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第1讲　功和功率(基础落实课)
一、功
1.做功的两个必要条件
　　　和物体在力的方向上发生的　　　　。
2.公式
W=Flcos α,适用于恒力做功,其中α为F、l方向间的夹角,l为物体对地的位移。
3.功的正负判断
夹角 功的正负
0≤α<90° W>0,力对物体做　　
90°<α≤180° W<0,力对物体做　　　　,或者说物体　　　这个力做了功
α=90° W=0,力对物体　　　
二、功率
1.定义:功与完成这些功所用　　　　之比。
2.物理意义:描述力对物体做功的　　　　。
3.公式
(1)P=,P为时间t内的　　　　　。
(2)P=　　　　　(α为F与v的夹角)
①v为　　　　　　,则P为平均功率;
②v为瞬时速度,则P为　　　　　　。
4.额定功率与实际功率
(1)额定功率:动力机械　　　　　时输出的　　　功率。
(2)实际功率:动力机械实际工作时输出的功率,要求　　　　　额定功率。
微点判断
1.只要物体受力的同时又发生了位移,则一定有力对物体做功。 (　 )
2.力F1、F2做的功分别为10 J和-15 J,则力F1比F2做的功多。 (　 )
3.功有正负,说明功是矢量,因此总功是所有外力做功的矢量和。 (　 )
4.(鲁科必修2P7T5·改编)当作用力做正功时,反作用力一定做负功。 (　 )
5.合力做的功等于各分力做功的代数和。 (　 )
6.由P=知,只要知道W和t就可求出任意时刻的功率。 (　 )
7.(人教必修2P78T4·改编)根据P=Fv,F增大则P增大。 (　 )
8.由公式P=Fv既可以求某一时刻的瞬时功率,也可以求平均功率。 (　 )
9.由公式P=Fv可知,汽车的速度增大时,汽车的发动机功率也一定在增大。 (　 )
10.由P=Fv可知,发动机功率一定时,机车的牵引力与运行速度的大小成反比。 (　 )
逐点清(一)　功的正负判断和恒力做功的计算
|题|点|全|练|
1.[功的正负判断](2024·海南高考)神舟十七号载人飞船返回舱于2024年4月30日在东风着陆场成功着陆,在飞船返回至离地面十几公里时打开主伞,飞船快速减速,返回舱速度大大减小,在减速过程中 (　　)
A.返回舱处于超重状态
B.返回舱处于失重状态
C.主伞的拉力不做功
D.重力对返回舱做负功
2.[恒力做功的计算]质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上,斜面沿水平方向向右匀速移动了距离L,如图所示。已知斜面运动过程中物体始终相对斜面静止,重力加速度为g,则下列说法正确的是 (　　)
A.支持力对物体做功为零
B.重力对物体做功为mgLtan θ
C.物体克服摩擦力做功为mgLsin θcos θ
D.支持力对物体做功为mgLsin θ
3.[总功的计算](多选)如图所示,站在向前运动的汽车上的人用手
推车的力大小为F,脚对车向后的静摩擦力大小为F',下列说法正确的是 (　　)
A.当车匀速运动时,F和F'所做的总功为零
B.当车加速运动时,F和F'的总功为负功
C.当车减速运动时,F和F'的总功为正功
D.不管车做何种运动,F和F'的总功都为零
|精|要|点|拨|
1.功的正负判断方法
(1)恒力做功的正负常依据力与位移方向的夹角来判断。
(2)曲线运动中功的正负常依据力F与速度v方向的夹角来判断。
(3)能量变化思想常用于两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断。
2.恒力做功的计算方法
3.总功的计算方法
方法一:先求合力F合,再用W总=F合lcos α求功,此法要求F合为恒力。
方法二:先求各个力做的功W1、W2、W3、…,再应用W总=W1+W2+W3+…求总功,注意代入“+”“-”再求和。
方法三:利用动能定理,合力做的功等于物体动能的变化量。
自主空间:
逐点清(二)　求变力做功的六种方法
方法1　利用微元法求变力做功
　　将物体的位移分割成许多小段,因每一小段很小,每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力,这样就将变力做功转化为在无数多个位移上的恒力所做功的代数和。此法常用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。
1.在水平桌面上,长6 m的轻绳一端固定于O点,另一端系一质量m=2.0 kg的小球,如图所示(俯视图)。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F=10 N,F拉着小球从M点运动到N点,F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ=0.2,不计空气阻力,取g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则下列说法正确的是 (　　)
A.拉力F对小球做的功为16π J
B.拉力F对小球做的功为8π J
C.小球克服摩擦力做的功为16π J
D.小球克服摩擦力做的功为4π J
方法2　化变力为恒力求变力做功
　　有些变力做功问题通过转换研究对象,可转化为恒力做功,用W=Flcos α求解。此法常用于轻绳通过定滑轮拉物体做功的问题中。
2.人在A点拉着绳通过一个定滑轮匀速吊起质量m=50 kg的物体,如图所示。开始时绳与水平方向成60°角,当人拉着绳由A点沿水平方向运动l=2 m而到达B点时,绳与水平方向成30°角,求人对绳的拉力做了多少功 (不计绳与定滑轮间的摩擦,g取10 m/s2)
方法3　利用平均力求变力做功
当物体受到的力方向不变,而大小随位移均匀变化时,则可以认为物体受到一大小为=的恒力作用,F1、F2分别为物体在初、末位置所受到的力,然后用公式W=lcos α求此变力所做的功。
3.如图所示,质量均为m的A、B两小物块用轻质弹簧相连,A放置在光滑水平地面上,一轻绳通过光滑的定滑轮与物块B相连(连接物块B的绳子恰好伸直但不绷紧),弹簧的劲度系数为k。现用一水平向右的拉力F作用在轻绳上,使物块B缓慢向上运动,已知重力加速度为g,当A物块恰好离开地面时,F所做的功为 (　　)
