它的两条棱的长度分别为8和6，则的伴随球的体积的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·揭阳期末）已知向量，，则（　　）
A．
B．与可作为一组基底向量
C．与夹角的余弦值为
D．在上的投影向量的坐标为
10．（2024高二下·揭阳期末）已知函数，则（　　）
A．的值域为 B．为偶函数
C．在上单调递增 D．在上有2个零点
11．（2024高二下·揭阳期末）已知函数，下列说法正确的是（　　）
A．与的定义域不同
B．的单调递减区间为
C．若有三个不同的解，则
D．对任意两个不相等正实数，若，则
12．（2024高二下·揭阳期末）在中，内角的对边分别为，其中，则　 　.
13．（2024高二下·揭阳期末）已知集合，，则　 　.
14．（2024高二下·揭阳期末）已知椭圆的左 右焦点分别为为上且不与顶点重合的任意一点，为的内心，为坐标原点，记直线的斜率分别为，，若，则的离心率为　 　.
15．（2024高二下·揭阳期末）记的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若为边的中点，且，求面积的最大值.
16．（2024高二下·揭阳期末）南方游客勇闯冰雪大世界点燃了民众对冰雪运动的热情，其中雪上运动深受游客的喜爱.某新闻媒体机构随机调查了男 女性游客各100名，统计结果如下表所示：
对滑雪的喜爱情况 性别 合计
男性游客 女性游客
喜欢滑雪 60 35 95
不喜欢滑雪 40 65 105
合计 100 100 200
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联？
（2）冰雪大世界招募初学者进行滑雪培训，对四个滑雪基本动作（起步 滑行 转弯 制动）进行指导.据统计，每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这四个动作达到优秀的概率分别为，且四个滑雪基本动作是否达到优秀相互独立.若这四个滑雪基本动作至少有三个达到优秀，则可荣获“优秀学员”称号.求滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率.
附：.
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
17．（2024高二下·揭阳期末）如图，在四棱台中，平面，2，，.
（1）记平面与平面的交线为，证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
18．（2024高二下·揭阳期末）已知抛物线的准线为，焦点为为上异于原点且不重合的三点.
（1）求的方程；
（2）若为的重心，求的值；
（3）过两点分别作的切线与相交于点，若，求面积的最大值.
19．（2024高二下·揭阳期末）给定数列，若首项且，对任意的，都有，则称数列为“指数型数列”.
（1）已知数列为“指数型数列”，若，求；
（2）已知数列满足，判断数列是不是“指数型数列”？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
（3）若数列是“指数型数列”，且，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，
可得，
在复平面内对应的点为，位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可.
2．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：，则只要将函数的图象向左平移个单位长度即得的图象.
故答案为：A.
【分析】根据三角函数图象的平移变换判断即可.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：，，根据平面平行的性质定理可得：，
即是的充分条件；
当，，并不能推出，也有可能相交，
即是的不必要条件，
故是的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】利用面面平行的性质定理，及它们之间的推出关系结合充分、必要条件判断即可.
4．【答案】D
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
且，，
则曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：D.
【分析】求函数的导函数，利用导数的几何意义结合点斜式求解即可.
5．【答案】C
【知识点】二元二次方程表示圆的条件；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆化为标准方程为，
且，
因为直线平分圆，
所以直线经过圆心，则，解得或，
当时，不满足，故.
故答案为：C.
【分析】将圆方程化为标准方程，由直线过圆心求得的值即可.
6．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、
芒种这十二个节气的日影长分别为，，，，前项和，
由小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，
可得，解得，，
则小满日影长为（尺）．
故答案为：B.
【分析】由题意构造等差数列，结合等差数列通项公式及前项和得到方程组，求出，，再求即可.
7．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
当时，恒成立，
则函数在上单调递增，
若函数在内均存在唯一零点，只需即可，
即，
因为且，，
所以对一切成立，
因为当时，，当且仅当时等号成立，所以.
故答案为：C．
【分析】求函数的定义域，再求导，可以判断函数在上单调递增，转化为，再解不等式得对一切成立，即可求得a的范围.
