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浙江省杭州市上城区2025年中考一模数学试卷
1．（2025·上城模拟）下列各数中最小的是（　　）
A．0 B．-1 C．-2 D．-3
【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵-3<-2<-1<0，
∴最小的数为-3，
故答案为：D.
【分析】根据有数的比较大小解答即可.
2．（2025·上城模拟）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：D.
【分析】根据数a的相反数是-a，零的相反数是零解答即可.
3．（2025·上城模拟）如图，点A，B，C在上，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴∠AOB=2∠C=40°，
故答案为：A.
【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角度数的一半解题即可.
4．（2025·上城模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，原计算错误；
B：，原计算错误；
C：，原计算错误；
D：，计算正确；
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项运算法则逐项判断解题即可.
5．（2025·上城模拟）如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等。线段AC在横格纸上，与作业本的横线交于点B，若AC=10，则AB的长是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：过点A作 于点D，交BM于点N，设相邻两条横线间的距离为a，
∵BM∥CE，
故答案为：B.
【分析】根据相邻两条横线间的距离都相等，可设相邻两条横线间的距离为a，根据平行线分线段成比例定理列出比例式解答即可.
6．（2025·上城模拟）某校第一次体育中考结束后还有30位同学未达到满分30分，这30位同学的成绩统计如下表（每个同学的分数都是整数），小明是其中一位未满分同学。若去掉小明的成绩，则剩下的29位同学的成绩中，下列统计量一定不受影响的是（　　）
成绩 25分及以下 26分 27分 28分 29分
人数 2 1 3 9 15
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】C
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：在这30位同学的成绩中，29分出现的次数为15次，其次是28分出现了9次，若去掉小明的成绩，则剩下的29位同学的成绩中，上列统计量一定不受影响的是众数，众数依然是29分.
故答案为：C.
【分析】根据众数，平均数，方差和中位数的定义求解可得.
7．（2025·上城模拟）如图，在中，，，，把绕直线AB旋转一周，所得几何体的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：将绕AB所在直线旋转一周，得到的几何体为圆锥，
圆锥的底面圆的半径为1，母线长 ，
所以圆锥的侧面积
故答案为：B.
【分析】将 绕AB所在直线旋转一周，得到的几何体为圆锥，圆锥的底面圆的半径为1，利用勾股定理计算母线长，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形和扇形的面积公式计算即可.
8．（2025·上城模拟）某班级共有m位学生，现将n个枇杷作为午餐水果分发给学生。若每人发2个，则还剩10个；若每人发3个，则还缺30个。下列四个方程：
①；②；③；④，其中符合题意的是（　　）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意，正确方程为 和
故答案为：C.
【分析】根据总数量和学生数相同列方程即可解题.
9．（2025·上城模拟）已知某函数的函数值y和自变量x的部分对应值如下表：
x … a-1 a a+1 …
y … b+2 b b-2 …
则这个函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：根据表格中数据可得自变量x的值每增加1，函数值减小2；
故函数是一次函数，并且y随x的增大而减小，
图象可能为B选项，
故答案为：B.
【分析】根据表格里的数据可得函数是一次函数，并且y随x的增大而减小，即可判断图象解题即可.
10．（2025·上城模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点O为对角线BD的中点，E为线段AB上一点，连结EO，并延长交DC于点F，以点F为圆心，适当长为半径画弧，交FD于点M，交EF于点N。再以点N为圆心，MN长为半径画弧，两弧交于点P，连结FP，并延长交线段AB于点Q。则下列两个命题中说法正确的是（　　）
①△QEF为等腰三角形：②设AE长为x，BQ长为y，则（4-x）（4-y）=4。
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：由作图可得∠MFN=∠PFN，
又∵ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠QEF=∠EFD，∠EBD=∠BDF，
∴∠QFE=∠QEF，
∴QE=QF=8-x-y，故①正确；
又∵ 点O为对角线BD的中点，
∴BO=DO，
又∵∠QFE=∠QEF，∠EBD=∠BDF，
∴△OBE≌△ODF，
∴BE=DF，
∴FC=AE=x，
过点Q作QG⊥BC于点G，
则BCGQ是矩形，
∴CG=BQ=y，
∴FG=x-y，
在Rt△QFG中，QG2+FG2=QF2，即42=(8-x-y)2-(x-y)2，
整理得16=(8-x-y+x-y)(8-x-y-x+y)，即(4-x)(4-y)=4，故②正确；
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质可得∠QEF=∠EFD，根据作图得到∠MFN=∠PFN，即可得到∠QFE=∠QEF，进而得到QE=QF判断①；然后证明△OBE≌△ODF，即可得到BE=DF，即可得到FC=AE=x，然后过点Q作QG⊥BC于点G，即可得到FG=x-y，再在Rt△QFG中根据勾股定理解题即可.
