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浙江省湖州市2025年九年级中考一模数学试题
1．（2025·湖州模拟）我国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入60元”记作“＋60元”，那么“支出40元”记作（　　）
A．+40元 B．-40元 C．+20元 D．20元
2．（2025·湖州模拟）根据某网站统计数据，截止至2025年2月，DeepSeek的总访问量达到了278000000次，为读写方便，可将数278000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·湖州模拟）某校举办运动会，运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，下面四幅图中，不可能是该几何体的三视图的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·湖州模拟）已知在一个不透明的箱子里共有5个红球和3个白球，它们除颜色外其余都相同，则从箱子里随机摸出一个球，是红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·湖州模拟）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·湖州模拟）为提升学生的劳动意识，某校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人．现调20人去支援，使甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，问应调往甲、乙两处各多少人？若设应调往甲处人，乙处人，则下列方程（组）中，与题意不符的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·湖州模拟）某地区某天的气温变化较大，如图表示该地区这天24小时的气温变化情况．下列说法正确的是（　　）
A．正午12点时，该地气温最高
B．这一天早上6点之后，该地气温一直在升高
C．该地这一天只有一个时刻的气温达到
D．该地这一天的最高与最低气温差大约是
8．（2025·湖州模拟）如图，已知的半径长是1，PA，PB分别切于点A，B，连结PO并延长交于点，连结AC，BC．若四边形PACB是菱形，则PC的长是（　　）
A． B．3 C． D．4
9．（2025·湖州模拟）在平面直角坐标系中，有四个点，一次函数的图象恰好经过其中三个点，则该函数图象没有经过的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·湖州模拟）如图，在正方形ABCD中，线段CB绕点顺时针旋转至CE（点在正方形内部），连结DE并延长至点，使得交AB于点，连结BF，BE．若，则的面积与四边形EGBC的面积的比值是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·湖州模拟）当时，分式的值是　 　.
12．（2025·湖州模拟）把角度转化成度的形式：　 　．
13．（2025·湖州模拟）要推荐选手参加射击比赛，现有甲、乙两位选手每人10次射击的成绩，经分析得，平均数，方差．若考虑射击稳定性，应推荐去参加比赛的选手是　 　．
14．（2025·湖州模拟）如图，AB是的弦，半径于点，连结OA．若的半径长为的长为，则扇形OAC的面积是　 　（结果保留）。
15．（2025·湖州模拟）如图，在中，是BC的中点，是边AB上的一点，点与点＇关于直线DE对称，点恰好在边AC上，连结，则的长是　 　．
16．（2025·湖州模拟）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示：
二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法
（说明：均为常数）
有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个的值，使代数式的值为0，则；④若，则的值不可能是-5．其中所有正确结论的序号是　 　．
17．（2025·湖州模拟）计算：．
18．（2025·湖州模拟）解不等式组：．
19．（2025·湖州模拟）电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长（单位：m）会随着电磁波的频率（单位：MHz）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长与频率的部分对应值如下表：
频率 5 10 15 20 25 30
波长 60 30 20 15 12 10
（1）根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长关于频率的函数表达式．
（2）当该电磁波的频率为50MHz时，它的波长是多少m？
20．（2025·湖州模拟）某校举办了校园主题辩论赛，组织学生现场投票，并组织评委从“内容与逻辑、表达与语言、反驳与应变、团队与合作、仪态与风度”五个维度进行评分（权重分别设为2：2：3：2：1），评选出最佳人气奖2名、最佳辩手1名及其他奖项若干名．评选规则如下：最佳人气奖由学生现场投票产生；最佳辩手必须是最佳人气奖获得者，再根据评委的评分产生；其他奖项均由评委的评分产生．辩论结束，学校将投票结果和评分结果进行收集，整理后，绘制了如下的统计表和统计图：