8．【答案】D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：设三棱锥外接球的半径为，
由题意可得：，则球的半径为，
则球的两条弦的中点为，
则，
即弦分别是以为球心，半径为和的球的切线，
且弦在以为球心，半径为的球的外部，
的最大距离为，最小距离为，
当三点共线时，分别取最大值与最小值，
故的伴随球半径分别为，
当半径为时，的伴随球的体积为，
当半径为时，的伴随球的体积，
则的伴随球的体积的取值范围是．
故答案为：D.
【分析】由已知求出三棱锥的外接球半径，求出，进一步求的范围即可．
9．【答案】B,C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：向量，，
A、易知，
则，故A错误；
B、易知，则与为不共线的向量，即与可作为一组基底向量，故B正确；
C、，
则，故C正确；
D、，
则在上的投影向量的坐标为，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】计算即可判断A；根据基底向量的定义即可判断B；根据平面向量夹角公式计算即可判断C；利用投影向量定义计算即可判断D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：，
A、函数，则，故A正确；
B、是偶函数，故B正确；
C、由选项可得，，
由余弦函数的图象可知，在上单调递减，故C错误；
D、令，则，
解得，
令，可得，因为，所以或，
则在上有2个零点，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】先化简函数的解析式，再根据函数的振幅判断函数的最值，并求函数的解析式，判断函数的性质，求解函数在区间上的零点个数逐项判断即可.
11．【答案】A,D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的性质；函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，因为定义域为，定义域为，
所以与的定义域不同 ，故A正确.
对于B，，
当x > e时，< 0，f(x)单调递减，当0 0，f(x)单调递增，
又f(-x)=-f(x)，即f(x)为奇函数，根据奇函数的对称性可知，
f(x)的单调递减区间为，故B错误；
对于C，其大致图象如图所示：
，结合函数图象可知，若f(x)= a有三个不同的解，则且a ≠0，故C错误：
对于D，对任意两个实数，设= m
则，所以
令故g(t)在t > 1时单调递增，g(t)>g(1)= 0，所以，
令，则，
所以所以.故D正确.
故答案为：AD.
【分析】求出两函数定义域，判断A正确.求函数导数，通过导数研究单调性结合奇偶性，判断B错误.画出函数f(x)的图象，由f(x)= a有三个不同的解可得y= a与y = f(x)有3个交点，结合函数图象判断C错误.对任意两个实数，设= m，代入已知函数解析式，结合对数的运算性质化简，构造函数利用导数研究单调性，得，令，代入计算化简，即可判断D正确.
12．【答案】
【知识点】三角函数诱导公式二~六；解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：由，可得，
，由余弦定理，
可得，解得.
故答案为：.
【分析】利用诱导公式结合余弦定理计算即可.
13．【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：解不等式，可得，
即集合，
解不等式，可得，则集合，
故.
故答案为：.
【分析】解不等式求得集合，再根据集合的交集运算求解即可.
14．【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，设圆与轴相切于点，如图所示：
则，
因为，，
所以，
所以，即，
过点作直线的垂线，垂足为，
则
，则，
即，即，
，，
由三角形面积相等，得，
，
因为，所以，所以，所以，即.
故答案为：.
【分析】设，设圆与轴相切于点，结合圆的切线长的性质证明，结合椭圆性质可得，由内切圆性质可得，由条件确定关系，求离心率即可.
15．【答案】（1）解：，
由正弦定理可得，即，
整理可得，由余弦定理得，
因为，所以；
（2）解：因为是边的中点，所以，所以，
在中，，由余弦定理，
可得，则，
即，当且仅当时取等号，
故，当且仅当时取等号，
即面积的最大值为.
【知识点】基本不等式；解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理化简求角即可；
（2）转化为求的最大值，利用余弦定理结合基本不等式即可得，最后根据三角形面积公式求最值即可.
（1）因为，
所以由正弦定理可得，即，
则，
由余弦定理得.
又，所以.
（2）因为是边的中点，
即，所以.
在中，，
由余弦定理得，
即，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
即面积的最大值为.
16．【答案】（1）解：零假设为游客是否喜欢滑雪与性别无关联，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于；
（2）解：记事件分别表示初学者对起步、滑行、转弯、制动达到优秀，
事件表示滑雪初学者荣获“优秀学员”称号，
则
，
即滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率是.
【知识点】独立性检验；互斥事件的概率加法公式
【解析】【分析】（1）先进行零假设，计算卡方，结合临界值判断即可；
（2）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算即可.
