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四川省成都石室中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题
1．（2024高一下·成都月考）下列各组向量中，能作为基底的是（　　）
A．＝（0，0），＝（1，1）
B．＝（1，2），＝（－2，1）
C．＝（－3，4），＝（，－）
D．＝（2，6），＝（－1，－3）
【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A，因为零向量与任意向量共线，所以不能作为基底，故A不正确；
对于C，因为，所以不能作为基底，故C不正确；
对于D，因为，向量与共线，所以不能作为基底，故D不正确；
对于B，因为与不共线，所以可作为一组基底，故B正确.
故答案为：B.
【分析】根据基底的定义和向量共线的坐标表示，从而逐项判断找出能作为基底的选项.
2．（2024高一下·成都月考）如图，在正方体中，M，N分别为棱BC和棱的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：如图： ，
因为M，N分别为棱BC和棱的中点，
所以，
又因为在正方体中，，
所以或其补角为异面直线AC和MN所成的角，
在正方体中，为正三角形，
所以，即异面直线AC和MN所成的角为.
故答案为：C.
【分析】先由线线平行关系找到为异面直线AC和MN所成的角，再利用正方体的性质求出异面直线AC和MN所成的角.
3．（2024高一下·成都月考）如图，已知平面，，且.设梯形中，，且AB，CD.则下列结论一定正确的是(　　)
A．
B．直线与直线可能为异面直线
C．直线与直线可能为异面直线
D．直线、、相交于一点
【答案】D
【知识点】异面直线的判定；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：在梯形中，，
故AB和CD是梯形的两腰，它们不一定相等，故选项A不符合题意；
∵，∴A、B、C、D共面，即AB、CD、AC、BD是共面直线，故选项B合选项C不符合题意；
∵AB和CD是梯形的两腰，故和必相交，
设交点为，∵，，
∴，同理可得，
则在、的交线上，而，故，
即直线、、相交于一点，故选项D符合题意．
故答案为：D．
【分析】由梯形的性质，则可判断选项A、选项B和选项C；证明直线AB和CD的交点在直线l上，即可判断选项D，进而找出结论一定正确的选项．
4．（2024高一下·成都月考）已知，则的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】函数在上单调递减，，则，
函数在R上单调递增，，则，
函数在R上单调递减，，则，
所以.
故答案为：B
【分析】根据题意由指、对数函数的单调性即可得出a、b、c的取值范围，由此即可比较出大小，从而即可得出答案。
5．（2024高一下·成都月考）雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则雷锋塔的高度约为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，；
在中，，
由图可知，易知，
在中，，
根据正弦定理可得：，
则.
故答案为：C.
【分析】在直角三角形中利用锐角三角函数表示斜边长，再根据三角形内角和定理和平行线的性质可得角的度数，结合正弦定理得出CD的长.
6．（2024高一下·成都月考）已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．π
【答案】A
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设圆锥的底面半径为 ，
根据侧面展开图是半圆， 半圆的弧长为 ，
所以 ，得 ，
圆锥的高 ，
所以圆锥的体积 .
故答案为：A
【分析】 依据展开图与圆锥的对应关系列方程解出圆锥的底面半径和母线长，求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式，即可求出答案。
7．（2024高一下·成都月考）在正方体中，分别是棱的中点，若平面，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】解：因为平面平面，平面平面，
平面平面，
所以，
又因为，故∽，
又因为分别是棱的中点，设正方体的棱长为2，则，
所以，故，则，
所以，
故.
故答案为：C.
【分析】由面面平行的性质定理证出线线平行，则，所以∽，设正方体的棱长为2，再结合对应边成比例求出的长，从而得出的长，进而由已知条件得出的值.
