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浙江省宁波市余姚市浙江师范大学附属泗门实验中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·余姚期中）若有意义，则a的值可以是（　　）
A． B．0 C．3 D．8
2．（2024八下·余姚期中）已知是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值为（　　）
A．0 B． C．1 D．2
3．（2024八下·余姚期中） 下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·余姚期中）如图，在中，，，点D在边上，以，为边作平行四边形，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·余姚期中）下列各式中，计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024八下·余姚期中）A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击，下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（　　）
A．且. B．且.
C．且 D．且.
7．（2024八下·余姚期中）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂第二季度平均每月的增长率为 ，那么 满足的方程是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024八下·余姚期中）如图，河坝横断面迎水坡的坡比是（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比），坝高，则坡面的长度是（　　）．
A． B． C． D．
9．（2024八下·余姚期中）已知P是等边三角形的边上的一点，若，则在以线段，，为边的三角形中，则最小内角的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八下·余姚期中）对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述：
①当时， 方程一定没有实数根
②当时，方程一定有实数根
③当时， 方程一定没有实数根
④当时，方程一定有两个不相等的实数根；其中表述正确的序号是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
11．（2024八下·余姚期中）若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是　 　．
12．（2024八下·余姚期中）当ａ＝－2时，二次根式 的值是　 　．
13．（2024八下·余姚期中）一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，则方差是　 　．
14．（2024八下·余姚期中）若实数满足，则　 　．
15．（2024八下·余姚期中）如图，中，为对角线，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，交于点F，若，，，则的长为　 　．
16．（2024八下·余姚期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是　 　．
17．（2024八下·余姚期中）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024八下·余姚期中）解下列方程：
（1）
（2）
19．（2024八下·余姚期中）问题：如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上（不与点A，C重合），连接，，，．若______，求证：四边形是平行四边形．
请在①，②，③中只选择一个作为条件，把序号补充在问题横线上，并完成问题的解答．
20．（2024八下·余姚期中）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取3个涂上阴影：（请将两小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形而非中心对称图形．
（2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形而非轴对称图形．
21．（2024八下·余姚期中）某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取．他们的各项成绩（单项满分100分）如表所示：
候选人 文化水平 艺术水平 组织能力
甲 80分 87分 82分
乙 80分 96分 76分
（1）如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？
（2）如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照20%，20%，60%的比例计入综合成绩，应该录取谁？
22．（2024八下·余姚期中） 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1） 求 的取值范围；
（2） 当 时，用配方法解方程．
23．（2024八下·余姚期中）根据以下销售情况，解决销售任务．
　 销售情况分析
　 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下：
店面 甲店 乙店
日销售情况 每天可售出25件，每件盈利40元． 每天可售出40件，每件盈利30元．
市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件．
情况设置 设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元．
任务解决
任务1 甲店每天的销售量_______（用含的代数式表示）． 乙店每天的销售量_______（用含的代数式表示）．
任务2 当，时，分别求出甲、乙店每天的盈利．
任务3 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2550元．
24．（2024八下·余姚期中）如图，已知直线经过，两点．
（1）求直线的解析式；
（2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转得到CD，此时点D恰好落在直线AB上
①求点C和点D的坐标；
②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q的坐标，否则说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：有意义，
，即，
符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，求出a的取值范围即可．
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：a=-1
故答案为B
【分析】已知方程的解，将解带入医院二次方程即可求出未知量a的值。
3．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，故选项A不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，故选项C不是最简二次根式，不符合题意；
D、，故选项D不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据最简二个根式的定义即可进行判断，被开方数不含分母（小数可化为分数），不含开的尽方的因数或因式，这样的二次根式叫最简二次根式.
4．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 在中，，
，
又，
，
四边形为平行四边形，
．
故答案为：B．
【分析】根据等边对等角得到，然后根据平行四边形的对角相等解题即可．
5．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、 与 不是同类项，不能进行合并，故本选项错误；
B. ， 故本选项错误；
C. ， 故本选项正确；
D. ，故本选项错误.
故答案为：C.