A. B.
C. D.
方法4　利用F x图像求变力做功
　　在F x图像中,图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移内所做的功,且位于x轴上方的“面积”为正功,位于x轴下方的“面积”为负功,但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。
4.(多选)质量为2 kg的物体在水平面上沿直线运动,受到的阻力大小恒定。经某点开始沿运动方向的水平拉力F与运动距离x的关系如图所示,0~3 m物体做匀速直线运动。下列说法正确的是 (　　)
A.在x=5 m处物体加速度大小为2 m/s2
B.0~7 m拉力对物体做功为40 J
C.0~7 m物体克服阻力做功为28 J
D.0~7 m合力对物体做功为28 J
方法5　利用动能定理求变力做功
　　利用公式W=Flcos α不容易直接求功时,尤其对于曲线运动或变力做功问题,可考虑由动能的变化来间接求功,所以动能定理是求变力做功的首选。
5.(鲁科版教材必修2,P16“迁移”栏目)雨滴在空中下落时会受到空气阻力,空气阻力f的大小与雨滴下落速率v的二次方成正比,即f=kv2,其中k为常数。若质量为m的雨滴,从高h处以初速度v0竖直加速下落,接近落地前开始做匀速直线运动。已知重力加速度为g,求该雨滴从高处下落到地面的过程中,空气阻力对其所做的功。
方法6　利用W=Pt求变力做功
　　在功率与时间的关系图像(P t图像)中,P t图线与时间轴围成的面积表示该时间内所做的功。
6.(多选)放在粗糙水平面上的物体受到水平拉力的作用,在0~6 s内其速度与时间的关系图像和该拉力的功率与时间的关系图像分别如图甲和乙所示,下列说法正确的是 (　　)
A.0~6 s内物体位移大小为36 m
B.0~6 s内拉力做的功为70 J
C.合外力在0~6 s内做的功与在0~2 s内做的功不相等
D.滑动摩擦力大小为 N
逐点清(三)　功率的理解与计算
细作1　对功率的理解
1.下列关于功率的说法中正确的是 (　　)
A.由P=Fv知,物体运动得越快,功率越大
B.由P=知,力做的功越多,功率越大
C.由W=Pt知,功率越大,力做的功越多
D.由P=Fvcos α知,某一时刻,即使力和速度都很大,但功率不一定大
一点一过　对功率的两点说明
(1)物体在发生一段位移过程中所对应的功率为平均功率,物体在某一时刻的功率为瞬时功率。
(2)功率是反映做功快慢的物理量,P=是功率的定义式而非决定式,所以并不能说功率P与功W成正比,与时间t成反比。
细作2　瞬时功率的分析与计算
2.(2025·乐山模拟)如图所示,质量相同的小球A、B位于同一竖直线上,将A、B两小球以不同的初速度vA、vB水平抛出后,都落在水平面上的同一位置。已知hA=2hB,落地时重力的功率分别为PA、PB。不计一切阻力,则vA与vB、PA与PB的大小关系正确的是 (　　)
A.vB=2vA B.vB=4vA
C.PA=PB D.PA=2PB
一点一过　瞬时功率公式的理解与应用
(1)利用公式P=Fvcos α求瞬时功率时,其中v为t时刻的瞬时速度。F可为恒力,也可为变力,α为F与v的夹角,α可以不变,也可以变化。
(2)对公式P=Fvcos α的理解:可认为Fcos α是力F在速度v方向上的分力,也可认为vcos α是速度v在力F方向上的分速度。
细作3　平均功率的分析与计算
3.(2024·福建高考)我国古代劳动人民创造了璀璨的农耕文明。图(a)为《天工开物》中描绘的利用耕牛整理田地的场景,简化的物理模型如图(b)所示,人站立的农具视为与水平地面平行的木板,两条绳子相互平行且垂直于木板边缘。已知绳子与水平地面夹角θ为25.5°,sin 25.5°=0.43,cos 25.5°=0.90。当每条绳子拉力F的大小为250 N时,人与木板沿直线匀速前进,在15 s内前进了20 m,求此过程中:
(1)地面对木板的阻力大小;
(2)两条绳子拉力所做的总功;
(3)两条绳子拉力的总功率。
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一点一过　平均功率的计算方法
(1)利用P=求解。
(2)利用P=Fvcos α求解,其中v为物体运动的平均速度。
逐点清(四)　机车启动问题
1.两种启动方式
以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P t图像 和 v t图像
OA 段 过程 分析 v↑ F=↓ a=↓ a=不变 F不变P=Fv↑直到P额=Fv1
运动 性质 加速度减小的加速运动 匀加速直线运动,维持时间t0=
AB 段 过程 分析 F=F阻 a=0 vm= v↑ F=↓ a=↓
运动 性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动
BC段 无 F=F阻 a=0 以vm=做匀速运动
转折点 在转折点A,牵引力与阻力大小相等,此时加速度为零,速度达到最大,为vm= 在转折点A,功率达到额定功率,匀加速运动结束,此时v1=;在转折点B,速度达到最大,为vm=
2.三个重要关系
(1)无论哪种启动过程,机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度,即vm=。
(2)机车以恒定加速度启动时,匀加速过程结束后功率最大,速度不是最大,即v=(3)机车以恒定功率运行时,牵引力做的功W=Pt,由动能定理得Pt-F阻x=ΔEk,此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移、速度或时间。
[考法全训]
考法(一)　恒定功率启动问题
　　[例1]　(2025·哈尔滨模拟)(多选)我国新一代重型步兵战车已达到世界先进战车的水平,动力强劲,具有强大的防护能力。步兵战车的质量为m,若在平直的路面上从静止开始加速,经时间t其速度达到最大值vm。设在加速过程中发动机的功率恒为P,步兵战车所受阻力恒为F阻。下列说法正确的是 (　　)
A.加速过程中,步兵战车做匀加速直线运动
B.步兵战车的最大速度vm=
C.加速过程中,步兵战车的位移大于t
D.加速过程中,步兵战车所受合外力做的功为Pt
听课记录:
考法(二)　恒定加速度启动问题
　　[例2]　(多选)我国新能源汽车发展迅猛,已成为全球最大的新能源汽车产销国。质量为m的某新能源汽车在水平路面上以恒定加速度a启动,其v t图像如图所示,其中OA段和BC段为直线。已知汽车动力系统的额定功率为P,汽车所受阻力大小恒为f,下列说法正确的是 (　　)
A.汽车做匀加速运动的最大速度v1=
B.汽车能达到的最大行驶速度v2=
C.汽车速度为时的功率为P'=
D.汽车速度为时的加速度大小为a'=-
第1讲
课前基础先行
一、1.力　位移　3.正功　负功　克服
不做功
二、1.时间　2.快慢　3.(1)平均功率
(2)Fvcos α　①平均速度　②瞬时功率
4.(1)正常工作　最大　(2)小于或等于
[微点判断]　1.×　2.×　3.×　4.×　5.√　6.×　7.×　8.√　9.×　10.√
逐点清(一)
1.选A　返回舱在减速过程中,加速度竖直向上,处于超重状态,故A正确,B错误;主伞的拉力与返回舱运动方向相反,对返回舱做负功,故C错误;返回舱所受重力与返回舱运动方向相同,重力对返回舱做正功,故D错误。
2.选C　根据平衡条件可知,物体受到的支持力的大小为FN=mgcos θ,所以支持力做功为WN=FN·Lsin θ=mgLsin θcos θ,故A、D错误;物体在水平方向移动,在竖直方向上没有位移,所以重力做功为零,故B错误;根据平衡条件可知,摩擦力大小为f=mgsin θ,则物体克服摩擦力做功为Wf=f·Lcos θ=mgLsin θcos θ,故C正确。
3.选ABC　根据牛顿第三定律,车对人向后的推力大小也为F,车对人向前的静摩擦力大小也为F'。以人为研究对象,取车前进的方向为正方向,由牛顿第二定律有F'-F=ma。当车匀速运动时,a=0,则F=F',由于人对车的推力F对车做正功,人对车的摩擦力F'对车做负功,而两力做功的绝对值相等,所以F和F'的总功为零;当车加速运动时,a>0,F'>F,则F'对车做的负功大于F对车做的正功,故F和F'的总功为负功;当车减速运动时,a<0,F'逐点清(二)
1.选A　将题图中圆弧MN分成很多小段l1、l2、…、ln,拉力F在每小段上做的功为W1、W2、…、Wn,因拉力F大小不变,方向始终与小球的运动方向成37°角,所以W1=Fl1cos 37°,W2=Fl2cos 37°,…,Wn=Flncos 37°,故WF=W1+W2+…+Wn=F(l1+l2+…+ln)cos 37°=Fcos 37°·=10×0.8××6 J=16π J,故A正确,B错误;同理可得小球克服摩擦力做的功Wf=μmg·=8π J,故C、D错误。