8．（2024高一下·成都月考）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】集合关系中的参数取值问题；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为，当时，，
又因为函数在上存在最值，则，解得，
当时，，
又因为函数在上单调，
则，
所以其中，
解得，
所以，解得，
又因为，则，
当时，；
当时，；
当时，，
又因为，
所以的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】利用整体法结合三角型函数图象求最值的方法，则对进行函数最值的分析，再对区间上进行函数单调性分析，从而得到，其中，进而得出实数k的取值范围，则代入得出的取值范围．
9．（2024高一下·成都月考）关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若向量，，则向量在向量上的投影向量为
C．非零向量和满足，则与的夹角为
D．点，，与向量同方向的单位向量为
【答案】B,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：对于A：若则，
则或或，故A错；
对于B：因为，，
则，，
所以向量在向量上的投影向量为，故B正确．
对于C：因为非零向量和满足，
以，为边对应的四边形为菱形，且，夹角为，
则与的夹角为，故C错误；
对于D：因为点，，，
可得与向量同方向的单位向量为，故D正确．
故答案为：BD．
【分析】先变形计算得到或或，则判断出选项A；利用数量积求投影向量的公式，则判断出选项B；根据向量的模长相等判断出以，为边对应的四边形为菱形且，夹角为，从而得到与的夹角，则判断出选项C；利用已知条件和单位向量坐标求解公式，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．（2024高一下·成都月考）在边长为的正方体中，点是一个动点，且平面，则线段的长度可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C,D
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】解：由正方体的性质知：，
所以平面，平面，
所以平面，
同理，平面，平面，
所以平面平面，
若平面，则平面，
则平面，
所以线段的最小长度即为点到平面的距离，
因为四面体的棱长为，
作平面，垂足为，则为三角形的重心，
连接交的中点，
则，
则正四面体的高为，
所以线段的最小长度为，
则线段的最大长度为，所以，
因为，故选项A、选项B错误；
因为，故选项C、选项D正确.
故答案为：CD.
【分析】由面面平行的判定定理和性质定理可得平面，从而求出，再结合元素与集合的关系，从而逐项判断得出线段可能的长度.
11．（2024高一下·成都月考）已知是复数，且为纯虚数，则（　　）
A． B．
C．在复平面内对应的点在实轴上 D．的最大值为
【答案】A,B,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：设，，
则，
因为为纯虚数，所以，即，
所以，，
故选项A正确，选项B正确.
因为复数在复平面内对应的点为，
所以复数在复平面内对应的点均不在实轴上，故选项C错误；
因为的几何意义为表示点到点，
所以最大值为，故选项D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先设，，再代入化简，则根据为纯虚数判断方法，从而得出，再根据向量的模的求解方法，则可判断选项A；根据共轭复数定义和复数乘法运算法则，则可判断选项B；根据复数的几何意义可判断选项C和选项D，从而找出正确的选项.
12．（2024高一下·成都月考）设定义在上的函数满足为奇函数，当时，，若，则（　　）
A． B．
C． D．为偶函数
【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：A、因为为奇函数，所以，
即关于对称，又因为是定义在上的函数，所以，故A正确；
B、由，可得，则，故B正确；
C、因为，所以，即的周期为4；
因为，即，所以；
因为关于对称，所以，
则，故C错误；
D、由，可得，即为偶函数，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】由题意可得即可判断A；由即可得，列方程组，解出即可判断B；由函数的周期性、对称性和对数函数的运算性质即可判断C；由得即可判断D.
13．（2024高一下·成都月考）　 　．
【答案】-1
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】 。
【分析】利用三角函数的切化弦及辅助角公式、诱导公式等对函数式化简即可求解．
14．（2024高一下·成都月考）在中，若，则　 　.
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理可得：，
在中，，
所以，
则，
因为，所以，
所以，则，
因为，所以.
故答案为：.
【分析】利用正弦定理将边化角，再由诱导公式和两角和的正弦公式，从而得到的值，再结合三角形中角的取值范围，从而得出角B的值.
15．（2024高一下·成都月考）棱长为的正四面体的外接球的表面积为　 　.
【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：依题意作出图形如下：
因为正四面体的棱长为，
作平面，垂足为G，则G为的重心，
连接延长交于中点，且，
则正四面体的高为，
设正四面体的外接球半径为R，
由图可知，，解得，
所以，正四面体的外接球的表面积为，
故答案为：.
【分析】先画出图形，再结合中点的性质和三角形重心的性质以及勾股定理，从而求出正四面体的外接球半径R，再由球的表面积公式得出棱长为的正四面体的外接球的表面积.
16．（2024高一下·成都月考）已知圆O的半径为1，，为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值是___________
【答案】
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：如图所示，设（），，
则，，，
所以
，
当且仅当即时等号成立，
∴的最小值是.