11．（2025·上城模拟）计算： =　 　．
【答案】2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵23=8
∴ =2
故答案为：2．
【分析】根据立方根的定义即可求解．
12．（2025·上城模拟）因式分解：ma2-m=　 　。
【答案】m（a+1）（a-1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ma2-m=m(a2-1)=m(a+1)(a-1)，
故答案为：m(a+1)(a-1).
【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可.
13．（2025·上城模拟）2025年3月，国家卫健委联合16部门正式启动“体重管理年”三年行动。陈老师为响应号召，给自己制定了五个锻炼项目，分别是：快走，慢跑，游泳，俯卧撑和深蹲。其中快走，慢跑，游泳属于有氧运动，俯卧撑和深蹲属于无氧运动。若今天陈老师随机选择其中一项运动进行锻炼，则选中的项目是有氧运动的概率是　 　。
【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：选择锻炼的运动共有5种等可能结果，其中有氧运动的有3种，
∴ 选中的项目是有氧运动的概率是，
故答案为：.
【分析】根据概率公式计算解题.
14．（2025·上城模拟）如图，在△ABC中，BC=4，BD是AC边上的中线，D点到BC的距离为2，则S△ABC=　 　.
【答案】8
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：∵ BD是AC边上的中线，
∴ S△ABC=2S△DBC=2×
故答案为：8.
【分析】根据三角形的中线分出的两个三角形的面积相等解题即可.
15．（2025·上城模拟）把电阻值分别为，的两电阻并联后接入某电路中，其并联总电阻值R（单位：Ω）满足。当时，　 　。
【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】把 代入计算可得，然后求出比值即可解题.
16．（2025·上城模拟）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，且，点B关于直线EG的对称点B'在线段BC的延长线上，B'E与BF交于点H。
（1）若点A与点H关于直线BE对称，则　 　；
（2）若，则　 　。
【答案】（1）
（2）
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵ 点B关于直线EG的对称点B'在线段BC的延长线上，
∴EB=EB'，
∴∠EBB'=∠EB'B，
又∵ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠AEB=∠EBC，
由折叠可得∠AEB=∠B'EB，
∴∠EBB'=∠EB'B=∠BEB'=60°，
∴∠ABE=30°，
∴；
（2）如图，过点B'作B'N∥CD，过点F作FM∥BC交B'E、B'N于点M、N两点，设FM=a，DE=DF=x，则四边形CB'NF为矩形，
∴FN=CB'，B'N=CF，
∵B'N∥CD，
∴△HFM∽△HBB'，
∴，即，
∵点B关于直线EG的对称点B'在线段BC的延长线上，
∴BG=B'G=6a，EG⊥BC，
∴CD=BC=EG=AB=AD=AE+ED=BG+DE=6a+x，
又∵DF=DE=x，
∴B'N=CF=6a，
又又问我FN=CB'=GB'-CB'=6a-x，
∴MN=FM+FN=a+6a-x=7a-x，
又∵FM∥BC，
∴∠NMB'=∠MB'G，
又∵∠N=∠EGB'=90°，
∴△B'NM∽△EGB'，
∴，即，
解得x=3a或x=-2a，
∴；
故答案为：；.
【分析】（1）根据正方形的性质和轴对称可得∠EBB'=∠EB'B=∠BEB'=60°，即可求出∠ABE=30°，进而计算正切即可；
（2）过点B'作B'N∥CD，过点F作FM∥BC交B'E、B'N于点M、N两点，设FM=a，DE=DF=x，则四边形CB'NF为矩形，先根据△HFM∽△HBB'，求出BB'的长，然后证明△B'NM∽△EGB'，利用对应边成比例求出x=3a，然后代入计算比值即可.
