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浙江省台州市路桥区2024-2025学年第二学期八年级期中学情评估数学试题卷（人教版）
1．（2025八下·路桥期中）下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、
故答案为：C.
【分析】最简二次根式是指被开方数是不含有开得尽方的因数或因式的整数或整式.
2．（2025八下·路桥期中）下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（　　）
A．2，2，4 B．4，6，8 C．4，12，13 D．6，8，10
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、
三角形不存在
B、
不是直角三角形
C、
不是直角三角形
D、
是直角三角形
故答案为：D.
【分析】用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形，必须用较小的两个边的平方和与最大边的平方比较，如果相等就是直角三角形，否则不是直角三角形.
3．（2025八下·路桥期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠A＝60°，则对角线BD的长为（　　）
A． B．6 C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
四边形ABCD是菱形
是等边三角形
故答案为：B.
【分析】由于菱形的四条边相等，所以是等腰三角形；因为 ∠A＝60° ，所以又是等边三角形，所以BD等于AB等于6.
4．（2025八下·路桥期中）下列计算正确的是（　　）．
A．2＋＝ B．－＝ C．×＝ D．÷＝5
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；同类二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并；
B、，结果错误；
C、，结果正确；
D、，结果错误；
故答案为：C.
【分析】整数与二次根式不能直接合并；二次根式的加减，首先化为最简二次根式，若最简二次根式是同类二次根式，可直接进行合并；二次根式的乘除，先对被开方数作乘除运算，根号保持不变，若结果不是最简二次根式，还需要进行化简.
5．（2025八下·路桥期中）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）
A．AC⊥BD B．∠BAC＝∠DAC
C．BA＝BO D．BO＝AC
【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线相等，而不一定垂直，错误；
B、菱形的对角线平分一组对角，而矩形的对角线不一定平分一组对角，错误；
C、若BA=BO，则是等边三角形，则，而已知未明确指出的度数，错误；
D、矩形的对角线相等且互相平分，结论正确.
故答案为：D.
【分析】矩形的对角线相等且互相平分，四个角都是直角；菱形的对角线互相垂直平分，且一条对角线平分一组对角.
6．（2025八下·路桥期中）下列命题正确的是（　　）
A．平行四边形的两条对角线互相垂直
B．对角线相等的平行四边形是菱形
C．平行四边形的四条边相等
D．四个角相等的四边形是矩形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、平行四边形的两条对角线互相平分，而菱形的对角线才互相垂直，故结论错误；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，而不是菱形，故结论错误；
C、平等四边形的对边相等，而菱形的四条边才相等，故结论错误；
D、由于四边形的内角和是360度，当四个角相等时每一个角都是90度，则四边形肯定是矩形，故结论正确.
故答案为：D.
【分析】平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等、邻角互补；菱形、矩形都是特殊的平行四边形，它们都具有平行四边形的所有性质，但区别在于菱形的四条边相等，对角线互相垂直；而矩形的四个角都是直角，对角线相等，注意区别.
7．（2025八下·路桥期中）如图，数轴上的点C表示的数是2，BC⊥OC于点C，且BC＝1，连接OB，以点O为圆心，OB长为半径画弧与数轴交于点A，则点A表示的数是（　　）
A． B．－ C．2－ D．－2
【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：
即点A表示的数字是
故答案为：A.
【分析】先由勾股定理求得OB的长，则OA等于OB，由于点A在原点右侧，则点A表示的数字是正数.
8．（2025八下·路桥期中）如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交DC的延长线于点E，连接BE，若□ABCD的周长为28，△BCE的周长为18，则CE的长是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示
四边形ABCD是平行四边形
故答案为：C.
【分析】先由平行四边形的性质可得其邻边BC与CD的和等于14，再由OE垂直BD可得OE是对角线BD的垂直平分线，即有BE等于DE，再利用等量代换可把△BCE的周长转化为BC+CD与CE2倍的和即可.
9．（2025八下·路桥期中）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，过点D作DF⊥AE交AE于点H，交AB于点F，连接DE．下列结论：①AF＝BE；②∠CDF＝67.5°；③△DHE≌△DCE．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；四边形的综合；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：四边形ABCD是正方形
，故结论 ① 正确；
平分
，故结论 ② 正确；
中：
不可能与全等，故结论 ③ 错误.
故答案为：A.