故答案为：．
【分析】设（），，则，，，根据数量积的定义和二倍角的余弦公式以及基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
17．（2024高一下·成都月考）已知为虚数单位，复数．
（1）当实数取何值时，是实数；
（2）当时，复数是关于的方程的一个根，求实数的值.
【答案】（1）解：若复数是实数，
则，
所以或.
（2）解：当时，，
把代入方程，
得：，
整理得：，
所以，
解得.
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件
【解析】【分析】（1）由复数为实数的判断方法，令，从而得出实数m的值.
（2）当时，，把代入方程，利用复数相等得出p，q的值.
（1）若复数是实数，则，所以或.
（2）当时，，
把代入方程得：，
整理得：，
所以，解得.
18．（2024高一下·成都月考）如图，平面四边形由等腰与等边拼接而成，其中，，
（1）求的值；
（2）若，当取得最小值时，求的值．
【答案】（1）解：以分别为轴建立平面直角坐标系，
故，
则，
故.
（2）解：因为，则，
所以，
所以点的坐标为，
所以，，
则，
可知当时，取得最小值．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【分析】（1）以分别为轴建立平面直角坐标系，从而求出的坐标，再由数量积的坐标表示得出的值.
（2）先求出点的坐标，再由数量积的坐标表示结合二次函数的图象的开口方向和单调性，从而求出的最小值，并求出此时对应的的值.
（1）以分别为轴建立平面直角坐标系；
故，
故；
（2），则，则，
所以点的坐标为，
故，，
故，
可知当时，取得最小值．
19．（2024高一下·成都月考）如图，在正三棱柱中，是的中点，．
（1）求证：∥平面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明：连接，设，连接，
因为四边形矩形，
所以为的中点，
又因为是的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以∥平面.
（2）解：由（1）可知∥平面，
所以与到平面的距离相等，
所以，
因为为等边三角形，，是的中点，
所以，
因为，所以，
所以，
所以三棱锥的体积为．
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）连接，设，连接，则结合已知条件可证，再利用线面平行的判定定理证出∥平面.
（2）利用∥平面结合，则由和三棱锥的体积公式，从而得出三棱锥的体积．
（1）证明：连接，设，连接，
因为四边形矩形，所以为的中点，
因为是的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以∥平面；
（2）解：由（1）可知∥平面；
所以与到平面的距离相等，
所以．
因为为等边三角形，，是的中点，
所以，
因为，所以，
所以，
所以三棱锥的体积为．
20．（2024高一下·成都月考）如图，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使位于处，且．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角的大小．
【答案】（1）证明：因为在梯形中，
，，，是的中点，
所以四边形为正方形，为等腰直角三角形，
所以，则，
因为，，
所以，
所以，即，
因为，平面，
所以平面.
（2）解：延长交于，连接，
由(1)可知，，
又因为，
所以，则，
因为平面，平面，
所以，
因为，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
因为，平面，
所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
设，则，所以，
因为，
所以为等腰直角三角形，
所以，所以，
因为在直角三角形中，，
所以，
则直线与平面所成的角为
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）在直角梯形中，由已知条件判断出四边形为正方形，则，再由可得，再利用线面垂直的判定定理证出平面.
（2）延长交于，连接，由（1）结合等腰直角三角形定义，从而可得，由平面得，则平面，从而得出，再由线面垂直的判定定理得出直线平面，则得出为直线与平面所成的角，在直角三角形中解三角形可得．
（1）证明：因为在梯形中，，，，是的中点，
所以四边形为正方形，为等腰直角三角形，所以，则，
因为，，所以，所以，即，
因为，平面，所以平面.
（2）延长交于，连接.
由(1)可知，，又，所以，则，
因为平面，平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，又平面，所以，
因为，平面，所以平面，
所以为直线与平面所成的角.
设，则，所以，
因为，所以为等腰直角三角形，
所以，所以，
因为在直角三角形中，，
所以，直线与平面所成的角为
21．（2024高一下·成都月考）在锐角中，角所对的边分别是．已知，．
（1）求角；
（2）若是中上的一点，且满足，求与的面积之比的取值范围．
【答案】（1）解：，，
，
又，，
，
又，
.