2.解析:人对绳的拉力所做的功与绳对物体的拉力所做的功相等,设人手到定滑轮的竖直距离为h,物体上升的高度等于滑轮右侧绳子增加的长度,即Δh=-
又l=-
所以人对绳的拉力做的功
W=mgΔh=1 000(-1)J。
答案:1 000(-1)J
3.选B　开始时弹簧的压缩量x1=,此时F1=0,当A物块恰好离开地面时弹簧的伸长量为x2=,此时F2=2mg,则F做的功为W=(x1+x2)=。故选B。
4.选BC　0~3 m物体做匀速直线运动,可知阻力大小为f=F1=4 N,在x=5 m处,由题图可知拉力大小为F2=7 N,根据牛顿第二定律可得F2-f=ma,解得a=1.5 m/s2,故A错误;根据F x图像与横轴围成的面积表示拉力在这段位移内所做的功,可知0~7 m拉力对物体做功为WF=4×3 J+×(7-3)J=40 J,故B正确;0~7 m物体克服阻力做功为=fx=4×7 J=28 J,故C正确;0~7 m合力对物体做功为W合=WF-=40 J-28 J=12 J,故D错误。
5.解析:设雨滴落地时的速度为vmax,接近落地前做匀速运动,有fmax=k=mg
对雨滴下落过程,由动能定理得
mgh+W=m-m
解得W=--mgh。
答案:--mgh
6.选BD　由速度—时间图像与时间轴围成的面积等于物体的位移,可知0~6 s内物体的位移大小为x=×6 m=30 m,故A错误;由功率—时间图像与时间轴围成的面积等于力做的功,可知在0~6 s内拉力做的功为W=×30×2 J+10×4 J=70 J,故B正确;物体在0~6 s内与在0~2 s内动能变化量相同,则根据动能定理可知,合外力在0~6 s内做的功与在0~2 s内做的功相等,故C错误;在2~6 s内,v=6 m/s,P=10 W,物体做匀速运动,摩擦力f=F,由P=Fv,有f=F== N,故D正确。
逐点清(三)
1.选D　功率由力与速度共同决定,A错误;功率的定义为功与完成这些功所用时间之比,做功多不表示功率大,B错误;做功等于功率与时间的乘积,功率大不表示做功多,C错误;力和速度都很大,但二者夹角较大时,功率不一定大,D正确。
2.选C　由h=gt2可知,A、B两小球下落时间之比为tA∶tB=∶1,两球水平位移相同,由x=v0t,得vA∶vB=1∶,即vB=vA,故A、B错误;小球落地时在竖直方向的分速度为vy=,可知A、B两小球落地时在竖直方向的分速度之比为vyA∶vyB=∶1,落地时重力的功率为P=mgvy,所以A、B两小球落地时重力的功率之比为PA∶PB=∶1,即PA=PB,故C正确,D错误。
3.解析:(1)由于木板匀速运动,则有f=2Fcos θ=450 N。
(2)根据功的定义有W=2Flcos θ=9.0×103 J。
(3)根据功率的定义有P==600 W。
答案:(1)450 N　(2)9.0×103 J　(3)600 W
逐点清(四)
[例1]　选BC　步兵战车加速过程中发动机的功率恒定,则加速度为a==,则随着速度的增加,加速度减小,A错误;步兵战车的速度最大时牵引力等于阻力,则vm==,B正确;若步兵战车做匀加速运动,则位移为t,而实际上步兵战车做加速度减小的加速运动,可知加速过程中,步兵战车的位移大于t,C正确;加速过程中,步兵战车所受合外力做的功为Pt-F阻x,D错误。
[例2]　选CD　汽车做匀加速运动时,根据牛顿第二定律有F-f=ma,解得F=f+ma,则汽车做匀加速运动的最大速度v1==,故A错误;当牵引力与阻力平衡时,汽车达到最大行驶速度,即v2=,故B错误;汽车速度为时,功率为P'=F·=,故C正确;汽车速度为时,牵引力大小为F'==,根据牛顿第二定律有F'-f=ma',解得a'=-,故D正确。
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功和功率(基础落实课)
第 1 讲
1
课前基础先行
课时跟踪检测
2
逐点清(一)　功的正负判断和
恒力做功的计算
CONTENTS
目录
4
逐点清(三)　功率的理解与计算
6
3
逐点清(二)　求变力做功的六种方法
5
逐点清(四)　机车启动问题
课前基础先行
一、功
1.做功的两个必要条件
____和物体在力的方向上发生的______。
2.公式
W=Flcos α，适用于恒力做功，其中α为F、l方向间的夹角，l为物体对地的位移。
力
位移
3.功的正负判断
夹角 功的正负
0≤α<90° W>0，力对物体做_______
90°<α≤180° W<0，力对物体做_____，或者说物体_____这个力做了功
α=90° W=0，力对物体_______
正功
负功
克服
不做功
二、功率
1.定义:功与完成这些功所用_____之比。
2.物理意义:描述力对物体做功的______。
3.公式
(1)P=，P为时间t内的__________。
(2)P=_________ (α为F与v的夹角)
①v为___________，则P为平均功率；
②v为瞬时速度，则P为____________。
时间
快慢
平均功率
Fvcos α
平均速度
瞬时功率
4.额定功率与实际功率
(1)额定功率:动力机械__________时输出的_____功率。
(2)实际功率:动力机械实际工作时输出的功率，要求___________额定功率。
正常工作
最大
小于或等于
1.只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功。 ( )
2.力F1、F2做的功分别为10 J和-15 J，则力F1比F2做的功多。 ( )
3.功有正负，说明功是矢量，因此总功是所有外力做功的矢量和。 ( )
4.(鲁科必修2P7T5·改编)当作用力做正功时，反作用力一定做负功。 ( )
5.合力做的功等于各分力做功的代数和。 ( )
微点判断
×
×
×
×
√
6.由P=知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率。 ( )
7.(人教必修2P78T4·改编)根据P=Fv，F增大则P增大。 ( ) 8.由公式P=Fv既可以求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率。 ( )
9.由公式P=Fv可知，汽车的速度增大时，汽车的发动机功率也一定在增大。 ( ) 10.由P=Fv可知，发动机功率一定时，机车的牵引力与运行速度的大小成反比。 ( )
×
×
√
×
√
逐点清(一)　功的正负判断和恒力做功的计算
课
堂
题点全练
1.[功的正负判断]
(2024·海南高考)神舟十七号载人飞船返回舱于2024年4月30日在东风着陆场成功着陆，在飞船返回至离地面十几公里时打开主伞，飞船快速减速，返回舱速度大大减小，在减速过程中(　　)
A.返回舱处于超重状态
B.返回舱处于失重状态
C.主伞的拉力不做功
D.重力对返回舱做负功
√
解析:返回舱在减速过程中，加速度竖直向上，处于超重状态，故A正确，B错误；主伞的拉力与返回舱运动方向相反，对返回舱做负功，故C错误；返回舱所受重力与返回舱运动方向相同，重力对返回舱做正功，故D错误。
2.[恒力做功的计算]
质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，斜面沿水平方向向右匀速移动了距离L，如图所示。已知斜面运动过程中物体始终相对斜面静止，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A.支持力对物体做功为零
B.重力对物体做功为mgLtan θ
C.物体克服摩擦力做功为mgLsin θcos θ
D.支持力对物体做功为mgLsin θ
√
解析:根据平衡条件可知，物体受到的支持力的大小为FN=mgcos θ，所以支持力做功为WN=FN·Lsin θ=mgLsin θcos θ，故A、D错误；物体在水平方向移动，在竖直方向上没有位移，所以重力做功为零，故B错误；根据平衡条件可知，摩擦力大小为f=mgsin θ，则物体克服摩擦力做功为Wf=f·Lcos θ=mgLsin θcos θ，故C正确。
3.[总功的计算]
(多选)如图所示，站在向前运动的汽车上的人用手推车的力大小为F，脚对车向后的静摩擦力大小为F'，下列说法正确的是(　　)
A.当车匀速运动时，F和F'所做的总功为零
B.当车加速运动时，F和F'的总功为负功
C.当车减速运动时，F和F'的总功为正功
D.不管车做何种运动，F和F'的总功都为零
√
√
√
