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浙江省绍兴市2025届高三下学期4月高考科目适应性考试数学试题
1．（2025·绍兴模拟）已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·绍兴模拟）（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·绍兴模拟）已知向量满足，，且的夹角为，则（　　）
A． B．3 C． D．7
4．（2025·绍兴模拟）直线被圆截得的弦长为（　　）
A．2 B．4 C． D．
5．（2025·绍兴模拟）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则可以是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·绍兴模拟）已知函数，则（　　）
A．当时，是偶函数，且在区间上单调递增
B．当时，是奇函数，且在区间上单调递减
C．当时，是偶函数，且在区间上单调递减
D．当时，是奇函数，且在区间上单调递增
7．（2025·绍兴模拟）已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（　　）
A．4 B．6 C．10 D．14
8．（2025·绍兴模拟）已知的两个内角都是关于的方程的解，其中，则（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·绍兴模拟）在某校文艺汇演中，六位评委对某小品节目进行打分，得到一组分值7.7，8.1，8.2，8.7，9.4，9.5，若去掉一个最高分和一个最低分，则（　　）
A．这组分值的极差变小 B．这组分值的均值变大
C．这组分值的方差变小 D．这组分值的第75百分位数不变
10．（2025·绍兴模拟）已知函数，则（　　）
A．在区间内存在零点 B．0是的极小值点
C．在区间内存在极大值 D．在区间上单调递减
11．（2025·绍兴模拟）已知数列满足，则（　　）
A．数列为递增数列 B．
C． D．
12．（2025·绍兴模拟）记的内角的对边分别为，若，则　 　.
13．（2025·绍兴模拟）已知偶函数的定义域为，且，则的值域为　 　.
14．（2025·绍兴模拟）设点在“笑口”型曲线上，则的最小值为　 　.
15．（2025·绍兴模拟）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）记的两个零点分别为，求曲线在点处的切线方程.
16．（2025·绍兴模拟）已知数列满足
（1）记，求，并证明数列是等比数列；
（2）记，求满足的所有正整数的值.
17．（2025·绍兴模拟）已知椭圆的焦距为2，且过点.
（1）求的方程；
（2）设为的左、右顶点，在过点且垂直于轴的直线上任取一点，过作的切线，切点为（异于），作，垂足为.记和的面积分别为，求的值.
18．（2025·绍兴模拟）如图，在四面体中，，记二面角为分别为的中点.
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）设在四面体内有一个半径为的球，若，求证：.
19．（2025·绍兴模拟）某科技公司招聘技术岗位人员一名.经初选，现有来自国内三所高校的10名应届毕业生进入后面试环节.其中校和校各4名，校2名，10名面试者随机抽取1，2，3，...10号的面试序号.
（1）若来自校的4名毕业生的面试序号分别为，且，来自校的4名毕业生的面试序号分别为，且，来自校的2名毕业生的面试序号分别为，，且.
（i）求概率；
（ii）记随机变量，求的均值.
（2）经面试，第位面试者的面试得分为，且他们的面试得分各不相等，公司最终录用得分最高者.为提高今后面试效率，现人事部门设计了以下面试录用新规则：，且，集合中的最小元素为，最终录用第位面试者.如果以新规则面试这10名毕业生，证明：面试得分第一 二（按得分从高到低排）的两名毕业生之一被录用的概率不小于0.59.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解： 集合，则.
故答案为：A.
【分析】利根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简即可.
3．【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】根据向量数量积的定义结合向量模长公式求解即可.
4．【答案】B
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，则弦长为.
故答案为：B.
【分析】由题意，易知圆心坐标与半径，利用点到直线的距离公式结合勾股定理求解即可.
5．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数诱导公式二~六；三角函数诱导公式一
【解析】【解答】解：将函数的图象向左平移个单位后得到函数，因为，
所以，则，，
即，，当时，，时，.
故答案为：A.
【分析】利用三角函数图象的平移变换求得平移后的解析式，再函数相等得到，，给取值判断即可.