（2）解：，
，
，即平分，
，
所以，
又，
，且
，，
，
．
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角以及诱导公式和两角和的正弦公式化简，从而求出的值，再利用锐角三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.
（2）依题意可得平分，由三角形面积公式得到，再由正弦定理将边化角，最后转化为关于的三角函数，由三角形中角的取值范围和正切型函数图象求值域的方法，从而得出与的面积之比的取值范围．
（1），，
，
又，，
，又，，
（2），，
，即平分，
所以，
又，，且
，，，
．
22．（2024高一下·成都月考）设是定义在区间上的函数，如果对任意的，有，则称为区间上的下凸函数；如果有，则称为区间上的上凸函数．
（1）已知函数，求证：
（ⅰ）；
（ⅱ）函数为下凸函数；
（2）已知函数，其中实数，且函数在区间内为上凸函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明：（ⅰ）因为
所以.
（ⅱ）令，
则
，
因为，，
所以，
所以，
由（ⅰ）得，
所以，
所以，
所以，
则函数为下凸函数.
（2）解：因为函数在区间内为上凸函数，
则对任意的，恒成立，
所以，
因为
，
所以，
所以恒成立，
则，
因为，
所以，，，
所以，，
所以，
所以，则，
所以实数的取值范围为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】【分析】（1）（ⅰ）根据二倍角的正弦公式和二倍角的余弦公式，从而证出成立.
（ⅱ）根据下凸函数的定义，再借用两角和与差的余弦公式和（ⅰ）中结论变形，从而证出函数为下凸函数.
（2）根据上凸函数的定义列出不等式，再进行参变分离，则根据函数的最值和不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（1）（ⅰ）因为，
所以.
（ⅱ）令，则
，
又，，
所以，
所以，
由（ⅰ）得，所以，
所以，
所以，即函数为下凸函数.
（2）因为函数在区间内为上凸函数，
则对任意的，有恒成立，
即，
因为
，
所以，
所以恒成立，
，
因为，所以，，，
所以，，所以，
所以，，所以实数的取值范围为.
1 / 1四川省成都石室中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题
1．（2024高一下·成都月考）下列各组向量中，能作为基底的是（　　）
A．＝（0，0），＝（1，1）
B．＝（1，2），＝（－2，1）
C．＝（－3，4），＝（，－）
D．＝（2，6），＝（－1，－3）
2．（2024高一下·成都月考）如图，在正方体中，M，N分别为棱BC和棱的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·成都月考）如图，已知平面，，且.设梯形中，，且AB，CD.则下列结论一定正确的是(　　)
A．
B．直线与直线可能为异面直线
C．直线与直线可能为异面直线
D．直线、、相交于一点
4．（2024高一下·成都月考）已知，则的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·成都月考）雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则雷锋塔的高度约为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·成都月考）已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．π
7．（2024高一下·成都月考）在正方体中，分别是棱的中点，若平面，，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·成都月考）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·成都月考）关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若向量，，则向量在向量上的投影向量为
C．非零向量和满足，则与的夹角为
D．点，，与向量同方向的单位向量为
10．（2024高一下·成都月考）在边长为的正方体中，点是一个动点，且平面，则线段的长度可能是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高一下·成都月考）已知是复数，且为纯虚数，则（　　）
A． B．
C．在复平面内对应的点在实轴上 D．的最大值为
12．（2024高一下·成都月考）设定义在上的函数满足为奇函数，当时，，若，则（　　）
A． B．
C． D．为偶函数
13．（2024高一下·成都月考）　 　．
14．（2024高一下·成都月考）在中，若，则　 　.
15．（2024高一下·成都月考）棱长为的正四面体的外接球的表面积为　 　.
16．（2024高一下·成都月考）已知圆O的半径为1，，为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值是___________
17．（2024高一下·成都月考）已知为虚数单位，复数．
（1）当实数取何值时，是实数；
（2）当时，复数是关于的方程的一个根，求实数的值.