解析:根据牛顿第三定律，车对人向后的推力大小也为F，车对人向前的静摩擦力大小也为F'。以人为研究对象，取车前进的方向为正方向，由牛顿第二定律有F'-F=ma。当车匀速运动时，a=0，则F=F'，由于人对车的推力F对车做正功，人对车的摩擦力F'对车做负功，而两力做功的绝对值相等，所以F和F'的总功为零；当车加速运动时，a>0，F'>F，则F'对车做的负功大于F对车做的正功，故F和F'的总功为负功；当车减速运动时，a<0，F'1.功的正负判断方法
(1)恒力做功的正负常依据力与位移方向的夹角来判断。
(2)曲线运动中功的正负常依据力F与速度v方向的夹角来判断。
(3)能量变化思想常用于两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断。
精要点拨
2.恒力做功的计算方法
3.总功的计算方法
方法一:先求合力F合,再用W总=F合lcos α求功,此法要求F合为恒力。
方法二:先求各个力做的功W1、W2、W3、…,再应用W总=W1+W2+W3+…求总功,注意代入“+”“-”再求和。
方法三:利用动能定理,合力做的功等于物体动能的变化量。
逐点清(二)　求变力做功的
六种方法
课
堂
方法1　利用微元法求变力做功
将物体的位移分割成许多小段，因每一小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个位移上的恒力所做功的代数和。此法常用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。
1.在水平桌面上，长6 m的轻绳一端固定于O点，另一端系一质量m=2.0 kg的小球，如图所示(俯视图)。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F=10 N，F拉着小球从M点运动到N点，F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ=0.2，不计空气阻力，取g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，则下列说法正确的是 (　　)
A.拉力F对小球做的功为16π J
B.拉力F对小球做的功为8π J
C.小球克服摩擦力做的功为16π J
D.小球克服摩擦力做的功为4π J
√
解析:将题图中圆弧MN分成很多小段l1、l2、…、ln，拉力F在每小段上做的功为W1、W2、…、Wn，因拉力F大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，所以W1=Fl1cos 37°，W2=Fl2cos 37°，…，Wn=Flncos 37°，故WF=W1+W2+…+Wn=F(l1+l2+…+ln)cos 37°=Fcos 37°·=10×0.8××6 J=16π J，故A正确，B错误；同理可得小球克服摩擦力做的功Wf=μmg·=8π J，故C、D错误。
方法2　化变力为恒力求变力做功
有些变力做功问题通过转换研究对象，可转化为恒力做功，用W=Flcos α求解。此法常用于轻绳通过定滑轮拉物体做功的问题中。
2.人在A点拉着绳通过一个定滑轮匀速吊起质量m=50 kg的物体，如图所示。开始时绳与水平方向成60°角，当人拉着绳由A点沿水平方向运动l=2 m而到达B点时，绳与水平方向成30°角，求人对绳的拉力做了多少功 (不计绳与定滑轮间的摩擦，g取10 m/s2)
答案:1 000(-1)J
解析:人对绳的拉力所做的功与绳对物体的拉力所做的功相等，设人手到定滑轮的竖直距离为h，物体上升的高度等于滑轮右侧绳子增加的长度，即Δh=-
又l=-
所以人对绳的拉力做的功
W=mgΔh=1 000(-1)J。
方法3　利用平均力求变力做功
当物体受到的力方向不变，而大小随位移均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为=的恒力作用，F1、F2分别为物体在初、末位置所受到的力，然后用公式W=lcos α求此变力所做的功。
3.如图所示，质量均为m的A、B两小物块用轻质弹簧相连，A放置在光滑水平地面上，一轻绳通过光滑的定滑轮与物块B相连(连接物块B的绳子恰好伸直但不绷紧)，弹簧的劲度系数为k。现用一水平向右的拉力F作用在轻绳上，使物块B缓慢向上运动，已知重力加速度为g，当A物块恰好离开地面时，F所做的功为 (　　)
A. B.
C. D.
√
解析:开始时弹簧的压缩量x1=，此时F1=0，当A物块恰好离开地面时弹簧的伸长量为x2=，此时F2=2mg，则F做的功为W=(x1+x2)=。故选B。
方法4　利用F x图像求变力做功
在F x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移内所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正功，位于x轴下方的“面积”为负功，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。
4.(多选)质量为2 kg的物体在水平面上沿直线运动，受到的阻力大小恒定。经某点开始沿运动方向的水平拉力F与运动距离x的关系如图所示，0~3 m物体做匀速直线运动。下列说法正确的是 (　　)
A.在x=5 m处物体加速度大小为2 m/s2
B.0~7 m拉力对物体做功为40 J
C.0~7 m物体克服阻力做功为28 J
D.0~7 m合力对物体做功为28 J
√
√
解析:0~3 m物体做匀速直线运动，可知阻力大小为f=F1=4 N，在x=5 m处，由题图可知拉力大小为F2=7 N，根据牛顿第二定律可得F2-f=ma，解得a=1.5 m/s2，故A错误；根据F x图像与横轴围成的面积表示拉力在这段位移内所做的功，可知0~7 m拉力对物体做功为WF=4×3 J+×(7-3)J=40 J，故B正确；0~7 m物体克服阻力做功为=fx=4×7 J=28 J，故C正确；0~7 m合力对物体做功为W合=WF-=40 J-28 J=12 J，故D错误。
方法5　利用动能定理求变力做功
利用公式W=Flcos α不容易直接求功时，尤其对于曲线运动或变力做功问题，可考虑由动能的变化来间接求功，所以动能定理是求变力做功的首选。
5.(鲁科版教材必修2，P16“迁移”栏目)雨滴在空中下落时会受到空气阻力，空气阻力f的大小与雨滴下落速率v的二次方成正比，即f=kv2，其中k为常数。若质量为m的雨滴，从高h处以初速度v0竖直加速下落，接近落地前开始做匀速直线运动。已知重力加速度为g，求该雨滴从高处下落到地面的过程中，空气阻力对其所做的功。
答案:--mgh
解析:设雨滴落地时的速度为vmax，接近落地前做匀速运动，有fmax=k=mg
对雨滴下落过程，由动能定理得
mgh+W=m-m
解得W=--mgh。
方法6　利用W=Pt求变力做功
在功率与时间的关系图像(P t图像)中，P t图线与时间轴围成的面积表示该时间内所做的功。
6.(多选)放在粗糙水平面上的物体受到水平拉力的作用，在0~6 s内其速度与时间的关系图像和该拉力的功率与时间的关系图像分别如图甲和乙所示，下列说法正确的是 (　　)
A.0~6 s内物体位移大小为36 m
B.0~6 s内拉力做的功为70 J
C.合外力在0~6 s内做的功与在0~2 s内做的功不相等
D.滑动摩擦力大小为 N
√
√
解析:由速度—时间图像与时间轴围成的面积等于物体的位移，可知0~6 s内物体的位移大小为x=×6 m=30 m，故A错误；由功率—时间图像与时间轴围成的面积等于力做的功，可知在0~6 s内拉力做的功为W=×30×2 J+10×4 J=70 J，故B正确；物体在0~6 s内与在0~2 s内动能变化量相同，则根据动能定理可知，合外力在0~6 s内做的功与在0~2 s内做的功相等，故C错误；在2~6 s内，v=6 m/s，P=10 W，物体做匀速运动，摩擦力f=F，由P=Fv，有f=F== N，故D正确。
逐点清(三)　功率的理解与计算
课
堂
1.下列关于功率的说法中正确的是(　　)
A.由P=Fv知，物体运动得越快，功率越大
B.由P=知，力做的功越多，功率越大
C.由W=Pt知，功率越大，力做的功越多
D.由P=Fvcos α知，某一时刻，即使力和速度都很大，但功率不一定大
√
细作1　对功率的理解
解析:功率由力与速度共同决定，A错误；功率的定义为功与完成这些功所用时间之比，做功多不表示功率大，B错误；做功等于功率与时间的乘积，功率大不表示做功多，C错误；力和速度都很大，但二者夹角较大时，功率不一定大，D正确。
一点一过　对功率的两点说明
(1)物体在发生一段位移过程中所对应的功率为平均功率,物体在某一时刻的功率为瞬时功率。
(2)功率是反映做功快慢的物理量,P=是功率的定义式而非决定式,所以并不能说功率P与功W成正比,与时间t成反比。
