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浙江省杭州市2024-2025学年高三下学期教学质量检测数学试题
1．（2025·杭州模拟）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·杭州模拟）已知向量，，，则（　　）
A．2 B．0 C． D．
3．（2025·杭州模拟）若等比数列满足，，则数列的公比等于（　　）
A．或 B．或 C． D．
4．（2025·杭州模拟）已知数据，，…，的方差，则（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·杭州模拟）已知，为任意正数，若恒成立，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·杭州模拟）定义“真指数”（e为自然对数的底数），则（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·杭州模拟）设函数是奇函数.若函数，，则（　　）
A．27 B．28 C．29 D．30
8．（2025·杭州模拟）若，，则（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·杭州模拟）已知复数（是虚数单位），则（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·杭州模拟）设函数，则（　　）
A．是偶函数 B．
C．在区间上单调递增 D．为的极小值点
11．（2025·杭州模拟）设曲线，直线与曲线的交点的可能个数的集合记为，则（　　）
A． B．
C． D．若，则且
12．（2025·杭州模拟）曲线在点处的切线方程是　 　.
13．（2025·杭州模拟）已知是单位圆，正三角形的顶点，在上，则的最大值为　 　.
14．（2025·杭州模拟）甲、乙、丙三人分别从2个不同的数中随机选择若干个数（可以不选），分别构成集合，，，记中元素的个数为，则的概率为　 　.
15．（2025·杭州模拟）某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查100人购买情况，得到如下列联表：
　 新能源汽车款 新能源汽车款 总计
男性 50 10
女性 25 15 40
总计 25 100
（1）求；
（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？
（3）假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取3人，设被抽取的3人中购买了B款车的人数为，求的数学期望.
附：，.
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
16．（2025·杭州模拟）已知函数（）.
（1）若，求的极小值；
（2）当时，求的单调递增区间；
（3）当时，设的极大值为，求证：.
17．（2025·杭州模拟）在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中为动点.
（1）设，
（ⅰ）证明：平面；
（ⅱ）求三棱锥的体积；
（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
18．（2025·杭州模拟）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，.
（1）求的方程；
（2）记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率；
（3）设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标.
19．（2025·杭州模拟）设，，…，是1，2，…，（且）的一个排列.数列满足为，，（）的中位数，规定，.将中的所有取值构成的集合记为.
（1）当时，求和；
（2）求中所有元素之和的最大值；
（3）求中元素个数的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：解方程，可得或，即集合，
因为集合所，以.
故答案为：B.
【分析】先求集合，根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：易知，则.
故答案为：C.
【分析】由题意先求，再根据向量数量积的坐标表示求解即可.
3．【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解： 设等比数列的公比为，由，，
可得，，
解得.
故答案为：C.
【分析】 设等比数列的公比为，由题意，根据等比数列的通项公式求解即可.
4．【答案】D
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：数据，，…，的方差，则，
即，即，（），即，
即.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据方差的计算公式，求得，再逐项判断即可.
5．【答案】A
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为对任意的正数，恒成立，所以，
又因为，所以，解得.
故答案为：A.
【分析】先由恒成立得到，再由绝对值特性得到求解即可.
6．【答案】C
【知识点】有理数指数幂的运算性质；基本不等式
【解析】【解答】解：A、取，左边，即左边等于，右边，故A错误；
B、取，左边，即左边等于；右边等于，故B错误；
C、因为恒成立，所以在恒成立，则，
当且仅当，即时取等号，故C正确；
D、取，左边，即左边等于；右边等于，故D错误.
故答案为：C.
【分析】由指数函数新定义举反例即可判断ABD；结合基本不等式分析，分当时和当或时两种情况利用函数新定义即可判断C.
7．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为函数是奇函数，所以，
则，又因为，
所以①，②；
①②相加可得；
又因为，所以.
故答案为：B.
【分析】根据函数奇函数定义可得，再利用赋值法由代入计算即可.
8．【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：，两边平方可得，
因为，所以，则，
即，
即，故C、D错误
，故A正确.
故答案为：A.
【分析】将平方，结合可得，逐项判断即可.
9．【答案】A,B,C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：易知复数，
A、，故A正确；
B、， ，则，故B正确；
C、，故C正确；
D、，
，
则，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用特殊的三角函数值化简求得复数，再利用复数的模、共轭复数以及四则运算逐项计算判断即可.