6．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：函数，AB、当时，函数定义域为，满足，则为偶函数；，当时，令，
因为在单调递增，在单调递增，故在单调递增，
则在单调递减，故A，B错误；
CD、当时，函数定义域为，满足，则为奇函数；，当时，均单调递减，则为上单调递减，为上单调递增，故C错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】求函数的定义域，根据函数奇偶性和单调性的判断方法，针对不同的取值，对函数进行分析判断即可.
7．【答案】C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线，则，，即，
设双曲线的右焦点为，如图所示：
由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，则，即；
同理，点在双曲线的右支上，则，即，
所以，
根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时等号成立，
又因为，所以，即，
则的最小值为10．
故答案为：C．
【分析】由题意，根据双曲线的定义，将与进行转化，再结合三角形三边关系求出的最小值即可．
8．【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：原式等价于，是方程的两根，
由韦达定理可得，，
，
因为，所以，
，
又因为，所以，则.
故答案为：B.
【分析】将方程转化为关于的一元二次方程，利用韦达定理求得和的表达式，通过三角恒等式求出，进而求出得解即可.
9．【答案】A,C
【知识点】极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、原数据的极差为，
去掉一个最高分和一个最低分后这组数据的极差为，极差变小了，故A正确；
B、 原数据的均值为，
后来这4个数据的均值为，均值不变，故B错误；
C、 原数据的方差为
，后来这4个数据的方差为，方差变小，故C正确；
D、，原数据的第75百分位数为，
，后来这4个数据的第75百分位数为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据极差的定义求解即可判断A；计算前后两组数据的均值即可判断B；利用方差的公式计算即可判断C；根据百分位数的定义计算即可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：A、函数，
令，则或或，解得，，，，
在区间内，不存在上述使的值，所以在区间内不存在零点，故A错误；
B、当在附近时，，在上单调递增，且，
当时，，，所以；
当时，，在附近正负交替，但，
所以是的极小值点，故B正确；
C、函数的定义域为，，
当时，，，，，
，且在内，随着的变化，会先大于后小于，则在区间内存在极大值，故C正确；
D、当时，，，，则，
，
在上，，，，；
，，，；
，，，，
即，则在区间上单调递减，故D正确．
故答案为：BCD．
【分析】令，得到零点，看区间内有无这些零点，没有则不存在零点即可判断A；在附近，分析、、正负，时，时，所以是极小值点即可判断B；对求导．在内，分析各项正负，判断是否存在极大值即可判断C；在上，分析正负，再分析各项正负，得，单调递减即可判断D．
11．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：A、由题意设定义域为，，
易知恒成立，则函数在上单调递增，
已知，则，依次有，，
，设，，，
当时，，，在上单调递减，
则，即，即为递增数列，故A正确；
B、由上述分析可知，所以不存在，使得，故B错误；
C、要证，即证，
设，，对求导得，
令，求导得，当时，，
所以在上单调递减，则，所以在上单调递增，
所以，即，
所以，，故C正确；
D、由选项C知，变形可得，
两边同时乘以得，
两边同时取倒数得，移项可得，
因为，所以，即，
利用累加法：，
已知，则，所以，两边同时取倒数得，
移项可得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】构造函数，求导判断其单调递增，由算出，得．假设，可推出，再构造，求导判断其单调性，得出，所以数列递增，即可判断A；由A选项分析知，所以不存在使即可判断B；要证，构造，多次求导判断单调性，得出，从而证明不等式成立即可判断C；由C，取倒数后构造数列，再用累加法求和计算证明即可判断D.
12．【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：，由正弦定理可得，
由余弦定理可得，因为，所以.
故答案为：.
【分析】利用正弦定理结合余弦定理化简求角即可.
13．【答案】
【知识点】函数的值域；函数的奇偶性
【解析】【解答】解： 偶函数的定义域为，且，
令，则，解得；
令，则，
因为为偶函数，所以，所以，解得；
又因为，所以的值域为.
故答案为：.
【分析】由题意，利用赋值法求得，以及的解析式，再求其值域即可.