2.(2025·乐山模拟)如图所示，质量相同的小球A、B位于同一竖直线上，将A、B两小球以不同的初速度vA、vB水平抛出后，都落在水平面上的同一位置。已知hA=2hB，落地时重力的功率分别为PA、PB。不计一切阻力，则vA与vB、PA与PB的大小关系正确的是 (　　)
A.vB=2vA B.vB=4vA
C.PA=PB D.PA=2PB
√
细作2　瞬时功率的分析与计算
解析:由h=gt2可知，A、B两小球下落时间之比为tA∶tB=∶1，两球水平位移相同，由x=v0t，得vA∶vB=1∶，即vB=vA，故A、B错误；小球落地时在竖直方向的分速度为vy=，可知A、B两小球落地时在竖直方向的分速度之比为vyA∶vyB=∶1，落地时重力的功率为P=mgvy，所以A、B两小球落地时重力的功率之比为PA∶PB=∶1，即PA=PB，故C正确，D错误。
一点一过　瞬时功率公式的理解与应用
(1)利用公式P=Fvcos α求瞬时功率时，其中v为t时刻的瞬时速度。F可为恒力，也可为变力，α为F与v的夹角，α可以不变，也可以变化。
(2)对公式P=Fvcos α的理解:可认为Fcos α是力F在速度v方向上的分力，也可认为vcos α是速度v在力F方向上的分速度。
3.(2024·福建高考)我国古代劳动人民创造了璀璨的农耕文明。图(a)为《天工开物》中描绘的利用耕牛整理田地的场景，简化的物理模型如图(b)所示，人站立的农具视为与水平地面平行的木板，两条绳子相互平行且垂直于木板边缘。已知绳子与水平地面夹角θ为25.5°，sin 25.5°=0.43，cos 25.5°=0.90。当每条绳子拉力F的大小为250 N时，人与木板沿直线匀速前进，在15 s内前进了20 m，求此过程中:
细作3　平均功率的分析与计算
(1)地面对木板的阻力大小；
答案:450 N　
解析:由于木板匀速运动，则有f=2Fcos θ=450 N。
(2)两条绳子拉力所做的总功；
答案:9.0×103 J
解析:根据功的定义有W=2Flcos θ=9.0×103 J。
(3)两条绳子拉力的总功率。
答案:600 W
解析:根据功率的定义有P==600 W。
一点一过　平均功率的计算方法
(1)利用P=求解。
(2)利用P=Fvcos α求解，其中v为物体运动的平均速度。
逐点清(四)　机车启动问题
课
堂
1.两种启动方式
以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P t图像 和 v t图像
OA 段 过程 分析 v↑ F=↓ a=↓ a=不变 F不变P=Fv↑直到P额=Fv1
运动 性质 加速度减小的加速运动 匀加速直线运动，维持时间t0=
AB 段 过程分析 F=F阻 a=0 vm= v↑ F=↓ a=↓
运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动
续表
BC段 无 F=F阻 a=0
以vm=做匀速运动
转折点 在转折点A，牵引力与阻力大小相等，此时加速度为零，速度达到最大，为vm= 在转折点A，功率达到额定功率，匀加速运动结束，此时v1=；在转折点B，速度达到最大，为vm=
续表
2.三个重要关系
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm=。
(2)机车以恒定加速度启动时，匀加速过程结束后功率最大，速度不是最大，即v=(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W=Pt，由动能定理得Pt-F阻x=ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移、速度或时间。
考法(一)　恒定功率启动问题
[例1]　(2025·哈尔滨模拟)(多选)我国新一代重型步兵战车已达到世界先进战车的水平，动力强劲，具有强大的防护能力。步兵战车的质量为m，若在平直的路面上从静止开始加速，经时间t其速度达到最大值vm。设在加速过程中发动机的功率恒为P，步兵战车所受阻力恒为F阻。下列说法正确的是(　　)
考法全训
A.加速过程中，步兵战车做匀加速直线运动
B.步兵战车的最大速度vm=
C.加速过程中，步兵战车的位移大于t
D.加速过程中，步兵战车所受合外力做的功为Pt
√
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[解析]　步兵战车加速过程中发动机的功率恒定，则加速度为a==，则随着速度的增加，加速度减小，A错误；步兵战车的速度最大时牵引力等于阻力，则vm==，B正确；若步兵战车做匀加速运动，则位移为t，而实际上步兵战车做加速度减小的加速运动，可知加速过程中，步兵战车的位移大于t，C正确；加速过程中，步兵战车所受合外力做的功为Pt-F阻x，D错误。
考法(二)　恒定加速度启动问题
[例2]　(多选)我国新能源汽车发展迅猛，已成为全球最大的新能源汽车产销国。质量为m的某新能源汽车在水平路面上以恒定加速度a启动，其v t图像如图所示，其中OA段和BC段为直线。已知汽车动力系统的额定功率为P，汽车所受阻力大小恒为f，下列说法正确的是(　　)
A.汽车做匀加速运动的最大速度v1=
B.汽车能达到的最大行驶速度v2=
C.汽车速度为时的功率为P'=
D.汽车速度为时的加速度大小为a'=-
√
√
[解析]　汽车做匀加速运动时，根据牛顿第二定律有F-f=ma，解得F=f+ma，则汽车做匀加速运动的最大速度v1==，故A错误；当牵引力与阻力平衡时，汽车达到最大行驶速度，即v2=，故B错误；汽车速度为时，功率为P'=F·=，故C正确；汽车速度为时，牵引力大小为F'==，根据牛顿第二定律有F'-f=ma'，解得a'=-，故D正确。
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(说明:标★的为推荐讲评题目)
一、单项选择题
1.(2024·北京高考)水平传送带匀速运动，将一物体无初速度地放置在传送带上，最终物体随传送带一起匀速运动。下列说法正确的是(　　)
A.刚开始物体相对传送带向前运动
B.物体匀速运动过程中，受到静摩擦力
C.物体加速运动过程中，摩擦力对物体做负功
D.传送带运动速度越大，物体加速运动的时间越长
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解析:刚开始时，物体速度小于传送带速度，则物体相对传送带向后运动，A错误；物体匀速运动过程中，物体与传送带之间无相对运动趋势，则物体不受摩擦力作用，B错误；物体加速运动过程中，由动能定理可知，摩擦力对物体做正功，C错误；设物体与传送带间的动摩擦因数为μ，物体相对传送带运动时，加速度大小为a==μg，物体做匀加速运动，直至物体速度等于传送带速度，由v=at=μgt可知，传送带速度越大，物体加速运动的时间越长，D正确。
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2.(2025·大连模拟)滑雪是受人欢迎的娱乐项目。如图所示，一位质量为60 kg的滑雪爱好者从海拔1 800 m的雪道起点沿着长为1 200 m的雪道进行滑雪训练，20 min后到达海拔为1 600 m雪道终点，重力加速度g取10 m/s2，则在此过程中该滑雪爱好者 (　　)
A.位移大小为200 m
B.平均速度大小为1 m/s
C.重力做功为1.2×105 J
D.重力做功的平均功率为600 W
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解析:由题图可知，雪道不是一条直线，所以该滑雪爱好者的位移大小与平均速度大小均不可确定，故A、B错误；重力做功的大小为W=mgΔh=60×10×(1 800-1 600)J=1.2×105 J，故C正确；重力做功的平均功率为P== W=100 W，故D错误。
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3.一质量为m的物块，在水平拉力F的作用下从静止开始沿水平面运动，其阻力f为物块重力的λ倍，水平拉力的大小F=kx+f，其中k为比例系数，x为物块运动的距离。在物块运动距离为s的过程中拉力做的功为 (　　)
A.λmgs B.ks2
C. D.ks2+λmgs
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解析:物块受到的阻力为f=λmg，当x=0时，拉力大小为F1=f，当x=s时，拉力大小为F2=ks+f，由于拉力随位移线性变化，所以整个过程的平均拉力大小为==ks+f=ks+λmg，在物块运动的距离为s的过程中拉力做的功为WF=s=ks2+λmgs，故选D。