10．【答案】B,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数，故A错误；
B、函数，且，
当时，，；
当时，，；
当时，，因此，故B正确；
C、，当时，，，函数在单调递减，故C错误；
D、，当时，，故，当时，，此时，因此在单调递减，在单调递增，即为的极小值点，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据函数的定义域即可判断A；根据对数的性质求解即可判断B；求导，利用导数判断函数的单调性，即可判断C；根据单调性即可由极值点的定义求解即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】圆锥曲线的综合；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：A、当，曲线，渐近线为；
当，曲线，作出曲线的图象，如图所示：
曲线上半部分为双曲线的一部分，下半部分为椭圆的一部分，且曲线关于y轴对称，
根据对称性，只需讨论的情况，讨论如下：
当，
时，直线与曲线无交点；
时，直线与曲线有1个交点；
时，直线与曲线有2个交点；
当，
时，如下图直线，随变化过程，
由图知，直线与椭圆部分相切为界，即有1个交点；
此时不变，，直线与曲线有2个交点，，直线与曲线无交点，
所以直线与曲线的交点个数有三种可能；
时，，如下图直线与曲线有2个交点；
当，如下图，分别以直线与曲线双曲线、椭圆部分相切为界，
直线在双曲线部分相切线上方时，直线与曲线恒有1个交点，
直线与双曲线部分相切时，直线与曲线恒有2个交点，
直线在椭圆相切线下方时，直线与曲线无交点，
直线与椭圆部分相切时，直线与曲线有1个交点，
直线在两条相切线之间时，直线与曲线有3个交点，
综上，，故A正确；
B、对于直线恒过点，随的变化与曲线位置，如下图示：
时直线与曲线恒有2个交点；时直线与曲线恒有1个交点；
所以与曲线的交点可能有两种可能，即，故B错误；
C、，以直线与椭圆部分相切、直线与双曲线渐近线平行为界，
联立，消元整理可得且，
若，可得，如下图示：
当时，直线与曲线有2个交点；
当或时，直线与曲线有1个交点；
当时，直线与曲线无交点；
所以与曲线的交点可能有两种可能，即，故C正确；
D、结合A分析，时存在直线与曲线有3个交点，而其它情况不存在，
此时，假设，显然直线与曲线有且仅有1个交点，不符合，
所以，结合对称性，直线与曲线有3个交点，必有且，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据曲线方程有，且渐近线为，当，，即曲线上半部分为双曲线的一部分，下半部分为椭圆的一部分，且曲线关于y轴对称，应用对称性研究时直线与曲线的交点情况逐项判断即可.
12．【答案】
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：曲线，，易知切线斜率，
则曲线在点处的切线方程是，即.
故答案为：.
【分析】利用导数的几何意义求切线方程即可.
13．【答案】2
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：如图所示：
根据圆与等边三角形的对称性知：当取最大值时，过的中点M，
设，则，，
，，
设，，
令，即，解得，
则当时，，单调递增；当时，，单调递减，
当时，，
所以的最大值为2.
故答案为：2.
【分析】由题意作出图形，利用圆与等边三角形的对称性得出取最大值时，过的中点M，设，表示出的大小，借助于导数求的最大值即可．
14．【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意，设两个不同数为，每个元素被某人选中的概率为且相互独立，
则一个元素被甲乙丙三人都选中的概率为，
由中元素的个数，表示至少一个元素被三人选中，
而两个元素均未被三人选中的概率为，则的概率为.
故答案为：.
【分析】由题意可知，每个元素被某人选中的概率为且相互独立，应用独立乘法公式及对立事件的概率求法得两个元素均未被三人选中的概率为，利用对立事件的概率求法求解即可.
15．【答案】（1）解：由列联表可知：，；
（2）解：零假设为：选购新能源汽车的款式与性别无关联，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，可以认为选购车的款式与性别有关，
此推断犯错误的概率不大于0.05；
（3）解：易知随机抽取1人购买B款车的概率为，
由题意可知：随机变量的可能取值为，且，
则.
【知识点】独立性检验的应用；二项分布；2×2列联表
【解析】【分析】（1）利用表格数据直接计算即可；
（2）先零假设，计算，再进行独立性检验即可；
（3）由题意可知：随机变量服从二项分布，利用二项分布的期望公式求解即可.
（1）由题意得，.
（2）零假设为：选购新能源汽车的款式与性别无关联.
根据列联表中的数据，可得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
可以认为选购车的款式与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05；
（3）随机抽取1人购买B款车的概率为，
的可能取值有，由题意得，
由二项分布的期望公式得.