17．（2025·上城模拟）计算：
【答案】解：原式=-1+3-4
=-2
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算负整数指数次幂和算术平方根、乘方，然后加减解题即可.
18．（2025·上城模拟）用数轴解不等式组.
【答案】解：由①得x>-1
由②得x≦2.
不等式组的解为-1＜x≤2
图
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的到公共部分，再在数轴上表示解集即可.
19．（2025·上城模拟）在中，BE平分，AD是BC边上的高，.
（1）求的度数；
（2）若，，求AC的长度。
【答案】（1）解：∵BE平分∠ABC
∴
又∵
∴
又∵AD是BC边上的高
∴
∴
（2）解：在Rt中
在Rt中：
又
【知识点】勾股定理；角平分线的概念；解直角三角形—边角关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ABD的度数，然后根据直角三角形的两个锐角互余解题即可；
（1）先根据正切的定义求出AD长，然后根据勾股定理求出AC长即可.
20．（2025·上城模拟）中国的人工智能（AI）领域近年来取得了显著的进展，并推动了AI技术在各行各业的普及和应用。小城同学采用抽样调查的方式对九年级部分同学做了“我最常使用的AI软件”的问卷调查，并根据调查收集的数据，绘制了如下的统计图表：
九年级学生最常使用的“AI”软件统计表
AI软件 使用人数 百分比
Deepseek 18 a
Kimi 12 　
豆包 b 　
腾讯元宝 6 　
其他软件 　 8%
（1）请写出统计表中a，b的值：
a=　 　；b=　 　
（2）已知九年级有400位同学，试估算最常使用“Deepseek”的同学有多少位？
（3）小城了解到：使用“Deepseek”和“Kimi”组合生成的ppt效果很好，堪称“王炸组合”。现从“Deepseek”、”Kimi”、”豆包”和”腾讯元宝”这四款软件中挑出两款，求挑出的恰好是”Deepseek”和”Kimi”的概率。
【答案】（1）36%；10
（2）解：400×36%=144(人)
（3）解：树状图如下：
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：6÷12%=50，∴a=，b=50×20%=10，
故答案为：36%；10；
【分析】运用腾讯元宝的适用人数除以占比求出总人数，再根据 Deepseek 的占比乘以100%求出b的值；用总人数乘以豆包的占比求出使用人数即可；
（2）用人数400דDeepseek”的占比计算解题；
（3）列树状图得到所有等可能结果，找出符合要求的结果数，利用概率公式计算解题.
21．（2025·上城模拟）某项目学习小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力F（单位：N）一定时，木板面积S（单位：m2）与人和木板对地面的压强p（单位：Pa）成反比例。当木板面积为0.2m2时，人和木板对地面的压强为3000PA。
（1）求P关于S的函数表达式：
（2）当木板面积为0.3m2时，压强是多少
（3）如果要求压强不超过1200Pa，木板面积至少要多大？请说明理由。
【答案】（1）解：把，代入得，
（2）解：当时
（3）解：当 时，
在第一象限内 p 随 S 的增大而减小，当 时，.
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）把s=0.3m2代入，求出p的值即可；
（3）先求出当p=1200时的自变量s的值，然后根据函数的增减性解答即可.
22．（2025·上城模拟）定义：将一组对角线相同，另一组对角线共线的菱形称为“组合菱形”，内部菱形与外部菱形的共线对角线长之比称为组合比，用k表示。如图，菱形ABCD和菱形EAFC是组合菱形，其中BD与EF共线，且满足BD：EF=
（1）组合比K=　 　.
（2）若BE=2，AB=3，求AC的长；
（3）若∠BAD=∠AEC，求证：∠AEB=30°。
【答案】（1）
（2）解：连结 AC 交 BD 于点
∵四边形AECF为菱形，四边形ABCD为菱形
又 即
即
又
在 中：
（3）解： 四边形AECF为菱形，四边形ABCD为菱形
又
∴在△AEO和△BAO中
或者证
可得
不妨设 ，则 ，，可得
法二： 证 ∠EAD=90°
∴EB=BD=2x
∴EB=BD=AB
∴△ABD为等边三角形
∴∠AEB=30°
【知识点】勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵ 菱形ABCD和菱形EAFC是组合菱形， BD与EF共线，BD：EF=，
∴k=，
故答案为：；
【分析】（1）根据“组合菱形”的组合比定义解题即可；
（2）连结 AC 交 BD 于点 ，根据菱形的性质得到对角线互相垂直平分，然后根据勾股定理求出AO长即可解题；
（3）根据菱形的性质，利用两角对应相等得到，即可得到，进而根据正切的定义解答即可.