14．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；曲线与方程
【解析】【解答】解： 曲线，
当时，曲线，即，
两边平方得，即，，
则，
因为，所以；
当时，曲线，即，
两边平方得，即，，
，
因为，所以，
综上，的最小值为.
故答案为：.
【分析】由题意，分和两种情况去绝对值化简，利用二次函数求最值即可.
15．【答案】（1）解：函数的定义域为，，
当时，；当时，，
则函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）解：由（1）知，，
函数有两个零点，且，即，
则所求切线的切点坐标为，斜率，切线方程为，
故曲线在点处的切线方程为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数求函数的单调区间即可；
（2）由（1）的信息，结合零点存在性定理确定的值，再利用导数的几何意义求出切线方程.
（1）函数的定义域为，求导得，
当时，；当时，，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由（1）知，，
因此函数有两个零点，且，即，
则所求切线的切点坐标为，斜率，切线方程为
所以曲线在点处的切线方程为.
16．【答案】（1）解： 数列满足，
则，因为，所以，
又因为，所以数列是首项为5，公比为2的等比数列；
（2）解：由（1）可得，则，
，
易知单调递增，且，
则正整数的所有取值为.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的性质；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据已知条件判断数列的类型，再根据等比数列定义证明即可；
（2）利用等比数列公式求，再求出的表达式，写出的表达式，根据其单调性确定满足条件的正整数的取值即可.
（1）因为，所以.
又因为
所以数列是首项为5，公比为2的等比数列.
（2）由（1）知，所以，
所以，
因为单调递增，
且，
所以正整数的所有取值为.
17．【答案】（1）解：由题意可知：，因为过点，所以，
联立，解得，则的方程为；
（2）解：设，直线的方程为，
代入的方程得，
因为直线与相切，所以，
化简得，所以，
所以，代入直线的方程得，
设与交于点，又，直线的方程为，
因为，代入直线的方程得，所以，所以为中点，
因此点到直线的距离相等，所以.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意列关于的方程组，求出，即可得椭圆方程；
（2）设，直线的方程为，与椭圆方程联立，根据相切，由根的判别式得到方程，求出，求出，，表达出直线的方程为，设与交于点，求出，所以，为中点，得到答案.
（1）由题意知，且过点，
即，
解得，
所以的方程为.
（2）设，直线的方程为，
代入的方程得.
因为直线与相切，
所以，
化简得，所以，
所以，代入直线的方程得，
设与交于点，又，直线的方程为，
因为，
代入直线的方程得，
所以，所以为中点.
因此点到直线的距离相等，所以.
18．【答案】（1）证明：取中点，连接，如图所示：
因为分别为的中点，所以，，
又因为，所以，
又因为 ，平面，所以平面，
又因为平面，所以；
（2）解：由（1）知是二面角的平面角，则，
以为原点，分别为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，可取，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为；
（3）解：与的面积为，
设在平面内的射影为，即平面，
因为平面，所以，又，平面，所以平面，
因为平面，所以，又，所以为二面角的平面角，
所以点到平面的距离，
因此四面体的体积为，
又因为，平面，所以，所以到直线的距离等于，
所以边的高，
所以的面积，
因为，所以的面积也为，
所以四面体的表面积为，
则四面体的内切球半径，即，即.
【知识点】球内接多面体；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）取中点，连接，即可得到，从而得到平面，再证明线线垂直即可；
（2）以为原点，分别为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算即可；
（3）设在平面内的射影为，即可得到点到平面的距离，即可求出四面体的体积，再求出四面体的表面积，即可求出四面体的内切球半径，即可得证.
（1）取中点，连接，又分别为的中点，
则，，
因为，
所以，又 ，平面，
所以平面，
又平面，所以.
（2）由（1）知是二面角的平面角，所以.
如图，以为原点，分别为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，
则，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，可取，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）因为与的面积为，
设在平面内的射影为，即平面，
又平面，所以，又，平面，所以平面，
又平面，所以，又，所以为二面角的平面角，
所以点到平面的距离，
因此四面体的体积为.