16．【答案】（1）解：若，函数定义域为，，
令，解得，
当时，当时，
则函数在单调递减，在单调递增，
当时，函数取极小值，极小值等于；
（2）解：当时，，，
令，则，解得或，
则在和上单调递增，
令，则，解得，即在上单调递减，
故的单调增区间为和；
（3）证明：当时，由（2）知，的极大值等于；
当时，，单调递增，无极大值；
当时，当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以的极大值等于，
令，，
在上在上，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以故，
综上所述，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数判断函数的单调性求解出函数的极值即可；
（2）当时，利用导数求解函数的单调性求解出函数的单调递增区间即可；
（3）分和讨论求解即可.
（1）由题意知.
若，则，所以.
令，得.
当时，当时，
所以在单调递减，在单调递增，
所以的极小值等于.
（2）因为，所以，
由，即，解得或，
所以在和单调递增，
由，即，解得，
所以在单调递减，
故的单调增区间为和.
（3）当时，由（2）知，的极大值等于；
当时，，单调递增，无极大值；
当时，当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以的极大值等于，
令，所以，
在上在上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以故，
综上所述，.
17．【答案】（1）证明；（ⅰ）在中，，，则，
因为，，所以，所以，
又因为，平面，，所以平面；
（ⅱ）；
（2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
设二面角的平面角为，则，，，，
，
易知平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，则，
设，设，
，当且仅当，即时取等号，即，
则直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）（ⅰ）由题意，利用线面垂直的判定定理证明即可；
（ⅱ）利用求三棱锥的体积即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量表示出直线与平面所成角的正弦值，再结合换元法和基本不等式可求其最大值即可.
（1）（ⅰ）在中，，，所以.
因为，，所以，
所以.
又因为，平面，，
所以平面.
（ⅱ）.
（2）如图，建立以为原点的空间直角坐标系，设二面角的平面角为，则，，，.
所以.平面的法向量为.
设直线与平面所成角为，则.
设，
设，
所以，（当且仅当，即时取等号），即.
直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
18．【答案】（1）解：易知，则抛物线方程为；
（2）解：设直线的方程为，，，则，，，
联立，消元整理可得，
由韦达定理可得：，，
则直线的方程为：，
联立，解得，同理，
则，解得，
故直线的斜率为；
（3）解：设，
因为，，，
所以，
当时，为定值，则.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意得到，代入即可得抛物线方程；
（2）设直线的方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理求解即可；
（3）由（2）结合两点斜率公式求解即可.
（1）由题意知，所以抛物线方程为.
（2）由题意可设直线的方程为，，，则，，.
所以，得，
所以，.
所以直线的方程为：，与直线的方程联立消去，
解得，同理.
所以.所以.
所以直线的斜率为.
（3）设，
因为.
因为，.
所以，
当时，为定值.所以.
19．【答案】（1）解：当时，1，2，3无论按何种顺序排列，中位数只能是2，则；
当时，在1，2，3，4中任取3个数：1，2，3；1，2，4；1，3，4和2，3，4，
中位数只能为2或3，则；
（2）解：显然，不存在使得或，
故中所有元素的和，
且当时，有，
此时成立；
（3）解：注意到对于任意，，
记中元素个数的最小值为，由（1）可知，，，
考虑的情形：
对于1，2，3，4，5的排列，1和5不可能作为中位数；
不妨，考虑三元素组，，，至少产生2个不同的中位数，
①若此时中位数为，，不妨，则，，
所以三元组将产生新的中位数，所以；
②若此时的中位数为，，则，，，
若，则三元组产生新的中位数；
若，则三元组产生新的中位数.所以，
③同理可知，若此时中位数为，；，也有；
所以，，，
下面证明：，
比较下面两个数列：
（ⅰ），，…，，，，
（ⅱ），，…，，，，，，，
其中，，…，和，，…，具有相同的大小顺序，
因此，这两个数列的前个三元数组所对应的中位数个数相同，
因此，只需要比较数列（ⅰ）中三元组，和数列（ⅱ）中三元组
，，，，，
因为，数列（ⅱ）中至少增加1个新的中位数，故结论成立，
因为若，的中位数在前面未出现，
则，的中位数在前面也不会出现，
对于新增的中位数，若，的2个中位数在前面出现过，
则，的中位数在前面也出现过，至少新增的中位数，
综上：（），
下面给出一种构造：
①当时，构造：，
此时，满足，
②当时，构造：，
此时，满足，
③当时，构造：
，
此时，满足.
