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第3讲　天体运动中的三类典型问题(综合融通课)
(一)卫星变轨与对接问题
　　若卫星要从轨道Ⅰ变换到轨道Ⅲ,则需要在A处、B处各点火加速一次;若卫星要从轨道Ⅲ变换到轨道Ⅰ,则需要在B处、A处各制动减速一次。各种物理量的比较如下表所示:
速度关系 vⅡA>vⅠ>vⅢ>vⅡB
(向心)加速度关系 aⅠ=aⅡA>aⅡB=aⅢ
能量关系 EⅠ　　卫星变轨问题的实质是卫星所受的万有引力F万与卫星所需的向心力F向之间的供需关系:
①当F万=F向时,卫星沿着圆形轨道做匀速圆周运动;
②当F万③当F万>F向时,卫星将偏离原轨道做近心运动。
[例1]　(2024·湖北高考)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动,如图中实线所示。为了避开碎片,空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体,使空间站获得一定的反冲速度,从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示,其半长轴大于原轨道半径。则 (　　)
A.空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C.空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
听课记录:
[例2]　(2025·广州模拟)2024年5月3日嫦娥六号发射成功,5月8日成功实施近月制动,并顺利进入环月轨道飞行,示意图如图所示。假设登月探测器在环月轨道1上的P点实施变轨,进入椭圆轨道2,再由近月点Q点进入圆轨道3,已知轨道1的半径为3r,轨道3的半径为r,登月探测器在轨道3的运行周期为T,则登月探测器 (　　)
A.在轨道1上运行的周期为3T
B.从轨道2上的Q点进入圆轨道3时,需要点火加速
C.沿轨道1过P点比沿轨道2过P点时的加速度大
D.沿轨道2运行时,经P点和Q点时的加速度大小之比为1∶3
听课记录:
(二)天体的追及与相遇问题
　　绕同一中心天体,在同一轨道平面内不同高度上同向运行的卫星,因运行周期的不同,两颗卫星有时相距最近,有时又相距最远,这就是天体中的“追及相遇”问题。
由最 远到 最近 当两卫星和中心天体在同一直线上且位于中心天体的两侧时,两卫星相距最远,从运动关系上,两卫星应满足(ωA-ωB)t=(2n-1)π(n=1,2,3,…)
由最 近到 最近 当两卫星和中心天体在同一直线上且位于中心天体的同侧时,两卫星相距最近,从运动关系上,两卫星应满足(ωA-ωB)t=2nπ(n=1,2,3,…)
　　[例1]　(人教版教材必修2,P72T6)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间,且三者几乎排成一条直线的现象,天文学称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示。
地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径 R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
根据题中信息,试计算木星相邻两次冲日的时间间隔,哪颗地外行星相邻两次冲日的时间间隔最短
规范解答:
　　[例2]　(2023·湖北高考)2022年12月8日,地球恰好运行到火星和太阳之间,且三者几乎排成一条直线,此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动,火星与地球公转轨道半径之比约为3∶2,如图所示。根据以上信息可以得出 (　　)
A.火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8
B.当火星与地球相距最远时,两者的相对速度最大
C.火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4
D.下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前
听课记录:
|考|教|衔|接|
　　湖北高考题直接借用教材中“行星冲日”这一情境案例作为命题素材,对训练角度稍加变换就成了一道非常“接地气”(考查生活中的天文现象)的高考题。这启示我们,在平常的教学中,要对教材题目进行多维度发掘训练,不仅要让学生知道“是什么”,更要知道“为什么”“还能怎么样”。
　　[例3]　(多选)赤道平面内的某颗卫星自西向东绕地球做圆周运动,该卫星离地面的高度小于地球同步卫星的高度,赤道上一观测者发现,该卫星连续两次出现在观测者正上方的最小时间间隔为t,已知地球自转周期为T0,地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,由此可知该卫星绕地球运动的周期T和离地面的高度H为 (　　)
A.T=　　　　 B.H=-R
C.T= D.H=-R
听课记录:
(三)双星及多星问题
　　宇宙中的双星及多星模型分析
模型 图示 向心力来源(解题规律)
双星 模型 彼此的万有引力 G=m1r1=m2r2 r1+r2=L ω1=ω2
三星 模型 (直线排列) B、C两个星球对A万有引力的合力 G+G=mω2R
三星 模型 (正三角形排列) 其中两个星球对另外一个星球万有引力的合力 G×cos 30°×2=mω2r rcos 30°=
四星 模型 (正方形排列) 其中三个星球对另外一个星球万有引力的合力 G×cos 45°×2+G=mω2r rcos 45°=
[考法全训]
考法1　双星模型
1.(多选)如图甲所示,河外星系中有两个黑洞,质量分别为M1和M2,它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动。为研究方便简化为如图乙所示示意图,黑洞A和黑洞B均可看成球体,OA>OB,且黑洞A的半径大于黑洞B的半径。根据所学的知识,下列说法正确的是 (　　)
A.两个黑洞质量之间的关系一定是M1B.双星的质量一定,双星之间的距离越大,其转动周期越大
C.黑洞A的运行角速度小于黑洞B的运行角速度
D.人类要把航天器发射到距黑洞A较近的区域进行探索,发射速度大于第二宇宙速度小于第三宇宙速度
考法2　三星模型
2.宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式:一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为R的轨道上运行,如图甲所示,周期为T1;另一种是三颗星位于边长为R的等边三角形的三个顶点上,并沿等边三角形的外接圆运行,如图乙所示,周期为T2。则T1∶T2为 (　　)
A.　　　　　　　 B.2
C.3 D.4
考法3　四星模型