学生投票数的频数表
组别 频数 频率
辩手A 108 0.3
辩手B 54 a
辩手C b 0.25
辩手D 72 c
其他辩手 36 0.1
学生投票数的统计图
评委评分的统计表（部分）
内容与逻辑 表达与语言 反驳与应变 团队与合作 仪态与风度
辩手A 70 95 90 85 85
辩手B 80 85 95 70 95
辩手C 80 85 95 70 95
辩手D 85 90 70 80 85
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）分别求出频数表中a、c的值，并补全条形统计图．
（2）直接写出最佳人气奖获得者，并通过计算加权平均分，确定谁是最佳辩手．
21．（2025·湖州模拟）仅用一把无刻度的直尺，按以下要求分别作图，不写作法．
（1）如图1，在正方形网格中，A，B是格点，请找一个格点，连结AC，使得．
（2）如图2，在正方形网格中，A，B是格点，请找到线段AB的中点，并用字母表示（保留作图痕迹）。
（3）如图3，在口ABCD中，是边BC上一点，请在边AD上找一点，连结CF，使得四边形AECF是平行四边形（保留作图痕迹）。
22．（2025·湖州模拟）纵观古今，解码测量背后的数学智慧．
（1）【古】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．意思是把“矩（曲尺）”仰立放，可测物体的高度．如图，点B，D，E在同一水平线上，与CD交于点．测得米，米，米，求树AB的高度．
（2）【今】某综合实践活动小组，尝试通过利用无人机（无人机限高120米）测算某山体的海拔高度，设计了如下两种方案．请选择其中一种可行的测算方案，计算该山体的海拔高度（AB的长）。（精确到1米）
测量示意图 方案说明
方案一 无人机位于海拔高度为60米的C处，测得与山顶处的仰角为，与山脚处的俯角为．（参考数据：，
方案二 当无人机位于海拔高度为60米的C处时，测得与山顶处的仰角为；当无人机垂直上升到海拔高度为113米的处时，测得与山顶处的仰角为．（参考数据：，）
23．（2025·湖州模拟）已知二次函数是常数且．
（1）若，
①直接写出该函数的表达式，并求出该函数图象的顶点坐标；
②已知该函数图象经过和两点，求的值．
（2）若该函数图象经过点，当时，函数的最大值恰好是4t，求的值．
24．（2025·湖州模拟）如图，在矩形ABCD中，是边CD上的点（不与C，D重合），过A，D，E三点的圆交对角线BD于点，交AB于点，连结EF，AF．
（1）如图1，若，连结AE.
①求的度数；
②判断的形状，并说明理由．
（2）如图2，若，延长AF交直线BC于点，连结EH．当是边BC的中点时，求的值．
（3）如图3，若（是常数），延长EF交边AB于点，当时，求的值（用含的代数式表示）。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解： 如果将“收入60元”记作“＋60元”，收入用正数表示，支出就用负数表示，那么“支出40元”记作“-40元”.
故答案为：B.
【分析】根据收入用正数表示，支出就用负数表示求解.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 278000000=2.78×100000000=2.78×108.
故答案为：.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数. 科学记数法的形式为a×10n，其中1≤a<10，n为整数.
3．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：不是三视图之一，故A符合；是主视图，故B不符合；是俯视图，故C不符合；是左视图，故D不符合.
故答案为：A.
【分析】根据三视图的意义，对四选项中的图形逐一识别，再作出判断.
4．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵ 在一个不透明的箱子里共有5个红球和3个白球， 它们除颜色外其余都相同，
∴ 从箱子里随机摸出一个球，是红球的概率为.
故答案为：D.
【分析】利用概率公式直接求解.
5．【答案】C
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：，故A错误；中没有同类项，不能合并，故B错误；，故C正确；中没有同类项，不能合并，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用合并同类项法则计算.
6．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设应调往甲处人，乙处人，
可列方程组为：.
故答案为：D.
【分析】 设应调往甲处人，乙处人， 根据“ 现调20人去支援 ”、“ 使甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍 ”分别列出方程，联立组成方程即可.
7．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：15时，该地气温最高，故A错误；这一天早上6点到9点气温在下降，故B错误；该地这一天12点与19点气温达到，故C错误；该地这一天的最高气温为30℃，最低气温为5℃，所以 该地这一天的最高与最低气温差大约是 ，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据气温变化图判断四个选项的正误.