【知识点】数列的应用
【解析】【分析】（1）由题意求和即可；
（2）先排除不可能的取值，然后得到最大值，并构造出对应数列，得到最大值可取；
（3）先分析时，由三元素组分析得到.然后通过构建两个具有相同的大小顺序的数列，证明.从而得到的最小值.然后再构造出能够取到最小值的数量列即可.
（1）当时，1，2，3无论按何种顺序排列，中位数只能是2，故.
当时，在1，2，3，4中任取3个数：1，2，3；1，2，4；1，3，4和2，3，4，
中位数只能为2或3，所以.
（2）显然，不存在使得或，
故中所有元素的和，
且当时，有.
此时成立.
（3）注意到对于任意，，
记中元素个数的最小值为，由（1）可知，，.
考虑的情形：
对于1，2，3，4，5的排列，1和5不可能作为中位数；
不妨，考虑三元素组，，，至少产生2个不同的中位数.
①若此时中位数为，，不妨，则，.
所以三元组将产生新的中位数，所以；
②若此时的中位数为，，则，，.
若，则三元组产生新的中位数；
若，则三元组产生新的中位数.所以.
③同理可知，若此时中位数为，；，也有；
所以，，.
下面证明：.
比较下面两个数列：
（ⅰ），，…，，，.
（ⅱ），，…，，，，，，.
其中，，…，和，，…，具有相同的大小顺序.
因此，这两个数列的前个三元数组所对应的中位数个数相同.
因此，只需要比较数列（ⅰ）中三元组，和数列（ⅱ）中三元组
，，，，.
因为，数列（ⅱ）中至少增加1个新的中位数，故结论成立.
因为若，的中位数在前面未出现，
则，的中位数在前面也不会出现.
对于新增的中位数，若，的2个中位数在前面出现过，
则，的中位数在前面也出现过，至少新增的中位数.
综上：（）.
下面给出一种构造：
①当时，构造：，
此时，满足.
②当时，构造：，
此时，满足.
③当时，构造：
，
此时，满足.
1 / 1浙江省杭州市2024-2025学年高三下学期教学质量检测数学试题
1．（2025·杭州模拟）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：解方程，可得或，即集合，
因为集合所，以.
故答案为：B.
【分析】先求集合，根据集合的交集运算求解即可.
2．（2025·杭州模拟）已知向量，，，则（　　）
A．2 B．0 C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：易知，则.
故答案为：C.
【分析】由题意先求，再根据向量数量积的坐标表示求解即可.
3．（2025·杭州模拟）若等比数列满足，，则数列的公比等于（　　）
A．或 B．或 C． D．
【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解： 设等比数列的公比为，由，，
可得，，
解得.
故答案为：C.
【分析】 设等比数列的公比为，由题意，根据等比数列的通项公式求解即可.
4．（2025·杭州模拟）已知数据，，…，的方差，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：数据，，…，的方差，则，
即，即，（），即，
即.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据方差的计算公式，求得，再逐项判断即可.
5．（2025·杭州模拟）已知，为任意正数，若恒成立，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】其他不等式的解法
【解析】【解答】解：因为对任意的正数，恒成立，所以，
又因为，所以，解得.
故答案为：A.
【分析】先由恒成立得到，再由绝对值特性得到求解即可.
6．（2025·杭州模拟）定义“真指数”（e为自然对数的底数），则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】有理数指数幂的运算性质；基本不等式
【解析】【解答】解：A、取，左边，即左边等于，右边，故A错误；
B、取，左边，即左边等于；右边等于，故B错误；
C、因为恒成立，所以在恒成立，则，
当且仅当，即时取等号，故C正确；
D、取，左边，即左边等于；右边等于，故D错误.
故答案为：C.
【分析】由指数函数新定义举反例即可判断ABD；结合基本不等式分析，分当时和当或时两种情况利用函数新定义即可判断C.
7．（2025·杭州模拟）设函数是奇函数.若函数，，则（　　）
A．27 B．28 C．29 D．30
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为函数是奇函数，所以，
则，又因为，
所以①，②；
①②相加可得；
又因为，所以.
故答案为：B.
【分析】根据函数奇函数定义可得，再利用赋值法由代入计算即可.