【分析】 ① 由正方形的性质结合已知DF⊥AE 可证明，则AF=BE、 ∠BAE＝ ∠ADF；
②由正方形的性质可得，由角平分的概念可得等于的一半等于；由全等的性质可得等于，再利用两锐角互余即可求得 ∠CDF＝67.5°；
③ 若 △DHE≌△DCE，则DC=DH，由于正方形的四条边相等，则DH=DA，显然矛盾，故不可能全等.
10．（2025八下·路桥期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以AB，AC，BC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，正方形BCHI．以DE，GF所在的直线构造矩形PQMN，且点H，I在边MN，MQ上．已知△ABC的面积为1，矩形PQMN的面积为20，则矩形PQMN的周长为（　　）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图所示：分别延长AB交MQ于点K、延长AC交MN于点L.
设，则
四边形DCHI是正方形
四边形PQMN是矩形
正方形ACFG中
同理：
、
矩形PQMN中
四边形CLNF是矩形
同理四边形AEBG、KBDQ都是矩形
矩形PQMN的周长为
故答案为：B.
【分析】分别延长AB交MQ于点K、延长AC交MN于点L，则得到赵爽弦图AKML，即，由全等及矩形的性质可判定四边形CLNF、AEBG、KBDQ都是矩形，为方便计算可分别设，则矩形PQMN的两边PQ、PN分别，则其周长等于；此时可利用矩形PQMN和 △ABC的面积分别得到的平方和与乘积，则利用完全平方公式可得到的和即可 .
11．（2025八下·路桥期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为　 　．
【答案】x≥－2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】.
12．（2025八下·路桥期中）化简：　 　
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：.
故答案为：．
【分析】利用二次根式的性质：即可求解．
13．（2025八下·路桥期中）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是边AD的中点，OE＝3，则菱形ABCD的边长为　 　．
【答案】6
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：四边形ABCD是菱形
是中点
故答案为：6.
【分析】由于菱形的对角线互相平分，因此O是AC中点，因为E是AD中点，所以OE是三角形ACD的中位线，所以CD等于OE的2倍.
14．（2025八下·路桥期中）如图，在□ABCD中，∠B＝45°，AB＝2，BC＝3，则□ABCD的面积为　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的面积；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作，垂足为E.
故答案为：.
【分析】作平行四边形ABCD的边BC上的高AE，再解求出AE即可.
15．（2025八下·路桥期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，将矩形ABCD沿AC折叠，使点D落到点E处，交BC于点F，则BF的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形
与是同一个三角形
设，则
中：
即：
解得：
故答案为：.
【分析】由折叠的性质结合矩形的性质可证，则，设，则，再在中应用勾股定理即可.
16．（2025八下·路桥期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是斜边AC的中点，BE平分∠ABC且BE⊥CE，连接DE，若AC＝20，BC＝12，则DE的长为　 　．
【答案】2
【知识点】三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图所示，延长CE交AB于点F.
中：
平分
是中点
是中点
故答案为：2.
【分析】延长CE交AB于点F，则由角平分线的概念及垂直的性质可证，由全等的性质可得CE等于FE、BF等于BC等于12，即点E是CF中点，由于点D是AC中点，则DE是三角形ACF的中位线，即DE等于AF的一半，此时利用勾股定理求出AB的长即可得到AF的长即可.
17．（2025八下·路桥期中）计算：
（1）－＋；
（2）.
【答案】（1）原式＝－＋
＝
（2）原式＝3－2
=1
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）二次根式的加减运算，要先把二次根式化为最简二次根式，若这些最简二次根式还是同类二次根式，还需要进行合并；
（2）二次根式的加减乘除混合运算，要灵活运用乘法公式可简化运算.
18．（2025八下·路桥期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．试在各网格中画出顶点在格点上，且符合相应条件的图形．
（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
（2）在图2中以格点为顶点画一个△ABC，使得AB＝2，AC＝，BC＝．
【答案】（1）如图1，正方形PQMN即为所求；
（2）如图2，△ABC即为所求；
【知识点】勾股定理的应用；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）由于正方形的面积等于边长的平方，因此可构造直角边分别为1和3的直角三角形，再以这个三角形的斜边作正方形即可；
（2）先取格点A、B且使AB等于2，再取格点C，使BC为直角边分别为2和3的直角三角形的斜边，且AC为直角边分别是1和2的直角三角形的斜边即可.