23．（2025·上城模拟）设二次函数。
（1）若该函数的对称轴为直线，求该函数的顶点坐标；
（2）判断该函数是否存在最大值5，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（3）已知点，和在函数图象上，当时，都有，求的取值范围。
【答案】（1）解：
将x=1代入， y=3
∴顶点坐标为(1，3)
（2）解：，
解得a 1=2，a2=-1
（3）解： 法一：将P点坐标代入，求得
函数表达式为由图象法，
则或.
法二：将P点坐标代入，求得根据点到对称轴的水平距离得，不等式，
则或.
法三：将P点坐标代入，求得a=3
作差法，
则或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据对称轴公式计算解题；
（2）根据顶点纵坐标公式列方程，然后解方程求出a的值即可；
（3）先求出点P的坐标，根据函数的增减性解答即可.
24．（2025·上城模拟）如图1，为的外接圆，且，点D为圆外一动点，且满足，连结AD，交BC于点E，交于点F，连结BF。
（1）若AD经过圆心O，，，求AB的长；
（2）求证：BF平分；
（3）如图2，若，设DF：EF=k，请用含k的代数式表示cosC。
【答案】（1）解：∵AF是直径，
∴∠ABF=90°
在RTAABF中， AF=5， BF=3， 由勾股定理得： AB2+BF2=AF2
∴AB=4
（2）证明：证法1：导角
设∠BAD=x，∠DAC=y，
∵AB=BD
∴∠D=∠BAD=x，
∵AB=BC
∴∠BCA=∠BAC=x+y，
∴∠BEA=∠BCA+∠DAC=x+2y
同时∠BEA=∠D+∠DBE
∴∠DEB=2y
又∵∠FBC=∠FAC=y
∴∠DEB=2∠FBC
∴BF是∠DBC 的平分线.
证法2： 隐圆
∵AB=BC=BD
∴A、C、D是以B为圆心， AB为半径的圆上，
其中∠DBC是圆心角，∠DAC是同弧所对的圆周角
∴∠DEB=2∠DAC
而在圆 O中， ∠FBC=∠DAC
∴∠DEB=2∠FBC
∴BF是∠DBC 的平分线。
（3）解： 法一：
∵BD// AC
∴∠D=∠FAC
又∵BD=BA
∴∠D=∠FAB
由(2)得∠FBD=∠FBE=∠FAC
∴∠D=∠FBE= ∠FBD
∴FB=FD
∴△BEF∽△DEB
即 BE2=EF×DE =EF×(EF+DF)= EF×(EF +kEF)
∴
且
过B作BG⊥AC于点 G，
∵AB=BC
∴AG=GC
在 Rt中，
法二；
平分
∵AB=AC=BC
∴设 BE=1， 则 BD=K， EC=k-1
∵过点B作BG⊥AC
∴AG=GC
∴=cosC
∴CG=kcosC
∵BD//AC
∴△BED∽△CEA
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到∠ABF=90°，然后根据勾股定理解题即可；
（2）设∠BAD=x，∠DAC=y，根据等边对等角得到∠D=∠BAD=x，∠BCA=∠BAC=x+y，即可得到∠DEB=2y，即可得到∠DEB=2∠FBC解题即可.
（3）方法一：先根据两角对应相等得到△BEF∽△DEB，即可根据对应边成比例求出，进而得到CE长，过B作BG⊥AC于点 G，即可得到AG=GC，然后根据余弦的定义解答即可；方法二：设 BE=1，则 BD=K， EC=k-1，过点B作BG⊥AC，则AG=GC，然后证明△BED∽△CEA，根据对应边成比例解题即可.