8．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解： 如图，连接AO，BO，
∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴∠OAP= ∠OBP=90°，
∵OA=OC=1，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠AOP=∠OCA+ ∠OAC=2∠OCA，
∵四边形PACB是菱形，
∴AC=AP，
∴∠APC=∠ACP，
∴∠AOP=2∠APC，
∴∠AOP+∠APO=3∠APO=90°，
∴∠APO=30°，
∴OP=20A=2，
∴PC=OP+OC=2+1=3.
故答案为：B.
【分析】先利用切线的性质，证明∠OAP= ∠OBP=90°，再利用等边对等角，证明∠OCA=∠OAC，进而证得∠AOP=2∠OCA，再根据菱形的性质，得出AC=AP，从而可得出3∠APO=90°，求出∠APO=30°，利用含有30度角的直角三角形的性质求出OP，再利用线段和求得PC即可.
9．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解： ①设一次函数的图象恰好经过点，
∵A（-1，1），B（1，7），
∴，解得：，
∴y=3x+4，
当x=4时，，
∴点C（4，11）不在一次函数y=3x+4的图象上，
∴一次函数的图象不可能恰好经过三个点；
②设一次函数的图象恰好经过点，
∵A（-1，1），B（1，7），
∴，解得：，
∴，
当时，，
∴点不在一次函数的图象上，
∴一次函数的图象不可能恰好经过三个点；
③设一次函数的图象恰好经过点，
同理可得：由点，，可得：，
当时，，
∴点不在一次函数的图象上，
∴一次函数的图象不可能恰好经过三个点；
④设一次函数的图象恰好经过点，
同理可得：由点，，可得：，
当时，，
∴点在一次函数的图象上，
当时，，
∴点不在一次函数的图象上，
综上所述，一次函数的图象恰好经过三个点，不经过点.
故答案为：B.
【分析】 分四种情况：①一次函数的图象恰好经过点；②一次函数的图象恰好经过点；③一次函数的图象恰好经过点；④一次函数的图象恰好经过点，根据其中两个点的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式，再检验另一个是否在这个一次函数的图象上，由此即可得．
10．【答案】C
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；多边形的面积
【解析】【解答】解：设在上取，连结，，如图：
∵四边形是正方形，，
∴，
，
∴，
∵ 线段CB绕点顺时针旋转至CE（点在正方形内部），
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴、、三点共线，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴点、分别为和的中点，
设正方形的边长为，
∴，，
在中，根据勾股定理，可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
故答案为：C.
【分析】 先设，再根据等量代换得到，然后利用SAS证得，接着可证得是等腰直角三角形，再利用SAS证明，然后可得到三点在同一条直线上，再利用ASS证明， 从而可得点G、H分别为AB和BC的中点，然后设正方形ABCD的边长为2a，分别求得，，然后可求得的面积与四边形EGBC的面积的比值.
11．【答案】
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：把代入，得
．
故答案为：．
【分析】把代入计算，求出分式的值．
12．【答案】70.5
【知识点】常用角的度量单位及换算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据，将分转化为度即可．
13．【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵平均数，方差，
∴甲选手的射击成绩更稳定，
∴考虑射击稳定性，应推荐去参加比赛的选手是甲，
故答案为：甲．
【分析】利用方差做决策.根据方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小即可得．
14．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：∵的长为，半径于点，
∴，
∵的半径长为，
∴，
∴，
∴，
∴扇形的面积是，
故答案为：．
【分析】先根据垂径定理求得AD，再利用解直角三角形求得，然后利用扇形的面积公式计算即可得．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，连结AD，B'D，
∵在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD=3=BC.
∴AD==4；
∵点B与点B关于直线DE对称，
∴BD= BD'.
∴BD=B'D=CD.
∴∠DBB'=∠DB'B，
∠DB'C=∠C.
∵∠DBB'+∠DB'B+∠DB'C+∠C=180°，
∴∠DB'B+∠DB'C=90°，
即∠BB'C=90°.
∴BB'⊥AC.
∴，
∴BB'=，
故答案为：.
【分析】先根据勾股定理可得AD，再由轴对称图形的性质得到BD=B'D=CD，然后由等边对等角和三角形内角和定理可证明BB'⊥AC，利用等面积法可求解.