18．（2024高一下·成都月考）如图，平面四边形由等腰与等边拼接而成，其中，，
（1）求的值；
（2）若，当取得最小值时，求的值．
19．（2024高一下·成都月考）如图，在正三棱柱中，是的中点，．
（1）求证：∥平面；
（2）求三棱锥的体积．
20．（2024高一下·成都月考）如图，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起，使位于处，且．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角的大小．
21．（2024高一下·成都月考）在锐角中，角所对的边分别是．已知，．
（1）求角；
（2）若是中上的一点，且满足，求与的面积之比的取值范围．
22．（2024高一下·成都月考）设是定义在区间上的函数，如果对任意的，有，则称为区间上的下凸函数；如果有，则称为区间上的上凸函数．
（1）已知函数，求证：
（ⅰ）；
（ⅱ）函数为下凸函数；
（2）已知函数，其中实数，且函数在区间内为上凸函数，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A，因为零向量与任意向量共线，所以不能作为基底，故A不正确；
对于C，因为，所以不能作为基底，故C不正确；
对于D，因为，向量与共线，所以不能作为基底，故D不正确；
对于B，因为与不共线，所以可作为一组基底，故B正确.
故答案为：B.
【分析】根据基底的定义和向量共线的坐标表示，从而逐项判断找出能作为基底的选项.
2．【答案】C
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：如图： ，
因为M，N分别为棱BC和棱的中点，
所以，
又因为在正方体中，，
所以或其补角为异面直线AC和MN所成的角，
在正方体中，为正三角形，
所以，即异面直线AC和MN所成的角为.
故答案为：C.
【分析】先由线线平行关系找到为异面直线AC和MN所成的角，再利用正方体的性质求出异面直线AC和MN所成的角.
3．【答案】D
【知识点】异面直线的判定；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：在梯形中，，
故AB和CD是梯形的两腰，它们不一定相等，故选项A不符合题意；
∵，∴A、B、C、D共面，即AB、CD、AC、BD是共面直线，故选项B合选项C不符合题意；
∵AB和CD是梯形的两腰，故和必相交，
设交点为，∵，，
∴，同理可得，
则在、的交线上，而，故，
即直线、、相交于一点，故选项D符合题意．
故答案为：D．
【分析】由梯形的性质，则可判断选项A、选项B和选项C；证明直线AB和CD的交点在直线l上，即可判断选项D，进而找出结论一定正确的选项．
4．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】函数在上单调递减，，则，
函数在R上单调递增，，则，
函数在R上单调递减，，则，
所以.
故答案为：B
【分析】根据题意由指、对数函数的单调性即可得出a、b、c的取值范围，由此即可比较出大小，从而即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，；
在中，，
由图可知，易知，
在中，，
根据正弦定理可得：，
则.
故答案为：C.
【分析】在直角三角形中利用锐角三角函数表示斜边长，再根据三角形内角和定理和平行线的性质可得角的度数，结合正弦定理得出CD的长.
6．【答案】A
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设圆锥的底面半径为 ，
根据侧面展开图是半圆， 半圆的弧长为 ，
所以 ，得 ，
圆锥的高 ，
所以圆锥的体积 .
故答案为：A
【分析】 依据展开图与圆锥的对应关系列方程解出圆锥的底面半径和母线长，求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式，即可求出答案。
7．【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】解：因为平面平面，平面平面，
平面平面，
所以，
又因为，故∽，
又因为分别是棱的中点，设正方体的棱长为2，则，
所以，故，则，
所以，
故.
故答案为：C.
【分析】由面面平行的性质定理证出线线平行，则，所以∽，设正方体的棱长为2，再结合对应边成比例求出的长，从而得出的长，进而由已知条件得出的值.