1 / 1浙江省杭州市上城区2025年中考一模数学试卷
1．（2025·上城模拟）下列各数中最小的是（　　）
A．0 B．-1 C．-2 D．-3
2．（2025·上城模拟）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·上城模拟）如图，点A，B，C在上，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·上城模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·上城模拟）如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等。线段AC在横格纸上，与作业本的横线交于点B，若AC=10，则AB的长是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．（2025·上城模拟）某校第一次体育中考结束后还有30位同学未达到满分30分，这30位同学的成绩统计如下表（每个同学的分数都是整数），小明是其中一位未满分同学。若去掉小明的成绩，则剩下的29位同学的成绩中，下列统计量一定不受影响的是（　　）
成绩 25分及以下 26分 27分 28分 29分
人数 2 1 3 9 15
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
7．（2025·上城模拟）如图，在中，，，，把绕直线AB旋转一周，所得几何体的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·上城模拟）某班级共有m位学生，现将n个枇杷作为午餐水果分发给学生。若每人发2个，则还剩10个；若每人发3个，则还缺30个。下列四个方程：
①；②；③；④，其中符合题意的是（　　）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
9．（2025·上城模拟）已知某函数的函数值y和自变量x的部分对应值如下表：
x … a-1 a a+1 …
y … b+2 b b-2 …
则这个函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025·上城模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点O为对角线BD的中点，E为线段AB上一点，连结EO，并延长交DC于点F，以点F为圆心，适当长为半径画弧，交FD于点M，交EF于点N。再以点N为圆心，MN长为半径画弧，两弧交于点P，连结FP，并延长交线段AB于点Q。则下列两个命题中说法正确的是（　　）
①△QEF为等腰三角形：②设AE长为x，BQ长为y，则（4-x）（4-y）=4。
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
11．（2025·上城模拟）计算： =　 　．
12．（2025·上城模拟）因式分解：ma2-m=　 　。
13．（2025·上城模拟）2025年3月，国家卫健委联合16部门正式启动“体重管理年”三年行动。陈老师为响应号召，给自己制定了五个锻炼项目，分别是：快走，慢跑，游泳，俯卧撑和深蹲。其中快走，慢跑，游泳属于有氧运动，俯卧撑和深蹲属于无氧运动。若今天陈老师随机选择其中一项运动进行锻炼，则选中的项目是有氧运动的概率是　 　。
14．（2025·上城模拟）如图，在△ABC中，BC=4，BD是AC边上的中线，D点到BC的距离为2，则S△ABC=　 　.
15．（2025·上城模拟）把电阻值分别为，的两电阻并联后接入某电路中，其并联总电阻值R（单位：Ω）满足。当时，　 　。
16．（2025·上城模拟）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，且，点B关于直线EG的对称点B'在线段BC的延长线上，B'E与BF交于点H。
（1）若点A与点H关于直线BE对称，则　 　；
（2）若，则　 　。
17．（2025·上城模拟）计算：
18．（2025·上城模拟）用数轴解不等式组.
19．（2025·上城模拟）在中，BE平分，AD是BC边上的高，.
（1）求的度数；
（2）若，，求AC的长度。
20．（2025·上城模拟）中国的人工智能（AI）领域近年来取得了显著的进展，并推动了AI技术在各行各业的普及和应用。小城同学采用抽样调查的方式对九年级部分同学做了“我最常使用的AI软件”的问卷调查，并根据调查收集的数据，绘制了如下的统计图表：
九年级学生最常使用的“AI”软件统计表
AI软件 使用人数 百分比
Deepseek 18 a
Kimi 12 　
豆包 b 　
腾讯元宝 6 　
其他软件 　 8%
（1）请写出统计表中a，b的值：
a=　 　；b=　 　
（2）已知九年级有400位同学，试估算最常使用“Deepseek”的同学有多少位？
（3）小城了解到：使用“Deepseek”和“Kimi”组合生成的ppt效果很好，堪称“王炸组合”。现从“Deepseek”、”Kimi”、”豆包”和”腾讯元宝”这四款软件中挑出两款，求挑出的恰好是”Deepseek”和”Kimi”的概率。
21．（2025·上城模拟）某项目学习小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力F（单位：N）一定时，木板面积S（单位：m2）与人和木板对地面的压强p（单位：Pa）成反比例。当木板面积为0.2m2时，人和木板对地面的压强为3000PA。
（1）求P关于S的函数表达式：
（2）当木板面积为0.3m2时，压强是多少
（3）如果要求压强不超过1200Pa，木板面积至少要多大？请说明理由。
22．（2025·上城模拟）定义：将一组对角线相同，另一组对角线共线的菱形称为“组合菱形”，内部菱形与外部菱形的共线对角线长之比称为组合比，用k表示。如图，菱形ABCD和菱形EAFC是组合菱形，其中BD与EF共线，且满足BD：EF=
（1）组合比K=　 　.