（1）零假设为游客是否喜欢滑雪与性别无关联，
依题意可得，
所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于.
（2）令事件分别表示初学者对起步、滑行、转弯、制动达到优秀，
滑雪初学者荣获“优秀学员”称号为事件，
所以
，
所以滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率是.
17．【答案】（1）证明：因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以 ，
因为平面，平面，所以，
在中，，，
由余弦定理可得
，
满足，则，
又因为，平面，所以平面，
则平面；
（2）解：因为，平面，所以平面，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，
设平面的法向量为，则 ，
令，得，，即，
又是平面的一个法向量，
记平面与平面的夹角为，则，
即平面与平面的夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面的法向量；用空间向量研究二面角；余弦定理
【解析】【分析】（1）首先证明平面，即可得到，再证明平面即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）因为，平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，所以 .
因为平面，平面，所以，
在中，，，
由余弦定理可得
，
所以，所以，
又，平面，
所以平面，
所以平面.
（2）因为，平面，所以平面，
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设平面的法向量为，则 ，
令，得，，所以.
又是平面的一个法向量，
记平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
18．【答案】（1）解：因为抛物线的准线为，所以，解得，
则抛物线；
（2）解：由（1）可知，抛物线的焦点，
设，
因为为的重心，所以，所以，
即，
由抛物线的定义可得：；
（3）解：显然直线的斜率不为，
设直线的方程为，，
由，解得，所以，
由韦达定理可得，
因为，则，所以，
所以切线的方程为，
同理，切线的方程为，
联立两直线方程，解得，即，
则点到直线的距离，
由，化解得，
所以，当且仅当时等号成立，
则面积的最大值为.
【知识点】导数的几何意义；抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据抛物线的准线方程求解即可；
（2）设，由为的重心，得，即，再根据抛物线的定义求解即可；
（3）设直线的方程为，，联立直线与抛物线得交点坐标关系，再求导并根据导数的几何意义求解切线的斜率，即可得切线方程，从而可得切线的交点坐标，根据三角形面积公式列关系求解即可.
（1）因为抛物线的准线为，
所以，
所以抛物线.
（2）由（1）可知，焦点，
设，
因为为的重心，
所以，
所以，
即.
由抛物线的定义的.
（3）显然直线的斜率不为，
设直线的方程为，，
由，解得，
所以，即，
因为，则，
所以，
所以切线的方程为，
同理，切线的方程为，
联立两直线方程，解得，
即，
则点到直线的距离，
由，
化解得，
所以，
当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为.
19．【答案】（1）解：因为数列是“指数型数列”，所以对于任意的，都有，
因为，所以，；
（2）数列是“指数型数列”，
证明：由，得，即，
则数列是等比数列，且，则，
，
即数列是“指数型数列”；
（3）证明：因为数列是“指数型数列”，故对任意的，有，则，
所以，
适合该式，
假设数列中存在三项构成等差数列，不妨设，
则由，得，
所以，
当为偶数且时，是偶数，而是奇数，是偶数，
故不能成立；
当为奇数且时，是偶数，而是偶数，是奇数，
故不能成立；
所以对任意的，不能成立，
即数列中任意三项都不能构成等差数列.
【知识点】等比数列的通项公式；等差数列的性质；等比数列的性质；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）直接根据定义代入计算即可；
（2）根据“指数型数列"的定义可做判断，证明时利用递推式推出数列是等比数列，求出，再结合定义证明即可；
（3）由递推式可得，继而假设数列中存在三项构成等差数列，结合可推出矛盾，证明即可.
（1）因为数列是“指数型数列”，所以对于任意的，
都有.因为，
所以，.
（2）数列是“指数型数列”.
证明：由，得，即，
所以数列是等比数列，且，
则，
，
所以数列是“指数型数列”.
（3）因为数列是“指数型数列”，故对任意的，
有，则，所以，
适合该式.
假设数列中存在三项构成等差数列，不妨设，
则由，得，
所以，
当为偶数且时，是偶数，而是奇数，是偶数，
故不能成立；
当为奇数且时，是偶数，而是偶数，是奇数，
故不能成立；
所以，对任意的，不能成立，
即数列中任意三项都不能构成等差数列.
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