【分析】二次根式的加减法实质就是合并同类二次根式，所谓同类二次根式就是将几个二次根式化为最简二次根式后，被开方数完全相同的二次根式，但不是同类二次根式的不能合并，从而即可判断A；由二次根式的除法，根指数不变，被开方数相除即可判断B；根据完全平方公式展开即可判断C；根据积的乘方法则即可判断D.
6．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：根据平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定.
故答案为：B.
【分析】根据平均数、方差的意义可得：平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定，据此判断.
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2=182．
故选B
【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由图可知，，即，
∴，
∴（m）．
故答案为：．
【分析】
在Rt△ABC中，根据坡比的定义求出AC长，然后根据勾股定理解题即可．
9．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到，
，，，，
△APQ为等边三角形，
，
以，，线段为边的三角形，即，最小的锐角为，
，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】将绕点逆时针旋转得到，即可得到△APQ为等边三角形，可得最小的锐角为，根据旋转的性质和邻补角的定义求出，然后根据角的和差解题即可．
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：①当时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误；
②∵，
∴，
又∵，
∴
∴，
∴方程一定有实数根，原说法正确；
③时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误；
④∵，
∴，
∴，
∴方程有两个相等的实数根，原说法错误；
故答案为：B．
【分析】利用根的判别式“对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根逐项判断解题即可．
11．【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，
∴360°÷45°=8
即该正多边形的边数是8．
故答案为：8．
【分析】正多边形的边数=360°÷一个外角的度数求解即可.
12．【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当a=-2时，二次根式 = =2.
故答案为：2.
【分析】将a=-2代入，由于二次根号具有括号的作用，进而根据有理数的加法法则算出被开方数，再根据算术平方根的性质化简即可.
13．【答案】6
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解： 一组数据1，x，5，7有唯一的众数，
x的值只能是1，5，7中的一个，
中位数是6，
，
平均数是，方差是．
故答案为：6．
【分析】根据中位数和众数的定义求出，然后利用方差公式计算解题．
14．【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
解得，
∴，
故答案为：.
【分析】根据平方式、算术平方根的非负性得到，求出a，b的值，代入计算解题．
15．【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
根据基本作图，可设，
∵，，，
∴，，，
在中，，由勾股定理得，
∴，
解得，
即，
故答案为：5．
【分析】连接，得到，即可得到，再在中根据勾股定理求出x值即可．
16．【答案】2020
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；配方法的应用
【解析】【解答】解：与是“同族二次方程”，
，
，
，
解得，
，
则代数式的最小值是2020．
故答案为：2020．
【分析】根据新定义得到关于与的二元一次方程组，解方程组求出与的值，再利用配方法求出出代数式的最大值即可．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）先化简二次根式、去绝对值，然后合并同类二次根式解题即可；
（2）先计算算术平方根、零指数幂和负整数指数幂，然后加减解题．
18．【答案】（1）解：(x+1)2-4=0
∴(x+1)2=4，
∴x+1=±2，
∴x+1=2或x+1=-2，
∴x1=1，x2=-3；
（2）解：x2-x=3，
∴x2-x-3=0，
∴△=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-3)=13＞0，
∴
∴.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将(x+1)看成一个整体，此方程缺一次项，故利用直接开平方法求解较为简单；将常数项移到方程的右边，利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）移项，将方程整理成一元二次方程的一般形式，直接找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式“”求出方程的根.
19．【答案】解：选择①，连接交于点O，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
选择②，连接交于点O，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
③当时，不能判定四边形为平行四边形．
故答案为：①；解答见解析或②；解答见解析．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】选择①，连接交于点O，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形解题即可；选择②，连接交于点O，证明，即可得到，得到结论即可．
20．【答案】（1）解：组成一个轴对称图形而非中心对称图形如图所示；
（2）解：组成一个中心对称图形而非轴对称图形如图所示.
【知识点】利用轴对称设计图案；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据轴对称图形的定义画出图形，同时保证非中心对称图形即可；
（2）根据中心对称图形的定义画出图形构成一个平行四边形即可.