19．（2025八下·路桥期中）如图，点E在边长为13的正方形ABCD内，AE＝5，BE＝12，求图中阴影部分的面积．
【答案】解∵AB＝13，AE＝5，BE＝12，
∴，
∴△ABE是直角三角形，且∠AEB＝90°，
∴
＝13×13－×5×12
＝139．
【知识点】勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】由于三角形ABE的三边恰好是一组勾股数，因此可判定是直角三角形，且正方形的边AB恰好是Rt的斜边，则的面积可求，则阴影部分面积等于正方形ABCD的面积与面积的差.
20．（2025八下·路桥期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°．
∵AB＝CD，AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF．
（2）证明：∵△ABE≌△CDF，
∴∠ABE＝∠CDF，
∴AB∥CD．
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由于AE=CF，AB=CD，可利用垂直的概念得△ABE和△CDF都是直角三角形，则直接应用HL定理即可证明两三角形全等；
（2）由全等三角形的性质可得∠ABE＝∠CDF，则内错角相等两直线平行，即AB//CD，又AB=CD，则四边形ABCD是平行四边形.
21．（2025八下·路桥期中）如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A和B，且AB＝AC．由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝2km，CH＝1.6km，BH＝1.2km．
（1）CH是否为村庄C到河边的最近路线？请通过计算说明．
（2）求原来的路线AC的长．
【答案】（1）答：CH是从村庄C到河边的最近路线，理由如下：
∵ CB＝2 km，CH＝1.6 km，BH＝1.2 km，
∴，
∴∠CHB＝90°，即CH是从村庄C到河边的最近路线．
（2）解：设AB＝AC＝x km，
∵∠CHA＝90°，
∴，
∴，
∴x＝，即 AC＝km．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】（1）由于的三条边长已知，只需运用勾股定理的逆定理判定其是否是直角三角形即可；
（2）由于（1）中已判定是直角三角形且是直角，因此也是直角三角形，由于AB=AC，可设AC为x，则AH等于x-1.2，在Rt中应用勾股定理即可.
22．（2025八下·路桥期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，连接OE．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若OE＝5，AC＝6，求菱形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，即∠COD＝90°．
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∴四边形OCED是矩形．
（2）解：∵四边形OCED是矩形，OE＝5，
∴CD＝OE＝5．
∵菱形ABCD，AC＝6，
∴OC＝OA＝3，OB＝OD．
∵∠COD＝90°，
∴，
∴OB＝OD＝4，BD＝8，
∴．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）先由两组对边分别平行可证四边形OCED是平行四边形，再由菱形的对角线互相垂直可证，则一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）由矩形的对角线相等可得出菱形ABCD的边长CD等于OE等于5，由于菱形的对角线互相垂直平分，可解直角三角形COD求出OD的长，则对角线BD可得，再由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得出菱形ABCD的面积.
23．（2025八下·路桥期中）观察下列等式，并回答问题：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
（1）请直接写出第5个等式　 　；
（2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并证明；
（3）计算：．
【答案】（1）
（2）证明：

（3）解：原式＝
＝
＝1
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）直接按照数式规律填写即可；
（2）按照分式的混合运算顺序先算括号内的异分母分式的减法，即先通分化异分母分式为同分母分式，再进行分式的乘法运算，最后再利用二次根式的性质把分母中的移到根号外即可；
（3）先利用对进行变形，再应用二次根式的乘法运算法则进行计算即可.
24．（2025八下·路桥期中）在四边形ABCD中，对角线BD上有一点E，连接AE，CE，F是射线AD上一点，连接EF，且EF＝AE，以EC，EF为边作平行四边形CEFH．
（1）如图1，若四边形ABCD是菱形．
①求证：四边形CEFH是菱形；
②若∠BAD＝60°，连接CF，则CF与AE是否相等？请说明理由．
（2）如图2，若四边形ABCD是正方形．
①CF与AE的关系是（　　）
CF＝AECF＝AECF＝1.5AECF＝2AE
②已知AD＝6，DF＝2，连接DH，则DH的长为　 　．
【答案】（1）①证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADB＝∠CDB，AD＝CD．
∵DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE，
∴AE＝CE．
∵EF＝AE，
∴CE＝EF．
∵四边形CEFH是平行四边形，
∴四边形CEFH是菱形．
②相等（或：是）
∵△ADE≌△CDE，
∴∠EAD＝∠ECD．
∵EF＝AE，
∴∠EAD＝∠EFD，
∴∠EFD＝∠ECD，
∴∠CEF＝∠CDF．
∵AB∥CD，∠BAD＝60°，
∴∠CDF＝∠BAD＝60°，
∴∠CEF＝60°．
∵CE＝EF，
∴△CEF是等边三角形，
∴CF＝EF＝AE．
（2）①B②或
【知识点】菱形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；四边形-动点问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】（2）①如图所示：
四边形ABCD是正方形
、
四点共圆
四边形EFHC是矩形
矩形EFHC是正方形
故应选B
② 如图1所示：当点F在AD上时，分别过点E、H作，垂足分别为N、M，连接DM.