8．【答案】C
【知识点】集合关系中的参数取值问题；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为，当时，，
又因为函数在上存在最值，则，解得，
当时，，
又因为函数在上单调，
则，
所以其中，
解得，
所以，解得，
又因为，则，
当时，；
当时，；
当时，，
又因为，
所以的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】利用整体法结合三角型函数图象求最值的方法，则对进行函数最值的分析，再对区间上进行函数单调性分析，从而得到，其中，进而得出实数k的取值范围，则代入得出的取值范围．
9．【答案】B,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：对于A：若则，
则或或，故A错；
对于B：因为，，
则，，
所以向量在向量上的投影向量为，故B正确．
对于C：因为非零向量和满足，
以，为边对应的四边形为菱形，且，夹角为，
则与的夹角为，故C错误；
对于D：因为点，，，
可得与向量同方向的单位向量为，故D正确．
故答案为：BD．
【分析】先变形计算得到或或，则判断出选项A；利用数量积求投影向量的公式，则判断出选项B；根据向量的模长相等判断出以，为边对应的四边形为菱形且，夹角为，从而得到与的夹角，则判断出选项C；利用已知条件和单位向量坐标求解公式，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】C,D
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【解答】解：由正方体的性质知：，
所以平面，平面，
所以平面，
同理，平面，平面，
所以平面平面，
若平面，则平面，
则平面，
所以线段的最小长度即为点到平面的距离，
因为四面体的棱长为，
作平面，垂足为，则为三角形的重心，
连接交的中点，
则，
则正四面体的高为，
所以线段的最小长度为，
则线段的最大长度为，所以，
因为，故选项A、选项B错误；
因为，故选项C、选项D正确.
故答案为：CD.
【分析】由面面平行的判定定理和性质定理可得平面，从而求出，再结合元素与集合的关系，从而逐项判断得出线段可能的长度.
11．【答案】A,B,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：设，，
则，
因为为纯虚数，所以，即，
所以，，
故选项A正确，选项B正确.
因为复数在复平面内对应的点为，
所以复数在复平面内对应的点均不在实轴上，故选项C错误；
因为的几何意义为表示点到点，
所以最大值为，故选项D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先设，，再代入化简，则根据为纯虚数判断方法，从而得出，再根据向量的模的求解方法，则可判断选项A；根据共轭复数定义和复数乘法运算法则，则可判断选项B；根据复数的几何意义可判断选项C和选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：A、因为为奇函数，所以，
即关于对称，又因为是定义在上的函数，所以，故A正确；
B、由，可得，则，故B正确；
C、因为，所以，即的周期为4；
因为，即，所以；
因为关于对称，所以，
则，故C错误；
D、由，可得，即为偶函数，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】由题意可得即可判断A；由即可得，列方程组，解出即可判断B；由函数的周期性、对称性和对数函数的运算性质即可判断C；由得即可判断D.
13．【答案】-1
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】 。
【分析】利用三角函数的切化弦及辅助角公式、诱导公式等对函数式化简即可求解．
14．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理可得：，
在中，，
所以，
则，
因为，所以，
所以，则，
因为，所以.
故答案为：.
【分析】利用正弦定理将边化角，再由诱导公式和两角和的正弦公式，从而得到的值，再结合三角形中角的取值范围，从而得出角B的值.
15．【答案】
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：依题意作出图形如下：
因为正四面体的棱长为，
作平面，垂足为G，则G为的重心，
连接延长交于中点，且，
则正四面体的高为，
设正四面体的外接球半径为R，
由图可知，，解得，
所以，正四面体的外接球的表面积为，
故答案为：.
【分析】先画出图形，再结合中点的性质和三角形重心的性质以及勾股定理，从而求出正四面体的外接球半径R，再由球的表面积公式得出棱长为的正四面体的外接球的表面积.
16．【答案】
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：如图所示，设（），，
则，，，
所以
，
当且仅当即时等号成立，
∴的最小值是.
故答案为：．
【分析】设（），，则，，，根据数量积的定义和二倍角的余弦公式以及基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
17．【答案】（1）解：若复数是实数，
则，
所以或.
（2）解：当时，，
把代入方程，
得：，
整理得：，
所以，
解得.
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件
【解析】【分析】（1）由复数为实数的判断方法，令，从而得出实数m的值.
（2）当时，，把代入方程，利用复数相等得出p，q的值.
（1）若复数是实数，则，所以或.
（2）当时，，
把代入方程得：，
整理得：，
所以，解得.
18．【答案】（1）解：以分别为轴建立平面直角坐标系，
故，
则，
故.
（2）解：因为，则，
所以，
所以点的坐标为，
所以，，
则，
可知当时，取得最小值．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【分析】（1）以分别为轴建立平面直角坐标系，从而求出的坐标，再由数量积的坐标表示得出的值.
（2）先求出点的坐标，再由数量积的坐标表示结合二次函数的图象的开口方向和单调性，从而求出的最小值，并求出此时对应的的值.