21．【答案】（1）解：甲的综合成绩为（分），
乙的综合成绩为（分）．
因为乙的综合成绩比甲的高，所以应该录取乙；
（2）解：甲的综合成绩为（分），
乙的综合成绩为（分）．
因为甲的综合成绩比乙的高，所以应该录取甲．
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）根据平均数的计算方法求出甲、乙的综合得分比较解题；
（2）利用加权平均数的计算公式求出甲、乙的综合得分比较解题．
22．【答案】（1） 且
（2）
23．【答案】解：任务1： 每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件．
甲店每件衬衫降价元，每天销售量为：，
乙店每件衬衫降价元，每天销售量为：，
任务2：当时，甲店每天的销售量为：，
甲店每天的盈利为：（元）；
当时，乙店每天的销售量为：，
乙店每天的盈利为：（元）；
任务3：设每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利和为2550元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
由于当时，增加的销量为不为整数，故舍去．
所以每件衬衫下降10元时，两家分店一天的盈利和为2550元．
答：每件衬衫下降10元时，两家分店一天的盈利和为2550元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：根据“每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件”列代数式即可；
任务2：由利润＝单利润 ×销售量计算两店的盈利即可；
任务3：设每件衬衫下降元时，根据“两家分店一天的盈利和为2550元”列一元二次方程，求出m值即可解题．
24．【答案】解：（1）∵，在直线的图象上，
∴，解得：
直线AB得表达式为．
（2）①过点D作于点E，如图1，
，，
．
在与中，
，
，
，．
设，则点D得坐标为，
点D在直线AB上，
，
，
点C得坐标为，点D得坐标为．
②存在点Q得坐标为，或．
理由如下：
设点Q的坐标为（n，- n+3）．
分两种情况考虑，如图2：
当CD为边时，
∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0，
∴0-n=4-1或n-0=4-1，
∴n=-3或n=3，
∴点Q的坐标为（3，），点Q'的坐标为（-3，）；
当CD为对角线时，
∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0，
∴n+0=1+4，
∴n=5，
∴点Q″的坐标为（5，）．
综上所述，存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（3，），（-3，）或（5，）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；同侧一线三垂直全等模型；一次函数图象上点的坐标特征
1 / 1浙江省宁波市余姚市浙江师范大学附属泗门实验中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·余姚期中）若有意义，则a的值可以是（　　）
A． B．0 C．3 D．8
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：有意义，
，即，
符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，求出a的取值范围即可．
2．（2024八下·余姚期中）已知是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值为（　　）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：a=-1
故答案为B
【分析】已知方程的解，将解带入医院二次方程即可求出未知量a的值。
3．（2024八下·余姚期中） 下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，故选项A不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，故选项C不是最简二次根式，不符合题意；
D、，故选项D不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据最简二个根式的定义即可进行判断，被开方数不含分母（小数可化为分数），不含开的尽方的因数或因式，这样的二次根式叫最简二次根式.
4．（2024八下·余姚期中）如图，在中，，，点D在边上，以，为边作平行四边形，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： 在中，，
，
又，
，
四边形为平行四边形，
．
故答案为：B．
【分析】根据等边对等角得到，然后根据平行四边形的对角相等解题即可．
5．（2024八下·余姚期中）下列各式中，计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、 与 不是同类项，不能进行合并，故本选项错误；
B. ， 故本选项错误；
C. ， 故本选项正确；
D. ，故本选项错误.
故答案为：C.
【分析】二次根式的加减法实质就是合并同类二次根式，所谓同类二次根式就是将几个二次根式化为最简二次根式后，被开方数完全相同的二次根式，但不是同类二次根式的不能合并，从而即可判断A；由二次根式的除法，根指数不变，被开方数相除即可判断B；根据完全平方公式展开即可判断C；根据积的乘方法则即可判断D.
6．（2024八下·余姚期中）A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击，下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（　　）
A．且. B．且.
C．且 D．且.
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：根据平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定.
故答案为：B.
【分析】根据平均数、方差的意义可得：平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定，据此判断.