8．（2025·杭州模拟）若，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：，两边平方可得，
因为，所以，则，
即，
即，故C、D错误
，故A正确.
故答案为：A.
【分析】将平方，结合可得，逐项判断即可.
9．（2025·杭州模拟）已知复数（是虚数单位），则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的加减运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：易知复数，
A、，故A正确；
B、， ，则，故B正确；
C、，故C正确；
D、，
，
则，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用特殊的三角函数值化简求得复数，再利用复数的模、共轭复数以及四则运算逐项计算判断即可.
10．（2025·杭州模拟）设函数，则（　　）
A．是偶函数 B．
C．在区间上单调递增 D．为的极小值点
【答案】B,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数，故A错误；
B、函数，且，
当时，，；
当时，，；
当时，，因此，故B正确；
C、，当时，，，函数在单调递减，故C错误；
D、，当时，，故，当时，，此时，因此在单调递减，在单调递增，即为的极小值点，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据函数的定义域即可判断A；根据对数的性质求解即可判断B；求导，利用导数判断函数的单调性，即可判断C；根据单调性即可由极值点的定义求解即可判断D.
11．（2025·杭州模拟）设曲线，直线与曲线的交点的可能个数的集合记为，则（　　）
A． B．
C． D．若，则且
【答案】A,C,D
【知识点】圆锥曲线的综合；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：A、当，曲线，渐近线为；
当，曲线，作出曲线的图象，如图所示：
曲线上半部分为双曲线的一部分，下半部分为椭圆的一部分，且曲线关于y轴对称，
根据对称性，只需讨论的情况，讨论如下：
当，
时，直线与曲线无交点；
时，直线与曲线有1个交点；
时，直线与曲线有2个交点；
当，
时，如下图直线，随变化过程，
由图知，直线与椭圆部分相切为界，即有1个交点；
此时不变，，直线与曲线有2个交点，，直线与曲线无交点，
所以直线与曲线的交点个数有三种可能；
时，，如下图直线与曲线有2个交点；
当，如下图，分别以直线与曲线双曲线、椭圆部分相切为界，
直线在双曲线部分相切线上方时，直线与曲线恒有1个交点，
直线与双曲线部分相切时，直线与曲线恒有2个交点，
直线在椭圆相切线下方时，直线与曲线无交点，
直线与椭圆部分相切时，直线与曲线有1个交点，
直线在两条相切线之间时，直线与曲线有3个交点，
综上，，故A正确；
B、对于直线恒过点，随的变化与曲线位置，如下图示：
时直线与曲线恒有2个交点；时直线与曲线恒有1个交点；
所以与曲线的交点可能有两种可能，即，故B错误；
C、，以直线与椭圆部分相切、直线与双曲线渐近线平行为界，
联立，消元整理可得且，
若，可得，如下图示：
当时，直线与曲线有2个交点；
当或时，直线与曲线有1个交点；
当时，直线与曲线无交点；
所以与曲线的交点可能有两种可能，即，故C正确；
D、结合A分析，时存在直线与曲线有3个交点，而其它情况不存在，
此时，假设，显然直线与曲线有且仅有1个交点，不符合，
所以，结合对称性，直线与曲线有3个交点，必有且，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据曲线方程有，且渐近线为，当，，即曲线上半部分为双曲线的一部分，下半部分为椭圆的一部分，且曲线关于y轴对称，应用对称性研究时直线与曲线的交点情况逐项判断即可.
12．（2025·杭州模拟）曲线在点处的切线方程是　 　.
【答案】
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：曲线，，易知切线斜率，
则曲线在点处的切线方程是，即.
故答案为：.
【分析】利用导数的几何意义求切线方程即可.
13．（2025·杭州模拟）已知是单位圆，正三角形的顶点，在上，则的最大值为　 　.
【答案】2
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：如图所示：
根据圆与等边三角形的对称性知：当取最大值时，过的中点M，
设，则，，
，，
设，，
令，即，解得，
则当时，，单调递增；当时，，单调递减，
当时，，
所以的最大值为2.
故答案为：2.
【分析】由题意作出图形，利用圆与等边三角形的对称性得出取最大值时，过的中点M，设，表示出的大小，借助于导数求的最大值即可．
14．（2025·杭州模拟）甲、乙、丙三人分别从2个不同的数中随机选择若干个数（可以不选），分别构成集合，，，记中元素的个数为，则的概率为　 　.