四边形EFHC是正方形
四边形ABCD和四边形EFHC都是正方形
如图2所示，当点F在AD的延长线上时，分别过点E、H作，垂足分别为N、M，连接DM.
同理：
综上所述，DH的值为或.
【分析】（1） ①由于菱形是轴对称图形，因此CE=AE、又EF=AE，则等量代换得CE=FE，则平行四边形CEFH是菱形；
②若 ∠BAD＝60° ，则由菱形的对边平行可得∠CDF＝∠BAD＝60°，由于菱形是轴对称图形，因此△ADE全等△CDE，即有∠EAD等于∠ECD；由于已知EF=EA，则∠EAD等于∠EFD，等量代换得∠ECD等于∠EFD，即D、E、C、F四点共圆，所以∠CEF＝60°，因为CE=EF、所以三角形CEF是等边三角形，即CF=AE；
（2）分别过点E、H作，垂足分别为N、M，连接DM，再分两种情况进行计算，即当点F在AD上时，此时AF＝4，由于AE＝FE，则NF等于AF的一半等于2，再利用正方形的性质可证明，由全等的性质可得MH等于NF等于2，再利用正方形的性质证明，可得，从而得为等腰直角三角形即可求得DH的长；当点F在AD的延长线上时，方法同上.
1 / 1浙江省台州市路桥区2024-2025学年第二学期八年级期中学情评估数学试题卷（人教版）
1．（2025八下·路桥期中）下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·路桥期中）下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（　　）
A．2，2，4 B．4，6，8 C．4，12，13 D．6，8，10
3．（2025八下·路桥期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠A＝60°，则对角线BD的长为（　　）
A． B．6 C． D．
4．（2025八下·路桥期中）下列计算正确的是（　　）．
A．2＋＝ B．－＝ C．×＝ D．÷＝5
5．（2025八下·路桥期中）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）
A．AC⊥BD B．∠BAC＝∠DAC
C．BA＝BO D．BO＝AC
6．（2025八下·路桥期中）下列命题正确的是（　　）
A．平行四边形的两条对角线互相垂直
B．对角线相等的平行四边形是菱形
C．平行四边形的四条边相等
D．四个角相等的四边形是矩形
7．（2025八下·路桥期中）如图，数轴上的点C表示的数是2，BC⊥OC于点C，且BC＝1，连接OB，以点O为圆心，OB长为半径画弧与数轴交于点A，则点A表示的数是（　　）
A． B．－ C．2－ D．－2
8．（2025八下·路桥期中）如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交DC的延长线于点E，连接BE，若□ABCD的周长为28，△BCE的周长为18，则CE的长是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．（2025八下·路桥期中）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，过点D作DF⊥AE交AE于点H，交AB于点F，连接DE．下列结论：①AF＝BE；②∠CDF＝67.5°；③△DHE≌△DCE．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．（2025八下·路桥期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以AB，AC，BC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，正方形BCHI．以DE，GF所在的直线构造矩形PQMN，且点H，I在边MN，MQ上．已知△ABC的面积为1，矩形PQMN的面积为20，则矩形PQMN的周长为（　　）
A．16 B．18 C．20 D．22
11．（2025八下·路桥期中）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为　 　．
12．（2025八下·路桥期中）化简：　 　
13．（2025八下·路桥期中）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是边AD的中点，OE＝3，则菱形ABCD的边长为　 　．
14．（2025八下·路桥期中）如图，在□ABCD中，∠B＝45°，AB＝2，BC＝3，则□ABCD的面积为　 　．
15．（2025八下·路桥期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，将矩形ABCD沿AC折叠，使点D落到点E处，交BC于点F，则BF的长为　 　．
16．（2025八下·路桥期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是斜边AC的中点，BE平分∠ABC且BE⊥CE，连接DE，若AC＝20，BC＝12，则DE的长为　 　．
17．（2025八下·路桥期中）计算：
（1）－＋；
（2）.