又，平面，所以，所以到直线的距离等于，
所以边的高，
所以的面积，
注意到，因此的面积也为，
所以四面体的表面积为，
因此四面体的内切球半径，
所以，即.
19．【答案】（1）解：（i）由题意可得：，；
（ii）易知随机变量的可能取值为，
则，
；
（2）解：①第一种情况，录用了面试得分第一的人，
若面试得分第一的人在第位，要使得其被录用，则在他前面的个人中的最高分必然在前3位，
其他个人可以任意排列，在得分第一后面的个人任意排列，这种情况的概率为：
，
②第二种情况，录用了面试得分第二的人，
若面试得分第一的人在前三位，则第二的人在第10位，其他人任意排列，
这种情况的概率为，
若面试得分第一的人不在前二位，那么他一定在第二的人后面，第二的人在第位，
同样在他前面的个人中的最高分必然在前3位，其他个人可以任意排列，
在得分第二后面的（含第一）个人任意排列，这种情况的概率为：
，
综上，面试得分第一 二的两名毕业生之一被录用的概率为：
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据题意，直接求解即可；先求得的取值，再根据期望计算公式计算即可；
（2）分别计算录用面试第一名，和第二名的概率，证明即可.
（1）（i），
（ii）的可能取值为，则，
所以
（2）①第一种情况，录用了面试得分第一的人.
若面试得分第一的人在第位，要使得其被录用，则在他前面的个人中的最高分必然在前3位，
其他个人可以任意排列，在得分第一后面的个人任意排列，这种情况的概率为：
.
②第二种情况，录用了面试得分第二的人.
若面试得分第一的人在前三位，则第二的人在第10位，其他人任意排列，
这种情况的概率为.
若面试得分第一的人不在前二位，那么他一定在第二的人后面，第二的人在第位，
同样在他前面的个人中的最高分必然在前3位，其他个人可以任意排列，
在得分第二后面的（含第一）个人任意排列，这种情况的概率为：
综上，面试得分第一 二的两名毕业生之一被录用的概率为：
1 / 1浙江省绍兴市2025届高三下学期4月高考科目适应性考试数学试题
1．（2025·绍兴模拟）已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解： 集合，则.
故答案为：A.
【分析】利根据集合的交集运算求解即可.
2．（2025·绍兴模拟）（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简即可.
3．（2025·绍兴模拟）已知向量满足，，且的夹角为，则（　　）
A． B．3 C． D．7
【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】根据向量数量积的定义结合向量模长公式求解即可.
4．（2025·绍兴模拟）直线被圆截得的弦长为（　　）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，则弦长为.
故答案为：B.
【分析】由题意，易知圆心坐标与半径，利用点到直线的距离公式结合勾股定理求解即可.
5．（2025·绍兴模拟）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数诱导公式二~六；三角函数诱导公式一
【解析】【解答】解：将函数的图象向左平移个单位后得到函数，因为，
所以，则，，
即，，当时，，时，.
故答案为：A.
【分析】利用三角函数图象的平移变换求得平移后的解析式，再函数相等得到，，给取值判断即可.
6．（2025·绍兴模拟）已知函数，则（　　）
A．当时，是偶函数，且在区间上单调递增
B．当时，是奇函数，且在区间上单调递减
C．当时，是偶函数，且在区间上单调递减
D．当时，是奇函数，且在区间上单调递增
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：函数，AB、当时，函数定义域为，满足，则为偶函数；，当时，令，
因为在单调递增，在单调递增，故在单调递增，
则在单调递减，故A，B错误；
CD、当时，函数定义域为，满足，则为奇函数；，当时，均单调递减，则为上单调递减，为上单调递增，故C错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】求函数的定义域，根据函数奇偶性和单调性的判断方法，针对不同的取值，对函数进行分析判断即可.