16．【答案】①④
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；配方法的应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，
，
，
，
∴，
①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故正确；
②∵，
∴，
解得：，
∴，故错误；
③由题意可知：当时，方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴，故错误；
④当，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴c的值不可能是，说法正确；
综上所述：正确的结论有①④；
故答案为①④．
【分析】先根据表中信息，得出，再根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次判断正误．
17．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先分别求出零将幂、算术平方根、绝对值，再计算加减.
18．【答案】解：解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组的解是．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求出两个不等的解，再求出不等式组的解.
19．【答案】（1）解：根据表格数据的关系，可得与成反比例函数关系，
设
可得
∴ 波长关于频率的函数表达式为
（2）解：当时，．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据表中数据，得出与成反比例函数关系，再代入一组数据求得k，然后写出函数关系式；
（2）将f= 50MHz，代入（1）中求得的函数表达式即可求得波长.
20．【答案】（1）解：，
，
，补全统计图略．
（2）解：最佳人气辩手是“辩手A”和“辩手C”，
（分），
（分），
最佳辩手是“辩手A”．
【知识点】频数（率）分布表；统计表；条形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）先根据辩手A的得票数与其频率，求出总人数，再利用辩手B的得票数求出其频率a，利用辩手D的得票数求出其频率c；
（2）利用加权平均数的计算方法计算，再作出比较后确定最佳辩手.
21．【答案】（1）解：如图所示：（答案不唯一）
（2）解：如图所示：（作法不唯一）
（3）解：如图所示：（作法不唯一）
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；平行四边形的判定；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的性质求解；
（2）利用平行线的对角线互相平分求解；
（3）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形求解.
22．【答案】（1）解：，
，
，
（米），（米），（米），
，解得：（米）．
答：树AB的高度为14米.
（2）解：选择方案二进行问题解决：
，
，
，
，
∴，
（米），
（米），
山体高度约为160米．
（此小题方法不唯一）
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；等腰直角三角形；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先证明，再列出比例式求出AB；
（2）先利用等腰直角三角形的性质，得出AE=CE，再利用正切得到关于CE的方程，求出CE，然后利用AB=AE+EB求解.
23．【答案】（1）解：①函数的表达式是，
，
该函数图象的顶点坐标是．
②点和点都在该函数图象上，
，，
解得，
．
（2）解：该函数图象经过点，
，
，
，
．
∴函数图象的对称轴为直线，
根据图象，得和时，函数值相等．
当时，，解得：；
当时，，解得：（舍去），.
综上所述，的值是或8．
（此小题方法不唯一）
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）①将抛物线写成顶点式，再求出顶点坐标；
②根据点和点都在该函数图象上，代入抛物线的解析式中，转化为方程求解，求得m的值；
（2）先根据函数图象经过点，求出a，再写出抛物线的解析式，求出对称轴，再根据当时，函数的最大值恰好是4t，分“”、“”两情况，分别求出t的值.
24．【答案】（1）解：①矩形，
四边形ABCD是正方形，，
，
与是同弧所对的圆周角，
．
②是等腰直角三角形．理由如下：
与是同弧所对的圆周角，
，
，
是等腰直角三角形．
（2）解：连结AE，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴是过三点的圆的直径，
∴，
∴，
由圆周角定理得：，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵是边的中点，
∴ ，即，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴．
（3）解：连结DG，
∵四边形是矩形，
∴，
∴是图中圆的直径，
由圆周角定理得：，
∵，
∴，
∴，
由（2）已得：，即，
∴，
又∵是图中圆的直径，是图中圆的弦，
∴垂直平分，
∴，
∵（是常数），
∴设，则，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）①先证出四边形是正方形，根据正方形的性质可得，再根据圆周角定理即可得；
②根据圆周角定理可得，，再根据等腰直角三角形的判定即可得；
（2）连接，先根据圆周角定理可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，证出，根据相似三角形的性质可得，然后设，则，，利用勾股定理可得，由此即可得；
（3）连接，先根据圆周角定理可得是图中圆的直径，再证出，根据垂径定理可得，然后设，则，利用勾股定理可得的长，从而可得的长，最后根据平行线分线段成比例定理可得，由此即可得．
1 / 1浙江省湖州市2025年九年级中考一模数学试题
1．（2025·湖州模拟）我国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入60元”记作“＋60元”，那么“支出40元”记作（　　）
A．+40元 B．-40元 C．+20元 D．20元
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解： 如果将“收入60元”记作“＋60元”，收入用正数表示，支出就用负数表示，那么“支出40元”记作“-40元”.