18．（2025八下·路桥期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．试在各网格中画出顶点在格点上，且符合相应条件的图形．
（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
（2）在图2中以格点为顶点画一个△ABC，使得AB＝2，AC＝，BC＝．
19．（2025八下·路桥期中）如图，点E在边长为13的正方形ABCD内，AE＝5，BE＝12，求图中阴影部分的面积．
20．（2025八下·路桥期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
21．（2025八下·路桥期中）如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A和B，且AB＝AC．由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝2km，CH＝1.6km，BH＝1.2km．
（1）CH是否为村庄C到河边的最近路线？请通过计算说明．
（2）求原来的路线AC的长．
22．（2025八下·路桥期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，连接OE．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若OE＝5，AC＝6，求菱形ABCD的面积．
23．（2025八下·路桥期中）观察下列等式，并回答问题：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
（1）请直接写出第5个等式　 　；
（2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并证明；
（3）计算：．
24．（2025八下·路桥期中）在四边形ABCD中，对角线BD上有一点E，连接AE，CE，F是射线AD上一点，连接EF，且EF＝AE，以EC，EF为边作平行四边形CEFH．
（1）如图1，若四边形ABCD是菱形．
①求证：四边形CEFH是菱形；
②若∠BAD＝60°，连接CF，则CF与AE是否相等？请说明理由．
（2）如图2，若四边形ABCD是正方形．
①CF与AE的关系是（　　）
CF＝AECF＝AECF＝1.5AECF＝2AE
②已知AD＝6，DF＝2，连接DH，则DH的长为　 　．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、
故答案为：C.
【分析】最简二次根式是指被开方数是不含有开得尽方的因数或因式的整数或整式.
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、
三角形不存在
B、
不是直角三角形
C、
不是直角三角形
D、
是直角三角形
故答案为：D.
【分析】用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形，必须用较小的两个边的平方和与最大边的平方比较，如果相等就是直角三角形，否则不是直角三角形.
3．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
四边形ABCD是菱形
是等边三角形
故答案为：B.
【分析】由于菱形的四条边相等，所以是等腰三角形；因为 ∠A＝60° ，所以又是等边三角形，所以BD等于AB等于6.
4．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；同类二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并；
B、，结果错误；
C、，结果正确；
D、，结果错误；
故答案为：C.
【分析】整数与二次根式不能直接合并；二次根式的加减，首先化为最简二次根式，若最简二次根式是同类二次根式，可直接进行合并；二次根式的乘除，先对被开方数作乘除运算，根号保持不变，若结果不是最简二次根式，还需要进行化简.
5．【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线相等，而不一定垂直，错误；
B、菱形的对角线平分一组对角，而矩形的对角线不一定平分一组对角，错误；
C、若BA=BO，则是等边三角形，则，而已知未明确指出的度数，错误；
D、矩形的对角线相等且互相平分，结论正确.
故答案为：D.
【分析】矩形的对角线相等且互相平分，四个角都是直角；菱形的对角线互相垂直平分，且一条对角线平分一组对角.
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、平行四边形的两条对角线互相平分，而菱形的对角线才互相垂直，故结论错误；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，而不是菱形，故结论错误；
C、平等四边形的对边相等，而菱形的四条边才相等，故结论错误；
D、由于四边形的内角和是360度，当四个角相等时每一个角都是90度，则四边形肯定是矩形，故结论正确.
故答案为：D.
【分析】平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等、邻角互补；菱形、矩形都是特殊的平行四边形，它们都具有平行四边形的所有性质，但区别在于菱形的四条边相等，对角线互相垂直；而矩形的四个角都是直角，对角线相等，注意区别.
7．【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：
即点A表示的数字是
故答案为：A.
【分析】先由勾股定理求得OB的长，则OA等于OB，由于点A在原点右侧，则点A表示的数字是正数.
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示
四边形ABCD是平行四边形
故答案为：C.
【分析】先由平行四边形的性质可得其邻边BC与CD的和等于14，再由OE垂直BD可得OE是对角线BD的垂直平分线，即有BE等于DE，再利用等量代换可把△BCE的周长转化为BC+CD与CE2倍的和即可.