3.宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每颗星的质量均为m,半径均为R,四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上。已知引力常量为G。关于宇宙四星系统,下列说法错误的是 (　　)
A.四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B.四颗星的轨道半径均为
C.四颗星表面的重力加速度均为
D.四颗星的周期均为2πa
第3讲
(一)　[例1]　选A　空间站变轨前、后在P点所受到的万有引力不变,根据牛顿第二定律可知,空间站变轨前、后在P点的加速度相同,故A正确;因为变轨后轨道的半长轴大于原轨道半径,根据开普勒第三定律可知,空间站变轨后的运动周期比变轨前的运动周期大,故B错误;变轨时,空间站喷气加速,因此空间站变轨后在P点的速度比变轨前的大,故C错误;由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前的速度大,比在近地点的速度小,则空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的速度小,故D错误。
[例2]　选A　根据开普勒第三定律=,解得T1=3T,故A正确;从轨道2上的Q点进入圆轨道3时,由离心运动变为圆周运动,需要减速,故B错误;根据万有引力提供向心力得G=ma,解得a=,沿轨道1过P点的加速度等于沿轨道2过P点时的加速度,故C错误;根据a=,沿轨道2运行时,经P点和Q点时的加速度大小之比为1∶9,故D错误。
(二)　[例1]　解析:行星相邻两次冲日的时间间隔就是地球比该行星多运动一周的时间,设相邻两次冲日的时间间隔为t,有-=1,即t==,再根据开普勒第三定律有=,即=,故t=。将地球和木星的轨道半径代入,可得t木≈1.1年。海王星的轨道半径最大,海王星相邻两次冲日的时间间隔最短。
答案:1.1年　海王星相邻两次冲日的时间间隔最短。[例2]　选B　火星和地球均绕太阳运动,由于火星与地球的轨道半径之比约为3∶2,根据开普勒第三定律有=,可得==,故A错误;火星和地球绕太阳做匀速圆周运动,速度大小均不变,当火星与地球相距最远时,由于两者的速度方向相反,故此时两者相对速度最大,故B正确;在星球表面根据万有引力近似等于重力,有G=mg,g=,由于不知道火星和地球的质量比,故无法得出火星和地球表面的自由落体加速度之比,故C错误;火星和地球绕太阳做匀速圆周运动,有ω火=,ω地=,要发生下一次火星冲日,则有t=2π,得t=>T地,可知下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之后,故D错误。
[例3]　选AB　设卫星的周期为T,则有t=2π,解得T=,由万有引力提供物体运动所需的向心力有G=m(R+H),又在地表处有mg=,联立解得H=-R,故选A、B。
(三)　1.选AB　两个黑洞绕O点旋转的角速度相等,设两个黑洞之间距离为L,有G=M1ω2r1=M2ω2r2,因OA>OB,即r1>r2,则有M12.选B　第一种形式下,左边星体受到中间星体和右边星体两个万有引力作用,它们的合力提供向心力,则G+G=mR,解得T1=4πR;第二种形式下,三颗星体之间的距离均为R,由几何关系知,三颗星体做圆周运动的半径为R'=R,任一星体所受的合力提供向心力,即有F合=2G××cos 30°=m×R,解得T2=2πR,则=2,故B正确。
3.选B　其中一颗星在其他三颗星的万有引力作用下,合力方向指向对角线的交点,围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动,由几何知识可得轨道半径均为a,故A正确,B错误;在每颗星表面,根据万有引力近似等于重力,可得G=m'g,解得g=,故C正确;由万有引力的合力提供向心力得+=m·,解得T=2πa,故D正确。
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天体运动中的三类典型问题 (综合融通课)
第 3 讲
1
(一)卫星变轨与对接问题
2
(二)天体的追及与相遇问题
CONTENTS
目录
4
课时跟踪检测
3
(三)双星及多星问题
(一)卫星变轨与对接问题
若卫星要从轨道Ⅰ变换到轨道Ⅲ，则需要在A处、B处各点火加速一次；若卫星要从轨道Ⅲ变换到轨道Ⅰ，则需要在B处、A处各制动减速一次。各种物理量的比较如下表所示:
速度关系 vⅡA>vⅠ>vⅢ>vⅡB
(向心)加速度关系 aⅠ=aⅡA>aⅡB=aⅢ
能量关系 EⅠ卫星变轨问题的实质是卫星所受的万有引力F万与卫星所需的向心力F向之间的供需关系:
①当F万=F向时，卫星沿着圆形轨道做匀速圆周运动；
②当F万③当F万>F向时，卫星将偏离原轨道做近心运动。
[例1]　(2024·湖北高考)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则 (　　)
A.空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C.空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
√
[解析]　空间站变轨前、后在P点所受到的万有引力不变，根据牛顿第二定律可知，空间站变轨前、后在P点的加速度相同，故A正确；因为变轨后轨道的半长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定律可知，空间站变轨后的运动周期比变轨前的运动周期大，故B错误；变轨时，空间站喷气加速，因此空间站变轨后在P点的速度比变轨前的大，故C错误；由于空间站变轨后在P点的速度比变轨前的速度大，比在近地点的速度小，则空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的速度小，故D错误。
[例2]　(2025·广州模拟)2024年5月3日嫦娥六号发射成功，5月8日成功实施近月制动，并顺利进入环月轨道飞行，示意图如图所示。假设登月探测器在环月轨道1上的P点实施变轨，进入椭圆轨道2，再由近月点Q点进入圆轨道3，已知轨道1的半径为3r，轨道3的半径为r，登月探测器在轨道3的运行周期为T，则登月探测器 (　　)
A.在轨道1上运行的周期为3T
B.从轨道2上的Q点进入圆轨道3时，需要点火加速
C.沿轨道1过P点比沿轨道2过P点时的加速度大
D.沿轨道2运行时，经P点和Q点时的加速度大小之比为1∶3
√
[解析]　根据开普勒第三定律=，解得T1=3T，故A正确；从轨道2上的Q点进入圆轨道3时，由离心运动变为圆周运动，需要减速，故B错误；根据万有引力提供向心力得G=ma，解得a=，沿轨道1过P点的加速度等于沿轨道2过P点时的加速度，故C错误；根据a=，沿轨道2运行时，经P点和Q点时的加速度大小之比为1∶9，故D错误。
(二)天体的追及与相遇问题
绕同一中心天体，在同一轨道平面内不同高度上同向运行的卫星，因运行周期的不同，两颗卫星有时相距最近，有时又相距最远，这就是天体中的“追及相遇”问题。