故答案为：B.
【分析】根据收入用正数表示，支出就用负数表示求解.
2．（2025·湖州模拟）根据某网站统计数据，截止至2025年2月，DeepSeek的总访问量达到了278000000次，为读写方便，可将数278000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 278000000=2.78×100000000=2.78×108.
故答案为：.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数. 科学记数法的形式为a×10n，其中1≤a<10，n为整数.
3．（2025·湖州模拟）某校举办运动会，运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，下面四幅图中，不可能是该几何体的三视图的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：不是三视图之一，故A符合；是主视图，故B不符合；是俯视图，故C不符合；是左视图，故D不符合.
故答案为：A.
【分析】根据三视图的意义，对四选项中的图形逐一识别，再作出判断.
4．（2025·湖州模拟）已知在一个不透明的箱子里共有5个红球和3个白球，它们除颜色外其余都相同，则从箱子里随机摸出一个球，是红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵ 在一个不透明的箱子里共有5个红球和3个白球， 它们除颜色外其余都相同，
∴ 从箱子里随机摸出一个球，是红球的概率为.
故答案为：D.
【分析】利用概率公式直接求解.
5．（2025·湖州模拟）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：，故A错误；中没有同类项，不能合并，故B错误；，故C正确；中没有同类项，不能合并，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用合并同类项法则计算.
6．（2025·湖州模拟）为提升学生的劳动意识，某校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人．现调20人去支援，使甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，问应调往甲、乙两处各多少人？若设应调往甲处人，乙处人，则下列方程（组）中，与题意不符的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设应调往甲处人，乙处人，
可列方程组为：.
故答案为：D.
【分析】 设应调往甲处人，乙处人， 根据“ 现调20人去支援 ”、“ 使甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍 ”分别列出方程，联立组成方程即可.
7．（2025·湖州模拟）某地区某天的气温变化较大，如图表示该地区这天24小时的气温变化情况．下列说法正确的是（　　）
A．正午12点时，该地气温最高
B．这一天早上6点之后，该地气温一直在升高
C．该地这一天只有一个时刻的气温达到
D．该地这一天的最高与最低气温差大约是
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：15时，该地气温最高，故A错误；这一天早上6点到9点气温在下降，故B错误；该地这一天12点与19点气温达到，故C错误；该地这一天的最高气温为30℃，最低气温为5℃，所以 该地这一天的最高与最低气温差大约是 ，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据气温变化图判断四个选项的正误.
8．（2025·湖州模拟）如图，已知的半径长是1，PA，PB分别切于点A，B，连结PO并延长交于点，连结AC，BC．若四边形PACB是菱形，则PC的长是（　　）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；切线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解： 如图，连接AO，BO，
∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴∠OAP= ∠OBP=90°，
∵OA=OC=1，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠AOP=∠OCA+ ∠OAC=2∠OCA，
∵四边形PACB是菱形，
∴AC=AP，
∴∠APC=∠ACP，
∴∠AOP=2∠APC，
∴∠AOP+∠APO=3∠APO=90°，
∴∠APO=30°，
∴OP=20A=2，
∴PC=OP+OC=2+1=3.
故答案为：B.
【分析】先利用切线的性质，证明∠OAP= ∠OBP=90°，再利用等边对等角，证明∠OCA=∠OAC，进而证得∠AOP=2∠OCA，再根据菱形的性质，得出AC=AP，从而可得出3∠APO=90°，求出∠APO=30°，利用含有30度角的直角三角形的性质求出OP，再利用线段和求得PC即可.