9．【答案】A
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；四边形的综合；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：四边形ABCD是正方形
，故结论 ① 正确；
平分
，故结论 ② 正确；
中：
不可能与全等，故结论 ③ 错误.
故答案为：A.
【分析】 ① 由正方形的性质结合已知DF⊥AE 可证明，则AF=BE、 ∠BAE＝ ∠ADF；
②由正方形的性质可得，由角平分的概念可得等于的一半等于；由全等的性质可得等于，再利用两锐角互余即可求得 ∠CDF＝67.5°；
③ 若 △DHE≌△DCE，则DC=DH，由于正方形的四条边相等，则DH=DA，显然矛盾，故不可能全等.
10．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图所示：分别延长AB交MQ于点K、延长AC交MN于点L.
设，则
四边形DCHI是正方形
四边形PQMN是矩形
正方形ACFG中
同理：
、
矩形PQMN中
四边形CLNF是矩形
同理四边形AEBG、KBDQ都是矩形
矩形PQMN的周长为
故答案为：B.
【分析】分别延长AB交MQ于点K、延长AC交MN于点L，则得到赵爽弦图AKML，即，由全等及矩形的性质可判定四边形CLNF、AEBG、KBDQ都是矩形，为方便计算可分别设，则矩形PQMN的两边PQ、PN分别，则其周长等于；此时可利用矩形PQMN和 △ABC的面积分别得到的平方和与乘积，则利用完全平方公式可得到的和即可 .
11．【答案】x≥－2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】.
12．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：.
故答案为：．
【分析】利用二次根式的性质：即可求解．
13．【答案】6
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：四边形ABCD是菱形
是中点
故答案为：6.
【分析】由于菱形的对角线互相平分，因此O是AC中点，因为E是AD中点，所以OE是三角形ACD的中位线，所以CD等于OE的2倍.
14．【答案】
【知识点】平行四边形的面积；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作，垂足为E.
故答案为：.
【分析】作平行四边形ABCD的边BC上的高AE，再解求出AE即可.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形
与是同一个三角形
设，则
中：
即：
解得：
故答案为：.
【分析】由折叠的性质结合矩形的性质可证，则，设，则，再在中应用勾股定理即可.
16．【答案】2
【知识点】三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图所示，延长CE交AB于点F.
中：
平分
是中点
是中点
故答案为：2.
【分析】延长CE交AB于点F，则由角平分线的概念及垂直的性质可证，由全等的性质可得CE等于FE、BF等于BC等于12，即点E是CF中点，由于点D是AC中点，则DE是三角形ACF的中位线，即DE等于AF的一半，此时利用勾股定理求出AB的长即可得到AF的长即可.
17．【答案】（1）原式＝－＋
＝
（2）原式＝3－2
=1
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）二次根式的加减运算，要先把二次根式化为最简二次根式，若这些最简二次根式还是同类二次根式，还需要进行合并；
（2）二次根式的加减乘除混合运算，要灵活运用乘法公式可简化运算.
18．【答案】（1）如图1，正方形PQMN即为所求；
（2）如图2，△ABC即为所求；
【知识点】勾股定理的应用；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）由于正方形的面积等于边长的平方，因此可构造直角边分别为1和3的直角三角形，再以这个三角形的斜边作正方形即可；
（2）先取格点A、B且使AB等于2，再取格点C，使BC为直角边分别为2和3的直角三角形的斜边，且AC为直角边分别是1和2的直角三角形的斜边即可.
19．【答案】解∵AB＝13，AE＝5，BE＝12，
∴，
∴△ABE是直角三角形，且∠AEB＝90°，
∴
＝13×13－×5×12
＝139．
【知识点】勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】由于三角形ABE的三边恰好是一组勾股数，因此可判定是直角三角形，且正方形的边AB恰好是Rt的斜边，则的面积可求，则阴影部分面积等于正方形ABCD的面积与面积的差.
20．【答案】（1）证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°．
∵AB＝CD，AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF．
（2）证明：∵△ABE≌△CDF，
∴∠ABE＝∠CDF，
∴AB∥CD．
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由于AE=CF，AB=CD，可利用垂直的概念得△ABE和△CDF都是直角三角形，则直接应用HL定理即可证明两三角形全等；
（2）由全等三角形的性质可得∠ABE＝∠CDF，则内错角相等两直线平行，即AB//CD，又AB=CD，则四边形ABCD是平行四边形.