由最 远到 最近
当两卫星和中心天体在同一直线上且位于中心
天体的两侧时，两卫星相距最远，从运动关系
上，两卫星应满足(ωA-ωB)t=(2n-1)π(n=1，2，
3，…)
由最 近到 最近
当两卫星和中心天体在同一直线上且位于中心
天体的同侧时，两卫星相距最近，从运动关系
上，两卫星应满足(ωA-ωB)t=2nπ(n=1，2，3，
…)
[例1]　(人教版教材必修2，P72T6)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示。
根据题中信息,试计算木星相邻两次冲日的时间间隔,哪颗地外行星相邻两次冲日的时间间隔最短
地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径 R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
[答案]　1.1年　海王星相邻两次冲日的时间间隔最短。
[解析]　行星相邻两次冲日的时间间隔就是地球比该行星多运动一周的时间，设相邻两次冲日的时间间隔为t，有-=1，即t==，再根据开普勒第三定律有=，即=，故t=。将地球和木星的轨道半径代入，可得t木≈1.1年。海王星的轨道半径最大，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短。
[例2]　(2023·湖北高考)2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出 (　　)
A.火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8
B.当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C.火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4
D.下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前
[解析]　火星和地球均绕太阳运动，由于火星与地球的轨道半径之比约为3∶2，根据开普勒第三定律有=，可得==，故A错误；
√
火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，速度大小均不变，当火星与地球相距最远时，由于两者的速度方向相反，故此时两者相对速度最大，故B正确；在星球表面根据万有引力近似等于重力，有G=mg，g=，由于不知道火星和地球的质量比，故无法得出火星和地球表面的自由落体加速度之比，故C错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，有ω火=，ω地=，要发生下一次火星冲日，则有t=2π，得t=>T地，可知下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之后，故D错误。
湖北高考题直接借用教材中“行星冲日”这一情境案例作为命题素材，对训练角度稍加变换就成了一道非常“接地气”(考查生活中的天文现象)的高考题。这启示我们，在平常的教学中，要对教材题目进行多维度发掘训练，不仅要让学生知道“是什么”，更要知道“为什么”“还能怎么样”。
考教衔接
[例3]　(多选)赤道平面内的某颗卫星自西向东绕地球做圆周运动，该卫星离地面的高度小于地球同步卫星的高度，赤道上一观测者发现，该卫星连续两次出现在观测者正上方的最小时间间隔为t，已知地球自转周期为T0，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，由此可知该卫星绕地球运动的周期T和离地面的高度H为 (　　)
A.T=　　　　 B.H=-R
C.T= D.H=-R
√
√
[解析]　设卫星的周期为T，则有t=2π，解得T=，由万有引力提供物体运动所需的向心力有G=m(R+H)，又在地表处有mg=，联立解得H=-R，故选A、B。
(三)双星及多星问题
宇宙中的双星及多星模型分析
模型 图示 向心力来源(解题规律)
双星 模型 彼此的万有引力G=m1r1=m2r2
r1+r2=L
ω1=ω2
三星模型 (直线排列) B、C两个星球对A万有引力的合力
G+G=mω2R
三星 模型 (正三　 角形排列) 其中两个星球对另外一个星球万有引力的合力G×cos 30°×2=mω2r
rcos 30°=
四星 模型 (正方形 排列) 其中三个星球对另外一个星球万有引力的合力G×cos 45°×2+G=mω2r
rcos 45°=
续表
考法1　双星模型
1.(多选)如图甲所示，河外星系中有两个黑洞，质量分别为M1和M2，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动。为研究方便简化为如图乙所示示意图，黑洞A和黑洞B均可看成球体，OA>OB，且黑洞A的半径大于黑洞B的半径。根据所学的知识，下列说法正确的是(　　)
考法全训
A.两个黑洞质量之间的关系一定是M1B.双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大
C.黑洞A的运行角速度小于黑洞B的运行角速度
D.人类要把航天器发射到距黑洞A较近的区域进行探索，发射速度大于第二宇宙速度小于第三宇宙速度
√
√
解析:两个黑洞绕O点旋转的角速度相等，设两个黑洞之间距离为L，有G=M1ω2r1=M2ω2r2，因OA>OB，即r1>r2，则有M1考法2　三星模型
2.宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式:一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的轨道上运行，如图甲所示，周期为T1；另一种是三颗星位于边长为R的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，周期为T2。则T1∶T2为(　　)
A.　　 B.2　　
C.3　　 D.4
√
解析:第一种形式下，左边星体受到中间星体和右边星体两个万有引力作用，它们的合力提供向心力，则G+G=mR，解得T1=4πR；第二种形式下，三颗星体之间的距离均为R，由几何关系知，三颗星体做圆周运动的半径为R'=R，任一星体所受的合力提供向心力，即有F合=2G××cos 30°=m×R，解得T2=2πR，则=2，故B正确。
考法3　四星模型
3.宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每颗星的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上。已知引力常量为G。关于宇宙四星系统，下列说法错误的是(　　)
A.四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动
B.四颗星的轨道半径均为
C.四颗星表面的重力加速度均为