7．（2024八下·余姚期中）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂第二季度平均每月的增长率为 ，那么 满足的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2=182．
故选B
【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．
8．（2024八下·余姚期中）如图，河坝横断面迎水坡的坡比是（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比），坝高，则坡面的长度是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：由图可知，，即，
∴，
∴（m）．
故答案为：．
【分析】
在Rt△ABC中，根据坡比的定义求出AC长，然后根据勾股定理解题即可．
9．（2024八下·余姚期中）已知P是等边三角形的边上的一点，若，则在以线段，，为边的三角形中，则最小内角的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到，
，，，，
△APQ为等边三角形，
，
以，，线段为边的三角形，即，最小的锐角为，
，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】将绕点逆时针旋转得到，即可得到△APQ为等边三角形，可得最小的锐角为，根据旋转的性质和邻补角的定义求出，然后根据角的和差解题即可．
10．（2024八下·余姚期中）对于关于x的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述：
①当时， 方程一定没有实数根
②当时，方程一定有实数根
③当时， 方程一定没有实数根
④当时，方程一定有两个不相等的实数根；其中表述正确的序号是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【知识点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：①当时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误；
②∵，
∴，
又∵，
∴
∴，
∴方程一定有实数根，原说法正确；
③时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误；
④∵，
∴，
∴，
∴方程有两个相等的实数根，原说法错误；
故答案为：B．
【分析】利用根的判别式“对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根逐项判断解题即可．
11．（2024八下·余姚期中）若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是　 　．
【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，
∴360°÷45°=8
即该正多边形的边数是8．
故答案为：8．
【分析】正多边形的边数=360°÷一个外角的度数求解即可.
12．（2024八下·余姚期中）当ａ＝－2时，二次根式 的值是　 　．
【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当a=-2时，二次根式 = =2.
故答案为：2.
【分析】将a=-2代入，由于二次根号具有括号的作用，进而根据有理数的加法法则算出被开方数，再根据算术平方根的性质化简即可.
13．（2024八下·余姚期中）一组数据1，x，5，7有唯一众数，且中位数是6，则方差是　 　．
【答案】6
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解： 一组数据1，x，5，7有唯一的众数，
x的值只能是1，5，7中的一个，
中位数是6，
，
平均数是，方差是．
故答案为：6．
【分析】根据中位数和众数的定义求出，然后利用方差公式计算解题．
14．（2024八下·余姚期中）若实数满足，则　 　．
【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
解得，
∴，
故答案为：.
【分析】根据平方式、算术平方根的非负性得到，求出a，b的值，代入计算解题．
15．（2024八下·余姚期中）如图，中，为对角线，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点E，交于点F，若，，，则的长为　 　．
【答案】5
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
根据基本作图，可设，
∵，，，
∴，，，
在中，，由勾股定理得，
∴，
解得，
即，
故答案为：5．
【分析】连接，得到，即可得到，再在中根据勾股定理求出x值即可．
16．（2024八下·余姚期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是　 　．
【答案】2020
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；配方法的应用
【解析】【解答】解：与是“同族二次方程”，
，
，
，
解得，
，
则代数式的最小值是2020．
故答案为：2020．
【分析】根据新定义得到关于与的二元一次方程组，解方程组求出与的值，再利用配方法求出出代数式的最大值即可．
17．（2024八下·余姚期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）先化简二次根式、去绝对值，然后合并同类二次根式解题即可；
（2）先计算算术平方根、零指数幂和负整数指数幂，然后加减解题．
18．（2024八下·余姚期中）解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：(x+1)2-4=0
∴(x+1)2=4，
∴x+1=±2，
∴x+1=2或x+1=-2，
∴x1=1，x2=-3；
（2）解：x2-x=3，
∴x2-x-3=0，
∴△=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-3)=13＞0，
∴
∴.
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将(x+1)看成一个整体，此方程缺一次项，故利用直接开平方法求解较为简单；将常数项移到方程的右边，利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）移项，将方程整理成一元二次方程的一般形式，直接找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式“”求出方程的根.