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4.(2025·十堰一模)在杭州亚运会男子百米决赛中，中国选手夺冠。假设他的心脏在比赛状态下每分钟搏动150次，在一次搏动中泵出的血液约为120 cm3，推动血液流动的平均压强约为2.0×104 Pa。则他的心脏在比赛状态下搏动的平均功率约为 (　　)
A.6 W B.60 W
C.3.6 W D.360 W
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解析:设这名选手的心脏每次推动血液前进的位移为L，血液受到心脏的压力为F，由p=可知，心脏搏动一次对血液所做的功W=FL=pSL=pV，V是心脏搏动一次泵出的血液体积，代入数据解得他的心脏在一分钟内对血液做的功为W'=npV=150×2.0×104×120×10-6 J=360 J，则他的心脏在比赛状态下搏动的平均功率P== W=6 W。故选A。
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5.如图所示，在某次体能训练中，运动员身上系着轻绳拖着轮胎从静止开始沿着笔直的跑道匀加速奔跑，2 s末轮胎的速度大小为4 m/s。已知绳与地面的夹角θ=37°，绳对轮胎的拉力大小为50 N，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。下列说法正确的是 (　　)
A.前2 s内绳子拉力对轮胎所做的功为200 J
B.第2 s内运动员克服绳子拉力所做的功为120 J
C.前2 s内绳子拉力对轮胎做功的平均功率为100 W
D.第2 s末绳子拉力对轮胎做功的瞬时功率为200 W
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解析:前2 s内的位移大小为x=t=4 m，前2 s内绳子拉力对轮胎所做的功为W=Fxcos 37°=50×4×0.8 J=160 J，绳子拉力对轮胎做功的平均功率为==80 W，故A、C错误；根据速度时间关系v=at，解得加速度大小为a=2 m/s2，第2 s内的位移大小为x'=x-a=3 m，第2 s内运动员克服绳子拉力所做的功为W'=Fx'cos 37°=50×3×0.8 J=120 J，故B正确；第2 s末绳子拉力对轮胎做功的瞬时功率P=Fvcos 37°=50×4×0.8 W=160 W，故D错误。
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6.(2025·成都检测)同一赛车分别在干燥路面及湿滑路面以恒定加速度a干燥和a湿滑启动达到最大速度。已知a干燥>a湿滑，赛车两次启动过程中阻力大小相等且不变，能达到的额定功率相同。则赛车的速度v随时间t变化的图像正确的是(图中OA、OB为直线) (　　)
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解析:对赛车由牛顿第二定律可得F牵-Ff=ma，则有F牵=ma+Ff，由于a干燥>a湿滑，则有F干牵>F湿牵，设赛车在干燥路面做匀加速运动达到的最大速度为v干m，在湿滑路面做匀加速运动达到的最大速度为v湿m，则有P额=F干牵v干m=F湿牵v湿m，可知v干m2
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7.图甲起重机某次从t=0时刻由静止开始提升质量为m=150 kg的物体，其a t图像如图乙所示，5~ 10 s内起重机的功率为额定功率，不计其他阻力，重力加速度为g=10 m/s2，则以下说法正确的是 (　　)
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A.物体在0~10 s内运动的最大速度为10 m/s
B.起重机的额定功率为1 800 W
C.5~10 s内起重机对物体做的功等于0~5 s内起重机对物体做功的1.5倍
D.5~10 s内起重机对物体做的功等于0~5 s内起重机对物体做功的2倍
解析:由a t图像可知，物体在0~5 s内做匀加速直线运动，5 s时物体的速度为v1=a1t1=2×5 m/s=10 m/s，由于5 s后物体继续做加速度逐渐减小的加速运动，可知物体在0~10 s内运动的最大速度大于10 m/s，故A错误；
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由a t图像可知，在5 s时，物体结束做匀加速运动，此时起重机的功率达到额定功率，根据牛顿第二定律可得F-mg=ma1，解得F= 1 800 N，则起重机的额定功率为P额=Fv1=1 800×10 W=18 000 W，故B错误；0~5 s内物体的位移为x1=t1=×5 m=25 m，0~5 s内起重机对物体做的功为W1=Fx1=1 800×25 J=45 000 J，5~10 s内起重机保持额定功率不变，则5~10 s内起重机对物体做的功W2=P额t2=18 000×5 J=90 000 J，可得W2=2W1，故C错误，D正确。
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8.(2025·安庆模拟)“复兴号”动车组是我国自主研发、具有完全知识产权的新一代高速列车。某“复兴号”动车组由8节车厢编组而成，其中第1、3、5、7节为动力车厢，其余为无动力车厢。已知每节动力车厢有2 400 kW的大型电动机提供动力，每节车厢行驶中除了受恒定的摩擦阻力f0=1 500 N外，还会受到风阻作用，第1节车厢所受风阻f1=3kv，其余每节车厢所受的风阻f2=kv，表达式中v表示列车行驶速度，k为比例系数，为84 N·s/m。下列说法正确的是 (　　)
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A.该型号动车组最大行驶速度为120 m/s
B.若关闭两个电动机，动车组最大速度为原来一半
C.以最大速度匀速行驶时，第1节车厢所受总阻力为25 200 N
D.以最大速度匀速行驶时，第3节车厢对第2节车厢作用力为12 600 N
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解析:根据题意可知，动车组总功率P总=4×2 400 kW=9 600 kW，匀速行驶时受到的阻力之和为f=8f0+7f2+f1，当动车组以最大速度行驶时，有P总=f·vm，解得vm=100 m/s，故A错误；由=v，解得v≈68.8 m/s，故B错误(亦可定性分析)；第1节车厢所受总阻力f1'=f1+f0=26 700 N，故C错误；对前两节车厢整体分析，电动机的牵引力F== N=24 000 N，车厢所受阻力为F阻=2f0+3kvm+kvm=36 600 N，所以第三节车厢还需提供的推力大小为F32=F阻-F=12 600 N，故D正确。
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二、多项选择题
9.如图甲所示，一足够长的水平传送带以某一恒定速度顺时针转动，一根轻弹簧一端与竖直墙面连接，另一端与工件不拴接。工件将弹簧压缩一段距离后置于传送带最左端无初速度释放，工件向右运动受到的摩擦力Ff随位移x变化的关系如图乙所示，x0、Ff0均为已知量，工件与传送带间的动摩擦因数处处相等，下列说法正确的是(　　)
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A.工件在传送带上先做加速运动，后做减速运动
B.工件向右运动2x0后与弹簧分离
C.弹簧的劲度系数为
D.整个运动过程中摩擦力对工件做功为0.75Ff0x0
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解析:由题图乙可知，工件受到的摩擦力方向在x0处发生变化，在x0~2x0区间工件受到的摩擦力大小发生变化，说明在此区间工件与传送带相对静止，故工件先做加速运动后做匀速运动，故A错误；在x0~2x0区间摩擦力大小等于弹簧弹力大小，在2x0位置摩擦力为零，所以弹力为零，所以工件向右运动2x0后与弹簧分离，故B正确；由胡克定律得kx0=0.5Ff0，解得弹簧的劲度系数k=，故C错误；摩擦力对工件先做正功后做负功，题图乙图像与x轴围成的面积在数值上等于摩擦力对工件做的功，即W=Ff0x0-×0.5Ff0x0=0.75Ff0x0，故D正确。
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10.如图所示为汽车的加速度a和车速的倒数的关系图像，若汽车质量为2.5×103 kg，它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶过程中阻力恒定，最大车速为30 m/s，则(　　)