9．（2025·湖州模拟）在平面直角坐标系中，有四个点，一次函数的图象恰好经过其中三个点，则该函数图象没有经过的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解： ①设一次函数的图象恰好经过点，
∵A（-1，1），B（1，7），
∴，解得：，
∴y=3x+4，
当x=4时，，
∴点C（4，11）不在一次函数y=3x+4的图象上，
∴一次函数的图象不可能恰好经过三个点；
②设一次函数的图象恰好经过点，
∵A（-1，1），B（1，7），
∴，解得：，
∴，
当时，，
∴点不在一次函数的图象上，
∴一次函数的图象不可能恰好经过三个点；
③设一次函数的图象恰好经过点，
同理可得：由点，，可得：，
当时，，
∴点不在一次函数的图象上，
∴一次函数的图象不可能恰好经过三个点；
④设一次函数的图象恰好经过点，
同理可得：由点，，可得：，
当时，，
∴点在一次函数的图象上，
当时，，
∴点不在一次函数的图象上，
综上所述，一次函数的图象恰好经过三个点，不经过点.
故答案为：B.
【分析】 分四种情况：①一次函数的图象恰好经过点；②一次函数的图象恰好经过点；③一次函数的图象恰好经过点；④一次函数的图象恰好经过点，根据其中两个点的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式，再检验另一个是否在这个一次函数的图象上，由此即可得．
10．（2025·湖州模拟）如图，在正方形ABCD中，线段CB绕点顺时针旋转至CE（点在正方形内部），连结DE并延长至点，使得交AB于点，连结BF，BE．若，则的面积与四边形EGBC的面积的比值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；多边形的面积
【解析】【解答】解：设在上取，连结，，如图：
∵四边形是正方形，，
∴，
，
∴，
∵ 线段CB绕点顺时针旋转至CE（点在正方形内部），
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴、、三点共线，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴点、分别为和的中点，
设正方形的边长为，
∴，，
在中，根据勾股定理，可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
故答案为：C.
【分析】 先设，再根据等量代换得到，然后利用SAS证得，接着可证得是等腰直角三角形，再利用SAS证明，然后可得到三点在同一条直线上，再利用ASS证明， 从而可得点G、H分别为AB和BC的中点，然后设正方形ABCD的边长为2a，分别求得，，然后可求得的面积与四边形EGBC的面积的比值.
11．（2025·湖州模拟）当时，分式的值是　 　.
【答案】
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：把代入，得
．
故答案为：．
【分析】把代入计算，求出分式的值．
12．（2025·湖州模拟）把角度转化成度的形式：　 　．
【答案】70.5
【知识点】常用角的度量单位及换算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据，将分转化为度即可．
13．（2025·湖州模拟）要推荐选手参加射击比赛，现有甲、乙两位选手每人10次射击的成绩，经分析得，平均数，方差．若考虑射击稳定性，应推荐去参加比赛的选手是　 　．
【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵平均数，方差，
∴甲选手的射击成绩更稳定，
∴考虑射击稳定性，应推荐去参加比赛的选手是甲，
故答案为：甲．
【分析】利用方差做决策.根据方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小即可得．
14．（2025·湖州模拟）如图，AB是的弦，半径于点，连结OA．若的半径长为的长为，则扇形OAC的面积是　 　（结果保留）。
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：∵的长为，半径于点，
∴，
∵的半径长为，
∴，
∴，
∴，
∴扇形的面积是，
故答案为：．
【分析】先根据垂径定理求得AD，再利用解直角三角形求得，然后利用扇形的面积公式计算即可得．
15．（2025·湖州模拟）如图，在中，是BC的中点，是边AB上的一点，点与点＇关于直线DE对称，点恰好在边AC上，连结，则的长是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，连结AD，B'D，
∵在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD=3=BC.
∴AD==4；
∵点B与点B关于直线DE对称，
∴BD= BD'.
∴BD=B'D=CD.
∴∠DBB'=∠DB'B，
∠DB'C=∠C.
∵∠DBB'+∠DB'B+∠DB'C+∠C=180°，
∴∠DB'B+∠DB'C=90°，
即∠BB'C=90°.
∴BB'⊥AC.
∴，
∴BB'=，
故答案为：.
【分析】先根据勾股定理可得AD，再由轴对称图形的性质得到BD=B'D=CD，然后由等边对等角和三角形内角和定理可证明BB'⊥AC，利用等面积法可求解.