（2）若BE=2，AB=3，求AC的长；
（3）若∠BAD=∠AEC，求证：∠AEB=30°。
23．（2025·上城模拟）设二次函数。
（1）若该函数的对称轴为直线，求该函数的顶点坐标；
（2）判断该函数是否存在最大值5，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（3）已知点，和在函数图象上，当时，都有，求的取值范围。
24．（2025·上城模拟）如图1，为的外接圆，且，点D为圆外一动点，且满足，连结AD，交BC于点E，交于点F，连结BF。
（1）若AD经过圆心O，，，求AB的长；
（2）求证：BF平分；
（3）如图2，若，设DF：EF=k，请用含k的代数式表示cosC。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵-3<-2<-1<0，
∴最小的数为-3，
故答案为：D.
【分析】根据有数的比较大小解答即可.
2．【答案】D
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：D.
【分析】根据数a的相反数是-a，零的相反数是零解答即可.
3．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴∠AOB=2∠C=40°，
故答案为：A.
【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角度数的一半解题即可.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，原计算错误；
B：，原计算错误；
C：，原计算错误；
D：，计算正确；
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项运算法则逐项判断解题即可.
5．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：过点A作 于点D，交BM于点N，设相邻两条横线间的距离为a，
∵BM∥CE，
故答案为：B.
【分析】根据相邻两条横线间的距离都相等，可设相邻两条横线间的距离为a，根据平行线分线段成比例定理列出比例式解答即可.
6．【答案】C
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：在这30位同学的成绩中，29分出现的次数为15次，其次是28分出现了9次，若去掉小明的成绩，则剩下的29位同学的成绩中，上列统计量一定不受影响的是众数，众数依然是29分.
故答案为：C.
【分析】根据众数，平均数，方差和中位数的定义求解可得.
7．【答案】B
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：将绕AB所在直线旋转一周，得到的几何体为圆锥，
圆锥的底面圆的半径为1，母线长 ，
所以圆锥的侧面积
故答案为：B.
【分析】将 绕AB所在直线旋转一周，得到的几何体为圆锥，圆锥的底面圆的半径为1，利用勾股定理计算母线长，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形和扇形的面积公式计算即可.
8．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意，正确方程为 和
故答案为：C.
【分析】根据总数量和学生数相同列方程即可解题.
9．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：根据表格中数据可得自变量x的值每增加1，函数值减小2；
故函数是一次函数，并且y随x的增大而减小，
图象可能为B选项，
故答案为：B.
【分析】根据表格里的数据可得函数是一次函数，并且y随x的增大而减小，即可判断图象解题即可.
10．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：由作图可得∠MFN=∠PFN，
又∵ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠QEF=∠EFD，∠EBD=∠BDF，
∴∠QFE=∠QEF，
∴QE=QF=8-x-y，故①正确；
又∵ 点O为对角线BD的中点，
∴BO=DO，
又∵∠QFE=∠QEF，∠EBD=∠BDF，
∴△OBE≌△ODF，
∴BE=DF，
∴FC=AE=x，
过点Q作QG⊥BC于点G，
则BCGQ是矩形，
∴CG=BQ=y，
∴FG=x-y，
在Rt△QFG中，QG2+FG2=QF2，即42=(8-x-y)2-(x-y)2，
整理得16=(8-x-y+x-y)(8-x-y-x+y)，即(4-x)(4-y)=4，故②正确；
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质可得∠QEF=∠EFD，根据作图得到∠MFN=∠PFN，即可得到∠QFE=∠QEF，进而得到QE=QF判断①；然后证明△OBE≌△ODF，即可得到BE=DF，即可得到FC=AE=x，然后过点Q作QG⊥BC于点G，即可得到FG=x-y，再在Rt△QFG中根据勾股定理解题即可.