D.四颗星的周期均为2πa
√
解析:其中一颗星在其他三颗星的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为a，故A正确，B错误；在每颗星表面，根据万有引力近似等于重力，可得G=m'g，解得g=，故C正确；由万有引力的合力提供向心力得+=m·，解得T=2πa，故D正确。
课时跟踪检测
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(说明:标★的为推荐讲评题目)
一、单项选择题
1.(2025·湖北模拟)2024年6月25日，
嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子
王旗预定区域，标志着探月工程嫦娥六
号任务取得圆满成功，成功实现世界首
次月球背面采样返回。嫦娥六号采样返回地球，需要经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。下列说法正确的是(　　)
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A.发射嫦娥六号的速度大于第二宇宙速度
B.返回器在月面加速起飞阶段处于超重状态
C.返回器在环月飞行时，样品所受合力为零
D.载有月壤样本的返回器在变轨进入月地转移轨道时需要点火减速
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√
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解析:嫦娥六号并没有脱离地球的约束，所以发射嫦娥六号速度应大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，故A错误；返回器在月面加速起飞阶段，加速度方向向上，处于超重状态，故B正确；返回器在环月飞行时，样品所受万有引力提供所需的向心力，不为零，故C错误；载有月壤样本的返回器在变轨进入月地转移轨道时，即从低轨道变轨到高轨道时，需要点火加速，故D错误。
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2.(2025·辽宁模拟)2024年6月4日，嫦娥六号上升器携带月球样品自月球背面起飞，大约经过6分钟，进入近月点15 km、远月点180 km的上升目标轨道Ⅰ，再经过几次变轨，进入高度约210 km的环月圆轨道Ⅱ。不考虑上升器的质量变化，下列说法正确的是 (　　)
A.上升器在轨道Ⅰ上由近月点向远月点运动过程中机械能增加
B.上升器在环月圆轨道Ⅱ的机械能大于其在目标轨道Ⅰ的机械能
C.上升器在环月圆轨道Ⅱ的动能大于其在目标轨道Ⅰ近月点的动能
D.上升器在环月圆轨道Ⅱ的运行周期小于其在目标轨道Ⅰ的运行周期
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解析:上升器在轨道Ⅰ上由近月点向远月点运动过程中只有万有引力做功，机械能不变，故A错误；上升器由目标轨道Ⅰ加速做离心运动变轨到环月圆轨道Ⅱ，所以在环月圆轨道Ⅱ的机械能大于其在目标轨道Ⅰ的机械能，故B正确；根据=m，解得v=，又Ek=mv2，可知上升器在环月圆轨道Ⅱ的动能小于其在与目标轨道Ⅰ近月点等距离圆轨道的动能，由变轨条件可知上升器在目标轨道Ⅰ近月点的动能大于其在与目标轨道Ⅰ近月点等距离圆轨道的动能，所以上升器在环月圆轨道Ⅱ的动能小于其在目标轨道Ⅰ近月点的动能，故C错误；
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依题意，环月圆轨道Ⅱ的半径大于目标轨道Ⅰ的半长轴，根据开普勒第三定律=，可知上升器在环月圆轨道Ⅱ的运行周期大于其在目标轨道Ⅰ的运行周期，故D错误。
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3.依托我国自主研制的国家重大科技基础设施郭守敬望远镜，我国科学家发现了一颗迄今为止质量最大的恒星级黑洞LB 1。这个黑洞与一颗恒星形成了一个双星系统，黑洞和恒星都绕二者的中心连线某点做圆周运动。恒星的质量约为8M0，M0为太阳的质量；恒星距黑洞的距离约为1.5R0，R0为日地距离；恒星做圆周运动的周期约为0.21T0，T0为地球绕太阳的运动周期。由以上数据可估算这个黑洞的质量约为 (　　)
A.30M0 B.50M0
C.70M0 D.90M0
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解析:设黑洞质量为m1，恒星质量为m2，相距为L，周期为T，根据万有引力提供向心力有=m1r1=m2r2，其中r1+r2=L，解得m1=-m2，地球绕太阳做匀速圆周运动，则有=mR0，可得T0=，又m2=8M0，L=1.5R0，T=0.21T0，联立解得m1≈68.5M0≈70M0，故C正确，A、B、D错误。
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4.(2025·四川南充模拟)如图所示，人造地球卫星1在圆形轨道Ⅰ上运行，人造地球卫星2在椭圆轨道Ⅱ上运行，其中椭圆轨道上的A点为远地点，B点为近地点，设地球表面重力加速度为g，地球半径为R，两轨道相切于A点，下列说法正确的是 (　　)
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A.卫星1在轨道Ⅰ上的速度小于
B.卫星1在A点的加速度大于卫星2在B点的加速度
C.卫星1和卫星2在相同时间内与地球连线扫过的面积相等
D.卫星1在轨道Ⅰ上通过A点的动能大于在卫星2在轨道Ⅱ上通过A点的动能
解析:根据==mg，解得v==，轨道Ⅰ的半径r大于地球半径R，故卫星1在轨道Ⅰ上的速度小于，故A正确；
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根据=ma，可知加速度a=，因为A点到地球球心的距离大于B点到地球球心的距离，卫星1在A点的加速度小于卫星2在B点的加速度，故B错误；根据开普勒第二定律，卫星在相同轨道、相等时间内与地球连线扫过的面积相等，卫星1和卫星2不在同一轨道，故C错误；卫星在轨道Ⅱ上A点需加速才能运动到轨道Ⅰ上，故卫星1在轨道Ⅰ上通过A点的速度大于卫星2在轨道Ⅱ上通过A点的速度，但因为两卫星的质量关系不知道，故无法判断两卫星通过A点的动能大小，故D错误。
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5.(2025·山西朔州模拟)万有引力在发现未知行星上起到了重要的作用，例如某行星A运行的轨道半径为R，周期为T，但天文学家在观测中发现，其实际运行的轨道与圆轨道存在一些偏离，且每隔时间t发生一次最大的偏离。形成这种现象的原因可能是A外侧还存在着一颗行星B，它对A的万有引力引起行星A轨道的偏离，假设其运动轨道与A运动轨道在同一平面内，且与A的绕行方向相同，若行星B的运行半径为NR，则=(　　)