A.汽车的最大功率为6.5×104 W
B.汽车匀加速所需时间为4 s
C.汽车所受阻力大小为2.5×103 N
D.汽车在车速为5 m/s时，功率为3.75×104 W
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解析:根据牛顿第二定律可得F-f=ma，汽车的功率为P=Fv，解得
a=·-，由题图可知，汽车由恒定的加速度a1=2 m/s2启动，先做匀加速直线运动，当v1=10 m/s时，功率达到额定功率Pm，此后保持额定功率不变做加速度减小的变加速直线运动，当加速度等于零时，速度为vm=30 m/s，此后做匀速直线运动，可得a1=·-，0=·-，代入数据解得Pm=7.5×104 W，f=2.5×103 N，故A错误，C正确；汽车做匀加速运动的时间为t1==5 s，故B错误；汽车做匀加速直线运动的牵引力大小为F1=f+ma1=7.5×103 N，汽车在车速为5 m/s时正处于匀加速直线运动的阶段，此时汽车的瞬时功率为P=F1v2=3.75×104 W，故D正确。
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三、计算题
11.(8分)如图所示，质量m=60 kg的跳台滑雪运动员从跳台a处沿水平方向飞出，在斜坡(近似看成斜面)b处着陆，ab间的距离为L=40 m，斜坡与水平方向的夹角为θ=30°，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。求:
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(1)运动员由a处运动到b处的时间；(3分)
答案:2 s　
解析:根据题意，运动员在空中做平抛运动，在竖直方向有
Lsin 30°=gt2
解得t=2 s。
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(2)运动员在飞行过程中离斜坡最远时重力的瞬时功率P。(5分)
答案:6 000 W
解析:在水平方向有Lcos 30°=v0t
解得v0=10 m/s根据平抛运动规律，运动员在飞行过程中离斜坡最远时速度方向与斜面平行，则tan 30°=
此时重力的瞬时功率为P=mgvy
解得P=6 000 W。
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12.(10分)(2025·济宁调研)遥控爬墙小车通过排出车身内部部分空气与外界大气形成压力差，使小车可以吸附在墙壁、天花板上。如图所示，某次小车从室内墙壁上的A点由静止出发，沿着竖直方向经B处一小段圆弧运动到水平天花板上的C点，然后从C点开始做匀速圆周运动。已知AB沿竖直方向且足够长，小车内外产生的压力差恒为F0=25 N，方向垂直于接触面，运动过程中小车受到的阻力大小f=0.8FN(FN为小车和墙壁间、天花板间的弹力)、方向总与速度方向相反。小车质量m=0.5 kg，小车可视为质点，忽略空气阻力，取g=10 m/s2。
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(1)若小车在AB段运动时的功率为P=75 W，求小车在AB段运动时的最大速度的大小vm；(4分)
答案:3 m/s　
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解析:小车在AB段所受的弹力大小为FN1=F0
小车在AB段所受的阻力大小为f1=0.8FN1
小车在AB段运动达到最大速度时，有P=vm
解得vm=3 m/s。
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(2)若小车在天花板上以v=3 m/s的速率做匀速圆周运动，牵引力大小为F=20 N，取π=3.14，求小车运动一周牵引力做的功。(6分)
答案:37.68 J
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解析:小车在天花板上运动时，有FN2+mg=F0
小车在天花板上所受的阻力大小为f2=0.8FN2
小车做匀速圆周运动时，由牛顿第二定律有
=m
解得小车做匀速圆周运动的半径为r= m
由动能定理可知，W-Wf2=mv2-v2，解得小车运动一周过程中牵引力做的功W=Wf2=2πrf2=37.68 J。
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4课时跟踪检测(二十七)　功和功率
一、单项选择题
1.(2024·北京高考)水平传送带匀速运动,将一物体无初速度地放置在传送带上,最终物体随传送带一起匀速运动。下列说法正确的是 (　　)
A.刚开始物体相对传送带向前运动
B.物体匀速运动过程中,受到静摩擦力
C.物体加速运动过程中,摩擦力对物体做负功
D.传送带运动速度越大,物体加速运动的时间越长
2.(2025·大连模拟)滑雪是受人欢迎的娱乐项目。如图所示,一位质量为60 kg的滑雪爱好者从海拔1 800 m的雪道起点沿着长为1 200 m的雪道进行滑雪训练,20 min后到达海拔为1 600 m雪道终点,重力加速度g取10 m/s2,则在此过程中该滑雪爱好者 (　　)
A.位移大小为200 m
B.平均速度大小为1 m/s
C.重力做功为1.2×105 J
D.重力做功的平均功率为600 W
3.一质量为m的物块,在水平拉力F的作用下从静止开始沿水平面运动,其阻力f为物块重力的λ倍,水平拉力的大小F=kx+f,其中k为比例系数,x为物块运动的距离。在物块运动距离为s的过程中拉力做的功为 (　　)
A.λmgs B.ks2
C. D.ks2+λmgs
4.(2025·十堰一模)在杭州亚运会男子百米决赛中,中国选手夺冠。假设他的心脏在比赛状态下每分钟搏动150次,在一次搏动中泵出的血液约为120 cm3,推动血液流动的平均压强约为2.0×104 Pa。则他的心脏在比赛状态下搏动的平均功率约为 (　　)
A.6 W　　B.60 W　　C.3.6 W　　D.360 W
5.如图所示,在某次体能训练中,运动员身上系着轻绳拖着轮胎从静止开始沿着笔直的跑道匀加速奔跑,2 s末轮胎的速度大小为4 m/s。已知绳与地面的夹角θ=37°,绳对轮胎的拉力大小为50 N,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。下列说法正确的是 (　　)
A.前2 s内绳子拉力对轮胎所做的功为200 J
B.第2 s内运动员克服绳子拉力所做的功为120 J
C.前2 s内绳子拉力对轮胎做功的平均功率为100 W
D.第2 s末绳子拉力对轮胎做功的瞬时功率为200 W
6.(2025·成都检测)同一赛车分别在干燥路面及湿滑路面以恒定加速度a干燥和a湿滑启动达到最大速度。已知a干燥>a湿滑,赛车两次启动过程中阻力大小相等且不变,能达到的额定功率相同。则赛车的速度v随时间t变化的图像正确的是(图中OA、OB为直线) (　　)
7.图甲起重机某次从t=0时刻由静止开始提升质量为m=150 kg的物体,其a t图像如图乙所示,5~10 s内起重机的功率为额定功率,不计其他阻力,重力加速度为g=10 m/s2,则以下说法正确的是 (　　)
A.物体在0~10 s内运动的最大速度为10 m/s
B.起重机的额定功率为1 800 W
C.5~10 s内起重机对物体做的功等于0~5 s内起重机对物体做功的1.5倍
D.5~10 s内起重机对物体做的功等于0~5 s内起重机对物体做功的2倍
8.(2025·安庆模拟)“复兴号”动车组是我国自主研发、具有完全知识产权的新一代高速列车。某“复兴号”动车组由8节车厢编组而成,其中第1、3、5、7节为动力车厢,其余为无动力车厢。已知每节动力车厢有2 400 kW的大型电动机提供动力,每节车厢行驶中除了受恒定的摩擦阻力f0=1 500 N外,还会受到风阻作用,第1节车厢所受风阻f1=3kv,其余每节车厢所受的风阻f2=kv,表达式中v表示列车行驶速度,k为比例系数,为84 N·s/m。下列说法正确的是 (　　)
A.该型号动车组最大行驶速度为120 m/s
B.若关闭两个电动机,动车组最大速度为原来一半
C.以最大速度匀速行驶时,第1节车厢所受总阻力为25 200 N
D.以最大速度匀速行驶时,第3节车厢对第2节车厢作用力为12 600 N
二、多项选择题