21．【答案】（1）答：CH是从村庄C到河边的最近路线，理由如下：
∵ CB＝2 km，CH＝1.6 km，BH＝1.2 km，
∴，
∴∠CHB＝90°，即CH是从村庄C到河边的最近路线．
（2）解：设AB＝AC＝x km，
∵∠CHA＝90°，
∴，
∴，
∴x＝，即 AC＝km．
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】（1）由于的三条边长已知，只需运用勾股定理的逆定理判定其是否是直角三角形即可；
（2）由于（1）中已判定是直角三角形且是直角，因此也是直角三角形，由于AB=AC，可设AC为x，则AH等于x-1.2，在Rt中应用勾股定理即可.
22．【答案】（1）证明：∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，即∠COD＝90°．
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∴四边形OCED是矩形．
（2）解：∵四边形OCED是矩形，OE＝5，
∴CD＝OE＝5．
∵菱形ABCD，AC＝6，
∴OC＝OA＝3，OB＝OD．
∵∠COD＝90°，
∴，
∴OB＝OD＝4，BD＝8，
∴．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）先由两组对边分别平行可证四边形OCED是平行四边形，再由菱形的对角线互相垂直可证，则一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）由矩形的对角线相等可得出菱形ABCD的边长CD等于OE等于5，由于菱形的对角线互相垂直平分，可解直角三角形COD求出OD的长，则对角线BD可得，再由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得出菱形ABCD的面积.
23．【答案】（1）
（2）证明：

（3）解：原式＝
＝
＝1
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）直接按照数式规律填写即可；
（2）按照分式的混合运算顺序先算括号内的异分母分式的减法，即先通分化异分母分式为同分母分式，再进行分式的乘法运算，最后再利用二次根式的性质把分母中的移到根号外即可；
（3）先利用对进行变形，再应用二次根式的乘法运算法则进行计算即可.
24．【答案】（1）①证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADB＝∠CDB，AD＝CD．
∵DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE，
∴AE＝CE．
∵EF＝AE，
∴CE＝EF．
∵四边形CEFH是平行四边形，
∴四边形CEFH是菱形．
②相等（或：是）
∵△ADE≌△CDE，
∴∠EAD＝∠ECD．
∵EF＝AE，
∴∠EAD＝∠EFD，
∴∠EFD＝∠ECD，
∴∠CEF＝∠CDF．
∵AB∥CD，∠BAD＝60°，
∴∠CDF＝∠BAD＝60°，
∴∠CEF＝60°．
∵CE＝EF，
∴△CEF是等边三角形，
∴CF＝EF＝AE．
（2）①B②或
【知识点】菱形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；四边形-动点问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】（2）①如图所示：
四边形ABCD是正方形
、
四点共圆
四边形EFHC是矩形
矩形EFHC是正方形
故应选B
② 如图1所示：当点F在AD上时，分别过点E、H作，垂足分别为N、M，连接DM.
四边形EFHC是正方形
四边形ABCD和四边形EFHC都是正方形
如图2所示，当点F在AD的延长线上时，分别过点E、H作，垂足分别为N、M，连接DM.
同理：
综上所述，DH的值为或.
【分析】（1） ①由于菱形是轴对称图形，因此CE=AE、又EF=AE，则等量代换得CE=FE，则平行四边形CEFH是菱形；
②若 ∠BAD＝60° ，则由菱形的对边平行可得∠CDF＝∠BAD＝60°，由于菱形是轴对称图形，因此△ADE全等△CDE，即有∠EAD等于∠ECD；由于已知EF=EA，则∠EAD等于∠EFD，等量代换得∠ECD等于∠EFD，即D、E、C、F四点共圆，所以∠CEF＝60°，因为CE=EF、所以三角形CEF是等边三角形，即CF=AE；
（2）分别过点E、H作，垂足分别为N、M，连接DM，再分两种情况进行计算，即当点F在AD上时，此时AF＝4，由于AE＝FE，则NF等于AF的一半等于2，再利用正方形的性质可证明，由全等的性质可得MH等于NF等于2，再利用正方形的性质证明，可得，从而得为等腰直角三角形即可求得DH的长；当点F在AD的延长线上时，方法同上.
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