A. B. C. D.
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解析:设行星B的周期为T'，根据开普勒第三定律可得=，可得T'=T，根据题意有·t-·t=2π，解得==，故选A。
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6.(2025·山西太原模拟)中国科学院紫金山天文台发现两颗小行星:2022OS1和2022ON1，它们在同一平面内绕太阳做同向的匀速圆周运动(仅考虑小行星与太阳之间的引力)，测得两颗小行星之间的距离Δr随时间变化的关系如图所示，已知2022OS1的周期大于2022ON1的周期，下列说法正确的是 (　　)
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A.2022OS1和2022ON1做圆周运动的半径之比为3∶1
B.2022OS1运动的周期为64T0
C.2022ON1运动的周期为7T0
D.2022OS1与2022ON1所受太阳引力之比为1∶16
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解析:设小行星2022OS1距太阳的距离为r1，小行星2022ON1距太阳的距离为r2，根据图像可知r1-r2=3r，r1+r2=5r，联立解得r1=4r，r2=r，即半径之比为4∶1，故A错误；因经过时间8T0两小行星再次相距最近，设小行星2022OS1与小行星2022ON1绕太阳运动的周期分别为T1、T2，则-=，根据开普勒第三定律可知=，解得T1=56T0，T2=7T0，故B错误，C正确；由于两小行星质量关系未知，故无法确定其所受太阳引力之比，故D错误。
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7.(2024·重庆高考)在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动。假设a、b两个天体的质量均为M，相距为2r，其连线的中点为O，另一天体c(图中未画出)质量为m(m M)，若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周运动，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则 (　　)
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A.c的线速度大小为a的倍
B.c的向心加速度大小为b的一半
C.c在一个周期内的路程为2πr
D.c的角速度大小为
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解析:a、b、c三个天体角速度相同，由于m M，则对a天体有G=Mω2r，解得ω=，故D错误；设c与a、b的连线跟a、b连线中垂线的夹角为α，对c天体有2Gcos α=mω2，解得α=30°，则c的轨道半径为rc==r，由v=ωr，可知c的线速度大小为a的倍，故A正确；由a=ω2r，可知c的向心加速度大小是b的倍，故B错误；c在一个周期内运动的路程为s=2πrc=2πr，故C错误。
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二、多项选择题
8.(2025·湖北武汉模拟)进行宇宙探索过程中，经常要对航天器进行变轨。某次发射Z卫星时，先将Z卫星发射至近地圆轨道Ⅰ，Z卫星到达轨道Ⅰ的A点时实施变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的远地点B时，再次实施变轨进入半径为4R(R为地球半径)的圆轨道Ⅲ绕地球做圆周运动。下列判断正确的是(　　)
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A.Z卫星可能是一颗地球同步卫星
B.Z卫星在轨道Ⅰ上运动的周期大于在轨道Ⅱ上运动的周期
C.Z卫星在轨道Ⅲ上经过B点时的速度大于在轨道Ⅱ上经过B点时的速度
D.Z卫星在圆轨道Ⅲ上运行时的加速度小于它在圆轨道Ⅰ上运行时的加速度
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解析:地球半径约为6 400 km，该卫星的离地高度约为h=3R=19 200 km，而地球同步卫星的离地高度约为36 000 km，故Z卫星不是地球同步卫星，故A错误；轨道Ⅰ的半径小于轨道Ⅱ的半长轴，根据开普勒第三定律知，Z卫星在轨道Ⅰ上运行的周期小于在轨道Ⅱ上运行的周期，故B错误；卫星从轨道Ⅱ上B点进入圆轨道Ⅲ，由近心运动变为圆周运动，需加速，故Z卫星在轨道Ⅲ上经过B点时的速度大于在轨道Ⅱ上经过B点时的速度，故C正确；卫星绕地球运动时，由万有引力提供向心力得=ma，可得a=，可见离地球越远(r越大)，加速度越小，故Z卫星在圆轨道Ⅲ上运行时的加速度小于它在圆轨道Ⅰ上运行时的加速度，故D正确。
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9.(2025·重庆模拟)吸血鬼恒星是一种理论上的天体，它通过从伴星吸取物质来维持自身的光和热。这种恒星通常处于双星系统中，吸血鬼恒星通过这种方式获得额外的物质，从而延长自己的寿命，这种现象在天文学中被称为质量转移或吸积过程。假设两恒星中心之间的距离保持不变，忽略因热核反应和辐射等因素导致的质量亏损，经过一段时间演化后，则 (　　)
A.两恒星的周期不变
B.两恒星的轨道半径保持不变
C.吸血鬼恒星的线速度增大
D.伴星的线速度增大
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解析:设吸血鬼恒星的质量为m1，伴星的质量为m2，两者中心之间的距离为L，根据双星运动的特点，对于吸血鬼恒星有G=m1r1，对于伴星有G=m2r2，又有r1+r2=L，联立解得T=，由题意知两恒星的总质量不变，两恒星中心距离L也不变，则周期不变，故A正确；由以上分析，联立可解得r1=L，r2=L，根据题意可知，m1增大，m2减小，故r1减小，r2增大，又有v=，则吸血鬼恒星的线速度减小，伴星的线速度增大，故B、C错误，D正确。