【答案】
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意，设两个不同数为，每个元素被某人选中的概率为且相互独立，
则一个元素被甲乙丙三人都选中的概率为，
由中元素的个数，表示至少一个元素被三人选中，
而两个元素均未被三人选中的概率为，则的概率为.
故答案为：.
【分析】由题意可知，每个元素被某人选中的概率为且相互独立，应用独立乘法公式及对立事件的概率求法得两个元素均未被三人选中的概率为，利用对立事件的概率求法求解即可.
15．（2025·杭州模拟）某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查100人购买情况，得到如下列联表：
　 新能源汽车款 新能源汽车款 总计
男性 50 10
女性 25 15 40
总计 25 100
（1）求；
（2）根据小概率值的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？
（3）假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取3人，设被抽取的3人中购买了B款车的人数为，求的数学期望.
附：，.
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
【答案】（1）解：由列联表可知：，；
（2）解：零假设为：选购新能源汽车的款式与性别无关联，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，可以认为选购车的款式与性别有关，
此推断犯错误的概率不大于0.05；
（3）解：易知随机抽取1人购买B款车的概率为，
由题意可知：随机变量的可能取值为，且，
则.
【知识点】独立性检验的应用；二项分布；2×2列联表
【解析】【分析】（1）利用表格数据直接计算即可；
（2）先零假设，计算，再进行独立性检验即可；
（3）由题意可知：随机变量服从二项分布，利用二项分布的期望公式求解即可.
（1）由题意得，.
（2）零假设为：选购新能源汽车的款式与性别无关联.
根据列联表中的数据，可得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
可以认为选购车的款式与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05；
（3）随机抽取1人购买B款车的概率为，
的可能取值有，由题意得，
由二项分布的期望公式得.
16．（2025·杭州模拟）已知函数（）.
（1）若，求的极小值；
（2）当时，求的单调递增区间；
（3）当时，设的极大值为，求证：.
【答案】（1）解：若，函数定义域为，，
令，解得，
当时，当时，
则函数在单调递减，在单调递增，
当时，函数取极小值，极小值等于；
（2）解：当时，，，
令，则，解得或，
则在和上单调递增，
令，则，解得，即在上单调递减，
故的单调增区间为和；
（3）证明：当时，由（2）知，的极大值等于；
当时，，单调递增，无极大值；
当时，当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以的极大值等于，
令，，
在上在上，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以故，
综上所述，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数判断函数的单调性求解出函数的极值即可；
（2）当时，利用导数求解函数的单调性求解出函数的单调递增区间即可；
（3）分和讨论求解即可.
（1）由题意知.
若，则，所以.
令，得.
当时，当时，
所以在单调递减，在单调递增，
所以的极小值等于.
（2）因为，所以，
由，即，解得或，
所以在和单调递增，
由，即，解得，
所以在单调递减，
故的单调增区间为和.
（3）当时，由（2）知，的极大值等于；
当时，，单调递增，无极大值；
当时，当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以的极大值等于，
令，所以，
在上在上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以故，
综上所述，.
17．（2025·杭州模拟）在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中为动点.
（1）设，
（ⅰ）证明：平面；
（ⅱ）求三棱锥的体积；
（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】（1）证明；（ⅰ）在中，，，则，
因为，，所以，所以，
又因为，平面，，所以平面；
（ⅱ）；
（2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
设二面角的平面角为，则，，，，
，
易知平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，则，
设，设，
，当且仅当，即时取等号，即，
则直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）（ⅰ）由题意，利用线面垂直的判定定理证明即可；
（ⅱ）利用求三棱锥的体积即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量表示出直线与平面所成角的正弦值，再结合换元法和基本不等式可求其最大值即可.
（1）（ⅰ）在中，，，所以.
因为，，所以，
所以.
又因为，平面，，
所以平面.
（ⅱ）.
（2）如图，建立以为原点的空间直角坐标系，设二面角的平面角为，则，，，.
所以.平面的法向量为.
设直线与平面所成角为，则.
设，
设，
所以，（当且仅当，即时取等号），即.
直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
18．（2025·杭州模拟）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，.
（1）求的方程；
（2）记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率；
（3）设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标.
【答案】（1）解：易知，则抛物线方程为；
（2）解：设直线的方程为，，，则，，，
联立，消元整理可得，
由韦达定理可得：，，
则直线的方程为：，
联立，解得，同理，
则，解得，
故直线的斜率为；
（3）解：设，
因为，，，
所以，
当时，为定值，则.