16．（2025·湖州模拟）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示：
二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法
（说明：均为常数）
有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个的值，使代数式的值为0，则；④若，则的值不可能是-5．其中所有正确结论的序号是　 　．
【答案】①④
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；配方法的应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，
，
，
，
∴，
①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故正确；
②∵，
∴，
解得：，
∴，故错误；
③由题意可知：当时，方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴，故错误；
④当，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴c的值不可能是，说法正确；
综上所述：正确的结论有①④；
故答案为①④．
【分析】先根据表中信息，得出，再根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次判断正误．
17．（2025·湖州模拟）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先分别求出零将幂、算术平方根、绝对值，再计算加减.
18．（2025·湖州模拟）解不等式组：．
【答案】解：解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组的解是．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求出两个不等的解，再求出不等式组的解.
19．（2025·湖州模拟）电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长（单位：m）会随着电磁波的频率（单位：MHz）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长与频率的部分对应值如下表：
频率 5 10 15 20 25 30
波长 60 30 20 15 12 10
（1）根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长关于频率的函数表达式．
（2）当该电磁波的频率为50MHz时，它的波长是多少m？
【答案】（1）解：根据表格数据的关系，可得与成反比例函数关系，
设
可得
∴ 波长关于频率的函数表达式为
（2）解：当时，．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据表中数据，得出与成反比例函数关系，再代入一组数据求得k，然后写出函数关系式；
（2）将f= 50MHz，代入（1）中求得的函数表达式即可求得波长.
20．（2025·湖州模拟）某校举办了校园主题辩论赛，组织学生现场投票，并组织评委从“内容与逻辑、表达与语言、反驳与应变、团队与合作、仪态与风度”五个维度进行评分（权重分别设为2：2：3：2：1），评选出最佳人气奖2名、最佳辩手1名及其他奖项若干名．评选规则如下：最佳人气奖由学生现场投票产生；最佳辩手必须是最佳人气奖获得者，再根据评委的评分产生；其他奖项均由评委的评分产生．辩论结束，学校将投票结果和评分结果进行收集，整理后，绘制了如下的统计表和统计图：
学生投票数的频数表
组别 频数 频率
辩手A 108 0.3
辩手B 54 a
辩手C b 0.25
辩手D 72 c
其他辩手 36 0.1
学生投票数的统计图
评委评分的统计表（部分）
内容与逻辑 表达与语言 反驳与应变 团队与合作 仪态与风度
辩手A 70 95 90 85 85
辩手B 80 85 95 70 95
辩手C 80 85 95 70 95
辩手D 85 90 70 80 85
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）分别求出频数表中a、c的值，并补全条形统计图．
（2）直接写出最佳人气奖获得者，并通过计算加权平均分，确定谁是最佳辩手．
【答案】（1）解：，
，
，补全统计图略．
（2）解：最佳人气辩手是“辩手A”和“辩手C”，
（分），
（分），
最佳辩手是“辩手A”．
【知识点】频数（率）分布表；统计表；条形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）先根据辩手A的得票数与其频率，求出总人数，再利用辩手B的得票数求出其频率a，利用辩手D的得票数求出其频率c；
（2）利用加权平均数的计算方法计算，再作出比较后确定最佳辩手.
21．（2025·湖州模拟）仅用一把无刻度的直尺，按以下要求分别作图，不写作法．
（1）如图1，在正方形网格中，A，B是格点，请找一个格点，连结AC，使得．
（2）如图2，在正方形网格中，A，B是格点，请找到线段AB的中点，并用字母表示（保留作图痕迹）。
（3）如图3，在口ABCD中，是边BC上一点，请在边AD上找一点，连结CF，使得四边形AECF是平行四边形（保留作图痕迹）。
【答案】（1）解：如图所示：（答案不唯一）
（2）解：如图所示：（作法不唯一）
（3）解：如图所示：（作法不唯一）
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；平行四边形的判定；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的性质求解；
（2）利用平行线的对角线互相平分求解；
（3）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形求解.