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10.水星是在地球上较难观测到的行星，因为它离太阳太近，总是湮没在太阳的光辉里，只有水星和太阳的距角(地球和水星连线与地球和太阳连线的夹角)达到最大时(称为大距，如图所示)，公众才最有希望目睹水星。已知水星公转周期约为地球公转周期的，水星和地球公转轨道均视为圆形。则(　　)
A.可以求出水星与地球质量之比
B.一年内至少可以看到6次水星大距
C.大距时，水星和太阳距角的正弦值约为
D.水星和地球分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等
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解析:由=mr，可得r3=，可以求出水星与地球轨道半径之比，无法求得质量之比，故A错误；一年时间设为T，则T地=T，T水=，两星球公转角速度大小为ω地=，ω水=，两次西大距时间间隔为Δt==，一年内能看到水星西大距的次数为n==3，则一年内看到东大距和西大距的次数均为3次，故B正确；设水星和太阳的距角最大为θ，可知sin θ===，故C正确；开普勒第二定律是针对同一环绕天体而言的，水星和地球分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误。
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三、计算题
11.(10分)如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在相互引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知星球A、B的中心和O三点始终共线，星球A和B分别在O的两侧，引力常量为G。
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(1)求两星球做圆周运动的周期；(4分)
答案:2πL　
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解析:两星球围绕同一点O做匀速圆周运动，其角速度相同，周期也相同，其所需向心力由两者间的万有引力提供，设A、B的轨道半径分别为r1、r2，由牛顿第二定律，对B有G=Mr2
对A有G=mr1，又有r1+r2=L
联立解得T=2πL。
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(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做匀速圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg。求T2与T1两者平方之比。(计算结果保留四位有效数字)(6分)
答案:1.012
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解析:设地月距离为L'，
若认为地球和月球都围绕中心连线上某点做匀速圆周运动，由以上分析可知地球和月球绕其轨道中心的运行周期为T1=2π
若认为月球围绕地心做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得=m月L'
解得T2=2π
则有T2与T1两者平方之比为=≈1.012。
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4课时跟踪检测(二十六)　天体运动中的三类典型问题
一、单项选择题
1.(2025·湖北模拟)2024年6月25日,嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域,标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功,成功实现世界首次月球背面采样返回。嫦娥六号采样返回地球,需要经过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。下列说法正确的是 (　　)
A.发射嫦娥六号的速度大于第二宇宙速度
B.返回器在月面加速起飞阶段处于超重状态
C.返回器在环月飞行时,样品所受合力为零
D.载有月壤样本的返回器在变轨进入月地转移轨道时需要点火减速
2.(2025·辽宁模拟)2024年6月4日,嫦娥六号上升器携带月球样品自月球背面起飞,大约经过6分钟,进入近月点15 km、远月点180 km的上升目标轨道Ⅰ,再经过几次变轨,进入高度约210 km的环月圆轨道Ⅱ。不考虑上升器的质量变化,下列说法正确的是 (　　)
A.上升器在轨道Ⅰ上由近月点向远月点运动过程中机械能增加
B.上升器在环月圆轨道Ⅱ的机械能大于其在目标轨道Ⅰ的机械能
C.上升器在环月圆轨道Ⅱ的动能大于其在目标轨道Ⅰ近月点的动能
D.上升器在环月圆轨道Ⅱ的运行周期小于其在目标轨道Ⅰ的运行周期
3.依托我国自主研制的国家重大科技基础设施郭守敬望远镜,我国科学家发现了一颗迄今为止质量最大的恒星级黑洞LB 1。这个黑洞与一颗恒星形成了一个双星系统,黑洞和恒星都绕二者的中心连线某点做圆周运动。恒星的质量约为8M0,M0为太阳的质量;恒星距黑洞的距离约为1.5R0,R0为日地距离;恒星做圆周运动的周期约为0.21T0,T0为地球绕太阳的运动周期。由以上数据可估算这个黑洞的质量约为 (　　)
A.30M0 B.50M0
C.70M0 D.90M0
4.(2025·四川南充模拟)如图所示,人造地球卫星1在圆形轨道Ⅰ上运行,人造地球卫星2在椭圆轨道Ⅱ上运行,其中椭圆轨道上的A点为远地点,B点为近地点,设地球表面重力加速度为g,地球半径为R,两轨道相切于A点,下列说法正确的是 (　　)
A.卫星1在轨道Ⅰ上的速度小于
B.卫星1在A点的加速度大于卫星2在B点的加速度
C.卫星1和卫星2在相同时间内与地球连线扫过的面积相等
D.卫星1在轨道Ⅰ上通过A点的动能大于在卫星2在轨道Ⅱ上通过A点的动能
5.(2025·山西朔州模拟)万有引力在发现未知行星上起到了重要的作用,例如某行星A运行的轨道半径为R,周期为T,但天文学家在观测中发现,其实际运行的轨道与圆轨道存在一些偏离,且每隔时间t发生一次最大的偏离。形成这种现象的原因可能是A外侧还存在着一颗行星B,它对A的万有引力引起行星A轨道的偏离,假设其运动轨道与A运动轨道在同一平面内,且与A的绕行方向相同,若行星B的运行半径为NR,则= (　　)