7．（2025·绍兴模拟）已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（　　）
A．4 B．6 C．10 D．14
【答案】C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：双曲线，则，，即，
设双曲线的右焦点为，如图所示：
由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，则，即；
同理，点在双曲线的右支上，则，即，
所以，
根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时等号成立，
又因为，所以，即，
则的最小值为10．
故答案为：C．
【分析】由题意，根据双曲线的定义，将与进行转化，再结合三角形三边关系求出的最小值即可．
8．（2025·绍兴模拟）已知的两个内角都是关于的方程的解，其中，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：原式等价于，是方程的两根，
由韦达定理可得，，
，
因为，所以，
，
又因为，所以，则.
故答案为：B.
【分析】将方程转化为关于的一元二次方程，利用韦达定理求得和的表达式，通过三角恒等式求出，进而求出得解即可.
9．（2025·绍兴模拟）在某校文艺汇演中，六位评委对某小品节目进行打分，得到一组分值7.7，8.1，8.2，8.7，9.4，9.5，若去掉一个最高分和一个最低分，则（　　）
A．这组分值的极差变小 B．这组分值的均值变大
C．这组分值的方差变小 D．这组分值的第75百分位数不变
【答案】A,C
【知识点】极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A、原数据的极差为，
去掉一个最高分和一个最低分后这组数据的极差为，极差变小了，故A正确；
B、 原数据的均值为，
后来这4个数据的均值为，均值不变，故B错误；
C、 原数据的方差为
，后来这4个数据的方差为，方差变小，故C正确；
D、，原数据的第75百分位数为，
，后来这4个数据的第75百分位数为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据极差的定义求解即可判断A；计算前后两组数据的均值即可判断B；利用方差的公式计算即可判断C；根据百分位数的定义计算即可判断D.
10．（2025·绍兴模拟）已知函数，则（　　）
A．在区间内存在零点 B．0是的极小值点
C．在区间内存在极大值 D．在区间上单调递减
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：A、函数，
令，则或或，解得，，，，
在区间内，不存在上述使的值，所以在区间内不存在零点，故A错误；
B、当在附近时，，在上单调递增，且，
当时，，，所以；
当时，，在附近正负交替，但，
所以是的极小值点，故B正确；
C、函数的定义域为，，
当时，，，，，
，且在内，随着的变化，会先大于后小于，则在区间内存在极大值，故C正确；
D、当时，，，，则，
，
在上，，，，；
，，，；
，，，，
即，则在区间上单调递减，故D正确．
故答案为：BCD．
【分析】令，得到零点，看区间内有无这些零点，没有则不存在零点即可判断A；在附近，分析、、正负，时，时，所以是极小值点即可判断B；对求导．在内，分析各项正负，判断是否存在极大值即可判断C；在上，分析正负，再分析各项正负，得，单调递减即可判断D．
11．（2025·绍兴模拟）已知数列满足，则（　　）
A．数列为递增数列 B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：A、由题意设定义域为，，
易知恒成立，则函数在上单调递增，
已知，则，依次有，，
，设，，，
当时，，，在上单调递减，
则，即，即为递增数列，故A正确；
B、由上述分析可知，所以不存在，使得，故B错误；
C、要证，即证，
设，，对求导得，
令，求导得，当时，，
所以在上单调递减，则，所以在上单调递增，
所以，即，
所以，，故C正确；
D、由选项C知，变形可得，
两边同时乘以得，
两边同时取倒数得，移项可得，
因为，所以，即，
利用累加法：，
已知，则，所以，两边同时取倒数得，
移项可得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】构造函数，求导判断其单调递增，由算出，得．假设，可推出，再构造，求导判断其单调性，得出，所以数列递增，即可判断A；由A选项分析知，所以不存在使即可判断B；要证，构造，多次求导判断单调性，得出，从而证明不等式成立即可判断C；由C，取倒数后构造数列，再用累加法求和计算证明即可判断D.
12．（2025·绍兴模拟）记的内角的对边分别为，若，则　 　.
【答案】
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：，由正弦定理可得，
由余弦定理可得，因为，所以.
故答案为：.
【分析】利用正弦定理结合余弦定理化简求角即可.
13．（2025·绍兴模拟）已知偶函数的定义域为，且，则的值域为　 　.