9.如图甲所示,一足够长的水平传送带以某一恒定速度顺时针转动,一根轻弹簧一端与竖直墙面连接,另一端与工件不拴接。工件将弹簧压缩一段距离后置于传送带最左端无初速度释放,工件向右运动受到的摩擦力Ff随位移x变化的关系如图乙所示,x0、Ff0均为已知量,工件与传送带间的动摩擦因数处处相等,下列说法正确的是 (　　)
A.工件在传送带上先做加速运动,后做减速运动
B.工件向右运动2x0后与弹簧分离
C.弹簧的劲度系数为
D.整个运动过程中摩擦力对工件做功为0.75Ff0x0
10.如图所示为汽车的加速度a和车速的倒数的关系图像,若汽车质量为2.5×103 kg,它由静止开始沿平直公路行驶,且行驶过程中阻力恒定,最大车速为30 m/s,则 (　　)
A.汽车的最大功率为6.5×104 W
B.汽车匀加速所需时间为4 s
C.汽车所受阻力大小为2.5×103 N
D.汽车在车速为5 m/s时,功率为3.75×104 W
三、计算题
11.(8分)如图所示,质量m=60 kg的跳台滑雪运动员从跳台a处沿水平方向飞出,在斜坡(近似看成斜面)b处着陆,ab间的距离为L=40 m,斜坡与水平方向的夹角为θ=30°,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2。求:
(1)运动员由a处运动到b处的时间;(3分)
(2)运动员在飞行过程中离斜坡最远时重力的瞬时功率P。(5分)
12.(10分)(2025·济宁调研)遥控爬墙小车通过排出车身内部部分空气与外界大气形成压力差,使小车可以吸附在墙壁、天花板上。如图所示,某次小车从室内墙壁上的A点由静止出发,沿着竖直方向经B处一小段圆弧运动到水平天花板上的C点,然后从C点开始做匀速圆周运动。已知AB沿竖直方向且足够长,小车内外产生的压力差恒为F0=25 N,方向垂直于接触面,运动过程中小车受到的阻力大小f=0.8FN(FN为小车和墙壁间、天花板间的弹力)、方向总与速度方向相反。小车质量m=0.5 kg,小车可视为质点,忽略空气阻力,取g=10 m/s2。
(1)若小车在AB段运动时的功率为P=75 W,求小车在AB段运动时的最大速度的大小vm;(4分)
(2)若小车在天花板上以v=3 m/s的速率做匀速圆周运动,牵引力大小为F=20 N,取π=3.14,求小车运动一周牵引力做的功。(6分)
课时跟踪检测(二十七)
1.选D　刚开始时,物体速度小于传送带速度,则物体相对传送带向后运动,A错误;物体匀速运动过程中,物体与传送带之间无相对运动趋势,则物体不受摩擦力作用,B错误;物体加速运动过程中,由动能定理可知,摩擦力对物体做正功,C错误;设物体与传送带间的动摩擦因数为μ,物体相对传送带运动时,加速度大小为a==μg,物体做匀加速运动,直至物体速度等于传送带速度,由v=at=μgt可知,传送带速度越大,物体加速运动的时间越长,D正确。
2.选C　由题图可知,雪道不是一条直线,所以该滑雪爱好者的位移大小与平均速度大小均不可确定,故A、B错误;重力做功的大小为W=mgΔh=60×10×(1 800-1 600)J=1.2×105 J,故C正确;重力做功的平均功率为P== W=100 W,故D错误。
3.选D　物块受到的阻力为f=λmg,当x=0时,拉力大小为F1=f,当x=s时,拉力大小为F2=ks+f,由于拉力随位移线性变化,所以整个过程的平均拉力大小为==ks+f=ks+λmg,在物块运动的距离为s的过程中拉力做的功为WF=s=ks2+λmgs,故选D。
4.选A　设这名选手的心脏每次推动血液前进的位移为L,血液受到心脏的压力为F,由p=可知,心脏搏动一次对血液所做的功W=FL=pSL=pV,V是心脏搏动一次泵出的血液体积,代入数据解得他的心脏在一分钟内对血液做的功为W'=npV=150×2.0×104×120×10-6 J=360 J,则他的心脏在比赛状态下搏动的平均功率P== W=6 W。故选A。
5.选B　前2 s内的位移大小为x=t=4 m,前2 s内绳子拉力对轮胎所做的功为W=Fxcos 37°=50×4×0.8 J=160 J,绳子拉力对轮胎做功的平均功率为==80 W,故A、C错误;根据速度时间关系v=at,解得加速度大小为a=2 m/s2,第2 s内的位移大小为x'=x-a=3 m,第2 s内运动员克服绳子拉力所做的功为W'=Fx'cos 37°=50×3×0.8 J=120 J,故B正确;第2 s末绳子拉力对轮胎做功的瞬时功率P=Fvcos 37°=50×4×0.8 W=160 W,故D错误。
6.选B　对赛车由牛顿第二定律可得F牵-Ff=ma,则有F牵=ma+Ff,由于a干燥>a湿滑,则有F干牵>F湿牵,设赛车在干燥路面做匀加速运动达到的最大速度为v干m,在湿滑路面做匀加速运动达到的最大速度为v湿m,则有P额=F干牵v干m=F湿牵v湿m,可知v干m7.选D　由a t图像可知,物体在0~5 s内做匀加速直线运动,5 s时物体的速度为v1=a1t1=2×5 m/s=10 m/s,由于5 s后物体继续做加速度逐渐减小的加速运动,可知物体在0~10 s内运动的最大速度大于10 m/s,故A错误;由a t图像可知,在5 s时,物体结束做匀加速运动,此时起重机的功率达到额定功率,根据牛顿第二定律可得F-mg=ma1,解得F=1 800 N,则起重机的额定功率为P额=Fv1=1 800×10 W=18 000 W,故B错误;0~5 s内物体的位移为x1=t1=×5 m=25 m,0~5 s内起重机对物体做的功为W1=Fx1=1 800×25 J=45 000 J,5~10 s内起重机保持额定功率不变,则5~10 s内起重机对物体做的功W2=P额t2=18 000×5 J=90 000 J,可得W2=2W1,故C错误,D正确。
8.选D　根据题意可知,动车组总功率P总=4×2 400 kW=9 600 kW,匀速行驶时受到的阻力之和为f=8f0+7f2+f1,当动车组以最大速度行驶时,有P总=f·vm,解得vm=100 m/s,故A错误;由=v,解得v≈68.8 m/s,故B错误(亦可定性分析);第1节车厢所受总阻力f1'=f1+f0=26 700 N,故C错误;对前两节车厢整体分析,电动机的牵引力F== N=24 000 N,车厢所受阻力为F阻=2f0+3kvm+kvm=36 600 N,所以第三节车厢还需提供的推力大小为F32=F阻-F=12 600 N,故D正确。
9.选BD　由题图乙可知,工件受到的摩擦力方向在x0处发生变化,在x0~2x0区间工件受到的摩擦力大小发生变化,说明在此区间工件与传送带相对静止,故工件先做加速运动后做匀速运动,故A错误;在x0~2x0区间摩擦力大小等于弹簧弹力大小,在2x0位置摩擦力为零,所以弹力为零,所以工件向右运动2x0后与弹簧分离,故B正确;由胡克定律得kx0=0.5Ff0,解得弹簧的劲度系数k=,故C错误;摩擦力对工件先做正功后做负功,题图乙图像与x轴围成的面积在数值上等于摩擦力对工件做的功,即W=Ff0x0-×0.5Ff0x0=0.75Ff0x0,故D正确。
10.选CD　根据牛顿第二定律可得F-f=ma,汽车的功率为P=Fv,解得a=·-,由题图可知,汽车由恒定的加速度a1=2 m/s2启动,先做匀加速直线运动,当v1=10 m/s时,功率达到额定功率Pm,此后保持额定功率不变做加速度减小的变加速直线运动,当加速度等于零时,速度为vm=30 m/s,此后做匀速直线运动,可得a1=·-,0=·-,代入数据解得Pm=7.5×104 W,f=2.5×103 N,故A错误,C正确;汽车做匀加速运动的时间为t1==5 s,故B错误;汽车做匀加速直线运动的牵引力大小为F1=f+ma1=7.5×103 N,汽车在车速为5 m/s时正处于匀加速直线运动的阶段,此时汽车的瞬时功率为P=F1v2=3.75×104 W,故D正确。
11.解析:(1)根据题意,运动员在空中做平抛运动,在竖直方向有Lsin 30°=gt2
解得t=2 s。
(2)在水平方向有Lcos 30°=v0t
解得v0=10 m/s
根据平抛运动规律,运动员在飞行过程中离斜坡最远时速度方向与斜面平行,则tan 30°=
此时重力的瞬时功率为P=mgvy
解得P=6 000 W。
答案:(1)2 s　(2)6 000 W
12.解析:(1)小车在AB段所受的弹力大小为FN1=F0
小车在AB段所受的阻力大小为f1=0.8FN1
小车在AB段运动达到最大速度时,
有P=vm
解得vm=3 m/s。
(2)小车在天花板上运动时,
有FN2+mg=F0
小车在天花板上所受的阻力大小为f2=0.8FN2
小车做匀速圆周运动时,由牛顿第二定律有
=m
解得小车做匀速圆周运动的半径为r= m
由动能定理可知,W-Wf2=mv2-mv2,解得小车运动一周过程中牵引力做的功W=Wf2=2πrf2=37.68 J。
答案:(1)3 m/s　(2)37.68 J
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