A.　B.　C.　D.
6.(2025·山西太原模拟)中国科学院紫金山天文台发现两颗小行星:2022OS1和2022ON1,它们在同一平面内绕太阳做同向的匀速圆周运动(仅考虑小行星与太阳之间的引力),测得两颗小行星之间的距离Δr随时间变化的关系如图所示,已知2022OS1的周期大于2022ON1的周期,下列说法正确的是 (　　)
A.2022OS1和2022ON1做圆周运动的半径之比为3∶1
B.2022OS1运动的周期为64T0
C.2022ON1运动的周期为7T0
D.2022OS1与2022ON1所受太阳引力之比为1∶16
7.(2024·重庆高考)在万有引力作用下,太空中的某三个天体可以做相对位置不变的圆周运动。假设a、b两个天体的质量均为M,相距为2r,其连线的中点为O,另一天体c(图中未画出)质量为m(m M),若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置,a、b、c可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周运动,且相对位置不变,忽略其他天体的影响。引力常量为G。则 (　　)
A.c的线速度大小为a的倍
B.c的向心加速度大小为b的一半
C.c在一个周期内的路程为2πr
D.c的角速度大小为
二、多项选择题
8.(2025·湖北武汉模拟)进行宇宙探索过程中,经常要对航天器进行变轨。某次发射Z卫星时,先将Z卫星发射至近地圆轨道Ⅰ,Z卫星到达轨道Ⅰ的A点时实施变轨进入椭圆轨道Ⅱ,到达轨道Ⅱ的远地点B时,再次实施变轨进入半径为4R(R为地球半径)的圆轨道Ⅲ绕地球做圆周运动。下列判断正确的是 (　　)
A.Z卫星可能是一颗地球同步卫星
B.Z卫星在轨道Ⅰ上运动的周期大于在轨道Ⅱ上运动的周期
C.Z卫星在轨道Ⅲ上经过B点时的速度大于在轨道Ⅱ上经过B点时的速度
D.Z卫星在圆轨道Ⅲ上运行时的加速度小于它在圆轨道Ⅰ上运行时的加速度
9.(2025·重庆模拟)吸血鬼恒星是一种理论上的天体,它通过从伴星吸取物质来维持自身的光和热。这种恒星通常处于双星系统中,吸血鬼恒星通过这种方式获得额外的物质,从而延长自己的寿命,这种现象在天文学中被称为质量转移或吸积过程。假设两恒星中心之间的距离保持不变,忽略因热核反应和辐射等因素导致的质量亏损,经过一段时间演化后,则 (　　)
A.两恒星的周期不变
B.两恒星的轨道半径保持不变
C.吸血鬼恒星的线速度增大
D.伴星的线速度增大
10.水星是在地球上较难观测到的行星,因为它离太阳太近,总是湮没在太阳的光辉里,只有水星和太阳的距角(地球和水星连线与地球和太阳连线的夹角)达到最大时(称为大距,如图所示),公众才最有希望目睹水星。已知水星公转周期约为地球公转周期的,水星和地球公转轨道均视为圆形。则 (　　)
A.可以求出水星与地球质量之比
B.一年内至少可以看到6次水星大距
C.大距时,水星和太阳距角的正弦值约为
D.水星和地球分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等
三、计算题
11.(10分)如图所示,质量分别为m和M的两个星球A和B在相互引力作用下都绕O点做匀速圆周运动,星球A和B两者中心之间距离为L。已知星球A、B的中心和O三点始终共线,星球A和B分别在O的两侧,引力常量为G。
(1)求两星球做圆周运动的周期;(4分)
(2)在地月系统中,若忽略其他星球的影响,可以将月球和地球看成上述星球A和B,月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时,常常认为月球是绕地心做匀速圆周运动的,这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg。求T2与T1两者平方之比。(计算结果保留四位有效数字)(6分)
课时跟踪检测(二十六)
1.选B　嫦娥六号并没有脱离地球的约束,所以发射嫦娥六号速度应大于第一宇宙速度,小于第二宇宙速度,故A错误;返回器在月面加速起飞阶段,加速度方向向上,处于超重状态,故B正确;返回器在环月飞行时,样品所受万有引力提供所需的向心力,不为零,故C错误;载有月壤样本的返回器在变轨进入月地转移轨道时,即从低轨道变轨到高轨道时,需要点火加速,故D错误。
2.选B　上升器在轨道Ⅰ上由近月点向远月点运动过程中只有万有引力做功,机械能不变,故A错误;上升器由目标轨道Ⅰ加速做离心运动变轨到环月圆轨道Ⅱ,所以在环月圆轨道Ⅱ的机械能大于其在目标轨道Ⅰ的机械能,故B正确;根据=m,解得v=,又Ek=mv2,可知上升器在环月圆轨道Ⅱ的动能小于其在与目标轨道Ⅰ近月点等距离圆轨道的动能,由变轨条件可知上升器在目标轨道Ⅰ近月点的动能大于其在与目标轨道Ⅰ近月点等距离圆轨道的动能,所以上升器在环月圆轨道Ⅱ的动能小于其在目标轨道Ⅰ近月点的动能,故C错误;依题意,环月圆轨道Ⅱ的半径大于目标轨道Ⅰ的半长轴,根据开普勒第三定律=,可知上升器在环月圆轨道Ⅱ的运行周期大于其在目标轨道Ⅰ的运行周期,故D错误。