11．【答案】2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵23=8
∴ =2
故答案为：2．
【分析】根据立方根的定义即可求解．
12．【答案】m（a+1）（a-1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ma2-m=m(a2-1)=m(a+1)(a-1)，
故答案为：m(a+1)(a-1).
【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可.
13．【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：选择锻炼的运动共有5种等可能结果，其中有氧运动的有3种，
∴ 选中的项目是有氧运动的概率是，
故答案为：.
【分析】根据概率公式计算解题.
14．【答案】8
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：∵ BD是AC边上的中线，
∴ S△ABC=2S△DBC=2×
故答案为：8.
【分析】根据三角形的中线分出的两个三角形的面积相等解题即可.
15．【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】把 代入计算可得，然后求出比值即可解题.
16．【答案】（1）
（2）
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵ 点B关于直线EG的对称点B'在线段BC的延长线上，
∴EB=EB'，
∴∠EBB'=∠EB'B，
又∵ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠AEB=∠EBC，
由折叠可得∠AEB=∠B'EB，
∴∠EBB'=∠EB'B=∠BEB'=60°，
∴∠ABE=30°，
∴；
（2）如图，过点B'作B'N∥CD，过点F作FM∥BC交B'E、B'N于点M、N两点，设FM=a，DE=DF=x，则四边形CB'NF为矩形，
∴FN=CB'，B'N=CF，
∵B'N∥CD，
∴△HFM∽△HBB'，
∴，即，
∵点B关于直线EG的对称点B'在线段BC的延长线上，
∴BG=B'G=6a，EG⊥BC，
∴CD=BC=EG=AB=AD=AE+ED=BG+DE=6a+x，
又∵DF=DE=x，
∴B'N=CF=6a，
又又问我FN=CB'=GB'-CB'=6a-x，
∴MN=FM+FN=a+6a-x=7a-x，
又∵FM∥BC，
∴∠NMB'=∠MB'G，
又∵∠N=∠EGB'=90°，
∴△B'NM∽△EGB'，
∴，即，
解得x=3a或x=-2a，
∴；
故答案为：；.
【分析】（1）根据正方形的性质和轴对称可得∠EBB'=∠EB'B=∠BEB'=60°，即可求出∠ABE=30°，进而计算正切即可；
（2）过点B'作B'N∥CD，过点F作FM∥BC交B'E、B'N于点M、N两点，设FM=a，DE=DF=x，则四边形CB'NF为矩形，先根据△HFM∽△HBB'，求出BB'的长，然后证明△B'NM∽△EGB'，利用对应边成比例求出x=3a，然后代入计算比值即可.
17．【答案】解：原式=-1+3-4
=-2
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算负整数指数次幂和算术平方根、乘方，然后加减解题即可.
18．【答案】解：由①得x>-1
由②得x≦2.
不等式组的解为-1＜x≤2
图
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的到公共部分，再在数轴上表示解集即可.
19．【答案】（1）解：∵BE平分∠ABC
∴
又∵
∴
又∵AD是BC边上的高
∴
∴
（2）解：在Rt中
在Rt中：
又
【知识点】勾股定理；角平分线的概念；解直角三角形—边角关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ABD的度数，然后根据直角三角形的两个锐角互余解题即可；
（1）先根据正切的定义求出AD长，然后根据勾股定理求出AC长即可.
20．【答案】（1）36%；10
（2）解：400×36%=144(人)
（3）解：树状图如下：
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：6÷12%=50，∴a=，b=50×20%=10，
故答案为：36%；10；
【分析】运用腾讯元宝的适用人数除以占比求出总人数，再根据 Deepseek 的占比乘以100%求出b的值；用总人数乘以豆包的占比求出使用人数即可；
（2）用人数400דDeepseek”的占比计算解题；
（3）列树状图得到所有等可能结果，找出符合要求的结果数，利用概率公式计算解题.
21．【答案】（1）解：把，代入得，
（2）解：当时
（3）解：当 时，
在第一象限内 p 随 S 的增大而减小，当 时，.