22．（2025·湖州模拟）纵观古今，解码测量背后的数学智慧．
（1）【古】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．意思是把“矩（曲尺）”仰立放，可测物体的高度．如图，点B，D，E在同一水平线上，与CD交于点．测得米，米，米，求树AB的高度．
（2）【今】某综合实践活动小组，尝试通过利用无人机（无人机限高120米）测算某山体的海拔高度，设计了如下两种方案．请选择其中一种可行的测算方案，计算该山体的海拔高度（AB的长）。（精确到1米）
测量示意图 方案说明
方案一 无人机位于海拔高度为60米的C处，测得与山顶处的仰角为，与山脚处的俯角为．（参考数据：，
方案二 当无人机位于海拔高度为60米的C处时，测得与山顶处的仰角为；当无人机垂直上升到海拔高度为113米的处时，测得与山顶处的仰角为．（参考数据：，）
【答案】（1）解：，
，
，
（米），（米），（米），
，解得：（米）．
答：树AB的高度为14米.
（2）解：选择方案二进行问题解决：
，
，
，
，
∴，
（米），
（米），
山体高度约为160米．
（此小题方法不唯一）
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；等腰直角三角形；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）先证明，再列出比例式求出AB；
（2）先利用等腰直角三角形的性质，得出AE=CE，再利用正切得到关于CE的方程，求出CE，然后利用AB=AE+EB求解.
23．（2025·湖州模拟）已知二次函数是常数且．
（1）若，
①直接写出该函数的表达式，并求出该函数图象的顶点坐标；
②已知该函数图象经过和两点，求的值．
（2）若该函数图象经过点，当时，函数的最大值恰好是4t，求的值．
【答案】（1）解：①函数的表达式是，
，
该函数图象的顶点坐标是．
②点和点都在该函数图象上，
，，
解得，
．
（2）解：该函数图象经过点，
，
，
，
．
∴函数图象的对称轴为直线，
根据图象，得和时，函数值相等．
当时，，解得：；
当时，，解得：（舍去），.
综上所述，的值是或8．
（此小题方法不唯一）
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）①将抛物线写成顶点式，再求出顶点坐标；
②根据点和点都在该函数图象上，代入抛物线的解析式中，转化为方程求解，求得m的值；
（2）先根据函数图象经过点，求出a，再写出抛物线的解析式，求出对称轴，再根据当时，函数的最大值恰好是4t，分“”、“”两情况，分别求出t的值.
24．（2025·湖州模拟）如图，在矩形ABCD中，是边CD上的点（不与C，D重合），过A，D，E三点的圆交对角线BD于点，交AB于点，连结EF，AF．
（1）如图1，若，连结AE.
①求的度数；
②判断的形状，并说明理由．
（2）如图2，若，延长AF交直线BC于点，连结EH．当是边BC的中点时，求的值．
（3）如图3，若（是常数），延长EF交边AB于点，当时，求的值（用含的代数式表示）。
【答案】（1）解：①矩形，
四边形ABCD是正方形，，
，
与是同弧所对的圆周角，
．
②是等腰直角三角形．理由如下：
与是同弧所对的圆周角，
，
，
是等腰直角三角形．
（2）解：连结AE，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴是过三点的圆的直径，
∴，
∴，
由圆周角定理得：，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵是边的中点，
∴ ，即，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
∴．
（3）解：连结DG，
∵四边形是矩形，
∴，
∴是图中圆的直径，
由圆周角定理得：，
∵，
∴，
∴，
由（2）已得：，即，
∴，
又∵是图中圆的直径，是图中圆的弦，
∴垂直平分，
∴，
∵（是常数），
∴设，则，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）①先证出四边形是正方形，根据正方形的性质可得，再根据圆周角定理即可得；
②根据圆周角定理可得，，再根据等腰直角三角形的判定即可得；
（2）连接，先根据圆周角定理可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，证出，根据相似三角形的性质可得，然后设，则，，利用勾股定理可得，由此即可得；
（3）连接，先根据圆周角定理可得是图中圆的直径，再证出，根据垂径定理可得，然后设，则，利用勾股定理可得的长，从而可得的长，最后根据平行线分线段成比例定理可得，由此即可得．
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