3.选C　设黑洞质量为m1,恒星质量为m2,相距为L,周期为T,根据万有引力提供向心力有=m1r1=m2r2,其中r1+r2=L,解得m1=-m2,地球绕太阳做匀速圆周运动,则有=mR0,可得T0=,又m2=8M0,L=1.5R0,T=0.21T0,联立解得m1≈68.5M0≈70M0,故C正确,A、B、D错误。
4.选A　根据=,=mg,解得v==,轨道Ⅰ的半径r大于地球半径R,故卫星1在轨道Ⅰ上的速度小于,故A正确;根据=ma,可知加速度a=,因为A点到地球球心的距离大于B点到地球球心的距离,卫星1在A点的加速度小于卫星2在B点的加速度,故B错误;根据开普勒第二定律,卫星在相同轨道、相等时间内与地球连线扫过的面积相等,卫星1和卫星2不在同一轨道,故C错误;卫星在轨道Ⅱ上A点需加速才能运动到轨道Ⅰ上,故卫星1在轨道Ⅰ上通过A点的速度大于卫星2在轨道Ⅱ上通过A点的速度,但因为两卫星的质量关系不知道,故无法判断两卫星通过A点的动能大小,故D错误。
5.选A　设行星B的周期为T',根据开普勒第三定律可得=,可得T'=T,根据题意有·t-·t=2π,解得==,故选A。
6.选C　设小行星2022OS1距太阳的距离为r1,小行星2022ON1距太阳的距离为r2,根据图像可知r1-r2=3r,r1+r2=5r,联立解得r1=4r,r2=r,即半径之比为4∶1,故A错误;因经过时间8T0两小行星再次相距最近,设小行星2022OS1与小行星2022ON1绕太阳运动的周期分别为T1、T2,则-=,根据开普勒第三定律可知=,解得T1=56T0,T2=7T0,故B错误,C正确;由于两小行星质量关系未知,故无法确定其所受太阳引力之比,故D错误。
7.选A　a、b、c三个天体角速度相同,由于m M,则对a天体有G=Mω2r,解得ω=,故D错误;设c与a、b的连线跟a、b连线中垂线的夹角为α,对c天体有2Gcos α=mω2,解得α=30°,则c的轨道半径为rc==r,由v=ωr,可知c的线速度大小为a的倍,故A正确;由a=ω2r,可知c的向心加速度大小是b的倍,故B错误;c在一个周期内运动的路程为s=2πrc=2πr,故C错误。
8.选CD　地球半径约为6 400 km,该卫星的离地高度约为h=3R=19 200 km,而地球同步卫星的离地高度约为36 000 km,故Z卫星不是地球同步卫星,故A错误;轨道Ⅰ的半径小于轨道Ⅱ的半长轴,根据开普勒第三定律知,Z卫星在轨道Ⅰ上运行的周期小于在轨道Ⅱ上运行的周期,故B错误;卫星从轨道Ⅱ上B点进入圆轨道Ⅲ,由近心运动变为圆周运动,需加速,故Z卫星在轨道Ⅲ上经过B点时的速度大于在轨道Ⅱ上经过B点时的速度,故C正确;卫星绕地球运动时,由万有引力提供向心力得=ma,可得a=,可见离地球越远(r越大),加速度越小,故Z卫星在圆轨道Ⅲ上运行时的加速度小于它在圆轨道Ⅰ上运行时的加速度,故D正确。
9.选AD　设吸血鬼恒星的质量为m1,伴星的质量为m2,两者中心之间的距离为L,根据双星运动的特点,对于吸血鬼恒星有G=m1r1,对于伴星有G=m2r2,又有r1+r2=L,联立解得T=,由题意知两恒星的总质量不变,两恒星中心距离L也不变,则周期不变,故A正确;由以上分析,联立可解得r1=L,r2=L,根据题意可知,m1增大,m2减小,故r1减小,r2增大,又有v=,则吸血鬼恒星的线速度减小,伴星的线速度增大,故B、C错误,D正确。
10.选BC　由=mr,可得r3=,可以求出水星与地球轨道半径之比,无法求得质量之比,故A错误;一年时间设为T,则T地=T,T水=,两星球公转角速度大小为ω地=,ω水=,两次西大距时间间隔为Δt==,一年内能看到水星西大距的次数为n==3,则一年内看到东大距和西大距的次数均为3次,故B正确;设水星和太阳的距角最大为θ,可知sin θ===,故C正确;开普勒第二定律是针对同一环绕天体而言的,水星和地球分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积不相等,故D错误。
11.解析:(1)两星球围绕同一点O做匀速圆周运动,其角速度相同,周期也相同,其所需向心力由两者间的万有引力提供,设A、B的轨道半径分别为r1、r2,由牛顿第二定律,对B有G=Mr2
对A有G=mr1,又有r1+r2=L
联立解得T=2πL。
(2)设地月距离为L',
若认为地球和月球都围绕中心连线上某点做匀速圆周运动,由以上分析可知地球和月球绕其轨道中心的运行周期为T1=2π
若认为月球围绕地心做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力得=m月L'
解得T2=2π
则有T2与T1两者平方之比为=≈1.012。
答案:(1)2πL　(2)1.012
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