（1）以分别为轴建立平面直角坐标系；
故，
故；
（2），则，则，
所以点的坐标为，
故，，
故，
可知当时，取得最小值．
19．【答案】（1）证明：连接，设，连接，
因为四边形矩形，
所以为的中点，
又因为是的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以∥平面.
（2）解：由（1）可知∥平面，
所以与到平面的距离相等，
所以，
因为为等边三角形，，是的中点，
所以，
因为，所以，
所以，
所以三棱锥的体积为．
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）连接，设，连接，则结合已知条件可证，再利用线面平行的判定定理证出∥平面.
（2）利用∥平面结合，则由和三棱锥的体积公式，从而得出三棱锥的体积．
（1）证明：连接，设，连接，
因为四边形矩形，所以为的中点，
因为是的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以∥平面；
（2）解：由（1）可知∥平面；
所以与到平面的距离相等，
所以．
因为为等边三角形，，是的中点，
所以，
因为，所以，
所以，
所以三棱锥的体积为．
20．【答案】（1）证明：因为在梯形中，
，，，是的中点，
所以四边形为正方形，为等腰直角三角形，
所以，则，
因为，，
所以，
所以，即，
因为，平面，
所以平面.
（2）解：延长交于，连接，
由(1)可知，，
又因为，
所以，则，
因为平面，平面，
所以，
因为，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
因为，平面，
所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
设，则，所以，
因为，
所以为等腰直角三角形，
所以，所以，
因为在直角三角形中，，
所以，
则直线与平面所成的角为
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）在直角梯形中，由已知条件判断出四边形为正方形，则，再由可得，再利用线面垂直的判定定理证出平面.
（2）延长交于，连接，由（1）结合等腰直角三角形定义，从而可得，由平面得，则平面，从而得出，再由线面垂直的判定定理得出直线平面，则得出为直线与平面所成的角，在直角三角形中解三角形可得．
（1）证明：因为在梯形中，，，，是的中点，
所以四边形为正方形，为等腰直角三角形，所以，则，
因为，，所以，所以，即，
因为，平面，所以平面.
（2）延长交于，连接.
由(1)可知，，又，所以，则，
因为平面，平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，又平面，所以，
因为，平面，所以平面，
所以为直线与平面所成的角.
设，则，所以，
因为，所以为等腰直角三角形，
所以，所以，
因为在直角三角形中，，
所以，直线与平面所成的角为
21．【答案】（1）解：，，
，
又，，
，
又，
.
（2）解：，
，
，即平分，
，
所以，
又，
，且
，，
，
．
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角以及诱导公式和两角和的正弦公式化简，从而求出的值，再利用锐角三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.
（2）依题意可得平分，由三角形面积公式得到，再由正弦定理将边化角，最后转化为关于的三角函数，由三角形中角的取值范围和正切型函数图象求值域的方法，从而得出与的面积之比的取值范围．
（1），，
，
又，，
，又，，
（2），，
，即平分，
所以，
又，，且
，，，
．
22．【答案】（1）证明：（ⅰ）因为
所以.
（ⅱ）令，
则
，
因为，，
所以，
所以，
由（ⅰ）得，
所以，
所以，
所以，
则函数为下凸函数.
（2）解：因为函数在区间内为上凸函数，
则对任意的，恒成立，
所以，
因为
，
所以，
所以恒成立，
则，
因为，
所以，，，
所以，，
所以，
所以，则，
所以实数的取值范围为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式
【解析】【分析】（1）（ⅰ）根据二倍角的正弦公式和二倍角的余弦公式，从而证出成立.
（ⅱ）根据下凸函数的定义，再借用两角和与差的余弦公式和（ⅰ）中结论变形，从而证出函数为下凸函数.
（2）根据上凸函数的定义列出不等式，再进行参变分离，则根据函数的最值和不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（1）（ⅰ）因为，
所以.
（ⅱ）令，则
，
又，，
所以，
所以，
由（ⅰ）得，所以，
所以，
所以，即函数为下凸函数.
（2）因为函数在区间内为上凸函数，
则对任意的，有恒成立，
即，
因为
，
所以，
所以恒成立，
，
因为，所以，，，
所以，，所以，
所以，，所以实数的取值范围为.
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