【答案】
【知识点】函数的值域；函数的奇偶性
【解析】【解答】解： 偶函数的定义域为，且，
令，则，解得；
令，则，
因为为偶函数，所以，所以，解得；
又因为，所以的值域为.
故答案为：.
【分析】由题意，利用赋值法求得，以及的解析式，再求其值域即可.
14．（2025·绍兴模拟）设点在“笑口”型曲线上，则的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；曲线与方程
【解析】【解答】解： 曲线，
当时，曲线，即，
两边平方得，即，，
则，
因为，所以；
当时，曲线，即，
两边平方得，即，，
，
因为，所以，
综上，的最小值为.
故答案为：.
【分析】由题意，分和两种情况去绝对值化简，利用二次函数求最值即可.
15．（2025·绍兴模拟）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）记的两个零点分别为，求曲线在点处的切线方程.
【答案】（1）解：函数的定义域为，，
当时，；当时，，
则函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）解：由（1）知，，
函数有两个零点，且，即，
则所求切线的切点坐标为，斜率，切线方程为，
故曲线在点处的切线方程为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数求函数的单调区间即可；
（2）由（1）的信息，结合零点存在性定理确定的值，再利用导数的几何意义求出切线方程.
（1）函数的定义域为，求导得，
当时，；当时，，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由（1）知，，
因此函数有两个零点，且，即，
则所求切线的切点坐标为，斜率，切线方程为
所以曲线在点处的切线方程为.
16．（2025·绍兴模拟）已知数列满足
（1）记，求，并证明数列是等比数列；
（2）记，求满足的所有正整数的值.
【答案】（1）解： 数列满足，
则，因为，所以，
又因为，所以数列是首项为5，公比为2的等比数列；
（2）解：由（1）可得，则，
，
易知单调递增，且，
则正整数的所有取值为.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的性质；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）根据已知条件判断数列的类型，再根据等比数列定义证明即可；
（2）利用等比数列公式求，再求出的表达式，写出的表达式，根据其单调性确定满足条件的正整数的取值即可.
（1）因为，所以.
又因为
所以数列是首项为5，公比为2的等比数列.
（2）由（1）知，所以，
所以，
因为单调递增，
且，
所以正整数的所有取值为.
17．（2025·绍兴模拟）已知椭圆的焦距为2，且过点.
（1）求的方程；
（2）设为的左、右顶点，在过点且垂直于轴的直线上任取一点，过作的切线，切点为（异于），作，垂足为.记和的面积分别为，求的值.
【答案】（1）解：由题意可知：，因为过点，所以，
联立，解得，则的方程为；
（2）解：设，直线的方程为，
代入的方程得，
因为直线与相切，所以，
化简得，所以，
所以，代入直线的方程得，
设与交于点，又，直线的方程为，
因为，代入直线的方程得，所以，所以为中点，
因此点到直线的距离相等，所以.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意列关于的方程组，求出，即可得椭圆方程；
（2）设，直线的方程为，与椭圆方程联立，根据相切，由根的判别式得到方程，求出，求出，，表达出直线的方程为，设与交于点，求出，所以，为中点，得到答案.
（1）由题意知，且过点，
即，
解得，
所以的方程为.
（2）设，直线的方程为，
代入的方程得.
因为直线与相切，
所以，
化简得，所以，
所以，代入直线的方程得，
设与交于点，又，直线的方程为，
因为，
代入直线的方程得，
所以，所以为中点.
因此点到直线的距离相等，所以.
18．（2025·绍兴模拟）如图，在四面体中，，记二面角为分别为的中点.
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）设在四面体内有一个半径为的球，若，求证：.
【答案】（1）证明：取中点，连接，如图所示：
因为分别为的中点，所以，，
又因为，所以，
又因为 ，平面，所以平面，
又因为平面，所以；
（2）解：由（1）知是二面角的平面角，则，
以为原点，分别为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，可取，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为；
（3）解：与的面积为，
设在平面内的射影为，即平面，
因为平面，所以，又，平面，所以平面，
因为平面，所以，又，所以为二面角的平面角，
所以点到平面的距离，
因此四面体的体积为，
又因为，平面，所以，所以到直线的距离等于，
所以边的高，
所以的面积，
因为，所以的面积也为，
所以四面体的表面积为，
则四面体的内切球半径，即，即.