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）把s=0.3m2代入，求出p的值即可；
（3）先求出当p=1200时的自变量s的值，然后根据函数的增减性解答即可.
22．【答案】（1）
（2）解：连结 AC 交 BD 于点
∵四边形AECF为菱形，四边形ABCD为菱形
又 即
即
又
在 中：
（3）解： 四边形AECF为菱形，四边形ABCD为菱形
又
∴在△AEO和△BAO中
或者证
可得
不妨设 ，则 ，，可得
法二： 证 ∠EAD=90°
∴EB=BD=2x
∴EB=BD=AB
∴△ABD为等边三角形
∴∠AEB=30°
【知识点】勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵ 菱形ABCD和菱形EAFC是组合菱形， BD与EF共线，BD：EF=，
∴k=，
故答案为：；
【分析】（1）根据“组合菱形”的组合比定义解题即可；
（2）连结 AC 交 BD 于点 ，根据菱形的性质得到对角线互相垂直平分，然后根据勾股定理求出AO长即可解题；
（3）根据菱形的性质，利用两角对应相等得到，即可得到，进而根据正切的定义解答即可.
23．【答案】（1）解：
将x=1代入， y=3
∴顶点坐标为(1，3)
（2）解：，
解得a 1=2，a2=-1
（3）解： 法一：将P点坐标代入，求得
函数表达式为由图象法，
则或.
法二：将P点坐标代入，求得根据点到对称轴的水平距离得，不等式，
则或.
法三：将P点坐标代入，求得a=3
作差法，
则或
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据对称轴公式计算解题；
（2）根据顶点纵坐标公式列方程，然后解方程求出a的值即可；
（3）先求出点P的坐标，根据函数的增减性解答即可.
24．【答案】（1）解：∵AF是直径，
∴∠ABF=90°
在RTAABF中， AF=5， BF=3， 由勾股定理得： AB2+BF2=AF2
∴AB=4
（2）证明：证法1：导角
设∠BAD=x，∠DAC=y，
∵AB=BD
∴∠D=∠BAD=x，
∵AB=BC
∴∠BCA=∠BAC=x+y，
∴∠BEA=∠BCA+∠DAC=x+2y
同时∠BEA=∠D+∠DBE
∴∠DEB=2y
又∵∠FBC=∠FAC=y
∴∠DEB=2∠FBC
∴BF是∠DBC 的平分线.
证法2： 隐圆
∵AB=BC=BD
∴A、C、D是以B为圆心， AB为半径的圆上，
其中∠DBC是圆心角，∠DAC是同弧所对的圆周角
∴∠DEB=2∠DAC
而在圆 O中， ∠FBC=∠DAC
∴∠DEB=2∠FBC
∴BF是∠DBC 的平分线。
（3）解： 法一：
∵BD// AC
∴∠D=∠FAC
又∵BD=BA
∴∠D=∠FAB
由(2)得∠FBD=∠FBE=∠FAC
∴∠D=∠FBE= ∠FBD
∴FB=FD
∴△BEF∽△DEB
即 BE2=EF×DE =EF×(EF+DF)= EF×(EF +kEF)
∴
且
过B作BG⊥AC于点 G，
∵AB=BC
∴AG=GC
在 Rt中，
法二；
平分
∵AB=AC=BC
∴设 BE=1， 则 BD=K， EC=k-1
∵过点B作BG⊥AC
∴AG=GC
∴=cosC
∴CG=kcosC
∵BD//AC
∴△BED∽△CEA
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到∠ABF=90°，然后根据勾股定理解题即可；
（2）设∠BAD=x，∠DAC=y，根据等边对等角得到∠D=∠BAD=x，∠BCA=∠BAC=x+y，即可得到∠DEB=2y，即可得到∠DEB=2∠FBC解题即可.
（3）方法一：先根据两角对应相等得到△BEF∽△DEB，即可根据对应边成比例求出，进而得到CE长，过B作BG⊥AC于点 G，即可得到AG=GC，然后根据余弦的定义解答即可；方法二：设 BE=1，则 BD=K， EC=k-1，过点B作BG⊥AC，则AG=GC，然后证明△BED∽△CEA，根据对应边成比例解题即可.
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