19．（2024八下·余姚期中）问题：如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上（不与点A，C重合），连接，，，．若______，求证：四边形是平行四边形．
请在①，②，③中只选择一个作为条件，把序号补充在问题横线上，并完成问题的解答．
【答案】解：选择①，连接交于点O，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
选择②，连接交于点O，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
③当时，不能判定四边形为平行四边形．
故答案为：①；解答见解析或②；解答见解析．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】选择①，连接交于点O，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形解题即可；选择②，连接交于点O，证明，即可得到，得到结论即可．
20．（2024八下·余姚期中）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取3个涂上阴影：（请将两小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形而非中心对称图形．
（2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形而非轴对称图形．
【答案】（1）解：组成一个轴对称图形而非中心对称图形如图所示；
（2）解：组成一个中心对称图形而非轴对称图形如图所示.
【知识点】利用轴对称设计图案；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据轴对称图形的定义画出图形，同时保证非中心对称图形即可；
（2）根据中心对称图形的定义画出图形构成一个平行四边形即可.
21．（2024八下·余姚期中）某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取．他们的各项成绩（单项满分100分）如表所示：
候选人 文化水平 艺术水平 组织能力
甲 80分 87分 82分
乙 80分 96分 76分
（1）如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？
（2）如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照20%，20%，60%的比例计入综合成绩，应该录取谁？
【答案】（1）解：甲的综合成绩为（分），
乙的综合成绩为（分）．
因为乙的综合成绩比甲的高，所以应该录取乙；
（2）解：甲的综合成绩为（分），
乙的综合成绩为（分）．
因为甲的综合成绩比乙的高，所以应该录取甲．
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）根据平均数的计算方法求出甲、乙的综合得分比较解题；
（2）利用加权平均数的计算公式求出甲、乙的综合得分比较解题．
22．（2024八下·余姚期中） 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1） 求 的取值范围；
（2） 当 时，用配方法解方程．
【答案】（1） 且
（2）
23．（2024八下·余姚期中）根据以下销售情况，解决销售任务．
　 销售情况分析
　 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下：
店面 甲店 乙店
日销售情况 每天可售出25件，每件盈利40元． 每天可售出40件，每件盈利30元．
市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件．
情况设置 设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元．
任务解决
任务1 甲店每天的销售量_______（用含的代数式表示）． 乙店每天的销售量_______（用含的代数式表示）．
任务2 当，时，分别求出甲、乙店每天的盈利．
任务3 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2550元．
【答案】解：任务1： 每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件．
甲店每件衬衫降价元，每天销售量为：，
乙店每件衬衫降价元，每天销售量为：，
任务2：当时，甲店每天的销售量为：，
甲店每天的盈利为：（元）；
当时，乙店每天的销售量为：，
乙店每天的盈利为：（元）；
任务3：设每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利和为2550元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
由于当时，增加的销量为不为整数，故舍去．
所以每件衬衫下降10元时，两家分店一天的盈利和为2550元．
答：每件衬衫下降10元时，两家分店一天的盈利和为2550元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：根据“每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件”列代数式即可；
任务2：由利润＝单利润 ×销售量计算两店的盈利即可；
任务3：设每件衬衫下降元时，根据“两家分店一天的盈利和为2550元”列一元二次方程，求出m值即可解题．
24．（2024八下·余姚期中）如图，已知直线经过，两点．
（1）求直线的解析式；
（2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转得到CD，此时点D恰好落在直线AB上
①求点C和点D的坐标；
②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q的坐标，否则说明理由．
【答案】解：（1）∵，在直线的图象上，
∴，解得：
直线AB得表达式为．
（2）①过点D作于点E，如图1，
，，
．
在与中，
，
，
，．
设，则点D得坐标为，
点D在直线AB上，
，
，
点C得坐标为，点D得坐标为．
②存在点Q得坐标为，或．
理由如下：
设点Q的坐标为（n，- n+3）．
分两种情况考虑，如图2：
当CD为边时，
∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0，
∴0-n=4-1或n-0=4-1，
∴n=-3或n=3，
∴点Q的坐标为（3，），点Q'的坐标为（-3，）；
当CD为对角线时，
∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0，
∴n+0=1+4，
∴n=5，
∴点Q″的坐标为（5，）．
综上所述，存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（3，），（-3，）或（5，）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；同侧一线三垂直全等模型；一次函数图象上点的坐标特征
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