【知识点】球内接多面体；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）取中点，连接，即可得到，从而得到平面，再证明线线垂直即可；
（2）以为原点，分别为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算即可；
（3）设在平面内的射影为，即可得到点到平面的距离，即可求出四面体的体积，再求出四面体的表面积，即可求出四面体的内切球半径，即可得证.
（1）取中点，连接，又分别为的中点，
则，，
因为，
所以，又 ，平面，
所以平面，
又平面，所以.
（2）由（1）知是二面角的平面角，所以.
如图，以为原点，分别为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，
则，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，可取，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）因为与的面积为，
设在平面内的射影为，即平面，
又平面，所以，又，平面，所以平面，
又平面，所以，又，所以为二面角的平面角，
所以点到平面的距离，
因此四面体的体积为.
又，平面，所以，所以到直线的距离等于，
所以边的高，
所以的面积，
注意到，因此的面积也为，
所以四面体的表面积为，
因此四面体的内切球半径，
所以，即.
19．（2025·绍兴模拟）某科技公司招聘技术岗位人员一名.经初选，现有来自国内三所高校的10名应届毕业生进入后面试环节.其中校和校各4名，校2名，10名面试者随机抽取1，2，3，...10号的面试序号.
（1）若来自校的4名毕业生的面试序号分别为，且，来自校的4名毕业生的面试序号分别为，且，来自校的2名毕业生的面试序号分别为，，且.
（i）求概率；
（ii）记随机变量，求的均值.
（2）经面试，第位面试者的面试得分为，且他们的面试得分各不相等，公司最终录用得分最高者.为提高今后面试效率，现人事部门设计了以下面试录用新规则：，且，集合中的最小元素为，最终录用第位面试者.如果以新规则面试这10名毕业生，证明：面试得分第一 二（按得分从高到低排）的两名毕业生之一被录用的概率不小于0.59.
【答案】（1）解：（i）由题意可得：，；
（ii）易知随机变量的可能取值为，
则，
；
（2）解：①第一种情况，录用了面试得分第一的人，
若面试得分第一的人在第位，要使得其被录用，则在他前面的个人中的最高分必然在前3位，
其他个人可以任意排列，在得分第一后面的个人任意排列，这种情况的概率为：
，
②第二种情况，录用了面试得分第二的人，
若面试得分第一的人在前三位，则第二的人在第10位，其他人任意排列，
这种情况的概率为，
若面试得分第一的人不在前二位，那么他一定在第二的人后面，第二的人在第位，
同样在他前面的个人中的最高分必然在前3位，其他个人可以任意排列，
在得分第二后面的（含第一）个人任意排列，这种情况的概率为：
，
综上，面试得分第一 二的两名毕业生之一被录用的概率为：
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据题意，直接求解即可；先求得的取值，再根据期望计算公式计算即可；
（2）分别计算录用面试第一名，和第二名的概率，证明即可.
（1）（i），
（ii）的可能取值为，则，
所以
（2）①第一种情况，录用了面试得分第一的人.
若面试得分第一的人在第位，要使得其被录用，则在他前面的个人中的最高分必然在前3位，
其他个人可以任意排列，在得分第一后面的个人任意排列，这种情况的概率为：
.
②第二种情况，录用了面试得分第二的人.
若面试得分第一的人在前三位，则第二的人在第10位，其他人任意排列，
这种情况的概率为.
若面试得分第一的人不在前二位，那么他一定在第二的人后面，第二的人在第位，
同样在他前面的个人中的最高分必然在前3位，其他个人可以任意排列，
在得分第二后面的（含第一）个人任意排列，这种情况的概率为：
综上，面试得分第一 二的两名毕业生之一被录用的概率为：
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