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意得到，代入即可得抛物线方程；
（2）设直线的方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理求解即可；
（3）由（2）结合两点斜率公式求解即可.
（1）由题意知，所以抛物线方程为.
（2）由题意可设直线的方程为，，，则，，.
所以，得，
所以，.
所以直线的方程为：，与直线的方程联立消去，
解得，同理.
所以.所以.
所以直线的斜率为.
（3）设，
因为.
因为，.
所以，
当时，为定值.所以.
19．（2025·杭州模拟）设，，…，是1，2，…，（且）的一个排列.数列满足为，，（）的中位数，规定，.将中的所有取值构成的集合记为.
（1）当时，求和；
（2）求中所有元素之和的最大值；
（3）求中元素个数的最小值.
【答案】（1）解：当时，1，2，3无论按何种顺序排列，中位数只能是2，则；
当时，在1，2，3，4中任取3个数：1，2，3；1，2，4；1，3，4和2，3，4，
中位数只能为2或3，则；
（2）解：显然，不存在使得或，
故中所有元素的和，
且当时，有，
此时成立；
（3）解：注意到对于任意，，
记中元素个数的最小值为，由（1）可知，，，
考虑的情形：
对于1，2，3，4，5的排列，1和5不可能作为中位数；
不妨，考虑三元素组，，，至少产生2个不同的中位数，
①若此时中位数为，，不妨，则，，
所以三元组将产生新的中位数，所以；
②若此时的中位数为，，则，，，
若，则三元组产生新的中位数；
若，则三元组产生新的中位数.所以，
③同理可知，若此时中位数为，；，也有；
所以，，，
下面证明：，
比较下面两个数列：
（ⅰ），，…，，，，
（ⅱ），，…，，，，，，，
其中，，…，和，，…，具有相同的大小顺序，
因此，这两个数列的前个三元数组所对应的中位数个数相同，
因此，只需要比较数列（ⅰ）中三元组，和数列（ⅱ）中三元组
，，，，，
因为，数列（ⅱ）中至少增加1个新的中位数，故结论成立，
因为若，的中位数在前面未出现，
则，的中位数在前面也不会出现，
对于新增的中位数，若，的2个中位数在前面出现过，
则，的中位数在前面也出现过，至少新增的中位数，
综上：（），
下面给出一种构造：
①当时，构造：，
此时，满足，
②当时，构造：，
此时，满足，
③当时，构造：
，
此时，满足.
【知识点】数列的应用
【解析】【分析】（1）由题意求和即可；
（2）先排除不可能的取值，然后得到最大值，并构造出对应数列，得到最大值可取；
（3）先分析时，由三元素组分析得到.然后通过构建两个具有相同的大小顺序的数列，证明.从而得到的最小值.然后再构造出能够取到最小值的数量列即可.
（1）当时，1，2，3无论按何种顺序排列，中位数只能是2，故.
当时，在1，2，3，4中任取3个数：1，2，3；1，2，4；1，3，4和2，3，4，
中位数只能为2或3，所以.
（2）显然，不存在使得或，
故中所有元素的和，
且当时，有.
此时成立.
（3）注意到对于任意，，
记中元素个数的最小值为，由（1）可知，，.
考虑的情形：
对于1，2，3，4，5的排列，1和5不可能作为中位数；
不妨，考虑三元素组，，，至少产生2个不同的中位数.
①若此时中位数为，，不妨，则，.
所以三元组将产生新的中位数，所以；
②若此时的中位数为，，则，，.
若，则三元组产生新的中位数；
若，则三元组产生新的中位数.所以.
③同理可知，若此时中位数为，；，也有；
所以，，.
下面证明：.
比较下面两个数列：
（ⅰ），，…，，，.
（ⅱ），，…，，，，，，.
其中，，…，和，，…，具有相同的大小顺序.
因此，这两个数列的前个三元数组所对应的中位数个数相同.
因此，只需要比较数列（ⅰ）中三元组，和数列（ⅱ）中三元组
，，，，.
因为，数列（ⅱ）中至少增加1个新的中位数，故结论成立.
因为若，的中位数在前面未出现，
则，的中位数在前面也不会出现.
对于新增的中位数，若，的2个中位数在前面出现过，
则，的中位数在前面也出现过，至少新增的中位数.
综上：（）.
下面给出一种构造：
①当时，构造：，
此时，满足.
②当时，构造：，
此时，满足.
③当时，构造：
，
此时，满足.
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